Двухмерная модель структуры материала в процессе наноиндентирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

Двухмерная модель структуры материала в процессе наноиндентирования.

Мачихин В.Б. fkmm@tsu.tmb.ru), Арзамасцев А.А.

Тамбовский государственный университет

Наноинтентирование (depth sensing testing) - это метод исследования механических свойств различных материалов (например, тонких пленок, покрытий, небольших объектов и т.д.), путем вдавливания в исследуемый объект наноиндентора на глубину до 0.1 - 1 nm [1].

В наномасштабе, при погружении наноиндентора на глубину около 100 nm, начинают действовать множество новых факторов, влияющих на свойства материала, которые мало исследованы и объяснены [2]. Так, окончательно не выяснено, какие атомные механизмы массопереноса определяют размер отпечатка, какова структура материала под наноиндентором, микромеханизмы упрочнения, контролирующие сопротивление внедрению наноиндентора, а так же, какова природа частичного или полного исчезновения отпечатка после снятия нагрузки [2 - 4].

Очевидно, что в решении этих проблем может оказаться полезным воспользоваться моделированием, которое в последнее время становится эффективным методом исследования в физике конденсированного состояния [513]. С помощью этого метода исследовали: механизм перехода однородного кристалла аргона от бездефектного состояния к состоянию с дефектами [5], процессы зарождения дефектов в монокристаллах [6,7], а также пластическую деформацию монокристаллов алюминия [8].

Моделирование применили для проверки гипотезы о частично отобранных правилах зародышеобразования при пластической деформации [9]. При использовании квазинепрерывного метода были выявлены микромеханизмы, влияющие на результаты при наноиндентировании в тонких пленках, которые зависят от геометрии наноиндентора и ориентации материала [12]. С помощью численного моделирования установлено, что макроскопические поведения пластической неустойчивости, обусловленное эффектом Портеве-на-Ле Шателье, определяется коллективными процессами, связанными с дальнодействующим взаимодействием дислокаций, приводящими к динамическим эффектам мезоскопического масштаба [13]. Все эти работы, направлены на выявление и изучение явлений, влияющих на свойства материала.

Визуализация изменения положений атомов материала при наноинден-тировании позволила бы дополнить имеющиеся работы в этой области.

Целью данной работы является разработка математической модели, использующей метод молекулярной динамики и позволяющей визуализировать изменение структуры материала в процессе внедрения в него наноиндентора.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В качестве модельного объекта был выбран аргон, обладающий достаточно простыми и изученными свойствами, что позволило использовать его в ряде работ [14,16]. Основные параметры аргона, используемые в модели приведены в табл.1. Здесь и - межатомное расстояние. Параметр а имеет размерность энергии и равен минимуму потенциальной энергии при

г0 = 21ба. Масса атома аргона 6.69 10-23 г. В нормальных условиях он представляет собой газ, но при температуре ниже 80 - 90 К переходит в твердое состояние.

Таблица 1.

Теоретические и экспериментальные значения параметров, характеризующих потенциал Леннарда - Джонса и энергии сцепления Аг [17].

Кристалл и-10 :,нм (эксп.) г0 -10 1, нм а. эВ (эксп.) и0 =-8,6-а, эВ (теор.) и 0, эВ (эксп.)

(эксп.) (теор.)

Аг 3,40 3,75 3,71 0,0104 -0,089 -0,08

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

При разработке модели приняты следующие основные допущения:

1. Атомы представляют собой несжимаемые шарики.

2. Рассматриваем двумерный случай.

3. Наноиндентор представляет собой прямоугольный треугольник.

4. Динамика движения атомов подчиняется классическим законам Ньютона.

5. Сила тяжести на несколько порядков меньше силы взаимодействия между атомами и ею можно пренебречь.

6. Усредненная температура модельной области в отдельном вычислительном эксперименте постоянна.

7. Стенки модельной области являются абсолютно упругими.

8. Соударение атомов со стенками и с наноиндентором - абсолютно упругие.

9. Силовое взаимодействие между всеми атомами является Ван-дер-Ваальсовым.

