CC BY
24
Расчет тонких упругих оболочек
ДВА ВИДА РАСЧЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
С.Н. КРИВОШАПКО, д.т.н., профессор,
Российский университет дружбы народов,
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; sn_krivoshapko@mail.ru
Если за криволинейные координаты на срединной поверхности оболочек принимается сеть линий главных кривизн, то система 17 расчетных уравнений получается наиболее простой. В ряде случаев аналитическое задание поверхности в линиях кривизны является трудной задачей и приходится использовать систему 20 расчетных уравнений, предложенную А.Л. Гольденвейзером для косоугольной системы криволинейных координат при условии разложения векторов внутренних усилий, моментов и внешней поверхностной нагрузки по осям основного неортогонального триедра. Позже была введена в обращение система 20 расчетных уравнений, полученная автором, в которых внутренние силовые факторы и внешняя поверхностная нагрузка раскладывается по осям ортогонального триедра. В статье показывается, что с помощью формул перехода одна система уравнений переходит в другую, т.е. обе предложенные системы расчетных уравнений равнозначны.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: тонкая оболочка, дифференциальные уравнения равновесия, произвольная криволинейная система координат, геометрические уравнения теории оболочек, физические уравнения теории оболочек.
Приступая к расчету конструкции типа оболочки, первое, с чем приходится сталкиваться, - это выбор системы координат. Среди множества произвольных криволинейных координат и, V имеются некоторые, обладающие важными свойствами. К их числу относятся сети сопряженных линий (М = 0), сети ортогональных линий (^ = 0), сеть линий главных кривизн (^ = 0, М = 0). Естественно, что уравнения теории оболочек получаются наиболее простыми, если в качестве координатных линий на срединной поверхности принята сеть линий главных кривизн, однако аналитически не всегда легко бывает найти линии кривизны данной поверхности. Гипотезы линейной теории тонких оболочек позволяют свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной.
Под расчетными уравнениями моментной теории тонких оболочек будем подразумевать полную систему уравнений теории оболочек, которая включает в себя дифференциальные уравнения равновесия, геометрические уравнения (формулы «деформации - смещения») и физические уравнения (уравнения закона Гука, или уравнения состояния).
В 1953 году А.Л. Гольденвейзер в своей монографии [1] привел расчетные уравнения для тонких оболочек, срединная поверхность которых задана в произвольной системе криволинейных координат и, у.
Его 20 расчетных уравнений включают в себя 6 уравнений равновесия:
Введение
1 д
[в(жФ + ОС8 С* )] - — Г, 2 81И с *--— — - С08с;)]
2
1д
8ш с ди
- яг^ьс;-
1 _Э_
sin c Э*
Hs; + cos c*)]-АГ1 Sin cn* + — ^[a(n; - cos cs*)] +
a i ab
+ — Г22 sin cs* --.-
b sin c
q*_ q;
rí R,„
sin c
+ ab(y + cos cx ) = 0;
AB
( N *
__+Ni+s* - s;
Rí R*
R„
+ — (bQ* )+ (aQ* )+ AB sin cZ = 0; a; av
_J__d_
sin c a*
1 э
[b (m*
+ cos
M B 2
cM*)]_ — ri2isin cM
sin c av
_j__э_
sin c Э;
1 э
[a(m* - cos cm; )]- ВГ122 sin cM*; + ABQ* = 0;
[b(m* + cos cM*v)]_ Arn sin cM*v +
[a(mi - cos cm* )]+ a-Г22 sin cm* - abq* = 0
sin c av
b
sin c(s* + S*)+
ML M*
- + -
M* - M*
■ + —*-- = 0,
К ку Ку
6 геометрических уравнений [1, 2] и восемь формул (физические уравнения), связывающих между собой «псевдоусилия» (Ы*и, , , , Q*u, Ql), «псевдомоменты» (М*и, М*, М*у, М*) и компоненты тангенциальной и изгибной
деформаций (^и , £у , £иу , ки , к , ку ):
N * = ■
Eh £и _ ctgzw + V£v
1 -И
sin c
N*=■
Eh £* _ c\gxw + n£*
1-И
sin c
Г1* _ rr* _
s„ = _s =
Eh
M *=--
1 + co2s c £*v _ctgc(£* +£v ) _Á£nv + ctgc{£n +£v)][;
sin c J
Eh3 к,, + VKv Eh3
2(1-n2) [ sin2 c
12(1 -n2) sin c
M *=-
Kv +nk
12(1 -n2) sin c
ML = -
Eh3
kv _ cos ckv
ML =-
Eh3
kv _ cos ck
(2)
12(1 + n) sin j vu 12(1 + n) sin j
В уравнениях равновесия (1) и в геометрических уравнениях [1] содержатся символы Кристоффеля G . Векторы внутренних усилий и моментов, а также внешних поверхностных сил X*, Y*, Z* раскладываются по осям основного три-едра ru /A, rv/В, n поверхности r = r(u,v). Положительные направления усилий и моментов показаны на рис. 1.
