CC BY
38
УДК 539.3
Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к оценке справедливости постулата изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений
П.В. Трусов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия
Рассмотрены вопросы, связанные с применением многоуровневых моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, построенных на базе физических теорий пластичности, для проверки и обоснования постулата изотропии Ильюшина (в частной форме) в случае больших градиентов перемещений. В частности, рассматриваются различные подходы к разложению движения на макроуровне на квазитвердое (описываемое движением жесткой подвижной системы координат) и деформационное (относительно подвижной системы координат), вводится определение траектории деформации в терминах подвижной системы координат и устанавливаются соответствующие кинематические воздействия в терминах лабораторной системы координат. При этом построение образа процесса нагружения и задание нагружения производились в терминах подвижной системы координат. Произведены расчеты по двум типам траекторий различной степени кривизны в случае принятия различных гипотез о квазитвердом движении на макроуровне: 1) спин подвижной системы координат равен осредненному спину мезоуровня, 2) спин равен вихрю макроуровня. Показано, что точность выполнения постулата изотропии выше в случае принятия первой гипотезы.
Ключевые слова: поликристалл, многоуровневые модели, траектория деформации, большие градиенты перемещений, разложение движения, образ процесса нагружения, постулат изотропии Ильюшина
Two-scale models of polycrystals: evaluation of validity of Ilyushin's isotropy postulate at high displacement gradients
P.V. Trusov, P.S. Volegov, and A.Yu. Yanz
Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990 Russia
This paper discusses multiscale models of inelastic deformation of single- and polycrystals, which are based on the crystal plasticity theories, as applied to the verification and justification of Ilyushin's isotropy postulate (in a special form) at high displacement gradients. Different approaches to motion decomposition on the macroscale into quasi-rigid (described by motion of a rigid moving coordinate system) and strain-induced motion (a relatively moving coordinate system) are considered. The strain path is defined in terms of a moving coordinate system. Corresponding kinematic effects are defined in terms of a laboratory coordinate system. In this case, the loading process image is constructed and loading conditions are specified in terms of a moving coordinate system. Calculations are performed for two types of strain paths with different curvature for different hypotheses about quasi-rigid motion on the macroscale. The two hypotheses imply that: (i) the spin of a moving coordinate system is equal to an averaged mesoscale spin, and (ii) the spin is equal to the macroscale vortex. The accuracy of the isotropy postulate is higher in the case of the first hypothesis.
Keywords: polycrystal, multiscale models, strain path, high displacement gradients, motion decomposition, loading process image, Ilyushin's isotropy postulate
1. Введение
При анализе процессов неупругого деформирования в теории пластичности широко используется понятие образа процесса нагружения, введенное A.A. Ильюшиным [1, 2]. Образ процесса позволяет наглядно предста-
вить и оценить эффекты сложного нагружения представительного макрообъема (макрообразца), получить количественные оценки запаздывания векторных и изменения скалярных свойств для различных точек тела при произвольном сложном нагружении реальных дета-
© Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю., 2015
лей и конструкций. Известные авторам эксперименты на сложное нагружение (двухзвенные траектории с изломом) тонкостенных трубчатых образцов, нацеленные на проверку постулата изотропии, ограничены малыми полными деформациями (на сдвиг не более 5 %) [3-6], в связи с чем в настоящее время не имеется экспериментальных данных, подтверждающих или опровергающих выполнение постулата изотропии в частной форме при больших градиентах перемещений. В настоящей работе рассматриваются вопросы, связанные с возможностью проверки данного постулата при больших деформациях с помощью численного эксперимента.
Следует отметить, что постановка такого эксперимента в случае больших градиентов перемещений связана с некоторыми сложностями, а именно — с потребностью введения подвижной системы координат, связанной с материалом. Необходимость введения такой системы координат обусловлена, во-первых, тем, что образ процесса должен описывать свойства исследуемого материала и поэтому должен рассматриваться в системе координат, связанной с деформируемым материалом; во-вторых, требованием выполнения принципа независимости образа процесса от наложенного жесткого движения [7]. В связи с этим построение образа процесса нагружения и проверку постулата изотропии необходимо проводить в подвижной системе координат, отвечающей за квазитвердое движение представительного объема. Указанные вопросы детально обсуждены в ранее опубликованных работах авторов: в статье [8] были рассмотрены три гипотезы о разложении движения на макроуровне и вопросы согласования масштабных уровней; в [9] рассмотрены вопросы независимости (зависимости) образа процесса нагружения от наложенного квазитвердого движения на представительный объем (или от выбора системы отсчета); в [10] представлены результаты проверки постулата изотропии Ильюшина в случае малых градиентов перемещений. Основным результатом этих работ является доказательство зависимости образа процесса нагружения от наложенного жесткого движения в случае классического способа его построения [1, 6], т.е. в терминах лабораторной системы координат, являющейся условно неподвижной, и независимости — в двух других случаях построения образа процесса нагружения в подвижных системах координат, используемых при разложении движения на квазитвердое и деформационное. В качестве таковых были рассмотрены системы координат, вращающиеся со спином й, определяемым осреднением спинов решеток кристаллитов (элементов мезоуровня), и с вихрем W (антисимметричная часть градиента скорости перемещений макроуровня) [9, 10]. Данная работа посвящена проверке выполнения постулата изотропии Ильюшина при построении образа процесса в различных подвижных системах координат при больших градиентах перемещений. Движение данных систем ко-
ординат определяется гипотезой о способах разложения движения на макроуровне, отмеченных выше и подробно описанных в статьях [9, 10].
В цитируемых статьях также показано, что выбор подвижной системы координат, движение которой определяется тензором вихря W, накладывает жесткое ограничение на выбор модели ротации решеток кристаллитов. По сути, в этом случае ротациям элементов мезо-уровня предписывается вихревое движение с макроуровня, что, конечно, не согласуется с физическими механизмами, определяющими вращение кристаллитов. С другой стороны, разложение движения с использованием тензора спина й, определяемого осреднением спинов решеток кристаллитов, входящих в представительный объем макроуровня, лишено этого ограничения. При этом й зависит от конкретной модели материала, позволяя применять любую физически обоснованную модель ротации кристаллитов. В настоящей статье для постановки численного эксперимента в качестве модели материала использована двухуровневая модель, основанная на физической теории упруговязко-пластичности, которая подробно описана в [11-14]. В модели вводятся два масштабных уровня: мезоуро-вень (уровень кристаллита (зерна, субзерна)), и макроуровень (уровень представительного макрообъема (выборки кристаллитов)). При этом неупругие деформации в кристаллитах являются результатом скольжения краевых дислокаций по кристаллографическим системам скольжения. Наличие геометрической нелинейности приводит к необходимости определения на каждом масштабном уровне не зависящей от выбора системы отсчета производной. Стоит отметить, что если на мезо-уровне вопрос определения вида такой объективной производной можно решить более детальным рассмотрением физики процесса деформирования, то на макроуровне его решение сопряжено со значительными трудностями. На мезоуровне в качестве подвижной системы координат, отвечающей за квазитвердое движение, можно с достаточной степенью обоснованности выбрать кристаллографическую систему. При этом повороты решеток кристаллитов определяются с использованием одной из моделей ротации (Тейлора, материального поворота и т.д. [14-16]) и описываются спином мезо-уровня ю (тензором, характеризующим скорость вращения кристаллической решетки). На макроуровне принимается одна из гипотез о разложении движения на квазитвердое и деформационное, в соответствии с которой вводится подвижная система координат, связанная с материалом (представительным макрообъемом). При этом все движение раскладывается на квазитвердое — вращение и трансляция представительного макрообъема (равно как и подвижной системы координат) как жесткого целого, и деформационное — движение частиц относительно жесткой подвижной системы координат. Заметим, что подвижная система координат на лю-
бом масштабном уровне вводится для каждого представительного объема соответствующего уровня. Квазитвердое вращение на макроуровне описывается соответственно одной из принятых гипотез, а именно: 1) подвижная система координат испытывает вращение, определяемое спином макроуровня й, равным осреднен-ному мезоспину ю; 2) вращение подвижной системы координат определяется вихрем W. В дальнейшем для удобства ссылки на введенные гипотезы будут применяться обозначения Гп, Г№ соответственно, аналогично будут обозначаться соответствующие системы отсчета. В настоящее время вопрос о выборе способа разложения на квазитвердое и деформационное является одним из наиболее сложных и до сих пор нерешенных вопросов механики деформируемого твердого тела [7]. Авторами ранее был предложен вариант его решения, основанный на согласовании определяющих соотношений различных масштабных уровней [8, 14], на основе которого и базируется первый из указанных выше способов построения образа процесса нагружения.
