CC BY
9
УДК 517.925 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3
МЯО 34С20
ДВУМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: КЛАССИФИКАЦИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ —IV
В. В. Басов, А. С. Чермных
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Данная статья является четвертой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы имеет квадратичный общий множитель с комплексными нулями. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных структурных и нормировочных принципов выделяется простейшая система — нормальная форма третьего порядка. Фактически, нормальная форма задается матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ к выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: а) условия на коэффициенты исходной системы, Ь) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, с) получаемые значения ненормированных элементов КФ. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.
Введение. Статья посвящена нахождению канонических форм вещественных однородных кубических систем, имеющих общий множитель второй степени с комплексными нулями, и состоит из пяти разделов.
В первом разделе правая часть исходной системы, определяемая восемью коэффициентами, однозначно раскладывается в произведение общего множителя Р§(х) с отрицательным дискриминантом Б о и вектора Нх, где Н — некая неособая матрица, дискриминант характеристического полинома которой обозначается через Б. При этом в [1] была установлена инвариантность знаков Бо и Б. Приводится список нормированных структурных форм и канонических форм со своими множествами допустимых значений параметров, соответствующих случаю Б о < 0.
Во втором и третьем разделах рассматриваются случаи Б > 0 и Б < 0 соответственно. Для каждого из этих случаев приводятся списки канонических форм со своими каноническими множествами допустимых значений параметров, введенными в [2]. Доказываются теоремы, подтверждающие линейную неэквивалентность приведенных КФ и демонстрирующие для каждой КФ в явном виде: а) все системы, относящиеся к классу линейной эквивалентности, порожденному данной КФ, Ь) линейную замену, сводящую любую такую систему к выбранной КФ, с) получаемые в результате замены значения параметров КФ из ее канонического множества.
В четвертом разделе выделяются минимальные канонические множества, введенные в [2], а в пятом — приведен единый список канонических форм и канонических множеств для систем с общим множителем второй степени, что являет собой суммарный результат работы [3] и данной статьи.
Дополнение освещает классификации систем с иными невозмущенными частями. Эта работа является непосредственным продолжением работ [1-3], поэтому в ней
© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
сохраняются все введенные ранее обозначения. В связи с большим количеством ссылок на формулы, полученные в [1—3], будем для краткости отмечать их номера верхним индексом. Например, систему (2.1) из [1] будем обозначать (2.1)1.
1. Выделение СРт'2 при отрицательном дискриминанте Р^. Система
(1.1)3, полученная после вынесения из правой части системы (2.1)1
„„„„„„„ п— в2 — а7 < 0 имеет вид
общего множителя Р2(х), при условии Во
х = АдИ(х)
Ё = Рд (х)Нх,
Рд = х 1 + 2вх 1х2 + 7х 2, 21 2
В о = в2 — 7 < 0 (а = 1),
Н
Р1 Р2
41
42
6Рд = det Н = 0. (1.1<)
Выделим из списка 1.1 работы [2] структурные формы до б^7'2 включительно, относящиеся к случаю I = 2, Во < 0 (см. [2, определение 1.2]) и нормируем их согласно введенным НП в [2, разд. 1.2], попутно выделяя общий множитель Р2 с а = 1, имеющий в силу (2.19)1 дискриминант В о < 0, а также матрицу Н с дискриминантом В ее характеристического многочлена и допустимые множества (см. [2, определение 1.8]). Кроме того, установим, какие из КБ¥т'2'< являются каноническими формами.
Список 1.1. Семнадцать и С^т'2'< до С^27'2'< включительно, для
каждой указаны (1, 2в, 7), Н, Во, В и нетривиальные рвт'2'< (а = ±1, п,ги,гш = 0).
г,тр4,2,<,^
ск
34,+ 1
ск7Б>2><>>
ск
5,2,<,<
22
ск
ск
3
г,т?6,2,<,^
СК4, + 1
ск
6,2,<,=
ск
6,2,<,<
7
СК
6,2,<,<
11,+1
7,2,<,<
ск' ' '< = ,
и 0 0 1 и 1 0 1 и 0 и 0 и 0 и 1 и 1 и 1 и 1
0 и
1 0
и 0
0 +1
—и и
0 0
и —и
0 0
и то
1 1
и(1 — V
1
V и
1 0
-2 —
0
V — V
0 0
V и
0 +1 и 0 0 1 и 1 0 V
(1, 0,1), а (1, 0,1), а (1,-1,1), (1,-1,1), (1, М), а
(1, М), а
и 0 01 0и 10 и0 11 0и 11 и0 01
—то
V
V +1
(1, 0,1), 0
и 0
V-3
(1, —
-1, (и — 1)2; -1, 4и;
— 3/4, , (и — 1)2;
— 3/4, , 4и + 1; 1/4 — V, (и — 1)2;
и — то 01 —1, (и — 1)2; ,.-1
1/4 — V, (и — 1)2;
1),
то
V
^3/4 — 1>-1 (и — V)2 + 4то-
0
+1
-1
и + V 1
V 0
(1, —1,1) (1,0,1), а
лщк
6,2,<,
12
6,2,<,< ЛЭДЗ < = а
6,2,<,
15
ад то — v(uv + ад) и + адv 0 V-1 — V2 1
0 и^ — 1) — то
1 1 V ^
2
— иу
2
и + V 1 —1,
и2 + 4v;
-1),
— 3/4,
—то и — то 0 V — V-2 1
0 то то2(1 + V)
1 0 v(1 + V)2 и то то^ — 1) 1 0 —v(v — 1)2
(1, —V, V (1, М), I , (М-1
(и — 1)2;
а
—то\
-1
(1, —V, V2 + V)
(1,
— V)
16
а
0 и и то
(1, М), а
0и
и —и 01
0
1 V и то 1 1 + V
0 и
1 1 — V 1/4 — V,
4и;
(и + 1)2 +4v;
и то + ад\ ^3/4 — 1>-1, 1 V уЬ (и + V)2 +4ад; 1/4 — V,
(1/4 — V3) V-2, V-2 — 4то; —v(3v + 4)/4, , (и+V + 1)2 —4и; —v(3v — 4)/4, (V — 1)2 +4и;
Ч1 1 V 0 )' ^ ' ' " \1 0У
а
а
=а
=а
а
а
=а
=а
V-1 — V2
2
а
а
а
-1
=а
а
2
=а
V, V
NSF^ = w - u + w ">) , (1, l,v), W - U) , ¡/-^
psf'2'< = {v > 1/4}, ps|'2,<= > 1/4, v ^ 1}, pslX< = {v > 1/4, v ^ 1},
psl'2^ = {v £ (0, ^4), v^l}, ps6T'2'<={v^-u}, ps61'i'< = {v>4-1/3,v^i},
ps?3'< = {v £ [-4/3, 0]}, ps?^2 '< = {v £ [0, 4/3]}, ps?62 '< = {v > 1/4},
sl'2,< = {v > 1/4, -y)},
J'2'< — r„, с /п ,3/л\ „ 1 „„ ^
2 ......
= (Е (0, -\/4), V ^ 1, го ^ —иу, —и(у — г;~2)}.
Отметим, что в списке 1.1 только и С^6 '2 ' < имеют диагональную мат-
рицу Н. Кроме того, канонические множества '.1< имеют вид ев^ ' . < ' > = {и =1} и ев^ ' . <' = = {и = 1}, так как предшествующие формы с Бо < 0 у нее отсутствуют.
2. Случай О > 0. Итак, будем предполагать сначала, что в системе (1.1<) матрица Н имеет вещественные собственные числа А1, Л2.
Набор 2.1. Константы и замены, используемые далее в разделе 2:
^(и) = (и2 - 3и + 3)1/2(и - 3)-1, (и) = (3и2 - 3и + 1)(3и - 1)-2,
^з(и) = (и2 + 3и + 3)(3и2 + 3и + 1)(3и2 + 8и + 3)-2; = 7(« - (72 - 1)1/2)/2;
Ь ' . < ' > = ь = (а|Л2|)-1/2, в1,г2 = о, = (7А|)-1/2};
ь342+<1 > = {^1 = -«1/2Г2, в1 = («(4« - 1))1/4(2-у1/2 + 1)-1, Г2 = («(4« - 1))-1/4, в2 = «-1/2в1};
Ь15 ' 2 '< ' > = {г1 = (й2 - 3и + 3)1/2(1 - и)-1, в1 =0, г2 = (1 - и)-1в2, в2 = ^-1(й)}; Ь25 ' 2 '< ' > = {Г1 = и1/з|и|1/6(и - 1)-1, в1 = |м|-1/2, Г2 = (3й - 1)и-1Г1, в2 = 0}; ЬЦ'< ' > = {Г1 = -(и2 + 3й + 3)1/2(й - 1)-1|й + 1|-1/2, в1 = й(й + 1)-1Г1, Г2 = -(3й2 + 8й + 3)(й2 + 3й + 3)-1п, в2 = (й + 1)-1Г2}; Ь6 ' 2 '< ' > = {Г1 = (а|Л21)-1/2, в1,Г2 = 0, = й(2/?)-1 п};
= {п = -/Зг2, з^Ы-1'2, Г2 = \Р1\-1/2Ь-(32Г1/2, «2=0};
4'2'<'= = {п = 1/2, = -1, г2 = Т^З/2, 52 = 0};
= {п = ±л/14/7, в! = т5/Г4/28, г2 = л/42/14, в2 = а/42/28}; ¿6 ^ '< ' = = {Г1 = 1, в1 = 1/2, Г2 = 0, в2 = -(« + (V2 - 1)1/2)/2};
= Ь = о, 81 = г2 = *2 =
В [3] ИЗ системы (1.1<) с 7 - /З2 > 0 при В > 0 (Ль Л2 ^ 0, Л1 - Л2 = а0\>Т) + 0) заменой J2 (см. набор (1.1)3) получена система (1.5)3, в которой согласно (2.18)1 и (2.19)1 <5,7 > 0 и 7 = (77 - в2)1/2 > 0, а при Б = 0 (А1, Л2 = V = (р + ®)/2 = 0) и [д1 =0 V = 0, р2 = 0] заменой Ла V J|ь] получена система (1.6)3 с 7,7,7 > 0. Наконец, система (1.1<) с 7 - в2 > 0 при Б = 0 и ^1,р2 = 0 сразу имеет вид (1.5)3, но с А1, А2 = V, так как в этом случае Н диагональна и в ней р1, ^2 = V = 0.