В уравнениях равновесия (1) встречаются также обозначения:
1 L 1 * 1 М (3)
Rí
R í
B2 R*
AB
= к,.
X - угол между координатными линиями u, v, для определения которого имеем формулу:
F F
cos х = ^= = —; (4)
4eg ab
+
где Яи, Яу - радиусы кривизны нормальных сечений поверхности, проведенных вдоль соответствующих координатных линий.
Таким образом А.Л. Гольденвейзер [1] ввел в обращение 20 расчетных уравнений для определения 19 двумерных параметров:
NU, NV, su, s;, QU, Q;, Ml, MV, M*uv, m; ; , , £„v, *■„, , ^
и uu, uv, uz - компоненты смещения.
N:+...
Ql +...
б M,;, +...
M * +...
Ql +...
Рис. 1
В 1977 году С.Н. Кривошапко [2, 3] предложил другой вариант составления системы расчетных уравнений для расчета тонких оболочек, заданных в произвольных криволинейных координатах (с Ф 0 ):
Рис. 2
6 уравнений равновесия (рис. 2):
Nu - N; (дБ dA ) dAv DdS'u dNu .
(AS; ) + -— — cosel + — Su + Б—^ cosc+Б—- sinc-
dv sine V du dv J dv du du
АБ
- — Qu + АБХ sin e = 0,
Ru
д(Аът) Su + Sv (дБ дА ) дА DdSu . Ми
(AN; —— — cose l—Nu + Б—^sine-Б—^cose-dv sine V du dv J dv du du
АВ
—
- + -
81П С
Qv Q¡
_^_ х-и
К
С08 С
+ АВУ 8ш с = 0,
- + -
1
К эт с К эт с Ав
- ^и )+ду (AQV)
ди -у
- 2 81п с = 0,
-1лл,\ Миу +Муи (дВ дА ) дА., т>дМи т>дМиу . --(АМу )+—иу-уи\---соь% I +—Ми + В—и- соь%+В—иу 81пс+
-у бщс V ди ду ) -у ди ди
+ ABQV 81п с = 0, д ^ ) Му -Ми (дВ дА ) дА идМи . т>дМиу
(Шуи)+—^-и- \— -— С08С I +— Миу - В-^- 81ПС+ВС08С+
ду 81ПС V ди ду ) ду ди ди
+ АВ^и + Qv С08 с) = 0, М
(5и - )8Ш с + (— - Ши ) С08 с +
М
Ки 81п с К 81п с
= 0,
(5)
6 геометрических уравнений [1, 2] и восемь формул (физические уравнения), связывающих между собой внутренние усилия (Ши, -у, Би, Qu, Qv,), моменты (Ми, Му, Миу, Муи) и компоненты тангенциальной и изгибной деформаций
(ви , ву , виу , Ки , Ку , Киу ):
ЕЙ , ЕЙ .
N. =-- (ву - втctgС + У£и), -и = --- (ви - виу+ пеу),
1 -V
у 2 у иу
1 -V
+(в.-^С«], * ^ +(ви -ву
Муи
ЕЙ3
М, =
12(1 + п)
ЕЙ3
(Куи - КиС0$х), Мт
ЕЙ3
12(1 + п)
(Куи - КуС0$х),
М„ =-
12(1 -V2)
ЕЙ3
к + к
и у (1 -п)(ки 8ш Х+Кш С1&с)
81И с
12(1 -V2)
Ки + К
81И X
- (1 -п)(ку яп с+киу
(6)
Получилось 20 расчетных уравнений для определения 19 двумерных параметров. Дифференциальные уравнения равновесия (5) отличаются от уравнений равновесия А.Л. Гольденвейзера (1), так как уравнения (1) включают в себя «псевдоусилия» (рис. 1, векторы со звездочками) вместо усилий, общепринятых в инженерной практике (рис. 2, векторы без звездочек).