Следует отметить, что хотя образ процесса нагруже-ния следует определять в терминах подвижной системы координат, связанной с материальным объемом (того или иного уровня), реализация нагружения осуществляется приводом машины сложного нагружения, связанной с условно неподвижным пространством. Иначе говоря, для реализации предписанного процесса нагру-жения необходимо определить параметры нагружения в терминах условно неподвижной (лабораторной) системы координат, что представляет собой непростую задачу.
В первой части предлагаемой работы приведены теоретические соотношения, позволяющие определить кинематическое нагружение в терминах лабораторной системы координат по известной траектории деформаций в подвижной системе координат, а также соотношения используемой модели, необходимые для определения отклика представительного макрообъема и построения образа процесса в случае больших градиентов перемещений; во второй части представлены результаты численного моделирования, а именно — образы процессов нагружения в подвижной системе координат, из которых можно сделать вывод о выполнении постулата изотропии Ильюшина (в частной форме) при построении образа процесса нагружения в терминах компонент тензоров в подвижной системе координат.
2. Определение кинематического нагружения в лабораторной системе координат при задании нагружения в терминах подвижной системы координат Га
В данном разделе разложение движения (а следовательно, выбор подвижной системы координат) будет
определяться гипотезой Гп. В этом случае под подвижной системой координат Гп будет пониматься связанная с представительным объемом макроуровня жесткая ортогональная декартова система координат, вращающаяся с угловой скоростью, описываемой спином й. Траектория нагружения и образ процесса нагружения определяются именно в терминах системы Гп. В начальный момент деформирования подвижная система координат полагается совпадающей с условно неподвижной лабораторной системой координат (также декартовой ортогональной).
Как отмечено выше, в реальном натурном эксперименте имеется возможность управления кинематическим нагружением исключительно в терминах лабораторной системы координат, в связи с чем возникает нетривиальная задача определения кинематического воздействия в этой системе координат (по известной траектории в подвижной системе координат), которое должно быть реализовано управляющим устройством машины сложного нагружения. Стоит отметить, что в случае такого определения кинематического нагруже-ния может возникнуть неразрешимая на сегодняшний день проблема реализуемости получаемой программы нагружения, связанная с тем, что существующие машины способны осуществлять нагружение в пространстве деформаций (напряжений) с размерностью не выше 3, а получаемые из двумерных или трехмерных траекторий деформирования в подвижной системе координат могут иметь весьма сложный вид и размерность выше трех при переходе к траектории в лабораторной системе. Следует отметить также, что при заданной траектории деформации в подвижной системе координат движение последней определяется в ходе решения задачи для представительного макрообъема, причем оно зависит от процесса деформирования. В то же время для реализации процесса нагружения в терминах лабораторной системы координат на приводы машины сложного на-гружения необходимо передавать «полные» кинематические воздействия — как собственно деформационное движение относительно подвижной системы координат, так и переносное движение (вращение подвижной системы координат). Иначе говоря, к априори заданному деформационному движению (градиенту относительной скорости перемещения) необходимо добавлять квазитвердое движение (спин подвижной системы координат й). При этом тензор спина й в каждый момент деформирования зависит от состояния микроструктуры, скоростей сдвигов по системам скольжения, ориентации решеток, т.е. даже при полностью заданной траектории деформации в терминах подвижной системы координат тензор спина й не может быть определен для всего диапазона деформирования, в связи с чем задание нагру-жения в лабораторной системе координат требуется осуществлять либо в скоростях, либо в приращениях
на каждом шаге нагружения. При этом для одной и той же заданной траектории деформаций в подвижной системе кинематические воздействия в лабораторной системе координат, необходимые для реализации предписанной траектории в подвижной системе, будут отличаться для поликристаллов, например, с разными типами кристаллической решетки.
В теории упругопластических процессов, сформулированной первоначально для геометрически линейной теории, нагружение материала считается полностью заданным, если определена траектория деформаций или напряжений в терминах лабораторной системы координат. В настоящей работе рассматривается жесткое (кинематическое) нагружение, для задания которого необходимо знать траекторию деформирования. Следуя теории Ильюшина [1, 5, 6], траектория деформирования для представительного макрообъема определена в пятимерном (векторном) евклидовом пространстве деформаций и задана зависимостью компонент радиус-вектора этой траектории от некоторого неубывающего параметра. Компоненты данного радиус-вектора связаны с компонентами девиатора полных деформаций линейными соотношениями, а компоненты вектора касательной к траектории — с компонентами девиатора скорости деформаций. Следовательно, траектория деформаций может быть определена, если в каждый момент времени известны компоненты тензора скорости деформаций в некоторой системе координат. Однако следует отметить, что при задании меры деформаций (или ее скорости) теряется часть информации о движении, тем самым одной траектории деформирования будет соответствовать множество мощности континуум движений (нагружений), отличающихся вихревой составляющей. При рассмотрении геометрически линейных проблем (при малых градиентах перемещений) ротационная составляющая движения (спин квазитвердого движения) мала и ей можно пренебречь. В геометрически нелинейном случае необходимо задавать градиент (или транспонированный градиент) относительной скорости перемещений Z = при задании деформирования в подвижной системе координат и полной скорости перемещений Z = VVT при определении деформирования в лабораторной системе, связь которых дается выражением Z = VVrT = VVT - О, где V, V — оператор Гамильтона соответственно в подвижной и лабораторной системе координат в актуальной конфигурации (ниже будет показано, что VV = VV). Нижним индексом г здесь и далее обозначены величины, определяемые в относительном движении; V. — вектор относительной скорости перемещения; V — вектор абсолютной скорости перемещений макроуровня относительно условно неподвижной лабораторной системы координат. При этом в каждый момент времени градиенту скорости перемещений можно поставить в соответст-
вие тензор деформации скорости. Связь тензора деформации скорости и введенной меры представляется в виде
D = 2(Z + ZT) = i(Z + ZT). (1)
Нетрудно видеть, что добавление к мере Z (или Z) произвольного антисимметричного тензора не изменит значений D, в силу чего тензор D не может полностью определять движение и будет использоваться только в качестве дополнительной, иллюстративной меры скорости деформации. В качестве меры скорости деформаций макроуровня при задании (в скоростной форме) деформирования в терминах подвижной системы координат будет использоваться транспонированный градиент скорости относительных перемещений Z; для задания движения в терминах лабораторной системы координат наряду с градиентом относительной скорости Z необходимо учесть спин подвижной системы координат Q. Связь градиентов скоростей перемещений относительно лабораторной и подвижной систем координат будет получена ниже.
Порождаемая введенной мерой скорости деформаций Z мера деформации Q определяется интегрированием из соотношения, записанного в терминах подвижной системы координат:
Qcor - Qije^j = j = Z, (2)
где индекс cor означает коротационную (с позиций неподвижного наблюдателя в лабораторной системе координат) производную макроуровня. Иначе говоря, в данном случае мера деформации определяется коротацион-ным интегрированием меры Z, т.е. интегрированием с позиций наблюдателя в подвижной системе координат. Напомним, что наблюдатель в подвижной системе координат не «ощущает» движения «своей» системы координат, для него она в любой момент времени остается неподвижной и он фиксирует изменения всех величин относительно базиса своей системы координат. Соответственно мере деформаций можно ввести тензор деформаций Q = Q - E (Е — единичный тензор), значения компонент которого в каждый момент процесса деформирования характеризуют деформации относительно естественного состояния и в отсчетной конфигурации равны нулю; траектория деформирования будет определяться компонентами тензора деформаций Q как непрерывными функциями времени (или неубывающего параметра — аналога времени).
