CC BY
66
УДК 517.9
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ "СПРОС-ПРЕДЛОЖЕНИЕ"
(с) А.Е. Болотин, Н. Г. Павлова
Ключевые слона: точки совпадении отображений: а-накрывающие отображения; функция спроса; функция предложения; равновесные цены.
Исследуется вопрос о существовании положения равновесия в модели "спрос-предложение" . В рассматриваемой модели функция спроса получена как решение задачи максимизации функции полезности, а функция предложения - как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. результате применении теорем о существовании точек совпадения а -накрывающего и липшицева отображений получены достаточные условия сущес твования вектора равновесных цеп.
Введение. В настоящей работе теория накрывающих отображений применяется для исследования вопроса об условиях существования положения равновесия в экономических моделях.
Формализуем поставленную задачу. Рассмотрим метрические пространства (Х.рх) и (У,ру). Через Вх(х,г) в пространстве Л' обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке х. а в пространстве У через Ну [у, г) замкнутый шар радиуса г с центром в точке ?/-
О и р е д е л о и и (! 1. ([1]). Пусть задано а > 0 . Отображение Я :Х —> У называется
о -накрывающим, если
Я(Вх(х, г)) Э Ву(Я(х),аг) Vг > 0« Ух е X.
Теорема о точках совпадения ([11). Пусть пространство X полно, а 5, I) : X —> —► У произвольные отображения, первое из которых непрерывно и является а -накрывающим, а второе, удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица $ < а. Гоада для произвольного хо € Л' суи1,ествует та.кос. £ £(хо) € X , что
эд /т («.и
Р1'($(х0), О(.то))
Рх(£,Го) <
а — 3
Решение £ уравнения (0.1) называется топкой совпадения отображений S и I).
Вектор равновесных цен в исследуемых моделях является точкой совпадения отображений спроса и предложения. Используя локальный вариант теоремы о точках совпадения, а именно, теорему 1 из |2|. исследуем вопрос о существовании равновесия для различных экономических моделей.
Модель поведения потребителя.
Каждый потребитель при выборе; различных наборов благ при определенных ценах и доходе, стремится К максимизации уровня удовлетворения СВОИХ потребностей. Способность блага удовлетворять ту или иную потребность потребители называют полезностью блага. I кп ребите-лю предлагается п видов различных благ. Любой набор благ описывается
п -мер..... вектором х (а* і, я?,.... а:»). где а?» >0 ко.чи честно г-го блага, приобре тенного
потребителем, г 1,2..... п. 11реуиюлагаеш также;, ттто потребитель способен упорядочить своєї отношение к различным наборам благ и расположить их в порядке возрастания пе>ле:зностп. Функция ііре!дпе)чт(!шін (функция по. ісзпєхгги) являепся индикатором предпочтеїния потребителя: по гребите.'! і. пре ^ііочи тает набор благ х набору у, если v(x)>u(ÿ). Модель поведения потребители заключается н максимизации функции полезности.
В экономическом анализе' чае:то ие:пе>льзуюте:я некоторые кежкре:тнью виды е}>ункцпй пе)лез-ности. Вид функций, а также оценка чиегловых значении параметров завпегят от статие:тиче;е:ких данных, наблюдении, анализа иошїдеиии ие>тр<!бите.юи, тенденций пе)купателье:ке)і’е) енрем’а в завис имех.ти от у|х>вня блашееклояния. Привеуе:м некоторые; типы функций иолсзиости:
1 ) логарифмическая:
п
и(х) = ^2 (*j lu(-rі - <'.))■
І-1
<Xj > 0. Uj > 0, x¡ > a.j, j = 1, n ;
2) мультшіликатиипаи:
П
„(X) о Y[(Tj - Oj)aj, j-1
О < (Xj < 1, <ij > 0, xj > <ij, j = 1, п . a > 0 ;
3) аддитивная:
«W ÏL'vf-
j-1
(Xj > 0. Xj > 0, () < ftj < I. j T7ñ ;
1 ) квадрати иная:
n и n
u(x) arr:> 1 */2EE^’
j—I i— I j~1
П
и-j I bijXj > 0. j = 1, п. еде' В = {bij} —отрицатеїльие) оиредслсишш матрица.