Преобразованные уравнения равновесия А.Л. Гольденвейзера, не содержащие символы Кристоффеля
Подставим значения символов Кристоффеля Г, взятые из монографии [1], в уравнения равновесия (1). После некоторых преобразований получим:
Э(В— ) дВ * ЭS дА * * д * *
-Ц-^--ВШ + ВС08с-^+дА(s; + С08сШ*)+--[А(С08сШ* -S;)]-
ди ди ди -у -у
АВ
К Киу
+АВ с(х * + С08 сУ * ) = 0;
э(an ) эа * as эв * Э *
-Ц-^-OAK - A cosc-^-Эв (s* - coscN*)+f [B(coscN* + s*)]-av av av э* a*
- AB
f Q*_ _ Q* л К R*
+ AB sin c(y * + cos cX *) = 0;
f
AB
N1 + N
К R
v_ + sv - s*
*
v
R
Э
+ O*i(BQ*)+a (aQ*")+ AB sin cZ * = 0;
Э(ВМ ) эв * эм эа э *
-Ц^-^Эвм;„ + вcoscM+OA(M* + coscMv*)+--[A(coscM: -M*)] + т т Э* -v -v
+AB sin cQ* = 0; -(AM*) _-AM*
-v -v * - AB sin cQ* = 0;
-AcoscM_-B(M; -cosM;v)+-0[B(coscM;v + M;)]--v m m
sin c(s * + s*)+
M * M * + -
Rí К
Mv* - M *
■ + —v-- = 0.
R
(7)
Уравнения равновесия (1), записанные в форме (7), более привычны для восприятия инженером.
Формулы, связывающие внутренние усилия и моменты с внутренними «псевдоусилиями» и «псевдомоментами»
Между силовыми факторами, входящими в формулы (5) и «псевдоусилиями», входящими в формулы (7), существуют отношения (рис. 3):
Nv = N* sin c, K = N* sin c, sv =-s* + N* cos c, s* = s*+ N* cos c, Mv* = M* sin C, M*v =-M*v sin c Mv = -Mv* + Mv* cos c,
M = -M * - M *v cos c. В формулах (5): s* * sv и Muv * M*, так как c * P / 2, а в уравнениях (1) и (7), согласно физическим уравнениям (2), имеем s; = _s* даже если c*p/2.
Переход от уравнений равновесия (5) к уравнениям равновесия (7) Подставляя значения усилий и моментов (8), общепринятые в инженерной практике, а также Z = —Z* в уравнения равновесия (5), после довольно сложных преобразований получаем:
Рис. 3
д(вк:) дв * о э^
—-—--И* + В 008^--
д: д: д:
+дА ^ + 008со+э^ [Л(оо8%ы: - 5*)] -э* э*
Лв
О,
* ^
:
я:
+ЛВ 81п Сх * + 008С * ) = 0;
э(ЛИ*) ЭЛл : Э5* ---N - Л 008с—
э* э* э*
эи
э
-008ХИ*)+—[В(008СИ* + 5:)]-эи
- ЛВ
[ о* ^ я*
ЛВ
+ ЛВ 81п : + 008СХ * ) = 0;
э (во:)+^(ЛО:)+ ЛВ 81П & * = 0;
(
N1 я:
+-
N
я
* ^ * *
э(ВМ**) эв
эи эи
- ЛВ 81П СО* = 0;
М*и + В 008С
+ -
эи эм*
эи
+ эЛ (М* + 008сМ*и) [Л(008СМ*: э* э*
М*)] +
э(ЛМ*и) эл . . эм*:
--^ТМ:* - Л 008^—*
э* э* э*
- ЛВ 81П со: = 0;
-эВ(М* -008М**) + [В(008%М*:* + М*)]-эи эи
81П с{5**+ ^
М * М *
я: я*
= 0.