В качестве меры скорости деформации на мезоуров-не также используется транспонированный градиент относительной скорости перемещения, однако на мезо-уровне в качестве подвижной системы координат для каждого кристаллита используется система координат, жестко связанная с кристаллической решеткой. Определяемые по этой мере скорости деформаций коротацион-
ным интегрированием мера q и тензор деформаций 4 имеют смысл, аналогичный приведенным выше мере Q и тензору Q. Кроме того, при допущении малости упругих искажений кристаллической решетки, что с большой степенью точности выполняется практически для всех металлов, был определен ее физический смысл (доказательство проведено П.В. Трусовым и Н.С. Кондратьевым): «неголономная» мера деформаций (в базисе кристаллографической системы координат) определяется суммой произведений накопленных сдвигов у(к) по каждой ^й системе скольжения с соответствующими диадами:
4 = £ у( к) й(к)ь( к), (3)
к=1
где п( к ^ Ь( к ) — единичные векторы нормали и Бюргер-са системы скольжения, определенные в текущей конфигурации.
Траекторию деформации, в отличие от геометрически линейного случая, при рассмотрении процессов деформирования с большими градиентами перемещений следует определять либо в 9-мерном пространстве по компонентам тензора Q, либо в 8-мерном пространстве по компонентам его девиаторной составляющей Q/, определяемой коротационным интегрированием Ъ' = Уу -1/3 Е(У V/). Отметим, что провести интегрирование последнего соотношения в аналитической форме на данный момент не представляется возможным, в связи с чем траектория процесса нагружения будет определяться по всем девяти компонентам тензора деформаций Q.
Ввиду вышесказанного и необходимости задания процесса в подвижной системе координат примем, что в ней задана траектория нагружения, определяемая зависимостью Q(^) = Qij ^)"ё ~ëj , тогда в каждый момент времени скорости изменения компонент 02у ^), приписанные к вращающемуся базису подвижной системы, будут определять (согласно (2)) градиент относительной скорости перемещений Ъ = УУГТ. Пусть в каждый момент времени ориентация подвижной системы координат относительно лабораторной определяется ортогональным тензором R = е( ё , R =0 = Е, где еi — базис лабораторной, ё — базис подвижной системы координат. Ориентация кристаллографической системы координат (с базисом е{) каждого кристаллита относительно лабораторной определяется ортогональным тензором о = е i е {; все используемые системы координат декартовы ортогональные. На рис. 1 схематично изображены относительные ориентации введенных систем координат. Отметим, что здесь и далее чертой сверху будут обозначаться величины (как тензоры, так и их компоненты), определенные в подвижной системе координат, характеризующей квазитвердое движение на макроуровне; символом « $ » сверху — величины в кристаллографической системе координат; без дополни-
Рис. 1. Схематичное изображение взаимных ориентаций подвижной (ПСК), лабораторной (ЛСК) и кристаллографической (КСК) систем координат и связей между ними
тельных символов — величины, определенные в лабораторной системе координат. Отметим, что понятие «тензор, определенный в той или иной системе координат» относится к его физическому смыслу (т.е. в данной системе компоненты тензора имеют прозрачный физический смысл). При этом тензор как объект, не зависящий от выбора системы координат, может быть представлен компонентами в любом другом базисе, однако при этом его компоненты могут утратить ясный физический смысл.
Приведем соотношения для преобразования базисных векторов введенных систем координат:
e = e i R = Rt • ei , ei = ё n, n = R t • R;
* t & * t • (4)
ei = ei • o = o • ei, ei = ei • ш, ш = о • о.
Запишем необходимые для дальнейших преобразований компоненты ортогонального тензора в базисе лабораторной системы координат:
R = Rije i ej = e ie i,
en ' (Rije ie j ) •em = en ' e ie i' e m = en ' em , (5)
Rnm = e n em
и в подвижной системе координат:
R = R..e e = e e ,
j 1 j i i9
e • (R e e) • e = e • e e • e = e • e , (6)
^n ^ ij i j ' m wn wiwi wm w n ^m ' \yj
R = e • e
nm n m
откуда следует вывод о совпадении компонент ортогонального тензора в базисах, которые связаны этим ортогональным преобразованием.
В рамках рассматриваемой задачи заданной является траектория деформации Q(t), по которой однозначно определяется градиент относительных скоростей в подвижной системе координат Z. Необходимо определить кинематические воздействия в терминах лабораторной системы координат, т.е. в каждый момент процесса деформирования необходимо установить градиент скоростей перемещений с позиций наблюдателя в лабораторной системе координат Z, относительно которой ориентация подвижной системы координат изменяется с тече-
нием процесса в соответствии с решением, полученным с помощью двухуровневой конститутивной модели материала. В связи с этим возникает задача получения соотношения, связывающего как тензоры Z и Ъ, так и их компоненты.
Введем радиус-векторы г, г произвольно выбранной материальной точки в лабораторной и подвижной системе координат соответственно. Отметим, что поступательная составляющая переносного движения подвижной системы координат относительно лабораторной не вносит вклад в градиенты величин («приписанных» материальным частицам) в подвижной системе координат, что позволяет без потери общности принять, что начала координат данных систем совмещены на протяжении всего процесса. В этом случае г и г являются радиус-векторами одной материальной точки, но определенными в различных системах координат, отличающихся только на жесткий поворот Я (рис. 2). Связь их компонент в базисах лабораторной и подвижной системе координат, принимая во внимание (4)-(6), примет вид:
г = х е =г = xjе j = е -- е*
е1 =
= х1Яе ^ х- = Ях1• (7)
Переносная скорость движения подвижной системы координат относительно лабораторной определяется как скорость точки г, жестко связанной с подвижной системой координат. Учитывая (4), получим:
V = ¿(Х-ё ) X =сош1 = Х- е = X КТ • Я • е = П • Г. (8)
^ 1
Тогда, следуя [17], относительная скорость движения точки среды в подвижной системе координат
V = V - V = V - П • Г. (9) Учитывая (9) и независимость спина подвижной системы от координат, градиент относительной скорости перемещений примет вид:
пТ
z = Vvrt =[V(v-П-г) ] =
= Vvт -[V(П-г)]T ^Ут -П, [V(П - г)]T = (VП - г)т + П -VrT = П,
(10) (11)
Рис. 2. Иллюстрация связи компонент вектора в различных системах координат
где использовано тождество V (Т - а)т=А )е 1 е- =
дх1
1 + г, * -
дх1 1 дх1
е1 е1 = (УТ - а)1 + Т ^а1
Принимая во внимание (4), определим первое слагаемое последнего выражения:
_ ЪУ, V V- 1
дУ,- Эх,
ее
Я еие
дх 1 1 Эх^ дх т П 1
дУ- дЯ
дх^ дхг
ч
1т*Хт Я ее =
т п -
дУ
дх.
