CC BY
29
А. Ф. ЧАНЫШЕВА
Амина Фанисовна Чанышева — аспирантка кафедры экономической кибернетики и экономико-математических методов СПбГУЭФ.
В 2007 г. окончила Уфимский государственный авиационный технический университет.
Автор 4 публикаций.
Область научной специализации — математические методы в экономике.
^ ^ ^
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОГНОЗОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ РЕГРЕССИЙ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ*
Прогнозирование в экономике является важной задачей любого исследователя, изучающего какой-либо экономический процесс. При принятии решений на любом предприятии также решаются задачи анализа и прогнозирования производственных процессов, планирования производства [1]. С этой же проблемой сталкиваются и экономисты, работающие в области макроэкономики.
В большой степени задачи прогнозирования решаются с помощью построения эконометрических моделей. Формально эконометрическую модель в общем виде можно представить как регрессионную зависимость некоторого экономического показателя У от одного или нескольких показателей X/.
у = / х)+е.. а)
Однако реальная экономическая взаимосвязь никогда не подчиняется указанной зависимости в силу ее сложности, многообразия и постоянной изменчивости. Ясно, что и аппроксимирующие их модели должны отличаться особым разнообразием. Но это многообразие ограничивается существующим множеством элементарных математических функций, часть из которых вообще не применима в экономике [2].
Учитывая вышесказанное, профессор С. Г. Светуньков предложил использовать в экономике функции комплексных переменных, которые в силу присущих им свойств иначе, нежели функции действительных переменных, описывают взаимосвязи между экономическими показателями [там же]. На данный момент под его руководством разработаны основы эконометрии комплексных переменных, включающие построение как линейного, так и нелинейного уравнения регрессии, нахождение оценок коэффициентов модели с помощью метода наименьших квадратов, корреляционный анализ. Одна из основных, еще не рассматривавшихся задач в этой области — построение доверительных интервалов для прогнозного значения искомого экономического показателя. В связи с этим автором разработан способ нахождения доверительных областей, который будет рассмотрен в данной статье.
Итак, задачей исследования является определение доверительных границ для комплексного параметра регрессии Ъ0 + \ЪХ, а также для зависимой переменной Уг + ¡У{, с заданной доверительной вероятностью а .
Исходными данными задачи являются наблюдения по четырем переменным, описываемым уравнением регрессии вида.
У + У = (Ъо + 'АХ Хг + X ), (2)
где Уг, У. — экономические показатели, объединенные в комплексную переменную результата; Хг, X{ — экономические показатели, объединенные в комплексную переменную фактора; Ъ0, Ъ1 — действительная и
мнимая составляющие комплексного коэффициента.
В предыдущих исследованиях был сделан вывод о том, что комплексные переменные Уг + .У. и
Хг + ¡X' могут быть рассмотрены как действительные двумерные случайные величины [3]. Но прежде чем
использовать данные переменные в моделях, необходимо рассмотреть ряд условий их использования [2; 3].
1) экономические показатели, объединяемые в одну комплексную переменную, должны быть двумя характеристиками одного процесса или явления, т. е. отражать разные стороны этого явления. Следовательно, должна существовать взаимосвязь как между переменными, так и между действительной и мнимой частью каждой переменной;
2) показатели должны иметь одинаковую размерность;
3) случайные величины должны быть нормально распределены.
ГРНТИ 06.35.31 © А. Ф. Чанышева, 2009
Статья публикуется по рекомендации доктора экономических наук, профессора С. Г. Светунькова. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 07-06-00151-а «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных».
Ь _ ^ Углт ^ ^У^г Ь _ ^ У^т (3)
0 ^ 2 , ^ 2 ' 1 2 , 2 • (3)
Прежде чем построить доверительный интервал для коэффициента регрессии Ь0 + ¡Ь1, необходимо
найти оценку данного коэффициента с помощью метода наименьших квадратов по формулам, адаптированным для комплексных переменных [4]:
Еугхг + Еух Ь _Ту1х£—Еу£х, Е хг2 + Е х? ' 1 Е хг2 +Е х2
В ряде случаев имеется возможность находить оценки коэффициентов эконометрических моделей для каждого отдельного временного наблюдения. Например, для линейной модели комплексных переменных без свободного члена они будут определяться по формулам [2, с. 66]:
у X + УХ УХ - УХ
Ь _ тг ~1 и ¡г ь _ и тг г' ¡г (4)
х2+Х2 ' х2+Х2 '
Далее полученные оценки использовались в качестве исходных данных для построения доверительного интервала для комплексного коэффициента Ь0 + ¡Ь1 с помощью аппарата многомерного статистического анализа. Алгоритм нахождения доверительных границ сводится к следующему.