Лемма 2.1. 1) Система (1.5)3 при /? = 0 заменой ¿4 ' < ' > сводится к '++'-|< ' > с а = signА2, и = А1А-1, а при /? = 0 заменой Ь6 ' 2 ' < ' > —к ' 2 ' < ' >
signА2, u = AiA-x,v = Й7(2/3)-2.
2) Система (1.6)3 заменой +<' = сводится к NSf43'.+':|<' = (u = 1) с а = signv, v = 7(v?)-1.
3) Система (1.1<) при ,p2 = 0 заменой L44 '+<' = сводится к CFg1 '_+:i<' = (u = 1) с а = sign pi.
Следствие 2.1. Все шесть NSFm '2 '< из списка 1.1 при D > 0 и D = 0 каноническими формами не являются.
к NSFi..... с а =
Утверждение 2.1. Следующие формы из списка 1.1с указанными значениями параметров сводятся к предшествующим согласно СП (см. в [2, разд. 1.1]) :
4,2,<,> _ г т _ 1 - /о ом т _ / г1 в1
с рв34, + 1
1) NSF^+I^
{u > 0} при u = 1 .заменой (2.2)1 L
Г2 «2
-i4,2
(det Ь = 0) с в1 = в2, г2 = —г1 сводится к ^^д'2;
2) №5^75'2'<'> с р4'2'<'> = {п =1} : а/ при и = 3 заменой с г\ = 0, в! = 2в2 сводится к Ь) при и = — 1 заменой с в 1 = в2(1 + \/7)/3, г2 = — гх(1 +
3) Л^2'<'> с р42'<'> = {«, > -1/4} : а/ при и = 3/2 заменой сг\ = -г2(л/7 + 1)/2, = в2(л/7 - 1)/2 сводится к б) при и = [ 6 V 4 л/ТЗ] заменой с г1 = [4г2/3 V (-1 ± л/ТЗ)г2/6], в2 = [-Зв1У(-1т
сводится к
4,2 34 ;
4,2
!)si/6] сводится к 4) NSF16'2'<'>(a,U,v) с ps6'2'<'> = {U = 1, v > 1/4} :
а) при U= —1 заменой L^+l сводится к NSF34.
.+1
4'2'<'>с а = ст, u = (2v1/2 — 1)(2v1/2 +
1) ;
b) при U = —1, [3 V 1/3], v
5,2,<,>
7
["02(U) V ^2(U)] заменой [L15,2,<,> V L25,2,<,>] сводится -и
с а = [а V а sign U], u = 2« V U 1];
c) при U = —1, v = (U) заменой L^2 ,<,> сводится к N5,Ff^2,<,> с а = asign(U+ 1), u = —U(U + 1)-2;
5) NSF36,2,<,= с ps3,2,<,_ = {u = 1, v > 1/4, v = 1} :
а) при v = 1/3 заменой с r2 = —3ri, s2 = 0 сводится к NSF^'2^' ;
б) при v = (49 =F 7л/46)/6 заменой с rx = r2(ll =F 2л/46)/6, si = s2(-38 ± 5л/46)/6
сводится к
|5,2,<, 22
{u
1} :
к
1) с а
6) WS'i1®;2^'-^,!,^ cps^f'
a) при v = ±2/a/3 заменой .ll'2^'- сводится к NSF^'2,<'~ (и
b) при v = =f7/a/3 заменой L22 '<,_ сводится к NSF22 '<,_ (м = —1/4) с а = а;
c) при |«| > 1 заменой L^2^^ сводится к NSF|,2,<,= (u = 1) с а = а, v = ^4(v).
(См. [4, прил. 3.6.1, с. 141] к пунктам 1-3; [4, прил. 3.6.2, с. 148] к пункту 4; [4, прил. 3.6.3, с. 152] к пунктам 5, 6.)
Замечание 2.1. Здесь и в дальнейшем, следуя соглашению 1.3 из [2], запись «... Z = [ ?1 V и1 ] ... n = [ ?2 V и2 ] ... » означает, что или Z = ?1, п = ft, или Z = и1, п = U2, а ссылка на приложение к работе [4] выделяет в нем программу, символьными вычислениями в Maple подтверждающую получаемые результаты.
Приведенные выше утверждения позволяют в случае l = 2, Do < 0, D > 0 выписать все канонические формы со своими каноническими множествами.
Список 2.1. Пять CFim,2,<,>, пять Ciim,2,<,= и их csm,2,<,^ (а = ±1, u,v = 0).
CF
8, + 1
cf76,2,<,>
u — u 1 0
u 0 0 +1 u0 01
CF
,4,2,<,> _
34,+ 1
и их cs u0u 0+10
CF^^
0 u —u
1 0 0
CF
6,2,<,=
3
u u(1 — v) 0 —uv 0 11 v
CF4
6,2,<,=
s8, + 1 s5,2,<,>
42,<,> = ^^=
r / -n 4,2,<,= {u = 1}, cs8, + 1 =
{u = ±1, 3}, cs7,2,<
{u
4,+1
iv cs4,2,<,>
1}; 34,+ 1
cf6,2,<,> =
0 10+1
uv 1
{u > 0, u = 1};
{u
u = 3/2, 6, 4 ±v
i};
= {u> -1/4,
= {u= -1/4}; cs®'2'^ = {и ф ±1, v > 1/4, v ф Vi(«), ^(м), ^з(м)};
= {u= 1, w > 1/4, v ^ 1/3,1, (49 =F 7л/46)/6}; CS!
u)
6,2,<,= 4,+1
= {u = 1, |v| < 1}.
к
а
а
а
uv
u
v
а
а
3
Теорема 2.1. Любая система (2.1)1 с l = 2, записанная в виде (1.1<) согласно (2.15)1 и имеющая D > 0, линейно эквивалентна системе, порожденной неким представителем соответствующей канонической формы из списка 2.1. Ниже для каждых CF™'2 '< '> и CF™'2 '<' = приведены: а) условия на коэффициенты системы (1.1<), b) замены (2.2)1, преобразующие правую часть системы (1.1<) при указанных условиях в выбранную форму, с) получаемые при этом значения множителя а
m ' 2 ' < ' > m ' 2 , <, =
и параметров из csj или csj :
CF84;+i< ' > : a) D > 0, в (1.5)3 /3 = 0; b) J2, ¿4 ' +' < ' >; c) а = signA2, u = AiA-1;
CF3442+<'> : a) D > 0, в (1.5)3 / = 0, v = 0; b) J2, ' 2 '< ' >, L342+<1'> с v = й^в)-2; c) а = signA2, u = («7 - |в|)(«7 + |в|)-1;
CF75 ' 2 '< ' > : a) D > 0, в (1.5)3 /3 = 0, йй(2/3)-2 = [V>2(u) V ^(u)], где u = A1A-1 = -1, [3 V 1/3]; b) J2, L? ' 2 '< ' >, [L15 ' 2 '< ' > V L25 ' 2 '< ' > ]; c) а = [signA2 V signA1 ], u = [u V u-1 ];
CF.■ a) D > 0, в (1.5)3 ¡3 ф 0, и = AiA^1 ф -1, (-5 ± л/13)/6, (-5 =F л/ТЗ)/2, (-4 ± л/7)/3, -3/2, -2/3, = ф3(й); b) Jx2, L®'2'<'>, L^2l<1>; с) a =
sign v, u = - (2v)-2;
CF?' 2 '< '> :a' D > 0, в (1.5)3 /3 = 0, u = A1 A-1 = -1, 3 = ¿7(2/3)-2 = ^2(u), ^2(u), -03(u); b) J2, L1 ' ' < ' >; c) а = signA2, u = u, v = 3;
CF84;2'<'= : a) D = 0, qx = 0, p2 = 0; b) с) a = signpi;
CF75'2'<,= : a) D = 0, [qi ф 0 V qi = 0, p2 ф 0], З^)"1 = ±2/лД где а, /3, 7 -
из [(1.6а)3 V (1.6Ь)3]; b) [J2a V J2b], L? '+< '=, L5' 2 '< '=; c) а = sign v;
5' 2 '<' = • „) л — n г -/- n w — n ^ m
CF22 ■■ a) D = 0, [91 ^ 0 V gi = 0, p2 ^ 0], ^(г/?)-1 = ±7/лД где a, /3, 7
из [(1.6a)3 V (1.6Ь)3]; b) [J2a V J2b], l4 '+< '=, l222 '< '=; c) а = sign v;
Ja)3v(i.6 ь)3];&Жа
CF^'- : a) D = 0, ^ 0 V qi = 0, p2 ф 0], |3| > 1, |3| ф 2/л/З, 7/V3, где 3 = 7(v?)-1, а,в,3 -из [(1.6a)3 V (1.6Ь)3]; b) [J^ V J2b], ¿4 '+< '=, L? ' 2 '< '=; c) а = sign v, v = ;
CFf'+'l' = : a) D = 0, [91 =0 V 91 = 0, P2 = 0], |3| < 1, где 3 = 3(v3)-1, а, /, 3 -из [(1.6a)3 V (1.6Ь)3]; b) [J2a V J22b], ¿4 '+< '=; c) а = sign v, v = 3.
Доказательство. I. Рассмотрим случай D > 0. По лемме 2.1, п. 12 при /3 = 0 система (1.5)3, полученная из (1.1<) заменой Jj2, всегда сводится к ASF6 ' 2 '< ' >(а, u,v) с а = signA2, u = A1 A-1, v = «7(2/3)-2 > 1/4 (см. [4, прил. 3.6.2, с. 148]). А эта ASF6 ' 2 '< ' > по утверждению 2.1, п. 4 может быть сведена к одной из трех предшествующих ASFm '2 '< ' > из списка 2.1.
Остается уточнить ограничения, гарантирующие сведение к CFm '2 '< ' >.