Модельная область представляет собой квадрат, в котором находятся атомы 14 х 14 = 196. Координаты всех атомов и скорость их движения в начальный момент времени задаются исследователем. Направления движения атомов в начальный момент времени рандомизированы. Температура модельной области вычисляется по уравнению

T = ■

Zт и)

1m

1 Nkb

2 B

где кв - постоянная Больцмана, N - количество атомов, т - масса атома, ui -скорость атома, скобки обозначают усреднение по времени.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц описывается с по-

мощью потенциала Леннарда-Джонса, U = 4s

\ 12

а а

r r

2 i 2 ii /

где rj - расстоя-

ние между i и j атомами соответственно.

Для удобства в модели выражали длины, энергию и массу в единицах

3s0 ^

а, s, m, где m - масса частиц. Скорости измеряли в единицах 1 — I , а время

2 m /

- в единицах т = (m-а2-sf - модельное время. Используя табл. 1 получили т = 1.82 -10-12 с.

Массу наноиндентора М принимали равной 500 массам атомов аргона. Это соотношение выбирали из условий качественного соответствия процессов внедрения наноиндентора в вещество в модели и реальных экспериментах. Непопадание атомов аргона внутрь наноиндентора обеспечивалось с помощью соответствующих граничных условий (системы неравенств).

Перемещение наноиндентора на n-й итерации определяли по формуле:

Ah = |v + (F - Fax ) - M )**,

где F - нагрузка, Fx - сила, действующая со стороны модельной области, V -скорость наноидентора на (n-1) итерации. Силу Fx находили как проекцию суммы всех сил, действующих со стороны атомов аргона на наноиндентор и определяющихся по второму закону Ньютона за промежуток времени At.

В процессе моделирования координаты всех атомов и их скорости изменяются в соответствии с системой разностных уравнений, представляющих собой алгоритм Верле в скоростной форме [16]:

1 2 Xn+1 = Xn + А At + 2 - an ■ (At f

Я+1 =$n + 2 -(an+1 + an )• At ,

здесь новая координата xn+j вычисляется с использованием не только скорости Зп, но и ускорения an, т.е. алгоритм обладает высоким порядком по At (глобальная погрешность имеет третий порядок для координаты и второй порядок для скорости); новая координата используется для нахождения нового ускорения an+j, которое вместе с an используется для получения новой скорости Sn+1. Данный алгоритм является самостартующим.

6

Правильность и надежность данного алгоритма предварительно тестировали на задачах качественного соответствия модели поведению реального объекта при броуновском движении и фазовых переходах.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В компьютерных экспериментах по определению структуры моделируемого вещества в твердом состоянии начальную температуру системы и скорость всех частиц принимали равными нулю (см. рис.1 а)).

о о

о О о

о о ° о ,

о° о о--о " О

о о° °о°о ° °о о°о

^ О ° О о оо^п

° г, г, О ° °

° ° о о" ° ° о О ° О "оо «О „ о ° ° о о о 00 о о °о о о о° о о

С) 6)

е)

Рис.1. Визуализация вычислительного эксперимента: a) начальное состояние объекта - кристалл с идеальной квадратной решеткой; Ь) объект в газообразном состоянии; с) структура объекта при сверхбыстром охлаждении - моделируемое вещество «распадается» на три фазы: кристаллическую, аморфную и фазу свободного объема; ё) структура объекта при медленном охлаждении-кристалл с вкраплением аморфной фазы и фазы свободного объема; е) объект

в твердом состоянии.

Первая серия вычислительных экспериментов была направлена на определение качественного соответствия основной феноменологии, характерной для известных веществ и результатов моделирования. В начальный момент времени атомы помещали в узлы идеальной квадратной решетки, а их скорости принимали равными нулю, что соответствовало 0 К (рис.1 a)). Несмотря на то, что такое начальное состояние не соответствует никакому реальному случаю, оно выбрано в качестве исходного по двум причинам: в ходе экспериментов было отмечено, что рассматриваемая система практически «не запоминает» начального состояния, а последующие структуры объектов зависят лишь от условий взаимодействия атомов между собой и со стенками модельной области; удобство проведения вычислительного эксперимента и задания начальных условий.