-Я
т*
дхт
Эх
Я е„е, =
1П п 1
(12)
(13)
дУ, дУ, т
= ЯЯп -х- е п е 1 = е * е- = VV = Ът,
где использованы соотношения
е- = Я - е- = Ятп ет еп ' е- = Ятг ет ,
ЯT - Я = Ят-е-ет - е* е1 =
= ЯЯе -е 1 = Е = 5 у е-е 1>
ЯЫЯ1д = •
В результате получим следующую связь градиентов скоростей перемещений:
Ъ = Vvт-П ^Т^ = Z -П. (14)
Как отмечено выше, для реализации нагружения на машине сложного нагружения необходимо задание компонент градиента скорости перемещений 2 ^ в базисе лабораторной системы координат. Установим их связь с компонентами тензора Ъ в базисе подвижной системы координат 2 ^. Из соотношения (14) следует
Zу = е- • (Ъ + П) - е 1. (15)
Преобразуем последнее соотношение с учетом (4)-(6), умножив диадно слева и справа на базисные векторы подвижной системы, откуда получаем
Хце-= е- (е- - (ъ+п) - е 1)-¿1 =
= (е-е-) - (Ъ + П) - (еД.) = Rт - (Z + П) - Я. (16)
Учитывая (4), устанавливаем окончательную связь тензоров скорости деформаций в лабораторной и подвижной системе координат:
Ъ = 2 це-е 1 = 2у (Я - е-)(е - Ят) =
= Я - (2 у е-е;) - Ят = Я - (Ят - (Ъ + П) - Я) - Ят.
Далее, проведя преобразования, из (17) получим 2^ е--е1 = Я - (Ят - (Ъ + П) - Я) - Ят =
= Я - (е „ е „- (2тп + й тп )е т ё п- е 1 ё/) - Ят =
(17)
= Я - ( е рЯтр (2тп +й тп ) К е 1) - Ят =
тп)Яп1*'1>
е е -е Я (2 +й )Я -е--е 7е7
тп ) Яп1е -е 1,
' - I р Ятр (2 тп = Ят- (2 тп + й тп )Ят е - е 1
где компоненты тензора спина в базисе подвижной системы координат
й = е • о• е = е • е е • е = е • е (19)
определяют мгновенную угловую скорость вращения триэдра базисных векторов подвижной системы координат. Таким образом, окончательно связь компонент градиентов скоростей имеет вид
Zij = Rшi(Zmn + Й „„ • (20)
Отметим, что в случае использования других гипотез о разложении движения в приведенных выкладках вместо спина й (при принятии гипотезы Гп) будет фигурировать спин используемой подвижной системы координат. Например, в случае принятия гипотезы Г№ соотношения (14) и (20) примут вид:
Ъ = УУТ ^•УгТ = Ъ-W, (21)
Zij = Rmi(Zmn + Ртп Ж/ , (22)
где R/j — компоненты ортогонального тензора, определяющего ориентацию подвижной системы координат относительно лабораторной.
Таким образом, реализация нагружения представительного макрообъема в терминах лабораторной системы (на испытательной машине) по предписанной в подвижной системе координат траектории деформации осуществляется следующим образом. В каждый момент (в численной реализации — на каждом шаге интегрирования) согласно расширенной гипотезе Фойгта необходимо передать воздействие Ъ, заданное в подвижной системе, в лабораторную Далее по определенному в лабораторной системе координат кинематическому воздействию вычисляется отклик поликристаллического агрегата и спин подвижной системы координат. При этом компоненты тензора спина макроуровня на начало шага имеют значения, отличные от значений после пересчета на шаге интегрирования, что влечет за собой несоответствие заданного воздействия в подвижной системе воздействию, получаемого на конец шага
(14).
В связи с этим возникает отклонение траектории в подвижной системе, получаемой из решения задачи с заданными в лабораторной системе градиентами скоростей перемещений (на каждом шаге интегрирования), по отношению к изначально предписанной траектории в подвижной системе.
Необходимо отметить, что, поскольку задача является геометрически и физически нелинейной, для ее решения используется пошаговая процедура нагружения: весь временной интервал представляется совокупностью срезов по времени. Алгоритм решения задачи для шага по времени состоит из трех этапов: решение задачи в скоростях (на момент начала шага), интегрирование и пересчет значений параметров (на конец шага по времени). Далее представлен алгоритм решения рассматриваемой задачи.
1. Этап 1 — решение в скоростях:
а) определение градиента относительных скоростей перемещений Ъ путем дифференцирования заданной траектории деформирования Q;
б) вход в итерационную процедуру: определение градиента полных скоростей перемещений в лабораторной системе Z, для чего используется значение спина макроуровня с предыдущей итерации (на первой итерации спин тривиален);
в) цикл по элементам мезоуровня (кристаллитам):
- определение компонент градиента полных скоростей перемещений Z в терминах кристаллографической системы;
- вычисление отклика элементов мезоуровня (для каждого кристаллита): скоростей сдвигов и неупругих деформаций, критических сдвиговых напряжений (упрочнение), скорости изменения напряжений, мгновенной угловой скорости вращения (в зависимости от принятой гипотезы). При этом на рассматриваемом временном срезе известными являются: градиент скорости перемещений кристаллита (элемента мезоуровня), напряжения, накопленные сдвиги и критические сдвиговые напряжения и ориентационный тензор, определенные на конец предыдущего шага;
г) вычисление тензора спина подвижной системы представительного макрообъема;
д) оценка невязки между полученным и заданным значением градиента относительных перемещений: при удовлетворительном соответствии — выход из итерационной процедуры (переход в следующий пункт), иначе - в пункт (б);
е) вычисление скорости приращения напряжений представительного макрообъема.
2. Этап 2 — интегрирование:
ж) цикл по элементам мезоуровня: вычисление значений внутренних переменных элементов мезоуровня на конец шага: сдвигов, критических сдвиговых напряжений, неупругих деформаций и напряжений (в базисе кристаллографической системы);
з) определение макронапряжений на конец шага интегрированием коротационной производной тензора напряжений представительного макрообъема.
3. Этап 3 — переопределение ориентаций:
и) цикл по элементам мезоуровня:
- вычисление ориентаций кристаллографических систем координат элементов мезоуровня на конец шага интегрирования; считая определенные на конец шага компоненты тензоров напряжений и деформаций мезо-уровня «вмороженными» в базис кристаллографической системы координат, определение значений данных компонент в базисе лабораторной системы;
- вычисление средних значений по представительному объему (по всем элементам мезоуровня);
к) переопределение ориентации подвижной системы координат макроуровня;
л) определение компонент тензоров напряжений и деформаций макроуровня.
На каждом шаге интегрирования для вычисления градиента полных скоростей перемещений Z необходимо иметь значение спина подвижной системы координат, которое переопределяется в ходе решения задачи на текущем шаге и не соответствует изначально заданному (например, значению с конца предыдущего шага). В связи с этим возникает проблема ««отклонения» получаемой траектории от траектории, изначально заданной в подвижной системе. Одним из вариантов корректировки получаемой траектории нагружения по отношению к заданной является реализация итерационной процедуры, представленной ниже для произвольного шага интегрирования (номер шага интегрирования везде далее опущен), к = 1, ... — номер итерации; значение спина макроуровня на первой итерации тривиально. При этом проверять необходимо по предписанным параметрам, каковыми являются компоненты градиента относительной скорости перемещений в подвижной системе. За счет изменения спина они после расчета по двухуровневой модели по заданному в лабораторной системе градиенту скорости полных перемещений и пересчета градиента относительной скорости перемещений будут отличаться от первоначально заданных.
Численное решение (при наличии тензорных величин порядка выше нулевого) возможно только в компонентах в некоторой системе координат. В связи с этим напомним обозначения, приведенные выше: Ау — значения компонент произвольного тензора второго ранга А в базисе лабораторной системы координат, А„ — значения его компонент в базисе подвижной системы координат, А1 — в базисе кристаллографической системы; Я, Яц, Яц — тензор ориентации и его компоненты в лабораторной и подвижной системах координат соответственно; о, о-т — то же для кристаллографической системы; 2 — градиент относительных скоростей перемещений (относительно базиса кристаллографической системе координат); Ъ, Ъ — градиенты полных скоростей перемещений в лабораторной и относительных скоростей перемещений в подвижной системе координат; О — тензор спина подвижной системы координат. Тензор Ъ( * — скорректированный градиент скорости полных перемещений; Ъ(*' — градиент скорости относительных перемещений, получаемый пересчетом на каждой итерации из решения по значениям Ъ(*' и спина П' на текущей итерации. Стоит отметить, что на каждом срезе по времени градиент относительных скоростей перемещений Ъ остается неизменным (предписанным); градиент Ъ(*' (для текущего среза по времени) необходим для оценки точности реализации предписанной траектории деформирования в подвижной системе координат. Величины с отсутствующим индексом итерации являются постоянными (предписанными) в
рамках одного шага интегрирования и пересчитываются по его завершению. Обратим внимание, что итерационная процедура применяется для пунктов (б-д) алгоритма решения.