4a) При u = -1 ^ A2 = -A1 ^ v = 0 получена CF342+< ' > с а = а, u = (2v1/2 -1)(2v1/2 + 1)-1 = («3 - + |/3|)-1. При этом 0 < u < 1, и ограничений нет, так
4 2 < > 4 2
как NSF34 согласно утверждению 2.1, п. 1 сводится к S^' только при u =1.
4b) При u = -1, [3V1/3], v = [ V2(u) V^2(u)] получена CF75 ' 2 '< ' > с а = [а Vа signu] (а signu = sign A1), u = [u V u-1]. При этом u = -1, 3, и ограничений нет, так как NSF5 ' 2 ' < ' > согласно 2.1, п. 2 сводится к предшествующим формам только при u = -1, 3.
4С) При й ф — 1 о г/ ф 0, v = фз(и) получена NSF^2^^ с а = <7sign(w + 1) = sign v, и = —й(й + 1)~2 = — 5pq(2i/)~2. Кроме того, й ф (—4 ± л/7)/3, иначе и = 3/2, и ф -3/2, -2/3, иначе и = 6, и ф (-5±л/ТЗ)/6, (—5 =F л/13)/2, иначе и = 4=f VT3, так как NSF222 '< ' > по утверждению 2.1, п. 3 при таких u сводится к предшествующим формам.
II. Рассмотрим случай D = 0. По лемме 2.1, п. 2i при [ qi = ÖVqi = 0, p2 = 0] система (1.6)3, полученная из (1.1<) заменой [J2aV J|b], всегда сводится к NSF4 +'-<' = (а, 1, V) с а = sign V, V = 7(v?)-1 (см. [4, прил. 3.6.3, с. 152]). А эта NSF^+'i^' = согласно утверждению 2.1, п. 6 может быть сведена к одной из трех предшествующих ей CFm '2 '<'= из списка 2.1.
В частности, в п. 6С при |й| > 1 и, дополнительно, |й| ф 2/л/3, 7/л/3 получена (^рб,2,<,- с а = gjgnz/j w = 04(-у), так как й = —2/л/З -ФФ- v = 1 и г> = 1/3 при £ = 2/а/З, -у = (49 ± 7л/46)/6 при й = T7/V3, a NSF^2'<'- согласно утверждению 2.1, п. 5 сводится к предшествующим формам только при таких значениях v. Остальные результаты теоремы в достаточной степени очевидны. □ 3. Случай D < 0. Будем предполагать теперь, что в системе (1.1<) матрица H имеет комплексно сопряженные собственные числа Ai, А2.
Набор 3.1. Константы, интервалы и замены, используемые далее в разделе 3: 05 = 4С6(й-1)2+4V3(2U+1) + 1, 06 = V3(1 -й)-1 + ^51/2; 0± = (v3-2±2(1 -v3)1/2)v-2; 08 = 7V + 09 = Y2v2 + 2/?7vm + (9aY - 8/32)^2, 0ю = 2^v -
■011 = fV3 + 37(72 + 2ä7 - 2ß2)i//j2 + ß(Aß2 - 3^7 + 372)/i3, 01 G К1 - нуль фц(г/, 1), 012 = 72^2-4^W+(4^2+972)M2, Ф1З = 72^2+2^M-(3ä7-4^2)M2, Ф^4 = ipf5 = 2q ± аД/3, Vie = 4ä7 - 3/32, 0i7 = й2 - Зй + 9, 0i8 = 4й2 - Зй + 9 + (45 + 3)ф^2, 019 = — (й6 + 659/2 + 13Й3 + 12Й3/2 + 4)(й6 - 5й3 + 4)"1, 0JO = Й(ЗЙ T л/3)(2 T л/Зй)-1, ф21 = (V - 3 + (V2 - 3V + 9)1/2)2(3V)-1; ф22 = V2W2 - 534W + 2VW + 4V6 + 4V3 + 1, ф23 = 2VW - 5V3 + 2 + 20122, ф24 = й3 - йй2 + u2V - 3, 02 (й) > 0 — нуль 024(й, 0), ф^5 = (v2±(12v-3v4)1/2)(2vф26 = 2й3 + йй2-й2й-9, в3(и) € О^-Унуль ф26(м, 6»),
027 = 4й2гй2 - 4ЙЙ02Й3 - Зйй2 - 2) + (й3 - Зйй2 + 2)2, ф28 = 2йгй - 2й3 + 3йй2 + 2 - ф2^2, 029 = UV2 - U2V -1,030 = 02(й)(2й-03 (й))20291(й,03(й))(803(й) - 5029(u,03(u)) - 32)-1,
031 = 029(й, 03(u))(3w + 4й2 + 203(u)u - 20|(й))(03(й)(2й - 03(U))W)-1,
032 = 3(й3 - 3й2 + 6й + 1)(й2 - й + 1)((й - 2)(2й - 1)(й + 1))-1,
мб 1 \г,4 г,//,„~3 , 1 \~3 , „~2/„~3 , /«„-3.
033 = 3(йV6 - 2й2V5 + (4й3 - 1)й4 - й(4й3 + 1)V3 + й2(й3 - 6)й2 + (6й3 + 2)V + 5й)(й(2й -й)024)-1, 034 = (V4 - + 3й2V2 - й3й - 2V - 5й)0—91,
035 = (2й - 02(й))(302(й)й3 - 302(й)й2 + 03(й)й - й + 04(й) - 402(й)),
036 = -(3026(й, 03(й))ад + 2(2й - 03(й))(303(й)й3 - 602(й)й2 + 5(03(й) - 1)й + 204(й) -1103(й)))((803(й) - 5029(й, 03(й)) - 32)W)-1;
а| = ((й2С6 - 2C3(V3 - 1)й + V6 + 10С3 - 2)051/2 + 2й^9 - 6Й6(Й3 - 1)й2 + 6V3(C3 - 1)2й -2(С3-1)3)(9V306)— 1, 6| = ((V3й2-(10С3-4)й+9V3)05/2 +2V6й3+V3(14V3 + 1)й2-2(С3-
1)(17С3 - 2)й + 9C3(2V3 + 1))(606)-1, а*2 = -((4С9й3 - 3Й6(4Й3 - 3)й2 + 6V6(2V3 + 1)й -(4С3-1)(V3+2)2)051/2+8V12й4-2C9(16V3-^^^v6^6^^^2^3^3-1)(16C6+ 37С3 - 8)й+ (2V3 + 1)(4г3 - 1)(г3 + 2)2)(54г306)-1, с*2 = ((9V6^ - 2V3(5V3 - 8)й+ (г3 +
2)2)051/2 - 18V9й3 + V6(34V3 - 49)й2 - 2V3(7C6 - 5V3 + 16)й - (2V3 + 1)(V3 + 2)2)(6с306)-1;
= (V3 - 4)(й + V)((23W - 2й3 + 3йй2 + 2)027 - 4V2W2 - 4й(-2й3 + 3йй2 + 2)W - 2й6 + 7йV5 - 7й2й4 + 8йV2 - 8й2й - 4)(2V)-10282, Ц = (й3 - 4)((vw - йй2 + й^ + 1)027 -232W2 + V(3V3 - 5йй2 + 2й2V - 4)W + (V3 - 3йй2 + 2)(йV2 - й^ - 1))V-2(2V - 4й)-10-81, ä| = (й - 2й)(V3 - 4)((4VW2 - (7V3 - 12йй2 - 4)W + (2V3 + 1)(V - 2й)2)027 - 8V2W3 + 23(11V3 - 18йV2 - 8)W2 - (15й6 - 55йV5 + 52й^4 - 8V3 + 4йй2 + 8й2V + 8)W + (2й3 + 1)(й3 - 3йй2 + 2)(й - 2й)2)0-83/2, 52 = 028(й(й - 2й)2(4 - й3))-1а|; I* = (-1,0*) U (1/2,2), где 0, « —0.17 —нуль 1405 - 4704 + 11303 - 1О302 + 610 + 14; Ii = (-7 - л/37, -2) U (-7 + л/37, о), /0 = (0, 7 - л/37) U (2, 7 + л/37), /2+ = (0,1),
/2- = (0, 72/313-1/3), /3 = (-13 • 7-1/3, -7-1/3), /4 = (-те, -1) U (5 • 91-1/3, L1342+<1 < = b,S2 = 0, S1 = -7(77)-3/2M-1/2, r2 = (Й7)-1/2М-1/2}; L1522 '< ' < = {Г1 = 0, S1 = 31/51 3/21 /2, Г2 = -/3|/3|-3/V-1/2, S2 = Г2/2}; L16 ' 2 ' < ' < = L12 ' 2 ' < ' < с v =
Ll°'2'<'< = {n = 0, si = 33/47(2?)-3/2M-V2j Г2 = T31/4(2?~)-I/2m-I/2; S2 = 3V4(_V3^±?)(2?»-3/2M-V2};
¿1112+<1 < = ь = 0, S1 = -73-3/2M-1/2, Г2 = 3-1/v1/2, S2 = -/37-1sl};
L1?i2+<i' < = {Г1 = (2v3(1 + u) + 1 - ^51/2)(233(1 - u) - 2 - ^1/2)(63(4v3 - 1))-1r2,
51 = (2v3(1 - u) - 1 + ^¿/2)(23)-1S2, Г2 = (o^)-1/4, S2 = (¿2^)1/4/ё2};
L1122 '< ' < = {Г1 = 0, S1 = 23(|/i3)-1/2, r2 = — (2/3)1/3(|/|М)-1/2^-61/6,
52 = -/3(|/3|м^1б)-1/2};
L12' 2 '< ' < = {r = 0, S1 = 33/23М(2|^8|^9)-1/2, Г2 = -31/2(2|^Ы-1/6sign s2 = (7v - 2//3m)(37m)-1s1};
L2442+<1;< = {r1 = (v + ^1/2)г2/3, S1 = (3 - </2)s2/3, Г2 = 3(^17^18(3 - v + ^1/2))-1/4,
s2 = (3 - v + ^1/2)-3/4};
L3442+<< = {Г1 = -3-1/2r2, S1 = -31 /4(2 - v3/2 - 33)1/4(2 - 333/2 + v3)-3/4,
Г2 ='v3/4(2 - 33/2 - v3)-1/4(2 - 333/2 + 33)-1 /4, S2 = v1 /2s 1};
L4342+y < = {r1 = v(3w - v3 - 5 - )31 Г2, S1 = (3w - 33 + 1 - ^2/2)v-2S2/3,