І— І
Рае:е:ме)трим задачу о маке;имальие)м выбе>ре’ иещмкштеля
{ y(-n,:r¿, ...,хп) -> гпах,
І-
Хі > 0, і = 1, п.
■-)Д(к:ь х (.ті. х?...., хп) приобретаемый потребителем набор благ; І дохе>д пе)треби-
П
теитя; р ..., рп) цєїньт. по ке>торьтм прігобунїтаютея блага; ^ ріХі < І бюджетное:
’ і 1
ограничеяше; (выражае:т еи'рашічешюеть ве)зме)жне)іч) выбора потребителя).
Оптимальный набе>р благ х* = (arf.a'l. ■•••/J'n) деыжен уде)вле:тіюрять бюджетному енраїш-чепию как точному ранепстну. Действительно, если бы оптимальный набор достигался при условии нес трогого неравенства, то потребители» и мел бы возможность приобрести на остав-ппкч'я деньги некоте)|кн5 ке)личеч:тво блага и. таким ебразеш, улучшить свой набор е: бе>лыпсй пе)ле'Зное:тьн).
Задача о маке:ималыюм выборе- потребителя можегг быть решена с ие ію. зыювашшм математического аппарата: она сводится к задаче отыскания условного экстремума целевой функции полезности. Решение задачи па условный экстремум находится с иомошыо метода множителей Іагранжа.
Рассмотрим функцию Лагранжа
L (.'П. :Г2,хп, А) = и(хi,X2,... хп) I А ,
где множите.1!!» Лагранжа А является оптимальной оценкой дохода.
Необходимые условия оптимальности решения определяются етк;темой ограничений
Он .
-----aPi 0.
àx-i
П ____
'£piXi=I, i = Un.
¿—1
Эго означает, что потребители должны выбирать блага таким образом, чтобы предельные полезности выбираемых благ были пропорциональны пенам:
ди/дХг APi.
Решение задачи о максимальном выборе потребителя позволяет построить функцию спроса. Функциями спроса называются функции, отражающие; зависимость объема спроса па различные виды благ от комплекса факторов, влияющих па пего.
Найдем функппю спроса для логарифмической функции по лезности.
Iдосмотрим задачу
П
v(x\,.та,.... То) Е aj In {Xj - (ij) —► max,
±№=I:
j~ I ___
, a.j > 0. Xj > a j. j I,».
'-)Д(къ (ii,i 1,n, необходимое; минимальнее количество f-го блага, которею щнюбрегга-ете;я в любе>м е:лучае; и не; являе;тся пре:дме:том выбе)ра, ке>эфе|итпиентьт (Щ. г 1,п, выражают отиех итсльную иеянюсть товаре>в для потребителя.
Составим функпнн) Лагранжа
Ца: 1..T2; ....хп, А) = ^ о У lu (xj a,) | A / ^pjxj , .
j-1 V i-I
Найдем ее частные производные первого порядка по Xj и приравняем к нулю:
(Xi
(Xj - ùj)
— Apj 0, ;/ I, ».
Слеїдовательне),
(Xi
Xi a, I w j \,n.
Умножив каждое j-o условно lia \pj и просуммировав их по j . получим
п п п
XJ2 pxr:> А Y, 1 J2a->-
з-i .7-1 з-і
Поскольку в искомой точке Y114хі - получим
і-1 ' '
л/ 1 Y,a>-
./-і і-і
Откуда
А =
Е
з-1
1 Е <чі>з ./■-1
Таким образом, для любого •/, = 1.» функция спроса на і-й товар A: R!L —> R имеет вид
« і ( І ~ Е Лі «і )
/Л(лі ір2< • • ■ • Рп) «і І - -тг-— • р (ріЛ>») € R’f -
p i Е «і і
(0.2)
Модель поведения производителя. Предположим, что производитель нри производстве I? видов товаров использует все виды продукции, примем при производстве i-и продукции для приобретении ресурсов имеется бюджет и размере 6*>0, г 1,7?.. Обозначим через Ху>0 объем ;/-и продукции, расходуемый для производства г -й продукции г.;/ I, п .