1. Найти точечные оценки математических ожиданий Ь0 и Ь1 как средние арифметические значений ряда. _ _ _
2. Найти элементы ковариационной матрицы С для случайных величин Ь0 и Ь1 и обратной к ней.
3. Рассчитать интервальную оценку для случайных величин, так как точечные оценки являются необходимыми, но не достаточными. В нашем случае ею будет являться доверительная область, определяемая эллипсом с центром В _ (Ь0, Ь1) [5]. При построении доверительной области использовалась
статистика Т2 Хотеллинга, связанная со статистикой ^ при заданной доверительной вероятности Р, известных значениях к и п:
(В-м)Тс~1(В-м) _ ^-Ер^. (5)
п(п - к)
где р — вектор математических ожиданий к-мерного случайного вектора В; В — вектор средних значений (точечных оценок) математических ожиданий к-мерного случайного вектора В; С 1 — матрица, обратная матрице оценок ковариаций; п — число наблюдений.
Результатом вычислений будет являться каноническое уравнение эллипса, определяющее доверительные границы математического ожидания к-мерного случайного вектора В с доверительной вероятностью Р, график которого можно построить в любой математической программе.
Чтобы добиться попадания в области, ограниченные этим эллипсом, практически всех фактических значений наблюдаемой величины (с вероятностью а), был введен поправочный коэффициент для
статистики Хотеллинга н _ (п - к) , в результате чего выражение (5) принимает вид:
" к(п -1)
(В - ц)т с-\В -М) _—^-рХп-к (6)
п
Данный алгоритм предусматривает построение доверительной области с учетом ковариаций. Определение доверительной области без учета ковариаций является более грубым и представляет собой прямоугольник с координатами вершин [там же]:
г1-р51 г1-Р^2
Ь о Ь (7)
л/п ып
В результате вычислений на примере условных данных было получено следующее уравнение эллипса, ограничивающее доверительную область для комплексного коэффициента Ь0 + ¡Ь1:
157,55Ь02 + 49,51Ь12 -255,61Ь0 -45,61Ь1 -56,06Ь0Ь1 +149,673 < 0.. (8)
Доверительная область для уравнения регрессии комплексных переменных, т. е. и для прогнозных значений У, строится путем подстановки точек эллипса, построенного для коэффициента уравнения Ь0 + ¡Ь1,
в уравнение (2) при соответствующем наблюдении по Хг + ¡X,.
Данный алгоритм был применен для исследования реальных экономических показателей. Рассматривались два вида зависимостей: индексов РТС и ММВБ от курсов доллара и евро; макроэкономических показателей потребления и накопления как составляющих ВВП от экспорта и импорта. Согласно приведенному алгоритму
построены доверительные области для коэффициента уравнений регрессии, рассчитаны прогнозные значения искомых показателей для последних пятнадцати наблюдений и построены доверительные области для них, с 95 %-ной вероятностью накрывающие фактические значения.
Таким образом, данная математическая модель может использоваться для прогнозирования не только показателей приведенных выше примеров, но и пары любых других экономических характеристик. Например, профессор С. Г. Светуньков подробно исследовал производственные функции комплексных переменных, также основанные на взаимосвязи четырех экономических показателей. Пользуясь приведенным выше алгоритмом для этого случая, можно прогнозировать с заданной исследователем точностью (доверительной вероятностью) объемы и издержки производства (комплексная переменная результата экономической деятельности) в зависимости от трудовых и капитальных затрат (комплексная переменная фактора).
Приведенные примеры формирования новых комплексных экономических переменных и построения уравнений регрессии для них позволяют получить такие взаимосвязи между исходными переменными, которые невозможно или очень сложно получить, оперируя только действительными переменными [6].
ЛИТЕРАТУРА
1.. СветуньковИ. С. Экономический анализ предприятия с помощью производственных функций комплексных переменных // Экономическая кибернетика: системный анализ в экономике и управлении: сб. науч. тр. / под ред. Д. В. Соколова и В. П. Чернова. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2007. Вып. № 16. 150 с.
2.. Светуньков С. Г. Основы эконометрии комплексных переменных. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2008. 108 с.
3. Чанышева А. Ф. Проблемы построения доверительных интервалов для уравнения регрессии комплексных переменных // Теория хозяйственных систем: материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 75-летию профессора И. М. Сыроежина. 21 ноября 2008 г. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009. 290 с.
4.. Светуньков С. Г., Светуньков И. С. Производственные функции комплексных переменных. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 136 с.
5.. URL: http://ecocyb..narod.ru/513/MSM/msm1_2.htm (дата обращения: 01.08.2009).
6.. Светуньков С. Г. Некоторые проблемы комплекснозначной экономики // Теория хозяйственных систем: материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 75-летию профессора И. М. Сыроежина. 21 ноября 2008 г. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009. 290 с.