Г2 = (Ц(тШГ1/*32 = (аитШ)1/УЩШ},где (e) = (-v,v,w);
Ь2Ц'<г< = {ri = tus2, si = — (2w =F V3)s2, r2 = -(2 =F УЗи)«-1^ S2 = (¿2 т ^Зй + 1)-1/2(±4й)-1/2};
L3522 '< ' < = {r1 = (u + 2)u-1r2, s1 = -r2, r2 = -u((u + 1)(u2 + 2u + 4))-1/2, S2 = 2u-1r2 };
L45,2,<,< = |ri = Sl = (й + 3)S2j r2 = (и + 2)s2, s2 = ((-й - 1)(й2 + Ъи + 7))-1}; L5^2'<'< = {n = —2x/3r2, si = 21/3((v/5 ± l)/5)1/2j Г2 = ±((^5 т l)/5)1/2, s2 = (2(v/5t2)/5)1/2};
L6222'< ' < = {r1 = -7-1/3r2, S1 = -3r1, Г2 = 71/2(-71/3u - 1)-1/2/3, S2 = 0}; L7522 '< ' < = {Г1 = ur2, S1 = (02(u) - u)s2, Г2 = |02(u)(u + 02(u))-1^2-91|1/2, S2 = Г2}; L8522 '< ' < = {Г1 = vr2/2, S1 = V-5S2, Г2 = -2S2, S2 = (12 - 333)-1/2};
L9®22 '< ' < = {r1 = ^2, S1 = S2, Г2 = (4 - v3)-1/2(T(v-1 #5 + 1))-1/2, S2 = Г2}; L2? ' 2 '< ' < = {r1 = -(u2 + 3)(2u)-1r2, S1 = uS2, Г2 = (2u)4/3(u2 + 9)-2/3S2, S2 = (-u2 + 3)1/2(u2 + 1) 112u | 1/2 };
L36 ; 2 ;< ; < = {n = -(u2-2u + 3)(2u- 1)-1r2, S1 = uS2, Г2 = (2u- 1)4/3(u2-u+7)-2/3S2,
S2 = |(u - 2)(u + 1)|1/212u - 11-1/2(u2 - u + 1)-1};
L46 ' 2 '< ' < = {n = -(2uv2 - u2v - 3)(3(v - 2u))-1r2, s1 = us2,
Г2 = v2/3(v - 2u)4/3^62/3S2, S2 = 31/21^2411/2^-91|v - 2u|-1/2};
L27 ' 2 '< ' < = {r1 = ^2, S1 = V±5S2, Г2 = 31/431/4(4 - v3)-1/4(-W)-1/2, S2 = Г2};
L36 ' 2 '< ' < = {r1 = ur2, S1 = (02(u) - u)s2, Г2 = |02(u)(2u - ^(u))^1 (u, 02(u))W-111/2,
S2 = Г2};
L2612+<{< = {r1 = (2v2W - 34 + u33 - 23 + 8u - v^1/2)(2^28)-1r2, r2 = (й|г|)-1/4,
si = (23w - З3 + Й32 + 2 - V>272)(23(3 - 2u))~1s2, s2 = (аЩ)1^
L?/^^ = {n = 3r2/2, si = (wr2)-\ r2 = v/231/4(_^)-i/2(4 _ i,3)-1/4, s2 = 0};
IA*?£< = {n = ur2, si = (2в3(й) - w)s2/3, r2 = ^зо4(-^Г1/2,
s2 = -3^2ф%4ф29(щ в3(й))(в3(й)(2й - вз{й)))~H-w)-1/2};
также будут использоваться константы и замены, собранные в наборе (1.1)3.
Из системы (1.1<) с 7 — в2 > 0 при D < 0 (p2qi < 0, v2 + м2 = , м > 0) заменой J| получена система (1.7)3, в которой согласно (2.18)1 и (2.19)1 имеем а, 7,? > 0.
Осуществим разбиение элементов а, в, 7, v, м системы (1.7)3 на непересекающиеся множества, в каждом из которых (1.7)3 сводится к определенной форме из списка 1.1.
Лемма 3.1. Система (1.7)3 сводится:
11) при v = —в7-1М, в = 0 заменой L1з42!<1'< к CF342]< '< с а =1, u = 72?-2;
12) при v = —в?"V, в = 0 заменой Ы^2^ < к ASF-62]« '< с а = 1, u = — 2в?-1, v = —(в 2 + 72)?-2; ?
21) при v = в(2?)-1М, в = 0 имеем случай 11;
2^) при v = в(27)-1 М, в = 0, а = 7в 2(4Y)-1 заменой Ы^'< '< к CF2522 '< '< с а = sign в, u = —(в2 + 472)(2в)-2;
22) при v = в(2?)-1М, в = 0, а = 7в2(47)-1 заменой L1^22'< '< к ASF^2 '< '< с а = sign в, u = (в2 + 4? 2)ф161, v = ^1/3(2в)"2/36 2
3) при v = 01М заменой L16' '< '< к ASF6' '< '< с а = sign080), где (•) = (0*м,м),
u = 2(2080)09(•)г1/30100), v = —(208(^)0100))1/30г21/3(-);
41) при v = 0±47 V, 0i5 =0 (в = 0) имеем случай 22;
42) при v = 0±47-1М, 0i5 = 0 заменой L16 '2 '< '< к ASF® '2 '< '< с а = ±1, u = 0^5?-1,
v = —3(0±42 + 72)(2?)-2; _ 7 2 7 2
5) при v = —в? V, 01М, 0±47 V, в (2?) V заменой L12 ' '< '< к ASF2' '< '< с а = sign08, u = 2(20809)-1/301о, v = (208)2/30-1/3, w = —9?2(20809)-2/4q. Доказательство. Любая замена (2.2)1 L = (r1, s1; r2, s2) (det L = 0) с
Г1 =0, S2 = (?v — 2вм)(3?м)-1 S1 (s1,r2 =0), (3.1)
сводит (1.7)3 к системе
¿1 61 C1 (¿1
Я2 0 ¿2 (¿2
(3.2)
у которой, в частности, = —7мг3«1 1 = 0, (¿2 = 2(?м) 20809«2/27.
В выражении для (¿2 однородный многочлен удовлетворяет неравенству 09(v, м) = Y2v2 + 2в ?vm + (9а7 — 8в2)м2 > 0, так как имеет нули v1 , 2 = (—в±3?i)7-1M. Поэтому (¿2 =0 ^ 08 = Yv + вм = 0.
1) 08 =0 ^ v = —в7-1М. При S1 = —7?-3/2м-1/2, r2 = ?-1/2м-1/2, s2 = —в?-1s1 замена L1612]<1'< сводит систему (3.2) к следующему виду:
—2в?-1 —(в2 + 72)?-2 —2в?-1 —(в2 + ?2)?-2' 1010
11) в = 0 ^ v = 0. При s1 = —?(а7)-3/2м-1/2, г2 = (а7)-1/2М-1/2 замена L1|i2]<1'< с учетом (3.1) приводит к CF^j2]«'< с а = 1, u = —а-17 (= D/4 < 0).
12) в = 0, тогда получена ASF-f^] '< с а = 1, u = —2в?-1, v = —(в 2 + ?2)?-2 < 0.
2) 08 = вм + ?v = 0. При S1 = 33/2?м(2|08|09)-1/2, Г2 = —31/2(2|08|09)-1/6sign08 замена L2 ' '< '< с учетом (3.1) позволяет записать систему (3.2) в виде
а/2(20809)-1/301о —972(20809 )-2/3^pq 3(08 09 )-1011 —(208)-4/3 09~1/3012 V 1 0 —3(20809 )-2/3013 1
(3.3)
где c = sign08, однородные многочлены фю^,м) = — вм, Ф11(v, м) = 73v3 + 37(Y2 +2^7 — 2в 2)vm2 + в(4в2 — 3^7 + 372)мз, Ф12(v, м) = Y2v2 — 4в7^м +(4в2 + 972)м2,
013(v,м) = 72v2 + 2e7vM — (3а7 — 4в 2)м2- При этом имеем ф' 1(v, 1) = Y(Y2(v2 + 1) + 2(aY—в2)) > 0, поэтому 0i —единственный вещественный нуль 0ii(v, 1); Ф12 (v, м) > 0, поскольку имеет нули vi , 2 = (2в ± 37i)7-1м; 0i3(v,м) имеет нули vi , 2 = Ф±47-1М,
2i) ai =0 ^ Ф10 = 0 ^ v = в(27)-1М-
21) в = 0, тогда фю = 0 ^ ф8 = 0 (v = 0) и попадаем в случай 11.
22) в =0. При si = 27(|в|мФ1б)-1/2, Г2 = — (2в)1/3(|в|м)-1/2Ф1в1/6 (457 — 3в2 > 0)
замена L162 '< '< с учетом (3.1) приводит систему (3.3) к виду
7 ^0 —(в2 + 472)(2в ф1б)-2/3 (в2 + 472)Ф1б1 —(в2 +472)(2в)-4/3ф № ^ 1 0 (4aY — 7в 2)(2в Ф1б)-2/3 1
22°) С2 =0 ^ a = 7в2(47)-1. При si = 7|вГ3/2М-1/2, Г2 = —в]вГз/2м-1/2 имеем замену L1^22 '< '< с учетом (3.1) и получаем AffiF^2 '< '< с a = signв, u = —(в2 + 472)(2в)-2 < —1/4.
22ь) 4a7 — 7в2 = 0, тогда получаем NSF^2 '< '< с a = sign в, u = (в2 + 472)Ф-6\ v = ф1/3(2в )-2/3.
22) с1 =0 ^ ф11 =0 ^ v = м, где G R1 — V нуль 011(v, 1). Тогда система (3.3) при v = 01м — это NSF66, 2 '< ' < с a = sign080), u = 2(2ф8(Оф90)Г1/зфю(•), v = —(2ф8(^)ф10(•))1/36Ф21 2(<-1/3, (•) = 6(0 1м,м), так как v = 1 и фю(), Ф12О = 0. А приводящая к NSF6' '<'< замена '<'< — это L2' '<'< с v = 01м.