В дальнейшем скорость движения атомов линейно увеличивали со временем, что соответствовало «нагреву» объекта, так что положение атомов через некоторое время имело вид, показанный на рис. 1 Ь). Видно, что в результате «нагревания», объект из состояния (рис. 1 a)), характеризующегося упорядоченной структурой перешел в состоянии (рис. 1 Ь)), характеризуемое рандомизированной структурой, что соответствует переходу вещества в газообразное состояние. Из этого состояния вещество подвергали «сверхбыстрому охлаждению». В модели это соответствовало уменьшению скорости движения частиц на каждом шаге модельного времени. Через некоторое время система переходит в состояние, показанное на рис. 1 с) - «распадается» на три фазы: кристаллическую, аморфную и фазу свободного объема, что в соответствующих условиях наблюдается и для реальных веществ.

Из состояния газа (рис.1 Ь)) осуществляли также «медленное охлаждение» - его скорость была в 20 раз меньше, чем при быстром охлаждении. При таком воздействии объект через некоторое время приходит в состояние, показанное на рис.1 d), кристалл с вкраплением аморфной фазы и фазы свободного объема. Когда систему атомов изолируют от внешних воздействий, т.е. предоставляют сомой себе, то она переходит из первоначального состояния, показанного на рис.1 a), в состояние (рис. 1 е)) с треугольной решеткой. Это объясняется тем, что вещество в неравновесном состоянии стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией.

Приведенные предварительные вычислительные эксперименты показали, что компьютерная модель правильно описывает основную феноменологию, наблюдающуюся в реальных объектах, что позволило использовать ее для моделирования процессов наноиндентирования.

В следующих компьютерных экспериментах среднюю скорость движения атомов в модели поддерживали постоянной, что соответствует постоянству температуры модельной области.

Во второй серии вычислительных экспериментов моделировался процесс наноиндентирования, в котором испытательная нагрузка была постоянной. В начальный момент времени атомы помещали в узлы идеальной треугольной решетки ( атомы находятся в вершинах равностороннего треуголь-

ника)(рис.2 a)). В процессе моделирования получены рисунки из которых видно, что атомы, которые находятся под наноиндентором, перемещаются на поверхность, образуя так называемые «навалы» (рис.2 е) - ])), в объеме примыкающие к наноиндентору - уплотняются (рис.2 е) - ])), а в зоне острия на-ноиндентора образуются области разрыхления (рис.2 с), §), Ь)) в основной же части расположение атомов не изменяется (рис.2 Ь) -.0).

а)

оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо

о°оо003^,000ооо

оооооооооооооо! оооооооооооооо

О о оооооооооооо оооооооооооооо оооооооооооооо

О О о о

ОООООООООО

о°оС'00г,0 ° °° ° ° о оо о О „ ОООООООООО ООООООООООО

о О о о о

ООООО ОООО

ООООООООО оооо О

ооооооооооооооп

оооооооо о ООО о_^

О О о о ° оЧ^^Г^ ООООО

ООООО о^Г° о о о О о О ООООООО о о о о о О о

ООООО О о ООООООО о О О О О О оо ООООО о

ОООООООООООООО ООО ООООО о о о о о о О ООООО ООООООО о

оооооооооооооо ОООООООООООООО ОООООООООООООО

ООООоОО ООООООО э оооооО ОООООООС

О г^пОО Orir-.r-.r-.r-.OCt_

3 о о о о оооо

3 О о о о о о

о о

ОООООООООООО

О о с

О о

эооо ОО ООООООО

ОООООООООООООО

ЭОООООООО оо ООО ООООООООООООО о ЭООООООО о ООО оо ОООООООООООООО ^ООООООООО ОО оо ОООООООООООООО 3000000000°00 ОО

о о п п .-. п о □__п__п__п__п__п

Ь о О о о о^^^^Г о ° О о ООООО ООООО

Ьоооооо~о ОоОООО ОООООО ООООООООО ^оооооооооооооо

оооооооооооо ОО ^оооооооооооооо оооооооооооооо

^ООООООООООООО

оооооооооооооо

^ОООООООООО ООО

ООООООООООООО о ¡ОООООООООООО О ООГ-.Г-.Г-.Г-.Г-.Г1Г1Г1Г1Г-.0

о О о о '-^^^^О О О о -, О о О О оооо

! о о О О О о О ООООО оО оо ОоОооО ОО ООО ) о о О О О ООО о о о о оо ООООООО ООООООО ^ООООО ООООО ООО о ОООООООООООООО