При численном решении подобного рода задач всегда возникает проблема первого шага, связанная, например, с возможным получением сверхбольших напряжений, что приводит к погрешностям или останову счета. Для решения данной проблемы в рассматриваемой задаче первый шаг принимается значительно меньшим по сравнению с последующими. Кроме того, спин подвижной системы относительно лабораторной на первой итерации каждого шага примем тривиальным П(0) = = 0. Итерационная процедура корректировки траектории деформирования, получаемой в лабораторной системе координат, организуется согласно следующей схеме:
1) определение градиента скоростей перемещений в лабораторной системе: 2?' = (2тп + (значения компонент 2тп получаются напрямую из заданной в подвижной системе координат траектории деформирования на текущем срезе по времени);
2) цикл по элементам мезоуровня: определение компонент градиента полных перемещений в терминах кристаллографической системы г.!' = о1т2^ о^; вычисление отклика элементов мезоуровня (пункты (б), (г) алгоритма решения);
3) вычисление уточненного значения тензора спина подвижной системы на текущей итерации;
4) пересчет градиента скорости относительных перемещений по значению градиента скорости полных перемещений на данной итерации: 21' = Ят2тШ-
-О
-т тп ]п
; вычисление невязки между заданным и полу-
ченным в ходе решения значением компонент градиен-
таотносительных перемещений: 521*' = 21' - 2„ =
= О(*) -О(к-1);
5) вычисление относительной погрешности
|| 01* ) -01*-1)|| д = —
ЦО^Ц
где || А-11| = (АА/2;
6) Д < е, переход на следующий шаг - интегрирования, Д> е, * = * + 1, переход в пункт (а).
В ходе итерационной процедуры на каждой новой итерации происходит проверка получаемой траектории деформирования в подвижной системе и корректировка спина подвижной системы координат.
Представленная итерационная процедура позволяет свести к минимуму одновременно отклонение от заданной траектории деформирования и погрешность в определении ориентации подвижной системы координат. Численные расчеты показали, что данная процедура
сходится за три итерации на траекториях любой кривизны, включая траектории с изломом. Следует еще раз подчеркнуть, что, несмотря на полную определенность траектории деформации в терминах подвижной системы координат на рассматриваемом интервале нагру-жения, в моделях, где ее квазитвердое движение зависит от определяемых физическими механизмами ротаций кристаллитов, деформирование в терминах лабораторной системы можно определить только на каждом временном шаге, после определения всех характеристик напряженно-деформированного состояния на предыдущем временном шаге. Иначе говоря, установление программы нагружения для натурных экспериментов требует предварительного теоретического решения задачи исследования деформирования представительного макрообъема по любой заданной траектории деформации.
3. Определение отклика и образа процесса нагружения представительного макрообъема
Для построения образа процесса нагружения кроме предписанной в подвижной системе координат программы деформирования необходимо в каждый момент деформирования определить отклик (реакцию) материала, для чего будет использована двухуровневая конститутивная модель [12, 13]. Для каждого кристаллита в качестве определяющего соотношения используется закон Гука в скоростной релаксационной форме, который в терминах подвижной кристаллографической системы координат имеет вид:
осот = о + о • ю - ю • о = о / е ,е / =
i/ 1 J
= Путп • (^пт - ^пт )ег'е/ , (23)
где II — тензор упругих характеристик кристаллита (вообще говоря, несимметричный и анизотропный, сим-метрийные свойства которого зависят от типа решетки кристаллита); ¡г, ¡гт — градиент относительной скорости перемещений и его неупругая составляющая; спин решетки ю определяется по принятой модели ротации (в настоящей работе — по модели Тейлора). Связь градиента относительной скорости перемещений частиц каждого кристаллита определяется связью, аналогичной (14):
г = г - ю, (24)
где учтено, что кристаллографическая система координат также является подвижной, только связанной с материалом отдельного кристаллита и совершает квазитвердое вращение относительно лабораторной системы (рис. 1).
Определяющее соотношение макроуровня имеет вид:
Есот = Ё - Ё • О + О • Ё =
= П :(г - Ът) = П :(г-О - г"). (25)
Следуя методологии, описанной в работе [14], из усло-
вий согласования определяющих соотношений рассматриваемых масштабных уровней получаем:
О = <ю>,
Ът = <гт >8ую + П-1 : <П :(гт' + ю'>- (26)
- П-1 :«©'• о'>-<о '• ю7» Связь компонент тензора напряжений макроуровня в различных системах координат примет вид:
= ^^тп^ , (27)
где ортогональный тензор R определяется интегрированием соотношения О = RТ • R.
Введем связь компонент мер напряженного и деформированного состояний с соответствующими векторами в совмещенном девятимерном пространстве напряжений-деформаций. Отметим, что в классической теории Ильюшина построение образа процесса нагружения производится в пятимерном пространстве. Повышение размерности пространства вызвано необходимостью задания всех компонент тензора деформации Q. Все величины, используемые ниже, относятся к представительному макрообъему: мера напряженного состоянии (тензор напряжений Коши) 2, тензор деформаций Q, градиент скорости относительных перемещений Qсот Для количественной оценки тензоров деформаций и напряжений используется евклидова норма Qe = х/О^О^' 2е = л/ё : ЕТ. В случае одноосного нагружения (растяжения/сжатия) отличной от нуля компонентой тензора напряжений является только одна из диагональных, значение которой равно ± а, тогда введенная норма будет также равна а, откуда следует, что в случае одноосного нагружения значение евклидовой нормы равно одноосному напряжению. В случае сдвига отличной от нуля будет одна из недиагональных компонент, значение которой ±т, тогда соответствующая евклидова норма будет равна т.
Далее будет использоваться векторное девятимерное евклидово совмещенное пространство напряжений-деформаций К(9) с ортонормированным репером рг, в котором компоненты 9-мерных векторов напряжений и деформаций связаны с компонентами тензоров соотношениями равенства соответствующих компонент
{Э' } = {Оц, ^22 ,633,012 ,023,Ов ,Он, бэ2 , 0э1},
№} = {211,2 22,233,212,223,213,2 21,232,231}, ( )
где черта сверху означает, что компоненты тензоров определены в подвижной системе координат. Очевидно, что при таком определении норм и связей компонент векторов с компонентами тензоров выполняется равенство длин этих векторов соответствующим евклидовым нормам тензоров:
|Э|2 = Э•Э = Q2 = Q :QT = + 022 +
+ & + 022 + 0221 + 023 + ё321 + 03 + 02 ,
I S|2 = S• S = £ = 2 :Ет =4 +
+ Х33 + +£21 + +^3! + Х23 +£32.
(29)
Введенные векторы должны быть непрерывными функциями (вместе с производными требуемого порядка (за исключением, может быть, конечного числа точек излома траекторий)) времени или неубывающего параметра нагружения (например длины траектории деформации), дифференцированием которых по времени можно определить коротационные производные мер напряженного и деформированного состояний. По компонентам векторов деформаций и напряжений (28) строятся образы процесса нагружения в совмещенном пространстве деформаций и напряжений Х(9).
Известно, что большинство металлов и сплавов в начальном естественном состоянии можно считать изотропными (в макроскопическом смысле). Для таких материалов применим постулат изотропии Ильюшина [1]: образ процесса нагружения инвариантен к преобразованиям вращения и отражения в пространстве Х(5). Стоит отметить, что в настоящей работе размерность совмещенного пространства напряжений и деформаций была повышена до девяти, поэтому при выполнении постулата образ процесса нагружения должен быть инвариантен к преобразованиям вращения и отражения в пространстве Х(9).
