CC BY
9
Науковий вкник НЛТУ Укра'1'ни. - 2011. - Вип. 21.3
УДК 539.3 Доц. О.В. Тумашова, канд. фiз.-маm наук -
НУ "Льbeiecbm полтехмка"; доц. Л.1. Козак, канд. техн. наук -
Львiвський Д1НТУ M. В'ячеслава Чорновола
ДОСЛ1ДЖЕННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ПОЛОГИХ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ОБОЛОНОК ЗА Р1ЗНИХ ВАР1АНТ1В ГРАНИЧНИХ УМОВ
Запропоновано пщхщ до чисельного розв'язку крайових задач, як описують ге-ометрично нелшшну деформацiю пологих цилiндричних панелей за силових наван-тажень 3i змiнними параметрами. Дослiджено вплив рiзних варiантiв граничних умов на криволшшних краях панелi на "" деформащю.
Ключовi слова: задача деформацп, цилшдрична панель, наближений метод.
Постановка проблеми. Вщкрш! прямокутш в плаш цилшдричш обо-лонки 3i змшними параметрами широко застосовують як елементи сучасних конструкцш. Наявшсть достатньо високого рiвня навантаження призводить до потреби дослщження "х напружено-деформованого стану в геометрично нелiнiйнiй постановцi. Крiм цього, працездатшсть i стiйкiсть таких конструкцш iстотно залежить вiд впливу рiзних варiантiв граничних умов на краях полого" оболонки i становить безпосереднш теоретичний та практичний ште-рес. У цiй роботi запропоновано шдхщ до чисельного розв'язку крайових задач, як описують геометрично нелшшну деформащю пологих цилшдричних панелей скшчених розмiрiв зi змiнними параметрами. Вш базуеться на засто-суванш наближеного аналiтичного методу Власова-Канторовича, методу ль неарiзацii нелiнiйних одновимiрних крайових задач та стшкого чисельного методу дискретно" ортогонашзаци розв'язку лiнiйних крайових задач.
Аналiз публiкацiй за темою дослщження. Розвитку теорй' та методiв дослiдження напружено-деформованого стану гнучких цилшдричних оболо-нок пiд дiею силових навантажень присвячено багато роб^ в^чизняних та за-рубiжних вчених. Проблемою дослщження гнучких оболонок та панелей займались таю вчеш, як В.В. Новожилов, А.С. Вольмир, М.С. Корнишин, Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед [1] та iншi вчеш. На пiдставi анашзу наукових джерел можна зробити висновок, що вивчали переважно нескшченш пласти-ни та оболонки довшьно" конфiгурацii.
За допомогою цього шдходу автори дослiджували гнучкi цилiндричнi пологи оболонки скшчених i нескiнченних розмiрiв зi змiнними еометрични-ми параметрами [2, 3], але вплив граничних умов на криволшшних краях полого" оболонки на "" напружено-деформований стан не був дослщжений i по-рiвняння результатiв розв'язку, поставлено" двовимiрноi нелiнiйноi крайово" задачi, за лшшною i нелiнiйною теорiями зумовлюе защкавлешсть.
Основна частина. Будемо виходити з рiвнянь [1,2], якi описують нелшшну задачу деформацп пологих оболонок, розмiрностi 2 а*2 в, яю перебу-вають пiд дiею нормального поверхневого навантаження q, коли товщина та кривизна оболонки е змшними. Серединна поверхня оболонки до деформацп вiднесена до ортогонально" системи координат хоу.