23) С2 =0 ^ Ф13 = 0 ^ v = ф±47-1м. Система (3.3) при si = 33/47(27)-3/2м-1/2, Г2 = ^31/4(2?м)-1/2 с помощью замены L12'2'<'< с учетом (3.1) принимает вид
±(фТ5Г1 -3(0±2 + 72)(2 ?)-2 3(0±2+72)(2?)-2 —((? Т л/З/5)2 + 372)(2?)-2 1 0 0 1
21) ai =0 ^ ф^5 = 0 (в = 0) ^ {signв = ±1, a = 7в2(47)-1} ^ попадаем в 22°).
23) ф^5 =0 ^ получена NSF26'2'<'< с a = ±1, u = ф^7-1, v = —3(ф±42 +72)(2?)-2.
24) a1,c1,c2 = 0 ^ ф10,фи,ф13 = 0, тогда (3.3) —это NSF2'2'<'< с a = signф8, u = 2(20809) —1/3Ф10, w = —972(2ф8фд)-2/3(v2 + м2) < 0, v = (208)2/зф-1/з > 0. □
В списке 1.1 имеются четыре NSFm>2><, у которых D может быть отрицателен. Покажем, что все они не являются CFm'2'< (см. [2, определение 1.10]). Утверждение 3.1. NSF^2'«, Л«^2'«, NSF^2'«
при всех допустимых
значениях параметров заменами (2.2)1 сводятся к предшествующей согласно СП SF-fi2, а NSif62'<'< сводится к SFc^2.
Доказательство. Приводимые ниже рассуждения подтверждены символьными вычислениями в [4, прил. 3.6.4, с. 155].
1) Любая замена (2.2)1 с u = — (cs5 + s2)(s2 — 2c2s2)(c2(2vs1 — s2)s2)-1 и г2 = (si — 2c2s2)(2csi — S2)-1r2 сводит NSFi622'<'<(a, u, c) именно к SFi6i2 при (u, c) G ps622'<'< = {v > 4-1/з, v = 1, 4u > c-3}, причем ¿rs = 0.
Равенство для u является квадратным уравнением относительно si и имеет корни s± = (2c3(1— u) — 1±ф'/2)(2c)-1s2 G R1, так как дискриминант 05(u) = 4v6u2—8v3(v3 — 1)u + (2v3 + 1)2 отрицателен. Кроме того, ф6 = v3(1 — u) — 1 + ф5/2 = 0 (^ ¿rs = 0).
В результате замена, в которой, например, г2 = (2v3(1 + u) + 1 — Ф'/2 )(2c3(1 — u) — 2 — 051/2)(6v(4c3 — 1))-1r2, s 1 = (2v3(1 — u) — 1 + ф51/2)(2c)-1s2, сводит NSF^2'«
к «К*2 = (^52 С?«2 ^^ . Теперь при г2 = (о^Г1/4, ^ = \«2г2 в2 0 с2г2 «2 0 )
(а2С;^)1/4/с2 с помощью замены Ь!!'^!^< получаем Л5'К11612|_< '< с а = а, м = а|(о|с|)1/2, V = Ъ|/с|.
Здесь следует иметь в виду, что в силу инвариантности степени общего множителя I и знаков дискриминантов Бо, Б (I = 2, Бо, Б < 0) должны выполняться трудно проверяемые из-за объема формул соотношения 02с2 > 0, с1 = а|с|/а|, = Ъ|с2/а|.
2) Любая замена (2.2)1 с в1 = («(м + V + 1) + д1/2)^ - 4м)-1в2, г2 = (3м« + V + д1/2)(8м - 3v + - 3v2 - g1/2)(2мv(3v + 4)^ + 2)(2м - V))-1 г1, где д(м) = 9v2м2 -2v(9v2 + 15v + 8)м + 9v2(1 + v)2, сводит Ж«^2 '< '< к «КЦ2. При этом д(м) > 0, так как р.^2'< '< = {v < -4/3, 4м > (м + v + 1)2}, а значит, дискриминант 27v3 + 72v2 + 60v + 16 многочлена д, имея нули -4/3, -2/3, -2/3, отрицателен.
3) Любая замена (2.2)1 с в1 = (v - v2 - 2м + д1/2)^)-1в2, г2 = (2м - v - д1/2)(2м +
3v - 3v2 + g1/2)(2мv2(3v -4))-1г1, где д(м) = 4м2 -4мv + 9v2(v - 1)2, сводит ЛЮК6;2 '< ' < 6 2 6 2 << << 2 15 к . При этом д(м) > 0, так как рв-^ ' ' = {V е [0, 4/3], 4м < -(V - 1)2}, а значит,
дискриминант -(9v2 - 18v + 8) многочлена д при v е [2/3, 4/3] отрицателен.
4) Любая замена (2.2)1 с в1 = -(м + v + ((м + v)2 - м)1/2)в2, г1 = -(м + v - ((м + v)2 - м)1/2)г2 сводит Л5Г\662 '< '< к «^3442, поскольку рв^2 '< '< = {v > 1/4, м < 0}. □
Рассмотрим '2 ' < ' < из списка 1.1. Непосредственной проверкой устанавлива-
ется, что Я«^2' < ' < является С^2522' < ' <, а для остальных форм рвт '2 ' < ' < = свт '2 ' < ' <.
Утверждение 3.2. Следующие формы из списка 1.1с указанными значениями параметров сводятся к предшествующим согласно СП структурным формам:
1) ЛГЗДР'^^сг.й,!;) с = {Ъ е (0,1), и € (ф? (у), ф?(у))} : а) при и = —2~5/3(3± л/5), V = 2~2/3 заменой ЬъУ^'<'< сводится к СК^2'*^ с а = и = —3; Ъ) при м = -5 заменой Ь3342!<1< сводится к СК^2! '< с ® = а, м =
2) ЛВК76 -2 -< -<(а, м, V) с рв? • 2 • < • < = {V = -м, 4V < -(м + 1)2)} :
о) при м = -1 заменой Ь2442!<-< сводится к СК^2^ - < с а = а, м = -021 (5);
b) при V = [ -3(м+1), м е (-1,11)У3(м+1)(м+2)-1, м е (-2, -1) ] заменой [Ь3|,2 -< - <V Ь4^22 -< - <] сводится к СК2522 -< - < с а = [а V-а], м = [-3(м+1)-1 V 3((м + 1)(м + 2))-1];
c) при V = ^з2(м), м е I*, заменой Ь36 - 2 -< - < сводится к - 2 -< - < с а = аsign(1—2м),
м = -(м3 - 3м2 + 6м + 1)(м2 - м + 1)-1((м2 - м + 7)(2м - 1))-1/3, V = (2м - 1)2/3(м2 -м + 7)-1/3;
3) ЛГ^^^й,«) с рз6^^ = {45 < -й2} :
a) при V = ф\о, л/Ъй £ заменой Ь2222,<,< сводится к СК^2'*^ с а = ±ст, и =
ф^й-2] ^
b) при V = 3(м2 + 5)(м2 + 1)(2(м2 — 3)) 1, м (Е (—л/3, л/3) заменой Ь26' '<г< сводится
к NSF66' 2 -<-< c а = -a signU, u = -(U2 + 5)Й2/3(2(Й2 + 1)(U2 + 9))-1/3,6« = (2Й)2/3(Й2 +
9)-V3;
4) с ps7/'^ = {v G (0,1) U (1, v7!),^ -5(5-iT2), 4w <
-(U+ 5)2}:
а) при U = —v, заменой L4342!<1' < —к CF^2^' < с a = a, u = b|(—-w, v, гу) / c|(— v, v, wy); b1) при v = [7-1/3 V 02(й)], г- = [3(7-1/3u + 7-2/3) V (u + 02(й))(02(u) - 2U)], U G [13 V /4], заменой [¿в|22'< '< V L7522 '< '<] сводится к CF^2 '< '< с a = [-a V signu], u = [3(71/3Й + 1)-1 V (2u - 02(u))(u + 02(й))-1 ];
б2) при и = <—46VФЩ, й = [36(46 + 0-5)/2У3(6ф±5 -26 -1)], 6 е [(0, (2/7)2/3) V] заменой [Ь822 '<'< VL922 '<'<] сводится к СТ22 '<'< с а = [—аVта], и = [(4+ф256-1)/6V (4 — 63 )(62ф± — 2)-1];
6 2 << << 6 2 << << с) при й = ф33(и,6 ) заменой Ь46' ' ' сводитсяк ' ' с а = а sign((2U—6 )ф24),
и = (6(2и — 6 )-1Ф-б1)1/3Фз4, 6 = —(6 (2и — 6 )2Ф-б1)1/3; б2 б2
при [и = фЩ V 6 = 02(и) = 22/3] заменой [Ь26' '<'< V Ь37' '<'<] сводится к ЖЙ^6'2'« с а = [та Vаsign(u — 2-1/3)], и = [—(6 й — 36 2ф25 +6)(6й)-1 V —(й + 2и2 + 02(и)и — 02(и))й-1 ], 6 = [3(4 — 63)(6 й)-1 V —( Ф24(и, 02(и))й + Ф35)(Ф22(и , 02(и))й)-1]; е1) при ф27 > 0, и = 6 /2 заменой Ь2!'12!<:!< сводится к №5,Т1612]_< '< с а = а,
и = а|(Й|С2)-1/2, 6 = вд; б 2 б 2 ' б 2
е2) при [и = 6 /2 V 6 = 03(и)] заменой [Ь36 1 < V Ь46 1 +<<] сводится к ЖЙТ^ '<
с а = а, и = [—3(46 — 64)1/2(4й)-1 V —ф3/2ф31], 6 = [(4 — 63)(46й)-1 V ф36].
Доказательство. Рассуждения, приводимые ниже в пп. 1-3, подтверждены символьными вычислениями в [4, прил. 3.6.5, с. 161], а в п. 4 — в [4, прил. 3.6.6, с. 172].