^ОООООООООООО о

ООООООООООООО о

^ООООООООООООО^

ООО ООООО оооо оо ^ОООООООООО00

^пооооооооппро

о о

оооо Л^^НГО ООО ооооо а^Ш^ ооооо

) о о О о О О^^Ъ ОоОООО ОООООООО О О о О О ° 0 )00°00000000000 з ООООООООООООО

ОООООООООО оооо ОООО ООООООО ООО

) ООООООООООО оо

о о О О ОООООООООО э о оооооооооооо ООО ОООООО ООО0 о

ЭОООООООООООООС Л|_■"■ '-' ■"■_■"■ ■"■ _■"■_■"■ _О.

о О о о О О ОООО ^ О О о о о

о ОООООО ОО ООО ЗОоООООоООоО°Ои ОООООООООООООО ООООООООООО Оо ОООООООООООООО )00000 ОООО О О о О С ОООООООООООООО

оооооооооооо оо

ОООООООООООООО

Э О О о О о О ООООООО _11]_"I .-. "I "I_о_"I "I .-. .-._I- .-. I-_а_

О о

О О о ООО

о о о о о^^^ИГо о О О О э О О О О О о З^О ОООООО ОООоОоо ОООООООС

ЗоОООоОООоОООоО ОООООООООООООО ООООО ООООООО ООООООООООООО

оооооооооооо с

Оо ОООООООО оо° |ООо°ООООООо о ООООООООООО Оо ООООООООООООО оооппппппппп_

^ 2

Рис. 2. Визуализация компьютерного эксперимента: изменение структуры моделируемого объекта при постоянной нагрузке. 1 - зона разрыхления. 2 -зона уплотнения.

В реальных твердых телах при таких же условиях обычно появляются дислокации, которые при моделировании не обнаруживаются. По всей видимости, это можно связать с тем, что в вычислительном эксперименте рассматривалось мало частиц; наноиндентор погружался только на несколько атомных слоев.

В этих же вычислительных экспериментах регистрировалась глубина погружения наноиндентора во времени. Полученный график h(t) (рис.3 a)) имеет качественное сходство с экспериментальными зависимостями, полученными при микроиндентировании HCl (рис.3Ъ)) [2].

Из графика (рис.3 a)) видно, что при прекращении погружения наноиндентора, он окончательно не останавливается, а совершает затухающие колебания относительно положения равновесия. В реальных системах данное явление не зафиксировано из-за существенно большего различия масс наноин-дентора и моделируемого материала.

Третью серию компьютерных экспериментов проводили с использованием метода кинетической твердости [2].

Рис. 3. Кинетика перемещения наноиндентора при постоянной нагрузке. Без образца (1) и с образцом (2): а) вычислительный эксперимент; по оси абсцисс - модельное время в относительных единицах; по оси ординат - глубина погружения наноиндентора; b) данные, полученные при микроиндентирова-ние HCl экспериментальной установке [2].

I:, отн. ед.

И, А

Ь)

7

г

1

I, отн. ед.