Задачу статики гнучких оболонок можна сформулювати в такому без-розмiрному векторному виглядг
5. Тнформацшш технологil галузi
341
Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраТни
дй * _ р * * й* д2 N * д3Й * д4 N *
п * _ Р ' У , й , _ * ' _ ...2 ' п ' п *4 /' V1/
дх ду ду * ду ду
де: N * _ {й*, БХс, О*, М X, и * V*, - вектор розв'язувальних функцiй, х*
вздовж х, -1 < х* < 1 та у* - вздовж напрямно! у, -1 < у* < 1 . Для визна-
чення напружено-деформованого стану панелi необхiдно задати граничнi умови на прямолшшних i криволiнiйних краях. Покладемо граничш умови на прямолiнiйних краях у виглядi
и * _ й* _ _М* _ 0, у* _ 1, у* _ -1; (2)
Тодi на криволiнiйних краях можна задати будь-як граничнi умови. Для пониження розмiрностi системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (1) пред-
ставимо розв,язувальнi функци та навантаження у виглядi розкладання в ряд:
р \п
{йу, Ох,Мх, и, w, вх} _ X (йуг(х), Ох-(х),Мл(х), и(х), ^,<х), в*-(х)}С08 —у;
, _1 2
Р ¡Ж Р ¡ж
{V, £х} Мх), £и(х)}8ш—у; q ^ со^-— у; (3)
, _1 2 , _1 2
Формули (3) мусять задовольняти граничш умови (2), в них знак * ми опустили. Поставивши розклади (3) у систему нелшшних диференщальних рiвнянь (1) та застосувавши процедуру Бубнова-Галеркiна, отримаемо нель ншну систему звичайних диференцiальних рiвнянь порядку 8 р у векторному виглядi
ОТ _ф(х, Я). (4)
ах
Граничш умови на криволшшних краях шсля перетворення набува-ють вигляду:
СЯ_ с1 х_-1; С2Я _ с2 х _ 1, (5)
де: С1, С2 - прямокутнi матрицi розмiрностi 4 рх8 р, С1, С 2 -4 р вимiрнi вектори.
Розв'язок задачi (4), (5) за допомогою методу лшеаризаци зведемо до послщовност лiнiйних крайових задач (6), (7) за ггерацшною схемою
ап(,+1)
—-_ ф(х, Я(,)) + J(R(i))(R(i+1) - Я(,)) (6)
ах
СЯ+1)(х) _ с1 х _ -1 , С2Я(г'+1)(х) _ с2 х _ 1 (7)
де J(Я) - матриця Якобi системи. Кожна зi задач ще! послiдовностi розв'язуеться стшким чисельним методом дискретно! ортогоналiзацil.
За початкове наближення вибираеться розв'язок лшшно! задачь У процесi чисельного розв'язку значення векторiв Я(,) мiж вузлами iнтегрування обчислюються за допомогою лшшно! штерполяци, що дае змогу на кожному наближенш зберiгати шформащю сталого об'ему.
Розглянемо iлюстрацiю запропонованого методу на прикладi напружено-деформованого стану колово! цилшдрично! панелi стало! товщини
342 Збiрник науково-технiчних праць
Науковий вкиик НЛТУ Укра'1'ни. - 2011. - Вип. 21.3
h = 1, яка перебувае пiд дiею зовнiшнього навантаження q = q0 cosП y. На пря-
молiнiйних краях виконуються умови (2), а на криволшшних краях x = ±1 розглядаються два варiанти граничних умов:
• вар1ант 1: u = v = w = Mx = 0.
• вар1ант 2: u = v = w = 6x = 0.
Для отримання результат з достатшм степенем точност при розв'яз-ку задачi в розкладах (3) отримували сiм членiв ряду [3], що вiдповiдае систе-мi нелшшних диференцiальних рiвнянь 56 порядку. Шд час iнтегрування на вiдрiзку -1 < x < 1 використовували 11 точок видачi результатiв, 41 точку ор-тогоналiзацil i 81 точку штегрування. У табл. 1 наведено амплггудш значення прогину w0 в центрi панелi, в точщ y = 0 для двох варiантiв граничних умов, в лшшнш (наближення n = 1) i нелiнiйнiй (наближення n = 5) постановках, i для рiзних значень навантаження q0.
Табл. 1. Ампл'тудн' значення прогину w0 в цеHmpi панел'
Функщя n Вар1ант гра- q0
ничних умов 5 10 20 30
1 1 0,5250 1,0500 2,1000 3,1500
w0 2 0,5140 1,0280 2,0560 3,0840
5-6 1 0,3621 0,5221 0,7041 0,8303
2 0,3530 0,5060 0,6810 0,8111
З табл. 1 видно, що в випадку граничних умов варiанта 2 прогин пане-лi ^о зменшуеться вщносно випадку граничних умов варiанта 1, як в ль нiйнiй, так i нелiнiйнiй постановках. Рiзниця результатiв за двома теорiями i для двох варiантiв граничних умов становить 31 % за д0 =5 i 74 % за д0 = 30.