1) ЛГ5^66'2'<'<(ст,й,6) в случае а) заменой с Г1 = -21/3г2, в! = 2~2/3(3 ± л/5)в2 сводится к ЙК^2, в Ь) заменой с Г1 = —6 -1/2Г2, в2 = 6 1/2 в 1 сводится к ЙТ^2;
6 2 < < 1/2 1/2
2) ' '< '<(а, и, 6 ) в а) заменой с г1 = (6 ± ф^ )г2/3, в1 = (6 т Ф1/ )в2/3
сводится к 5Т3442, в Ь) заменой с г1 = [ (и + 2)и-1г2 V —(и + 2)-1г2 ], в1 = [ —ив2/2 V (и + 3)в2 ] сводится к ЙК^2, в с) заменой с Г1 = —(и2 — 2и + 3)(2и — 1)-1Г2, в1 = ив2 сводится к ' 2;
3) N8 , й, 6) в а) заменой с = — (2й =р \/3)в2, г2 = —(2 =р л/Зй)й~1Г1
■ , +
сводится к 5^2 , в Ь) заменой с Г1 = —(и2 + 3)(2и)-1Г2, в1 = ив2 сводится к 5Т6' 4) Подробнее рассмотрим получение предшествующих форм из
, 2 , < , < - и й и6 -1 — 6(и6 + й) и + й6-1\ ~~_1
т» ТУ-1 -1—1 7 2 < < .v Ч НУ (Л> С I/ СКУ и_/ / С*< и_/ С I /„. Л /
' = 0 6-1 — 62 \ ) (и + й6-1 =0).
а) При и = —6, й = (362в1 +2(63 — 1)в1в2 —6(63+2)в2)(6 в2(2в1 —6 в2))-1 №5Т27 ' 2 '< ' < любой заменой (2.2)1 с Г1 = (6 2в1 — 2в2)(6(2в1 — 6в2))-1Г2 сводится к 5Т342. Равенство для й является квадратным уравнением относительно в1 и имеет вещественные корни = (6й — 63 + 1 ± Ф1/2)6 -2в2/3, поскольку ф22 = (6й + 1)2 + 63(463 — 56й + 4) > 0, так как й < 0. Кроме того, Ф23 =0 ^ 2в1 — 6 в2 = 0.
Замена с Г1 = 6 (й6 — 6 3 — 5 — ф^^ф-1^, в1 = (й6 — 6 3 + 1 — ф1/2)6 -2в2/3 сводит
Ж5Т27 • 2 • < • < к 5Т3442 =(. _ ° 3 -1 ь1(—6 ,6:й)г2 в2 _ _ 0
a2(—6 , v,w)r3 s- 0 c2(—v , v,w)r2 s2 0
Выбор нормировки и связанные с ней вопросы приведены в утверждении 3.1, п. 1.
В b1) NSi52'2 '< '< заменой с г5 = [—7-1/3r2 V ur2], [s2 =0 V s5 = (02(u) — u)s2] сводится к SF22 .
В b2) NSF22 ' 2 '< ' < заменой с ri = [7r2/2 V 0^2], si = [ф-5s2 V сводится
к SF^22; случай u = —4v, w = 37(4v + ф+)/2 невозможен, так как в нем D > 0.
В c) NSF22 '2 '< '< заменой с ri = — (2u7 2 — u2v — 3)(v(v — 2u))-1 Г2, si = us2 сводится к SF6 '2. При этом Ф26 = 0, так как является нормировочным множителем.
В d) NSF22 '2 '< '< заменой с ri = [ф^5Г2 V ur2], si = [0±5s2 V (02(u) — u)s2] сводится к SF7'2; если 2u = 02(u) ^ u = 2-1/з, то ¿rs = 0, при этом sign (u — 2-1/з) = sign ((2u —
02(u))0-91(u,02(u))).
e1) При w = (7 (v — 2u)s' + (7з — u7 2 — 2)s5s2 + 7 (uv2 — 2)s2)(vs5(2s5 — vs2))-1 NSF^' '< '< любой заменой (2.2)1 с г5 = (7 2s5 — 2s2)(v (2s5 — vs2))-1 r2 сводится к SFii . Равенство для w является квадратным уравнением относительно si и имеет
вещественные корни = (26 й — 63 + и6 2 + 2 ± Ф1/2)(26(6 — 2и)) 1в2 при Ф27 > 0 и и = 6 /2. Кроме того, Ф28 = 0 ^ 2в1 — 6 в2 =0. В результате замена, например, с г1 = (26 2й — 64 + и63 — 26 + 8и — 6 ф1/2)(2ф28)-1г2, в1 = (26й — 63 + и62 +2 — ф1/2)(26 (6 — 2и))-1^ сводит 2 ,< , < к 5т6 , 2 = ( а^г2 6^Г2в2 г^2 ¿[г-153\ И далее
2и)) в2 сводит л^ к = ^а|г3в-1 0 С2Г2^2 0 УИдaлее, как в утверждении 3.1, п. 1.
В е2) №5Т627'2'<'< заменой с г1 = [6 г2/2 V иг2], [в2 =0 V в1 = (203(и) — и)в2/3] сводится к 5^1 . При этом ф30 > 0, так как является нормировочным множителем.
Наконец, №5Т2',2'<'< может сводиться к предшествующим % = 12,16)
из списка 1.1, а те, в свою очередь, сводятся к 5Т1612 или ЙК^2 (см. утверждение 3.1). Но все «прямые» замены к N5Fl612|[<:'< и ЖЙТ^2^^ уже найдены выше. □
Полученные результаты позволяют в случае I = 2, Бо < 0, Б < 0 выписать все канонические формы со своими каноническими множествами.
Список 3.1. Шесть СТ™'2'<'< и их св™'2'<'< (а = ±1, и, 6, й = 0).
= ^ 0 +1 0) ' 22 = ^ 0 0 1
С^66,2,<,< = (и и(«-2 - «) 0 ии-3\ с^6'2><>< = а^и V -V и + V
6 -"I 1 0 v-1 - v2 1 у " V1 0 0 1
/и v U v\ „ЛТ,2,<,< W UV-1 - v(uv + w) U + WV-
Cfn 11 — <7 , , _ , CF2 — а 1
11-+1 0 1 oy ~ \1 0 v-1 - v2 1
c^+V = {« < 0}, c42'<'< = {« < -1/4},
csf'2l<1< = {v G (0, 1), и G M, («)), « Ф -v, («,«) Ф ("2-5/3(3 ± V5), 2~2/3)}, cs2'2'<'< = {4v < —(u + 1)2, u = —1, v = —u, —3(u + 1), 3(u + 1)(u + 2)-1, 032(u)}, csl^yy = {4v < -u2, v ф ^o(u), 3(w2 + 5)(w2 + l)(2(w2 - 3))"1}, cs!2''2'<'< = {v G (0, ^4), v ф 1, —u, 2u, 6s(u), w ф —uv, —u(v — v~2), V>33(w, v), 4w < — (u + v)2, 022(u,v,w) < 0, (u,w) = ([—4v V 0l5(v)], [3v(4v + 0-5(v))/2 V 3(v0±5(v) — 2v-1)]), (v, w) = ([7-1/з V 02(u)], [3(7-1/3u + 7-2/з) V (u + 02(u))(02(u) — 2u)])}.
Теорема 3.1. Любая система (2.1)1 с l = 2, записанная в виде (1.1<) согласно (2.15)1 и имеющая D < 0, линейно эквивалентна системе, порожденной неким представителем соответствующей канонической формы из списка 3.1. Ниже для каждой CFim'2'<'< приведены: а) условия на коэффициенты системы (1.1<); b) замены (2.2)1, преобразующие правую часть системы (1.1<) при указанных условиях в выбранную форму; с) получаемые при этом значения a и параметров из csm'2'<'< :
A. CF342+5'< : 1a) v = 0, в = 0, 1Ь) J32, L1342+<i'<, 1c) a = 1, u = 727-2; 2a) v = 01м, ф82(-)ф9(-)) = 2ф20(^)ф12(^), где (•) ='(01м,м), 2Ь) J2, L16'2'<'<, 2c) a = sign 08(•), u = 019(7), где 7 = — (2ф8«Фю(-))1,/3Ф-21/3(^);
3a) v = -1м, 015 = —7, 3Ь) J3, L12' ' < ' <, L234i+<1'<, 3c) a = ±1, u = 02i(7), где
7 = —3(0±42 + Y2)(2?T2;
4a) v = 0, в, 4в2 — 3a7, 4в2 — 3aY + 3Y2 =0, 4b) J32, L12'2'<'<, L4442+5'<, 4c) a = sign в, u = b 2(—v ,v ,w)/c2(—7,7, w), где v = (208)2/30-1/3, w = —972(20809)-2/3(v2 + м2);
B. CF2522'<'< : 1a) v = в(^^V, в = 0, a = 7в2(47)-1, 1Ь) J2, L1222'<'<, lc) a = sign¡3, и=-ф2 + 472)(2/3)-2;
2a) ^ = 27/30ю(-) = -(3 ± ^5)(08(-)Ф9(-))1/3, V-iaCO = -808(-)V>io(-) ((•) = (01м, м)), 2Ь) J32, L16'2'<'<, L5222'<'<, 2c) a = Tsign 0s(-), u = —3;
1
За) V = ^±47-1М, ^?5?-1 = [ -3(й+1), и е (-1,11) V 3(и + 1)(и + 2)-1, и е (-2,-1)],
где 5 = -3(^±42 + 72)(27)-2, Зь) 72, Ы6'2'<'<, [Ь3222'<'< V !4®22'<'<], Зс) а = [±1 Vт1], и = [-3(7 + I)"1 V 3((й + 1)(й + 2))"1];