Выбор производите'л я сводится к задаче отыскания условного экстремума функции прибыли:
7г(.Т11, .Г 12, . .. , Xini ■ ■ ■ ■ а'пI ’ хп2, ■ • • . Хпп) —*■ П1ЙХ,
П
^PjXij bi, Xij>0, i. j TTn.
Предположим, что технологический процесс описывается производственной функцией Кобба Дугласа:
/*< (iP-»l, .Г_ізХ-іп) Сі JJ :iJ_'¡j, І I.
7-1
П.
где /у_ц > 0 — объем ] -й продукции, расходуемый для производства /-й продукции 1,^ = 1,н
гг
С* > 0, ;%>(), г,;/ I.п заданные числа . такие, что Е % < I • * Ки.
.... . ; | '
Тогда функция прибыли производителя определяется по формуле
п , п \
7!-(а0 Е )’ У;г (а?1ьа?12.• • • • -Д^Дйг,• • • тХ-пп) € К+х'"\
г-\ ' .7-1 ’
и, следовательно, задача (б.З) сводится к задаче
і і
П
з і
6», -г,:, XI. i.j 1,п. j і
(6,1
1 C'j коэффшшоттты ттойтратглюго технического прогресса, коэффициенты эластичности ПО poCVp-
Составим функцию Лагранжа:
/'(З’Н: .ТХ2: • • • : ■l’l-n: • • • : Х Ч 2 ■ - - - : П П - Aj, .... A|¡)
Н('обходимые условия оптимальности (в силу вогнутости производственных функций они являются и достаточными):
ЗА > 0 : CiPiflij П ^iPP'ki-
п * 1 ____ (6.5)
Е Pjfij bi,Xij>0, i.j I .п.
7-1
Просуммировав первую строку системы (6.2) по j и подставив полу чей пое равенство во вторую (‘Троку, имеем
4-1 ' ч/ I
Подставив это выражение в первую строку системы (6.2). находим ее решение:
hflij . . 1—
Хц тН—’ 1 ■п-
р./ Ё Ак
А—1
Таким образом, функция предложения S,: R" —»R і -го товара определяется но формулам:
а
Si(p) = Ki J] pj^ - Lip~', і = йї, j 1
где
Кі ------------. Ц ^ (6.7)
- £ А
SJ 7-І
U- 1
Достаточные условия существования положения равновесия. 11уеть заданы векторы С‘1 =(сп . С2 = (С|2; ...,ÍVta)eR'|; причем Cj\ <Cf¿, j = 1, и, и {o¿, а)<1. Компоненты
векторов <-\. с-2 определяют естественные ограничения ц('п pj па j -й товар, т. e. cj\ <p¡ для каждого j 1,п.
í А 1
О и р е д е л е п н (! 2. Вектор р£ < p€L R" : Е ajPj г называется вектором рохтовссных
I j 1 J
цен. если S(p) 1){р)-
Т е о р о м а. Пусть выполнены условия
I 2 Е <4- шах [(не“2 (I - (е.), а) | «¿) {<42 ~ d\) I «iC^1 ({а, с2 - с(> - <h{<42 ~ <4i))] <
V А—1 / l-hn
< 111III
1.-1. п
1 'I (('г2 С-г I)
24
-тах( ЦПоГ'')
' '-"Л / Ч;._,
шах
г 1 л
| «.¿(2/ - <й,(*2 + 01)) ( 21.., <Н I „ I
к< ГГ
^2 - £я 2^-/1
О;,
.7-1
<
< пни
г— 1,п
-1
^■¿{<42 ¿41 )
2с2
42
— шах г— 1 ,п
ах /ч 1Ь^
V О'2 _ 0'1
У—I / ч/ I
2е;|
2 Е Ш— [^12 (7 " <С1 ’ “) 1 ^1 «*) (с« “ ^1) 1 «Ч«*/ (<«> <’2 - <■■}) - «*(Св - Й1 ))] •
л—1
(—1 ,п
Тогда сущсствуст вектор равповсхных цен. р (р-\,....рп) такой, что € (с-л;^¿),
¿=117.
Доказательство.