V

0,33 Ртах 0,66 Ртах

о о о* о о о О О О

о о о о о о о^ о о о О О О

оооооооооооооо ОООООООООООООО

оооооооооооооо оооооооооооооо

ОООООООООООООО

оооооооооооооо

ОООООООООООООО ОООООООООООООО

ОООООООООООООО ОООООООООООООО ОООООООООООООО

оооо оооооооооо

ОООООООООООООО

° 0 о о о 0 оооооооо О ООООООООООООО °000000000000 ° 000000000000С °о ООО ООО о оо Оо о ОООООООО Оо ООО о ОООООООООООООО

000 ООООО ООООО О оооо Оо ОО ОООО 00

00000000000001 ООО ОООООООО ООО

ОООООООООООООО

Fmax

0,66 Ртах

ООООО -, - О О О ООО оо ООООоОООоОоО ОООООООООООООО

о о О О о О о О оооо О О

О О О оооОо Оооо о 0 о ООООООООООООО

ОООООООООООООО О Оо ООООООООООО

О О О ОООООООООО о ООООООООООООО о ООО оОООООООо о о О ооОоО О О о о о О о о

ппппппппОпппп п

0,33 Ртах

о о о о с

' О О О О и - и ОООООо 00 00000° э о о о о о о оо ооооо

ОООООО О ОО ООООО Э О О О ООО О ОО ОО Оо

ОООООООООООООО

Э ОООО ОО ОО О ООО о

ООООООООООООО о э о о о ОООООО оооо

ОООООООООООООО "ООООООООООООО 1РОО|-||-| ПППО |-||-|0 о

1 ° ,-. п О ° ° ° О О

О о о о о о о О о о О п п 0 О О о о О о 0000 0 0 о ооооо оо00о 00 О

0000000000 оооо

оооооооооооооп

з ООООООООООО О п^ ООООООООо

° ° О о о

ООООООООООООО ОООООООООООООО о О ООООООООООО _О О О по пппппппп

О о О о

ООО о о с ,_,-- оооо оо ООО000 О О О о О О О С

о о о О о о о ООООООО ОООО000 ООоОоОс

ОООООООО ООО ООО

ООО О000 О ОО ООО I

ОООООООООООООО

ООО ООО ООО ООООО ОООООООООО ОО оо о ОООООООООО О О ( О ООООООООООООО

С)

7

0 ° о о

О О ° о О ОоО°0

ОООООО ООООООС

ОООООООООООООО оооо оо°оооооОС

ОООООООООООООО

о ООО ООО ООО ОООО 00000000000000 ОООООООООО ООО с

О ООООООООООООО

ОООООО ОООООООС ОООООО ОООООООО ОООООООООООООС ОООООО ОО ОООООО _■-■■-. П П г, П г. П г. г. г. г. г. г

Рис.4. Визуализация виртуального эксперимента при переменной нагрузке (метод кинетической твердости): a) - зависимость нагрузки от времени; Ь) -зависимость глубины погружения индентора от времени; с) - изменение структуры моделируемого объекта (цифры 1-7 соответствуют точкам на графиках a), Ь)).

На рисунках показано изменение структуры моделируемого вещества (рис.4 с)). Из них видно, что при внедрении наноиндентора образуются «навалы» (рис.4 с) 2-7 и рис.5 1), а у кончика наноиндентора - область разрыхления (рис.4 с) 4 и рис.5 2), которая постепенно исчезает при снятии нагрузки

(рис.4 с) 7). В основной же части кристалла расположение атомов не изменилось (рис.4 с) 1-7).

,1.

О О О О О O^H^I С" о о о о ) о О о о О q^TJo О О О о О О О О О о О о О о 0

3 О о О о о о о о \р О о О о о о о о о о О о о^ о о о о

Ii О О О ООО О О О Ц О О о

ООООООООО О OL О о о ЭОООООООООО (Хо о

ООООООоОООо о

Э О О О ОООООО ООО ОООООО оо ооооо

DOOOOOOOOOOOOO

г-. /-. /-. г-. n n_n n n /-. n ri_□_llL

о о о о ° \ 0-ef о о о о с

О О О О О ° О ооооо

оооо оо°ооооо°с

ОООООООООООООО

ОООООООООООООО qOOOOOOOOOOOOO

ooooooooooooot

о ооооооооооооо

ОООООО о о о о о о о с ОООоОО оооо оооо

ооооооооооооо! ОООООО оо ОООООО

_■"■ _■"■_ПпПппппп_с

Рис. 5. Области образование навалов (1) и разрыхления (2).