4а) ^ = >3 ^ 0, -ф2 + 72)Г2 = ^о(й)> й = -2/ЗГ1, ^37 € 1?,
4ь) 4, Ы6^^, Ь2%$'<'<, 4С) <т = ±1, и = -2РЯ-1,
5а) = РфО, &ф 7у82(47)-1, = да), ^Зй € и = аЦа^)1/2,
и = а^(а|с2)1/2, V = Ь 1/с2, Бь) 732, Ь1?22'<'<, Ь2222'<'<, 5С) а = ±sign/3, и =
#0(и)и-2;
6а) V = -в7-1М, 01М, ^7-1М, в(27)-1 М, [7-1/3 V 02(и)] = (2^)2/3^-1/3, [3(7-1/3и + 7-2/3) V (02(и) - 2и)(и + 02(и))] = -972(2^в^д)-2/>2 + м2), и = 2(2^9)-1/3^ю е [13 V 14], 6Ь) Ь12'2'<'< [Ь6|22'<'< V Ь7522'<'<], 6с) а = [^пV signи], и = [3(71/3и + 1)-1 V (2и - 02(й))(й + 02(й))-1];
7а) V = -в7-1М, 01М, ^7-1М, в(27)-1 М, [-45 V ^5] = 2(2^9)-1/3^10, [3Й(4Й +
^-5)^3(^222,-23-1)] = -972(2^9)-2/>2 +м2), V = (2^)2/3^-1/3 е [(0, (2/7)2/3)V 1±], 7Ь) 7з2, ы2'2'<'<, [ЬВ522'<'< V Ь9522'<'<], 7с) а = [-sign^ V ^п^8], и = [(4 + ^957-1)/6 V (4 - 73)(72^2±5 - 2)-1];
С. С^6'2'<'< : 1а) V = 01М, ^(А2а,В2а), 1ь) Ь16'2'<'<, 1с) а = sign^(■),
и = 2(2^8(-)^9(-))-1/3^ю(-), V = -(2^(0^10(-))1/3^-21/3(-), (■) = (01М, М);
2а) V = ^±47-1М, -3(^±42 + 72)(27)-2 = ^32(и), и = ^5?-1 е Д, П(В3а), 2Ь) 732, Ь1?'2'<'<, Ь36'2'<'<, 2с) а = ±sign(1 - 2и), и = -(и3 - 3и2 + 6и + 1)(и2 - и + 1)-1((и2 - и + 7)(2и - 1))-1/3, V = (2и - 1)2/3(и2 - и + 7)-1/3; За) V = ~ЬТV, РФ 0, -2 (/З2 + 72)?~2 = 3(й2 + 5)(й2 + 1)(72 - З)"1, й = -2/3?-1 € (->/3, л/3), П(В4а), Зь) ^Ь^2!^^'2'^, Зс) а = -вщпй, 2и = -(72 + 5)(72 + 1)-1/Ч V = (2и)2/3(и2 + 9)-1/3;'
4а) ^ = Ю)-^, Р Ф 0, а ф 7^(47)-!, ЬЦЩ = 3(72 + 5)(й2 + 1)(2(й2 - 3))-\ и = а^а€ (-л/3, л/3), й = (^2 + « = (2^)"2/3, П(В5а), 4Ь)
732, Ь1622'<'<, ¿1б1\<1<, Ь26'2'<'<, 4с) а = ^Ц/Зи), 2и = -(и2 + 5)(и2 + 1)-1/3v, V =
(2и)2/3 (и2 +9)-1/3;
Ба) V = -,07-1М, 01М, ^±47-1М, |в(27)-1М, -972(2^9)-2/>2 + м2) = ^33(й,З), и = 2(2^#9)-1/3^10, V = (2^8)2/3^--1/3, П(А4а, В6а, В7а), БЬ) 72, Ь17'2'<'<, Ь46'2'<'<, Бс) а = sign((2u - V)^8^24), и = (З(2й - 7)-1^-61)1/3^34, V = -(З(2й - V)2^-61)1/3;
В. С^76'2'<'< : 1а) V = ^±47-1М, ^25 = 0, -5, П(В3а,С2а), 1Ь) Ь1?'2'<'<, 1с) а = ±1, и = ^55-1, V = -3(^±42 + 72)(27)-2;
2а) V = -в?7-1м, 01М, ^±47-1М, /З(27)-1М, [и = ^2т5 V V = 02(и) = 22/3], и =
2(2^#9)-1/3^10, V = (2^8)2/3^--1/3, *5 = -972(2^8^9)-2/3(v2+М2),П(A4a, В6а, В7а, С Ба), 2Ь) 72, Ь12'2'<'<, [Ь26'2'<'< V Ь3?'2'<'<], 2с) а = [Т^п^8 V sign((U - 2-1/3)^)], и = [-(5гЗ - 372^±5 + 6)(7г5)-1 V-(гo + 2u2 + 02(и)и - 02(и))г«-1 ], V = [3(4 - V3)(7гo)-1 V (^24(и, 02(и))гй + ^35];
Е. С^1612;1'< : 1а) V = -в7-1М, 7 = 0, ^(В4а,С3а), 1ь) ы612+<1<, 1с) а = 1,
и = -2/37-1, V = -(,в2 + 72)?-2;
2а) V = /3(27)-1М, 7 = 0, а = 7/32(47)-1, ^(ВБа,С4а), 2Ь) Ь1?22'<'<, Ь1?!2+<1'<, 2с) а = ^п/?, и = а|(а|с|)1/2, V = Ь|/с|, где и = (/З2 +472)^-61, V = ^1/3(2/3)-2/3; 3а) V = -/37-1м, 01М, ^±47-1М, ,7(27)-1М, [и = 7/2, ^27 > 0 V и = 7/2 V V = 03(и)], где и = 2(2^8^9)-1/3^10, V = (2^)2/3^-1/3, ь, = -972(2^)-2/3(v2+м2), П(А4а, В6а,
F. CF27'2'<'<:
a) v = —/3Y-1", #1", V^V-1", в(27)-1 ",
E3a), b) J32, Ll2'2'<'<, c) a
B7a,C5a,D2a), 3b) J32, Ll2'2'<'<, [L2?i2+<1'< V V 3C) a = signu =
[a|(a|C|)-1/2 V —3(4v - v 4)1/2(4W)-1 V —ф!/2ф31 ], v = [b |/C| V (4 - v 3)(4VW)-1 V ф36];
" 2 ± «(2Y)-1 ' ^(A4a,B6a,B7a,C5a,D2a,
aj: "J ^3 j и j-2 ! w " — "б" — vhjj 17 — (2фв)2/3фд , w =
—9Y2(v2 + "2)(2фвф9)-2/3.
Здесь запись п(...) означает, что не выполняются условия, указанные в скобках. Доказательство теоремы вытекает из леммы 3.1 и утверждений 3.1, 3.2. 4. Выделение mcsm,2,<. Продемонстрируем теперь линейные неособые замены, которые для CF из списка 1.1 позволят выделить минимальные канонические множества (см. [2, определение 1.11]).
Утверждение 4.1. Только для следующих CFm '2 '< из списков 2.1 и 3.1 удается
m 2 <
ограничить значения параметров в cs' '2 '<, а именно:
1) в CFg '+ 1< при a = a, u = u замена с r1, s2 =0, s1 ,r2 = |u|—1/2 дает a = a sign u,
1
2) в CF342!< нормировка (2.6)1 с r1, — s2 = 1 изменяет знак a; при u = u замена
с S1,r2 = lu
: , +
= lul 1 /2 _ r1, s2 =0 дает u = u-1 без изменения a;
3) в при a = a, u = u замена с r1, s2 = 0
S1 = v1/21 u | 1 / 2,
6 , 2 , < , >
дает a = a sign u, u = u-1 без изменения v; 4) в CF^' 2 '<' = (u = 1) при v = v > 1/2 .замена с r1 = s2 = (4v — l)-1 дает v = V(4V — l)-1 < 1/2 (v > 1/4);
(u = 1) при V = v < 0 нормировка с r1, — s2 (u < 0) при a = a, u = u < — 1 замена с r1, s2 =
Г2 = v-1/21 u | 1/2
1, S1 = (2V — 1)s2, Г2
0,
5) в CF46;^1<'=
6) в CF66 - 2 - < - <
Г2 = v S1 дает a = —a, u = u 1v2 > —1;
1 дает v = — v ;
0, S1 = (—u)-1/2,
7) в CF^ ' 2 ' < ' < (v < 0) при a = a, u = u, V = v< —3 замена с Г1 = —(2v + 3u)g, S1 = (v + 3)g, Г2 = — S1, S2 = —(V + 3u — 3)g, где g = (—v(v2 + 3uv + 3(u2 — u + 1)))-1/2, дает u = —(3u + V + 3)v-1, v = 9V-1 > —3 без изменения a;
8) в CF-
6 2 < <
11 ,+1
(v
< 0) при а = а, и = и < 0, 5 = V нормировка с Г1, — в2 = 1 дает а = —а, и = —и > 0 без изменения V; при а = а, и = и, V = V < —1 замена с гь в2 = ид, в! = — Г2, Г2 = (V + 1)д, где д = (—V (и2 + (5 + 1)2))-1/2, дает и = — ий-1, V = 5-1 > —1 без изменения а.
Следствие 4.1. Согласно определению 1.12 из [2] имеем:
s4,2 , < ,> s8 , + 1 s6 , 2 , < , > =
s6 , 2 , < , < = s6
{|u| > 1} acs342+i'>
{a = —1, u > 1},
s4, 2 , < , < s34 , + 1
{a = —1, u < —1},
= {|u| > 1}, acs3'2'<'= = {v > 1/2}, acs6;+'<'= = {v < 0}, = {u <—1},
s?'2'<'< =
= {v < —3}, асв6'12+1'< = {u < 0, v < —1};
для остальных канонических форм из списка 2.1 тсвт'2'<'* = свт'2'<'*.
5. Канонические формы и канонические множества при I = 2. Приведем единый список канонических форм и канонических множеств для случая I = 2. Они получены в работе [3] и в данной статье.