В и рострапстве К" определим норм!.! но формулам
;г 111 2 гпах
^ _ , ||.г||а гпах|.т,| У.г (;Г|,....:гп) € М".
¿—1.7). 0*2 С*1 (—1,71.
Рассмотрим метрические пространства (А", р\) и (У', ру), где А' М'[, V". М" . метрика рх определяется нормой || • ||| ; а метрика (>у — нормой 11-112.
Оцепим константу иакрывания отображения <4. Заметим, что
Кфь,:рп П
.У-1
А.; \
V
К,АаР1 1 П Р]
3-1 '
••• 1'пРп2- К.АтРп1 П р/”*
.7-1 ‘ /
Согласно теореме Милютина о возмущении (см. [1])
СОТ! > со\(£(р))
.(Р .
где С(р), К.(р): Е'* —» Е'1 —липейиые операторы, ощюделеииые матрицами
ОД =
/д/>1
-2
■> =
о ... Ь«Р(г
-2
1
/\ 7«А»т я |1 П Р) !*пг - к»3'1'1рп1 П
.7-1 /
I
Оцепим константу накрывают отображения С(р):
-'г0:г2 ¿41)
еоу(£(р)) пни г—1.«
2/л/
> т]_п_
г—1.7).
■^(¿42 ¿4I)
о,.2
¿2
Кроме ТОГО,
'Л =
шах ||/С(р).т|
|.г| ... I
( II И
шах Е*'»%Р71,г‘? ПРь*1'
1 ¿1 ' ' А I
<
< шах шах ( К, ( Д рк ** ) ( £ 1 |.г,| ) ) <
г 1.«\ \д._1 / \ . 1 //
5 да. £
< гпах
г—1.777.
МП
А —I
•А
л
Следовательно.
(®8. Л .
сотI —(/0 ) > гпт
\с)р ) г—1,г»
-£"¿(¿"-¿2 ¿41)
24
тах
г— 1 ,п
х мПо/'1
'.У-1
V- -3 (^2 - 0.1
.у— I ^
И силу теоремы 4 из |2|, получаем, что сот(5| Их ((п I ('¿)!2, I))
> гпт
1.-1. п
^¿(¿42 ¿41)
24
п^ сол'(5|«) > а:(<т).
1п1 Вх ((с-1 I о»)/2,1)
¿•У2 - ¿'Л
■жЧП^ДЕа»-*
./-1
VI
Оцепим константу Липшица отображения I). Имеем
' (’1 + С-2
(
\
\/р е шШ у
-о„//| (/)„ Е «*■
А —1
2
-.1
¿»О
(р) =
-I
-«|Яп( />1 Е ¿»а-
А—1
-1
п— 1
-«»( I - Е Рьаь Рп Е «*
А-I
А—1
Оцепим норму оператора '-^(р) •
V;; € МЯ.у
¿’1 I ¿‘2 2 ’
др
<
-1
< ^2 Е «А: ) шах [«*сЛ2 (/ - {сл, и) | (.41 (ц) ((.42 - С-41) I ,1 ((а. с2 - (л} - о, {(42 - ¿41))] • Следовательно.
г 1 :п
Ир (I)I ( (1 * °2,1) ) < ( 2 Е ПА ) шах [¿‘¿¿412 (7 - {¿1!«) I ¿41 <Ч) (<42 - ¿41) I
-1
А—1
ЗГк
Заметим, что
+оч(\а' ({а, с-2 - с\) - ai{d2 - сц))].
max
г— 1, п
, <Хг(21 - (а, о2 I Cl)) , аг I „ I
(гг-2 I f'i I) V tij j 1
2U
/' п
з-i
cf2 I £я 2
Согласно теореме 1 из [2|, сущ«:твуот вектор р^Х такой, что S(p) = D(p) и
рх{рЛ<-1 I ^)/2) <
— maxi /\,;1
. .. ,
.7-1 '.7
< | min
v*—1,п
•¿Г2 i2
-i
2Ё«*
— 1
-I
х шах [о,сл2 (/ - (d, а) + с^а*) (сй - Сц) + «.¿с,./ ({а, с2 - сд) - <н(е& - <ti))] ) i 1:11 /
хрг(5((с1 I c2)/2)!D((c1 I с2)/2)).