Рассмотрим вопрос количественной оценки выполнения постулата изотропии. Под количественной оценкой будет пониматься степень близости (по рассмотренным ниже характеристикам) образов процесса при совмещении ортогональным преобразованием траекторий деформаций двух процессов нагружения, имеющих идентичную внутреннюю геометрию. В силу наложенного условия, траектории деформаций в точности совпадают при совмещении, поэтому точность выполнения постулата определяется только различием векторов напряжений S1, S2 двух сравниваемых процессов (1 и 2) после совмещения траекторий деформаций. Для количественной оценки выполнения постулата изотропии потребовалось введение некоторых дополнительных параметров, характеризующих точность его выполнения. Следуя классической теории [1, 6], введем для траектории деформирования ортонормированный репер Френе {р-}, 1 = 1,9 в пространстве К(9), ориентация которого изменяется от точки к точке траектории, полученной после совмещения образов процессов. Векторы р* связаны с производными dЭk/d*Э8 процедурой ортогонализации и нормировки, где Э8 е [0,Этах ] — длина дуги (натуральный параметр кривой), которая определяется как
3s (t) = ^Vz7zFdT.
Отметим, что используемые в расчетах траектории деформирования имеют размерность не выше трех, в
связи с чем количество определяемых векторов репера также не выше трех. Расчеты показали, что пространство, содержащее вектор напряжений, имеет размерность выше размерности траектории деформирования; для оценки данного отклонения необходимо введение подпространства в пространстве К(9), ортогонального подпространству размерности, равной размерности траектории. Введем подпространство Kp' содержащее в себе траектории деформирования размерности k, и такое, что K(?-k) U К® = К(9) и K(?-k) П Kp) = 0, где k — число векторов Френе (или размерность траектории деформирования). Для определения значений компонент векторов и мер оценки точности выполнения постулата использовался полный базис пространства К(9), состоящий из векторов репера Френе и базиса подпространства
; далее эта совокупность будет обозначаться {pi}, i = 1, 9.
В качестве мер для оценки точности выполнения постулата были выбраны: максимальный (отнесенный к пределу текучести) модуль разности длин векторов напряжений П = Vmax {|II S2|| -|| S1|||} и пара-
3se[0,3maI ] 1
метр угла разориентации векторов напряжений
I = max
Э*£[0,Э max ]
- arccos
(
arccos
Л
Pi
• Pi
характеризующий максимальное значение суммы модулей разностей углов между векторами напряжений и векторами репера Френе; индексы 1 и 2 означают принадлежность к сравниваемым процессам нагружения; || • || — евклидова норма, характеризующая длину вектора, все векторные величины по умолчанию зависят от параметра Э8.
Наряду с оценкой по чебышевской норме, целесообразно ввести интегральные параметры, характеризующие средние значения отклонений интенсивностей напряжений и различие ориентаций векторов напряжений относительно соответствующих реперов Френе: э
п = -
1
, ат
Эт
'max ^T 0
Этах 9
I X
0 i =1
I S2II -
arccos
I SJ|tos
• Pi
(
- arccos
S1
I S1I
dЭ s.
В дополнение к введенным параметрам оценки точности постулата изотропии определим параметр, позволяющий оценить степень отклонения вектора напряжений от подпространства, содержащего траекторию деформирования:
I
Х = — юах {|| $ -Бк||}, (30)
аТ Э1е[0,Эюах ]
где S и Sк — вектор напряжений и его проекция на подпространство траектории деформирования. Введенный параметр позволяет оценить точность выполнения следствия из гипотезы локальной определимости Ленского [1, 6], согласно которому вектор напряжений должен при любых изменениях траектории деформации стремиться расположиться в подпространстве размерности траектории деформации. Среднее значение параметра X определяется как
Х = -
1
^юах
] || S-Sk|| dЭs.
Э а..... - (31)
Эюах аТ 0
Отметим, что введенные параметры (30) и (31) вычисляются для каждого процесса нагружения, а не для двух процессов с одинаковой внутренней геометрией.
4. Результаты
Остановимся более детально на постановке численного эксперимента. Ниже представлены результаты численных экспериментов в случае принятия гипотез Гп и Г№, при которых квазитвердое движение на макроуровне определяется соответственно тензорами й = = <ю> и W = 1/2 (Ъ-ЪТ).
Ротации кристаллитов в случае принятия гипотезы Гп определяются следующим законом: ю = wе = = 1/2(г - ¡Т)-1/2(гт- г1пТ) [15], т.е. соответствуют тензору вихря упругих деформаций. В случае принятия Г№ ротации элементов мезоуровня равны тензору вихря макроуровня w = W = 1/2 (Ъ - ЪТ) [8]. В численных расчетах представительный макрообъем состоял из 1000 кристаллитов стали 40 с ОЦК-решеткой, начальные ориентации которых распределены по равномерному закону; химический состав: Fe — 97.0 %, Мп — 0.8 %, С — 0.4 %, Si — 0.3 %, Ni — 0.2 %, Сг — 0.2%. Значения независимых компонент тензора упругих характеристик для стали 40: п1111 = 220 ГПа, п1122 = = 166 ГПа, п1212 = 87 ГПа. Начальные критические напряжения в системах скольжения для ОЦК-стали
Т0{110} = 0.1 ГПа Т0{120} = 0.4 ГПа, т0{123} = 2.4 ГПа (индексами в фигурных скобках обозначены семейства кристаллографических плоскостей). Использовался закон упрочнения, описанный в [10], значения параметров закона упрочнения: ^ = 0.1 (определяет степень нелинейности процесса упрочнения), 8 = 0.8 (учитывает меру влияния предшествующей истории деформирования на текущие изменения дефектной структуры материала), = 4.7 •Ю-3 (параметр, равный отношению модуля деформационного упрочнения к модулю сдвига), в = 1.3 (равен отношению параметров латентного и деформационного упрочнения). Параметры упрочнения определены из решения задачи идентификации по экспериментальным данным для поликристаллических
образцов из стали 40 [18]. Характеристики вначале были идентифицированы на одном виде нагружения (растяжение по Э1), далее проводилась верификация на процессе сдвига (деформирование по Э 4).
Как отмечалось в [9], в подавляющем большинстве многоуровневых моделей, основанных на использовании физических теорий пластичности, квазитвердое вращение на макроуровне определяется тензором вихря (антисимметричной частью градиента скорости перемещений), на нижележащих уровнях — некоторой в общем случае произвольной моделью ротации. В цитируемой работе было показано, что такое независимое определение квазитвердого вращения на различных уровнях не является согласованным. В настоящем параграфе показано, что использование несогласованных соотношений приводит к невыполнению постулата изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений. Для проверки постулата изотропии Ильюшина в случае больших деформаций были выбраны три траектории различной степени кривизны и размерности подпространств, содержащих данные траектории. Траектории представляют собой несколько участков кривых, заданных в параметрическом виде. Ниже в фигурных скобках указаны компоненты вектора скорости деформаций (касательной к траектории деформирования) в зависимости от неубывающего параметра — длины текущего участка траектории деформации. Отметим, что при точном совпадении образов процессов (после совмещения траекторий деформирования), т.е. при идеальном выполнении постулата изотропии, введенные параметры П, В, п, 9, X, X должны быть равны нулю.
Первый вид траекторий состоит из двух лучевых участков:
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, Э8 е [0, 0.5] —
— {0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0}, Э8 е [0.5,1], (32)
{0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0}, Э8 е [0, 0.5] —
— {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, Э8 е [0.5,1]. (33) Данные траектории представляют собой последовательные этапы сдвига в различных плоскостях и получаются одна из другой отражением относительно гиперплоскости Э1 - Э5 = 0.