Табл. 2. Значення напружень ах i ау на зовншнш (+)
i внутр'ишии (-) поверхнях оболонки
x y a- a-
0 0,1341* 102 0,5063*10 0,8166 0,6582
0,1297 *102 0,4654*10 0,7977 0,6418
0,4 0,3997 *102 0,3414*102 0,5402 0,4334
0 0,3774* 102 0,3217*102 0,5233 0,4191
0,6 0,4200* 102 0,3823* 102 0,3370 0,2688
0,3950* 102 0,3596* 102 0,3242 0,2569
1 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0
0 0,3674*10 0,3674*10 0,0689 0,0689
0,1345* 102 0,1819* 102 0,2522 0,3411
0,4 0,2385*10 0,2385*10 0,0447 0,0447
1 0,9843*10 0,1318*102 0,1860 0,2461
0,6 0,8773 0,8773 0,0165 0,0165
0,6513 10 0,8292*10 0,1211 0,1567
1 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0
5. 1нформацшш технологи r&^y3i
343
Нащональний лкотехшчний ушверситет УкраТни
У табл. 2 наведено значення напружень <x i <y на зовшшнш (+) i внутршнш (-) поверхнях оболонки в геометрично нелшшнш постановцi за q0=20. Над рискою приведет значення напружень для граничних умов варь анта 1, шд рискою - для граничних умов варiанта 2 в центрi оболонки за x=0 i на самому криволшшному контурi x=1 за рiзних перетишв у. З табл. 2 видно, що внаслiдок замiни граничних умов варiанта 1 на варiант 2 напруження , < зменшуються на 5 %, а <, -зменшуються на 20 % за x=0. Але для граничних умов варiанта 2 на найбшьш криволiнiйному кон-турi напруження <x i <y на зовшшнш (+) i внутрiшнiй (-) поверхнях оболонки збшьшуються на 75 % за у=0 i на 94 % за у=0,6.
Висновки i перспективи подальших дослiджень. Побудований ефективний метод розв'язку двовимiрних нелшшних крайових задач, за допомогою якого виконано дослщження напружено-деформованого стану пологих цилшдричних оболонок з рiзними варiантами граничних умов.
Застосування цього методу до розв'язку ашзотропних оболонок дано-го класу.
Лггература
1. Григоренко Я.М. Розв'язання лшшних i нелшшних задач теорп оболонок на ЕОМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. - К. : Вид-во "Либвдь", 1992. - 147 с.
2. Григоренко Я.М. Тумашова О.В. Розв'язок двовим1рних задач про нелшшну деформа-щю цилшдричних панелей з1 змшними параметрами // Доповщ АН УРСР. - Сер.: А. - 1988. -№ 7. - С. 36-39.
3. Тумашова О. Пор1вняння точного та наближеного методу розв'язюв задач1 деформа-цп нескшченно довго'1 цилiндричноi панел1 / О. Тумашова, Л. Козак // Математичне моделю-вання складних систем : матер. наук.-практ. конф. - Сер.: Ф1зико-математичш та техшчш науки. - Льв1в, 16 травня 2007 р. - С. 71-73.
Тумашова О.В., Козак Л.И. Исследование напряженно- деформированного состояния пологих цилиндрических оболочек при разных вариантах граничных условий
Предложен подход к численному решению краевых задач, которые описывают геометрически нелинейную деформацию пологих цилиндрических панелей при силовых нагрузках с переменными параметрами. Исследовано влияние различных вариантов граничных условий на криволинейных контурах панели на её деформацию.
Ключевые слова: задача деформации, цилиндрическая панель, приближенный метод.
Tumashova O.V., KozakL.I. The investigation of stress-strained state of the flexible shallow cylindrical shells for different types boundary conditions
The present paper is devoted to the approach of numerical research of geometrically nonlinear deformation of flexible shallow cylindrical panels with variable parameters under influence of power load. The investigation of influence of different boundary conditions on the panel curved outlines on her deformation.
Keywords: a deformation problem, the cylindrical panel, the approached method.
344
Збiрник науково-техшчних праць