Отсюда следует утверждение теоремы.
. IM I KPAI УРА
1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения и .метрических пространствах и неподвижные точки / / Докл. РАН. 2007. Т. 416. Л* 2. С. 151-155.
2. AnUyunov Л.. Avakov К.. Gel’man В.. Dmitrnk A.. Obvkhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points / / .1. Fixed Points Theory awl Applications. 2009. V. 5. Л* I. I'. 5-16.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании (проект .V1 12-01 -.‘Я 140).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Bolotin Л.Е.. Pavlova Х.С.
si л i icii :n i conditions for kxistfncf ok kquiubriuu in "df.viand-si pply"
MODEL
Existence of the equilibrium in deniand-supply model is studied. The model under discussion, the demand function is obtained as a solution of the utility function maximization problem and the supply function obtained as a solution of the problem maximization under t he budget, reslrictions. Sullicient. conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. This result is obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.
Key words: coincidence points: a -covering mappings; demand function; supply function; equilibrium price-vector.
Болотин Артем Квгеньевнч, Российским университет дружны пародов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: artem-bolotin@yandcx.ru
Bolotin Artem Evgenievich. Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow. Russian Federation, Postgraduate St udent of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: artem-bololiniiyandex.ru
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических паук, доцеттт кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: nat.asliarussiaiimail.ru
Pavlova NalaPva Gennad’evna, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization
I )epartiilent, e-mail: natasharussiaSmail.ru
УДК 517.9
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МОДЕЛИ ЭРРОУ-ДЕБРЕ С ТРАНЗАКЦИОННЫМИ
ИЗДЕРЖКАМИ
© А.Е. Болотип, Н.Г. Павлова
Ключевые слови: точки совпадения отображений; « -накрывающие отображения; функция спроса; функция предложения; равновесные петтт,т.
Исследуется к<)1 цхн: о существовании положения равновесия и модели Эрроу ,■ 1,епре с транзакцонны.ми издержками. В рассматриваемой модели функция сироса получена как решение задачи макенлгпзапии футткпии полезности, а функция предложения — как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. В результате применения теорем о существовании точек совпадения о. -накрывающего и липтиицева отображений получены достаточные условия существования вектора равновесных цеп.
Ввсдсиис. В работе рассматривается модель, обобщающая модель Эрроу-Дебре, в которой учитываются транзакционные издержки производите,юн. Для получения достаточных условий существовании положения равновесия н исследования его свойств применяются результаты работ |1 3|, посвященных существованию и устойчивости точек совпадения отображений в метрических пространствах.
Будем рассматривать метрнч(ч:ки(! ирскгграиства X и У с метриками р\ и ру, соответственно. Через Вх(х, г) в пространстве X обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке а*. Аналогичное обозначение введем в пространстве У ■
О н р е д е л е п и е 1 (|1|). Пусть задано а>0. Отображение 5: X —► V' называется
а -накрывающим. ес ли
Л’((г,а;)) 5 Ну(осг,$(х)) V?’ > 0, Ух € X.
Для получения достаточных условий существования положения равновесия будем применять следующие результаты.
Теорема о точках совпадения (|1|). Пусть пространство X полно, и 5, 1):Х—*У
произвольные отображения, первое, из которых непрерывно и является а - накрывающим, а второе, удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица в < а. Тогда для произвольного хо еХ существует такое £ =£(хо)еХ , что
ЭД 1Ш Рх&*о) < Ру(,^°-^(,Т()))- (6,1)
Теорема Милютина о возмущен и и (| 1 \). Пусть X полное метрическое пространство, У нормированное пространство, ото6ра.о1сснис 8: А' —*• У. является, непрерывным и а -накрывающим. Тогда для любого отображения I): X —► V', удовлетворяющего условию Липшица с константой Липшица. В < а, отображение 5 I I) является (« — В) -накрывающим.
Модель поведения производителя. Функции предложения. Пусть имеется п € N товаров, причем г-й товар для потребителя имеет пену р* > О, г 1,п. Вудем также предполагать, что пенм р (р\. р>,.... рп), по которым производитель реализует товары,