Второй тип траекторий задается последовательностью одного лучевого и трех круговых участков:
{0,0,0,1,0,0,0,0,0},Э8 е [0,0.05] —
— |0Д0,со5^(Э8 - 0.05)0^
з1п^(Э8 - 0.05))П5^, 0,0,0,01
Э8 е [0.05,0.3]—
- |0Д0,51п ^(Э8 - 0.3)05
Рис. 3. Схематичное изображение траекторий (32), (33) (а), (34), (35) (б) и (36), (37) (в)
СОБ
(Эв -0.3)— у 8 0.5
,0,0,0,0
Э8 е [0.3,0.55]— — {0,0,0,28т((Э8 -0.55)п), 2со8((Э8 -0.55)п),0,0,0,0}, Э8 е [0.55,1],
к 0,0, ,0,0,0,01,Э8 е [0,0.05]
— <! 0,0,0, б1П
\Э8 - 0.05)—+ -Л 8 0.5 4
СОБ
'(Э8 -0.05)— 8 0.5 4
,0,0,0,0
Э8 е [0.05,0.3]— — ] 0,0,0, соБ
\Э8 - 0.3)-^+П' 8 0.5 4
-81П
'(Э8 -0.3)-^ + ^
8 0.5 4
,0,0,0,0
Э8 е [0.3,0.55] —
— <! 0,0,0,2со8
(Э8 - 0.55)п + -
281п
(Э8 - 0.55)71 + 4
,0,0,0,0
(35)
Э8 е [0.55,1].
Данные траектории деформаций получаются одна из другой отражением относительно гиперплоскости, заданной уравнением Э4 sin(тс/8) - Э5 cos(тс/8) = 0, и состоят из четырех этапов нагружения с двумя гладкими переходами и одним изломом на 90°. В точке перехода от первого этапа ко второму совпадают только значения векторов деформаций и первой производной (касательной к траектории). В точке перехода от второго этапа к третьему совпадают значения векторов деформаций и
все нечетные производные; производные четного порядка совпадают с точностью до знака, что говорит о смене знака кривизны при переходе.
Третий тип траекторий деформирования определяется соотношениями:
{1,0,0,0,0,0,0,0,0},Э8 е [0,0.33] —
— {0,0,0,1,0,0,0,0,0}, Э8 е [0.33,0.66] —
— {0,0,0,0,1,0,0,0,0},Э8 е [0.66,1], (36) {0,0,0,0,1,0,0,0,0}, Э8 е [0,0.33] —
— {1,0,0,0,0,0,0,0}, Э8 е [0.33,0.66] —
— {0,0,0,1,0,0,0,0,0}, Э8 е [0.66,1], (37) описывает последовательные растяжение и сдвиги в различных плоскостях; траектории получаются одна из другой поворотом на 120° вокруг оси {1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0} в пространстве К(9). Геометрия описанных траекторий представлена на рис. 3.
Для приведенных траекторий были выполнены расчеты по нагружению представительного объема материала сталь 40 в случае принятия гипотез Гп и Г^ Отметим, что как процессы нагружения, так и все образы процессов нагружения, представленные ниже, определены в подвижной системе координат, спин которой определяется той или иной принятой гипотезой.
На рис. 4 изображены проекции образов процессов (32) и (33) на плоскость Э1Э5 в случае принятия различных гипотез. На выноске справа видно, что угол между касательной и вектором напряжений в случае Г W составляет порядка 6° (в случае Гп — не более 1°) на довольно протяженном участке траектории, что не согласуется с имеющимися экспериментальными данными, которые получают на образцах в состоянии поставки, следовательно, испытавших ранее деформации (возможно значительные). Более того, данный угол в случае принятия ГW меняет свой знак на некотором удалении от излома траектории, что также не имеет рационального объяснения.
Ниже представлена сравнительная таблица для значений параметров п, В, п, В, X, X в случае применения
О
60 50 ,40
I 20
10 о
Ж
ь
10 20 30 40 50 60 Компонента Э1? %
10 20 30 40 50 60 Компонента Э1? %
Рис. 4. Совмещенные проекции образов процессов (32) и (33) на Э1Э5 при принятии гипотезы Г^ (а) и ГW (б). Показаны траектория деформирования (сплошная линия) и векторы напряжений, приписанные к точкам траектории
гипотез Гп и ГW (табл. 1). Различия отклонений образов процессов по скалярным характеристикам п, П незначительно при принятии обеих гипотез. Отличие отклонений по векторным характеристикам 0,0 составляет один порядок, однако максимальная и средняя разность углов отклонений векторов напряжений от векторов р 1 в процессах (32) и (33) в случае принятия Г W значительно выше, чем при принятии Гп. Значения параметров X, X, характеризующие отклонение вектора напряжений от гиперплоскости, содержащей траекторию, также имеют большие значения в случае принятия Г ^ Таким образом, основываясь на сравнительных характеристиках скалярных п, П и векторных 0, 0, X, X свойств, можно сделать вывод о том, что постулат изотропии в случае больших градиентов перемещений выполняется с меньшей точностью при принятии гипотезы Г^ чем при Гп.
Результаты оценки точности выполнения постулата изотропии для траекторий (34) и (35) (рис. 3, б) с помощью введенных выше мер представлены в табл. 2. Как и в случае с траекториями (32) и (33), различия отклонений образов процессов по скалярным свойствам п, П незначительны при принятии обеих гипотез. В отличие
от траекторий (32) и (33) значения параметров 0, 0, X, X, характеризующих отклонение по векторным свойствам, для различных гипотез имеют менее существенное различие. При этом большие значения введенных параметров при использовании гипотезы ГW говорят о менее точном выполнении постулата изотропии в случае ее принятия.
В табл. 3 приведены значения параметров п, 0, П, 0, X, X для нагружения по трехмерным траекториям (36) и (37) (рис. 3, в). Значения скалярных характеристик, как и в двух ранее рассмотренных случаях, говорят о незначительном отклонении интенсивностей напряжений в случае принятия обеих гипотез. Приведенные результаты численных экспериментов свидетельствуют о том, что постулат изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений выполняется с большей точностью при принятии гипотезы Гп, чем при принятии Г ^
Напомним, что при детальном рассмотрении процесса с точки зрения механики сделан вывод о необходимости определения кинематических воздействий в подвижной системе координат с их последующим переопределением в терминах лабораторной системы коор-
Таблица 1
Сводная таблица значений параметров п, 0, п, 0, X, X для процессов (32) и (33) при принятии гипотез Гп и ГW
Параметр Гипотеза Г^ Гипотеза ГW
п 0.011 0.011
п 0.006 0.006
0 0.061 0.418
0 0.028 0.210
X 0.029 0.148
X 0.018 0.091
Таблица 2
Сводная таблица значений параметров п, 0, п, 0, X, X для процессов (34) и (35) при принятии гипотез Г^ и ГW
Параметр Гипотеза Г^ Гипотеза Гw
п 0.052 0.051
п 0.016 0.034
0 0.077 0.286
0 0.040 0.159
X 0.031 0.131
X 0.019 0.079
Таблица 3
Сводная таблица значений параметров п, В, п, В, X, X для процессов (36) и (37) при принятии гипотез Г^ и ГW
Параметр Гипотеза Г^ Гипотеза Tw
П 0.035 0.037
П 0.008 0.011
е 0.071 0.377
ё 0.041 0.226
0.031 0.154
0.020 0.099
динат. Рассмотренные выше траектории деформаций и образы процессов в целом были построены в терминах подвижной системы координат, т.е. в той же системе координат, где были заданы. При этом образ процесса нагружения, построенный в лабораторной системе, значительно отличается от образа в подвижной: размерность подпространства, содержащего траекторию в лабораторной системе, существенно выше. Стоит обратить внимание, что рассмотренные в работе траектории имели размерность (в подвижной системе, связанной с материалом) не выше трех, поэтому для проверки представленных результатов необходимо получение принципиально новых экспериментальных данных.