Список 5.1. Двадцать две С^™'2--------т'2
CF
2,2, = ,^
CF
CF
3,2, = ,< _
cf8
8,к
0 1 0 1 и 0 0 1
0 0 к 0 0 0 ки 0
CF
4
: а
CF3
CF3
4,2,>,> C F 14,-1 :
и их cs4 0 и 0 u 0 0 0 0 0
системы (2.1)1 при l 00
= а
= а
а
u
1
0 0 0 1 1 0 -1
CF2
■3,2,>,>
3,2,> 16 = 1
CF2432,>
2 (a, к = 0к0 10 0 0u1 001 01u0 0100 0 u v 0 0110
±1). 0 0 0 0
а
а
=а
а
а
ск
,4,2,<,;
34,+ 1
ск16,2,<,:
СК46;_+1<':
СК76,2,<''
0 и 0 10+1
; СК
7
0
и 0 01
>СК2Б22'< = а( 1
и —и 00
СК
3
ск
6
СК
7,2,<,<
ее ее ее
2,2, = ,> _
и и то 0
0 11 V
и V и V
0 10+1
и V —V и + V
1 0 0 1
и ад ии-1 — и(ии + ад)
1 0 V-1 — V2
2,2, = ,= _
6,2,<,= _
6,2,<,< СК11,+ 1
и + ади 1
и 0 и 1
: а
1
и(1 — V) 0 — ии2
1 1 V
и(и-2 — V) 0
0 V-1 —
и +1
2,2,>,>
7,к
3,2,
в4 ее
ее
2,2,>,>
1}; е5?02,>,>
= {и =1}, ' = {« =1},
= {и = 1}, csз, , , = {и = 1}; ее
,2,=,> = {к =1}, = {к = -1};
32=,> = {и = ±1}, е83,23= = г{и:
е«12, , ={и < -1/4}; ^^ , ={и = 1};
3,2,>,> г . / 132,>,= г 1 /л1 3,2,>,<
ев16 = {и> ев16 = {и = -1/4} ев16
4,2,>,> 4,2,<,> 4,2,<
2,2,>,=
в8,к
{и = 1} ев302,>,:
2,2,>,<
= {и = 1}; = {к = -1};
{и = 1};
{и < -1/4};
ее
ев9
{и = ±1} е«8,+'Г ={и =1}, ев8,+г ={и =1};
-Т = {и = -1, -2, -3}; 232,>,> = {и =1, V > -(1 - и)2/4, V = и, (2и - 1)/4, и(2 - и)/4},
8,-1 „4,2,>,> = ь14,- 1
ее ее
ее
{и = -1, V = -(1-и)2/4}, е«432,>,<5
{и < 0}; ев^'
,2,>,= 3
,2,<,> 4,2,<,<
34,+1 = {и > 0, и = 1} ев34,+1 =
ев522,<,> = {и >-1/4, и = 3/2, 6,4 ±
22,<,< = {и <-1/4};
2,<,> 2
5,2,<,
{V < -(1 - и)2/4}; с,> = {и = ±1, 3}, cs7,' = {и = -1/4},
Св,' ' = {и Ф ±1, V
= {и = 1, г; >1/4, V ф 1/ЗД, (49 + 7л/46)/6}; св64'2У'= = {и = 1,
>1/4, V ф ф((и),ф2(и),ф3(и)};
ев
в3
6,2,<,<
6,2,<,<
6,2,<,<
4, + 1
= {V е (0, 1), и е (V), ^Н), и = -V, (и, V) = (-2-5/3(3 ±
в11,+1 „7,2,<,<
= {4v < -(и + 1)2, и = -1, V = -и, -3(и + 1), 3(и + 1)(и + 2) ^ < -и2, V = #0(и), 3(и2 + Б)(и2 + 1)(2(и2 - 3))-1};
1
= {и =1};
И<1};
о, 2-2/3)};
^32(и)};
{V е (0,
V = 1, -и, 2и, 03(и), ь = --u(v - V 2), ^33(и, V), 4ь <
-(и + V)2, "027(и, V, ь) < 0, (и,ь) = ([-4v V ^е»], ^^ + ^25^))/2 V 3(^2» -2v-1)]), (V, ь) = ([7-1/3 V 02(и)], [3(7-1/3и + 7-2/3) V (и + 02(и))(02(и) - 2и)])}.
Дополнение. Продолжая обсуждение, начатое в [1, разд. 1.5], остановимся подробнее на подходах к выбору невозмущенной части двумерных систем, которая в первую очередь подлежит классификации и соответствующей нормализации.
В предлагаемом цикле работ выбор очевиден: классификации и нормализации подлежит однородный кубический многочлен, чьи канонические формы затем используются в качестве невозмущенных частей для нормализации возмущений.
Столь же очевидна необходимость классификации и нормализации однородных квадратичных многочленов в двумерных системах, разложение правых частей которых начинается со второго порядка. Такая классификация впервые была получена К. С. Сибирским в [5] и затем заново разработана на иных принципах упорядочивания в работах В. В. Басова с соавторами (см. библиогр. в [1]).
А для двумерных систем ж = Аж + X (ж) с нильпотентной матрицей А в невозмущенной части нормализацию одним из первых осуществил Ф. Такенс в работе [6]. Полученная им обобщенная нормальная форма (ОНФ) имеет вид у/1 = /2, 2/2 = у1/(у1) + /2д(у1) и эквивалентна ОНФ
2/1 = /2 + 21д(/1), у/2 = /1/(21) + /25(21),
(*)
и —и
= а
1
= а
-3
=а
=а
1
а
а
2
где f = 2aiy1, g = ^fc=v вкУк = О, m, v > 1). Эта система является
одним из частных случаев неполной НФ Белицкого и получена Г. Р. Белицким в [7].
Интересно, что А. Байдер и Я. Сандерс в работе [8] использовали именно ОНФ (*) для создания полной формальной классификации ростков аналитических векторных полей в R2 с нильпотентной линейной частью, основанной на соотношении чисел m и v. Назвав (*) нормальной формой первого порядка, в случаях, когда m = 2v, они определили и получили НФ второго, третьего и далее вплоть до бесконечного порядка, обрывая этот процесс в момент прекращения упрощений и получения в определенном смысле единственной НФ. В дальнейшем Х. Кокубу, Х. Ока и Д. Ванг в работе [9] для неисследованного случая m = 2, v =1 нашли единственную НФ второго порядка У 1 = У2, У2 = «2У1 + в 1У 1 У2 + У1 S fc=3 y i, но при условии, что отношение «2/в 2 не является алгебраическим числом.
Следует отметить, что единственность НФ, фактически, означает выделение простейшей НФ в определенном базисе. Поэтому предложенные в [8, 9] методы не позволяют выделять все структуры нормальных форм, как это происходит при нахождении ОНФ методом резонансных уравнений и наборов, изложенном в [^разд. 1.З].
Литература
1. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61), вып. 2. С. 181—195. DOI:10.21638/11701/spbu01.2016.201
2. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61), вып.3. С. 355—371. DOI:10.21638/11701/spbu01.2016.302
3. Басов В. В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — III // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62), вып. 2. С. 179-192. D0I:10.21638/11701/spbu01.2017.201
4. Басов В. В., Чермных А. С. Канонические формы двумерных однородных кубических систем с квадратичным общим множителем // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2016. №3. С. 66-190. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/basovch.pdf (дата обращения: 28.04.2017).
5. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев: Изд-во Штиинца, 1982. 168 с.
6. Takens F. Singularities of vector fields // IHES. 1974. Vol.43, N2. P. 47-100.
7. Белицкий Г. Р. Нормальные формы формальных рядов и ростков C^-отображений относительно действия группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, №4. С. 855-868.
8. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form //J. Differential Equations. 1992. Vol.99, issue2. P. 205-244. https://doi.org/10.1016/0022-0396(92)90022-F
9. Kokubu H., Oka H., Wang D. Linear grading function and further redaction of normal forms // J. Differential Equations. 1996. Vol.132, issue2. P. 293-318. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0181
Статья поступила в редакцию 13 февраля 2017 г.; рекомендована в печать 30 марта 2017 г.
Сведения об авторах
Басов Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент; vlvlbasov@rambler.ru
Чермных Александр Сергеевич — магистрант; achermnykh@yandex.ru
TWO-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS CUBIC SYSTEMS: CLASSIFICATION AND NORMAL FORMS — IV
Vladimir V. Basov, Aleksander S. Chermnykh
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; vlvlbasov@rambler.ru, achermnykh@yandex.ru
This article is the fourth in a series of works devoted to two-dimensional cubic homogeneous systems. It considers the case where homogeneous polynomial vector on the right-hand part of the system has a square common factor with complex zeros. The set of such systems is divided into classes of linear equivalence, in each of them on the basis of properly introduced structural and normalization principles the simplest system is distinguished and is the normal form of the third order. In fact, the normal form is defined by the coefficient matrix of the right-hand part, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of nonzero elements, their specific normalization and canonical set of permissible values for the non-normalized elements, which relates CF to the selected class of equivalence. In addition, for each CF, (a) the conditions on the coefficients of the initial system, (b) non-singular linear substitution reducing the right-hand part of the system under these conditions to the selected CF, and (c) obtained values of CF's non-normalized elements are given. Refs 9.
Keywords: homogeneous cubic system, normal form, canonical form.
References
1. Basov V. V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: Classification and normal forms. I", Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 49, issue2, 99-110 (2016). D01:10.3103/S1063454116020023
2. Basov V. V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: Classification and normal forms. II", Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 49, issue3, 204-218 (2016). D0I:10.3103/S1063454116030031
3. Basov V. V., Chermnykh A.S., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms: III", Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 50, issue 1, 97-110 (2017). D0I:10.3103 /S1063454117020029
4. Basov V. V., Chermnykh A. S., "Canonical Forms of Two-dimensional Homogeneous Cubic Systems with a Common Square Factor", Differential Equations and Control Processes (3), 66-190 (2016) [in Russian]. Available at http://www.math.spbu.ru/diffjournal/EN/numbers/2016.3/article.1.7.html) (accessed 28.04.2017).
5. Sibirskii K. S., An introduction to the algebraic theory of invariants of differential equations (Shtiintsa Publ., Kishinev, 1982, 168p.) [in Russian].
6. Takens F., "Singularities of vector fields", IHES 43(2), 47-100 (1974).
7. Belickii G.R., "Normal forms for formal series and germs of CTO-mappings with respect to the action of a group", Mathematics of the USSR-Izvestiya 40(4), 855-868 (1976).
8. Baider A., Sanders J., "Further reduction of the Takens—Bogdanov normal form", J. Differential Equations 99, issue2, 205-244 (1992). https://doi.org/10.1016/0022-0396(92)90022-F
9. Kokubu H., Oka H., Wang D., "Linear grading function and further redaction of normal forms", J. Differential Equations 132, issue2, 293-318 (1996). https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0181
Для цитирования: Басов В. В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — IV // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 3. С. 370-386. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.302
For citation: Basov V. V., Chermnykh A. S. Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — IV. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 3, pp. 370-386. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.302