(9)
Сравнивая системы уравнений (7) и (9), замечаем, что в первом уравнении системы (9) отсутствует слагаемое ЛВО*/яи*, во втором уравнении системы (9) отсутствует слагаемое ЛВОи/яи*. Если используется сопряженная система криволинейных координат, то М = 0, следовательно, \/яи* = 0, и это различие не играет роли. Кроме того в четвертом уравнении равновесия системы (9) перед поперечной силой стоит знак (-), а в соответствующем уравнении А.Л. Гольденвейзера (7) стоит знак (+).
Второе уравнение равновесия системы (9) получено сложением 2-го уравнения равновесия системы (5) после подстановки в него значений (8) и умножения его на 81и^ 0 1-ым уравнением равновесия системы (9) после умножения последнего на 008^.
Аналогично, пятое уравнение равновесия системы (9) получено сложением 5-го уравнения равновесия системы (5) после подстановки в него значений (8) и умножения его на 81и^ 0 4-м уравнением равновесия системы (9) после умножения последнего на 008^.
И наконец, последнее уравнение системы (9) отличается от аналогичного уравнения системы (7) отсутствием слагаемого (М* - М*)/ яи* . Если используется сопряженная система криволинейных координат, то М = 0, следовательно, 1/яи* = 0, и это различие не играет роли.
Геометрические уравнения
Геометрические уравнения для оболочки в произвольной криволинейной системе координат :, * были получены А.Л. Гольденвейзером [1]. Их можно применять в обоих рассмотренных случаях (рис. 1, 2). Только необходимо помнить, что перемещения :г направлено в сторону, обратную единичному вектору п, т.е. применяется следующее разложение:
г г
и = и..— + иу — - и7 п. и А у Б
После подстановки значений символов Кристоффеля в первую тройку геометрических уравнений, они принимают вид:
1 duu + dA dv )+B cos x du uv 1 uz
A du B <
1 duv + dB u f uu J+a cos x dv X1 uz
B _ dv v A к
£uv = sin^
B ± (1+A ± f Uu
A du I B J B dv V A
1 dx 1 dc
Uu
A du B dv
(
uv +-
sine
2 + cose + cose R,, RR'
(10)
1
V 12 "и "у у
Далее необходимо подставить символы Кристоффеля в оставшиеся три уравнения для определения изменения кривизн ки и ку и кручения киу. Например, для пологих оболочек эти формулы принимают вид:
1
k = A
k = в
d
(
1
du
\
du d f
A sin x du
1 _d_ B du
(
\
+ -
1
dA du,
cos x du sin x dv J B2 sin x dv dv
dv
1 du,1 1 d f
B sin x dv
A dv
008 с
du 1
+ -
dB du,
sin x du J A2 sin x du du
k,„ =-
1
AB sin x
B2 d f 1 du
+ Al d ( 1 du,
2 du I B2 dv J 2 dv I A2 du
2 d2u, cos x dB du, cosx dA du, - cos2 x^^ +-—-—^ + - z
dudv
A du du
B dv dv
(11)
Для непологих оболочек формулы для ки, ку, киу будут намного сложнее. Заключение
Если требуется рассчитать тонкую оболочку со срединной поверхностью, заданной в косоугольных криволинейных сопряженных координатах, то можно использовать систему 20 расчетных уравнений А.Л. Гольденвейзера, включающих в себя уравнения (7), (10) и (2) или систему 20 расчетных уравнений, предложенных автором, включающих в себя уравнения (5), (10) и (6).
Отметим также, что уравнения (1), (10) и (2) были применены для расчета прямых длинных геликоидов [4], а уравнения (5), (10), (6) - для расчета длинных торсов-геликоидов [5].
Помимо рассмотренных двух вариантов представления расчетных уравнений линейной теории тонких оболочек, в литературе представлены нелинейные уравнения теории тонких оболочек в косоугольных координатах [6]. Статическая задача теории упругости в криволинейной неортогональной системе координат изучается в работе [7]. А Р. А. Римский [8] исследовал напряженно-деформированное состояние поперечно нагруженной пластинки в форме параллелограмма, отнесенной к косоугольной системе координат.
Л и т е р а т у р а
1. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: ГТТИ, 1953. - 544 с.
2. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчета оболочек неканонической формы: Монография. - М.: Изд-во РУДН, 2010. - 542 с.
u
v
u
z
1
1
,
3. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. К вопросу расчета упругих тонких оболочек в неортогональных криволинейных координатах// Расчет оболочек строительных конструкций: Сб. статей. - М.: УДН, 1977. - С. 3-14.
4. Рынковская М.И. К вопросу о расчете на прочность тонких линейчатых винтовых оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2015. - № 6. - С. 13-15.
5. Баджория Г.Ч. Расчет длинного развертывающегося геликоида по моментной теории в перемещениях// Строительная механика и расчет сооружений. - 1985. - № 3. -С. 22-24.
6. Шевелев Л.П., Исаев Б.В. Нелинейные уравнения теории тонких оболочек в косоугольных координатах. - З-д ВТУЗ при ПО турбостр. Ленинград. метал. з-да. - Л., 1988. - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.88, № 7604-В88.
7. Коновалов А.Н. Численные методы в статических задачах теории упругости// Сибирский математический журнал. - 1995. - Том 36: 3. - С. 573-579.
8. Римский Р.А. Исследование косоугольных пластин методом Канторовича -Власова// Исследования по теории сооружений. - М.: Стройиздат, 1970. - С. 64-68.
References
1. Goldenweiser, A.L. (1953). Theory of Elastic Thin Shells, Moscow: GTTI, 544 с.
2. Ivanov, V.N., Krivoshapko, S.N. (2010). Analytical Methods of Analysis of Shells of Complex Form: Monograph, Moscow: Izd-vo RUDN, 542 p.
3. Rekach, V.G., Krivoshapko, S.N. (1977). On the problem of analysis of elastic thin shells given in non-orthogonal curvilinear coordinates, Raschet Obolochek Stroitel'nyh Konstruktziy: Sb. statey, Moscow: UDN, p. 3-14.
4. Rynkovskaya, M.I. (2015). On the problem of strength analysis of thin ruled helical shells, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 6, pp. 13-15.
5. Bajoriya, G.Ch. (1985). An analysis of a long developable open helicoid with using of a moment theory in displacements, Stroitel'naya Mechanika i Raschet Soorujeniy, № 3, pp. 22-24.
6. Shevelev, L.P., Isaev, B. V. (1988). Non-linear equations of a theory of thin shells given in arbitrary coordinates, Zavod VTUZ pti PO turbostr. Leningrad. metal. z-da, 25 p., Dep. v VINITI 24.10.88, № 7604-В88.
7. Konovalov, A.N. (1995). Numerical methods in static problems of theory of elasticity, Siberian Mathematical Journal, 36: 3, pp. 491-505.
8. Rimskiy, R.A. (1970). Issledovaniya Kosougol'nyh Plastin Metodom Kantorovicha - Vlasova, Issledovaniya po Teorii Soorujeniy, Moscow: Stroyizdat, pp. 64-68.
TWO TYPES OF GOVERNING EQUATIONS FOR SHELLS WITH THE MIDDLE SURFACES GIVEN IN ARBITRARY CURVILINEAR COORDINATES
S.N. Krivoshapko R UDN University, Moscow, Russia
Having taken curvilinear coordinates on the middle surface of shells in the lines of principle curvatures, we can determine the simplest system of 17 governing equations of the linear theory of shells. But sometimes, the problem of analytical determination of the equation of the middle surface in lines of principle curvatures is very difficult task and that is why it is necessary to use the system of 20 governing equations, derived by A.L. Goldenweiser for an arbitrary system of curvilinear coordinates with taking into account the condition of decomposition of the vectors of internal forces and moments and external surface load along the axes of the basic non-orthogonal moving trihedral. Later, the system of 20 governing equations, derived by the author, was published. These equations contain internal force factors and external surface load decomposed along the axes of the basic orthogonal moving trihedral. His paper shows that these both systems of governing equation can transform one into other with the help of the equations of translation, i.e. the both systems of governing equations are equivalent.
KEYWORDS: thin-walled shell, the linear theory of shells, differential equilibrium equations, arbitrary curvilinear system of coordinates, geometrical equations of the shell theory, physical equations of the shell theory.