Обратим внимание на то, что при численной реализации представленного алгоритма было замечено существенное влияние несимметрии упругих свойств на вращение кристаллитов. При симметричном тензоре упругих свойств скорость (и направление) вращения подвижной системы координат в обоих случаях примерно одинаковы (относительное отклонение не более 10 %): в случае принятия ГW — скорость и направление постоянны, в случае Гп — значение угловой скорости колеблется около значения угловой скорости при ГW . При несимметричном тензоре упругих свойств угловая скорость для случая Гп падает с течением процесса
Интенсивность деформаций, %
Рис. 5. Характерная зависимость угловой скорости вращения подвижной системы координат с течением процесса нагружения (траектории (32) и (33)) в случае принятия гипотезы Г^ при несимметричных упругих свойствах (отклонение п-- и пш 0.5 %)
(рис. 5). При этом показатель экспоненты напрямую зависит от отклонения компонент п-- и п— тензора упругих свойств. Отсюда можно заключить, что в случае принятия гипотезы Гп наблюдается релаксация процесса вращений кристаллитов при продолжающемся нагружении, что согласуется с известными экспериментальными данными.
5. Выводы
Рассмотрены вопросы построения образа процесса нагружения представительного макрообъема поликристаллического материала в случае больших градиентов перемещений. Получены соотношения, связывающие кинематические воздействия в подвижной и лабораторной системах координат. При этом заданными являются воздействия в терминах подвижной системы координат, связанной с материалом. Воздействия в лабораторной системе необходимы для непосредственной реализации приводом машины сложного нагружения. Представлены результаты численного моделирования нагруже-ния представительного объема поликристаллического материала с объемно-центрированной кубической решеткой (сталь 40) по трем типам траекторий (различной размерности и кривизны, содержащим изломы траекторий), в случае принятия двух различных гипотез о квазитвердом вращении подвижной системы координат. Первая гипотеза: квазитвердое вращение на макроуровне определяется тензором спина Q, определяемым используемой моделью ротации (гипотеза Гп); вторая — квазитвердое вращение определяется тензором вихря W (гипотеза Г W). Представленные результаты свидетельствуют о том, что при использовании гипотезы Гп постулат изотропии выполняется с большей точностью, чем при использовании гипотезы ГW. При этом данная закономерность наблюдается для всех рассмотренных траекторий, имеющих различные кривизны и размерности. Также было показано, что постулат изотропии выполняется менее точно для траектории с более сложной внутренней геометрией (траектория, состоящая из участков окружностей) при принятии как гипотезы TQ, так и гипотезы Г W.
Работа выполнена при финансовой поддержке Мин-обрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, гос. регистр. № 01201460535) и РФФИ (проекты №№ 13-01-96006р_урал_а, 14-01-00069-а, 15-08-06866-а).
Литература
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической тео-
рии. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.
Ilyushin A.A. Plasticity. Foundations of the General Mathematical
Theory. - Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1963. - 272 p.
2. Ильюшин А.А., Ленский В. С. О соотношениях и методах современ-
ной теории пластичности // Успехи механики деформируемых
сред. - М.: Наука, 1975. - С. 240-255.
Ilyushin A.A., Lenskii VS. Relations and Methods ofthe Modem Theory of Plasticity // Successes in the Mechanics of Deformable Media. -Moscow: Nauka, 1975. - P. 240-255.
3. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях слож-
ного нагружения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 342 с. Annin B.D., Zhigalkin V.M. Behavior of Materials Under Complex Loading. - Novosibirsk: Izd-vo SO RAN. - 1999. - 342 p.
4. Васин Р.А. Свойства функционалов пластичности у металлов, определяемые в экспериментах на двузвенных траекториях деформации // Упругость и неупругость. - М.: МГУ, 1987. - С. 115-127. Vasin R.A. Properties of Plasticity Functionals for Metals, as Determined in Experiments for Two-Section Strain Paths // Elasticity and Inelasticity / Ed. by A.A. Ilyushin. - Moscow: Moscow State Univ., 1987. - P. 115-127.
5. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.
Zubchaninov V.G. Foundations of the Theory of Elasticity and Plasticity: Handbook for Engineering Students. - Moscow: Vysshaya Shkola, 1990. - 368 p.
6. ЗубчаниновВ.Г. Механика процессов пластических сред. - М.: Физматлит, 2010. - 352 с.
Zubchaninov V.G. Mechanics of Processes in Plastic Media. - Moscow: Fizmatlit, 2010. - 352 p.
7. Поздеев А.А., ТрусовП.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластичес-
кие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.
Pozdeev A.A., Trusov P.V., Nyashin Yu.I. High Elastic-Plastic Strains: Theory, Algorithms, Applications. - Moscow: Nauka, 1986. - 232 p.
8. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. -№6. - С. 33-41.
Trusov P. V., Volegov P.S., Yanz A.Yu. Two-scale models of polycrys-tals: Independence of the loading process image of a representative macrovolume // Phys. Mesomech. - 2014. - V. 17. - No. 3. - P. 190198.
9. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу сложного нагружения // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 6. - С. 43 -50.
Trusov P. V., Volegov P.S., Yanz A.Yu. Two-scale models of polycrys-tals: Analysis of complex loading // Phys. Mesomech. - 2014. - V. 17. -No. 4. - P. 349-355.
10. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 17-23.
Trusov P. V., Volegov P.S., Yanz A.Yu. Two-scale models of polycrys-tals: Macroscale motion decomposition // Phys. Mesomech. - 2014. -V. 17. - No. 2. - P. 116-122.
11. ТрусовП.В., ВолеговП.С., ШвейкинА.И. Конститутивная упруго-вязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы, приложения: Монография. - Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 147 c.
Trusov P.V., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive Elasto-Visco-plastic Model of FCC-Polycrystals: Theory, Algorithms, Applications. -Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 147 p.
12. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании // Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки. - 2010. -Т. 152. - № 4. - С. 225-237.
Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveikin A.I. Mathematical modelling of the evolution of polycrystalline materials structure under elastoplastic deformation // Uchenye Zapiski Kazan. Univer. Seriya Fiz.-Mat. Nauki. - 2010. - V. 152. - No. 4. - P. 225-237.
13. Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Двухуровневая модель для описания неизотермического деформирования двухфазных поликристаллов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. -Т.7. - № 2. - С. 181-199.
Trusov P. V., Kondratev N.S. A two-level model for describing the non-isothermal deformation of two-phase polycrystals // Comput. Cont. Mech. - 2014. - V. 7. - No. 2. - P. 181-199.
14. Trusov P. V., Volegov P.S., Shveykin A.I. Multilevel model of inelastic deformation of FCC polycrystalline with description of structure evolution // Comput. Mater. Sci. - 2013. - V 79. - P. 429-441.
15. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 2. -P. 307-324.
16. Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник ПГТУ. Механика. - 2010. - № 1. - С. 111-127.
Shveykin A.I., Ashikhmin V.N., Trusov P. V. Lattice rotation models for metals under deformation // Vestnik PNIPU. Mekhanika. - 2010. -No. 1. - P. 111-127.
17. СтаржинскийВ.М. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1980. -464 с.
Starzhinskii V.M. Theoretical Mechanics. - Moscow: Nauka, 1980. -464 p.
18. ГультяевВ.И. Экспериментальное исследование процессов сложного деформирования материалов на многозвенных траекториях // Проблемы прочности и пластичности. Вып. 67. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - С. 95-98.
Gultyaev V.I. Experimental Investigation of Complex Deformation of Materials on Multi-Segment Paths // Problems of Strength and Plasticity. Iss. 67. - Nizhny Novgorod: Izd-vo Lobachevsky Stat Univ. Nizhny Novgorod, 2007. - P. 95-98.
Поступила в редакцию 7.08.2014 г.
Сведения об авторах
Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, crocinc@mail.ru Янц Антон Юрьевич, асп. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com