Получены также зависимости приложенной силы и глубины внедрения наноиндентора от времени F (t) (рис.4 a)) и h(t) (рис.4 b)) и изменения нагрузки от погружения наноиндентора F (h) (рис.6 a)). График, показанный на рис.6

a), имеет вид, качественно схожий с экспериментальными данными (рис.6

b))-

F, отн.ед.

Рис.6. Зависимости нагрузка - глубина проникновения наноиндентора при нагружении и разгрузке: а) в компьютерном эксперименте; Ь) в реальных условиях для 1п02 [2].

Таким образом, полученные результаты моделирования оказались непротиворечивыми по отношению к экспериментальным исследованиям, проведенным ранее другими авторами. Данную модель можно использовать для объяснения феноменов, возникающие в материале при наноиндентировании.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Oliver W.C., Pharr G.M. An improved technique for determing hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments // J.Mater.Research. 1992. V7. №6 P. 1564-1583.

2. Головин Ю.И., Иволгин В.И., Коренков В.В., Коренкова Н.В., Рябко Р.И. Определение комплекса механических свойств материалов в нанообъемах методоми наноиндентирования // Конденсированные среды и межфазные границы, 2001, т.3, №2. С. 122-135.

3. Головин Ю.И., Тюрин А.И. Недислакционная пластичность и ее роль в массопереносе и формировании отпечатка при динамическом индентирова-нии // ФТТ, 2000, т.42, №10, С.1818-1820.

4. Головин Ю.И., Тюрин А.И. Современные проблемы нано - и микротвердости твердых тел. (препринт) Тамбов: Издательство ТГУ, 2000. 42 с.

5. Дмитриев С.В., Овчаров А.А., Старастенков М.Д., Козлов Э.В. Механизм перехода однородного кристалла аргона // ФТТ, 1996, т. 38, Вып.6, С.1805-1811.

6. Шудегов В.Е., Лобастов А.И., Лихачев В.А. и др. Процессы зарождения дефектов в монокристаллах // ФТТ, 1995, т. 65, Вып.6, С. 94-101.

7. Лобастов А.И., Шудегов В.Е., Чудинов В.Г. Процессы зарождения дефектов в монокристаллах // ЖТФ, 1997, т. 67, Вып.12, С. 100-102.

8. Лобастов А.И., Шудегов В.Е., Чудинов В.Г. Пластическая деформация монокристаллов алюминия в комьютерном эксперименте // ЖТФ, 2000, т.70, Вып.4, С. 123-127.

9. Robertson C.F., Fivel M.C.. A study of the submicron indent-induced plastic deformation // Journal of Materials Research, Vol. 14, No. 6, Jun 1999, C. 22512257.

10. Лагунов В. А., Синанин А.Б. Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте // ФТТ, 1998, т. 40, Вып.10, С. 1919-1925.

11. La Fontaine W.R. Yost B., Black R.D., Li C.Y. Indentation load relaxation experiment with indentation depth in the submicrone range // Journal of Materials Research, Vol. 5, No. 10, 1990, P. 2100-2106.

12. Tadmor E.B., Miller R., Phillips R., Ortiz M.. Nanoindentation and incipient plasticity // Journal of Materials Research, Vol. 14, No. 6, Jun 1999, C. 2233-2249.

13. Лебедкин М.А., Дунин-Барковскиий Л.Р.. Динамический механизм температурной зависимости эффекта Портевена-Ле Шателье // ФТТ, 1998, т.40, №3, С.487-492.

14. Лагунов В. А., Синанни А.Б. Компьютерное моделирование формирования кристаллической структуры при переходе из аморфного состояния // ФТТ, 2000, т.42, вып.10, С.1087-1091.

15. Дмитриев С.В., Овчаров А.А., Старастенков М.Д., Козлов Э.В. Механизм перехода однородного кристалла аргона // ФТТ, 1996, т. 38, Вып.6, С.1805-1811.

16. Гулд Х., Тобочник Я.. Компьютерное моделирование в физике: в 2-х частях. Часть первая: Пер. с англ. М.: Мир. 1990. 349 с.

17. Bernardes N. РЬУБ. Я^., 112, 1534, 1958.