CC BY
70
УДК 381.31.00
В. О. Борознов Астраханский государственный технический университет
ДОПОЛНЕНИЕ МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА НА ПЛОСКОСТИ
Введение
Задача коммивояжера (ЗК), поставленная в 1934 г., - одна из знаменитых задач теории комбинаторики. ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются многие методы. Многие практические задачи сводятся к ЗК, отличающейся простотой постановки и исключительной сложностью решения. Данная задача относится к классу КР-полных задач. В данной работе представлен метод решения ЗК на плоскости посредством дополнения метода ветвей и границ условием непересекаемости.
Постановка задачи
Коммивояжер, выходящий из какого-нибудь города, желает посетить N - 1 других городов и вернуться к исходному пункту. Известны расстояния между всеми этими городами. Требуется установить, в каком порядке он должен посещать города, чтобы общее пройденное расстояние было минимальным. Задача коммивояжера представляет собой задачу отыскания кратчайшего гамильтонова пути в полном конечном графе с N вершинами [1]. Ниже нами рассматривается ЗК на плоскости, т. е. нам известны все координаты городов (полный граф) и мы можем найти расстояние между любой парой городов, причём размещение городов, вообще говоря, «жёстко» задано.
Для задач небольшой размерности можно использовать метод ветвей и границ, который является развитием алгоритма полного перебора. Его суть заключается в добавлении проверки критерия ограничивающей функции, исходящего из знания задачи. Согласно этому знанию на определенном уровне можно приостановить построение данной ветви дерева перестановок. Например, маршрут, который мы строим, длиннее ранее построенного маршрута, следовательно, в этой ветви перестановок оптимального решения нет. Добавление такого условия позволяет на порядок сократить время поиска [2].
Описание метода
Воспользуемся знаниями о задаче и выдвинем эвристическое предположение (гипотезу): оптимальный маршрут ЗК на плоскости в полном графе всегда обладает условием непересекаемости, т. е. для соседних городов рёбра графа не имеют пересечений.
Рассмотрим ЗК на плоскости, когда известны координаты всех городов (полный граф). В этом случае метод ветвей и границ можно дополнить условием непересекаемости. Представим города как вершины графа, а рёбра - дороги, соединяющее их, тогда оптимальным решением ЗК будет являться граф вида Ор = (V, Е), V = N, с множество вершин V и множество дуг Е,
не пересекающихся между собой. Это означает, что ветвь не соответствует данному условию (хотя бы пара дуг в маршруте имеет пересечение), и её построение на этом заканчивается. Данное ограничение поможет сократить количество рассматриваемых вариантов, заранее исключив неоптимальные, а также обеспечить более удачный «старт» алгоритму.
Результаты исследования
Оценим результативность данного метода, сравнив его с методом ветвей и границ. Для каждой задачи размерностью N производилось по 33 испытания, что соответствует доверительной вероятности 0,75 и ошибке 0,1. Случайным образом строилась матрица расстояния заданной размерности N, после чего задача решалась обоими методами. Результаты испытаний приведены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты испытаний
N Время алгоритма, мс Время алгоритма с дополнением, мс Пространство поиска Пространство поиска с дополнением Относительное быстродействие алгоритма
3 - - 2 2 -
4 - - 14 14 -
5 0,41 0,93 37 31 0,44
6 0,45 1,39 109 66 0,32
7 2,81 3,33 296 143 0,84
8 9,51 5,24 785 244 1,81
9 57,84 23,18 2 370 526 2,49
10 228,21 83,39 4 328 898 2,73
11 1 151,13 295,81 8 827 1 328 3,89
12 3 691,66 856,26 10 496 1 901 4,31
13 25 653,01 4 161,39 28 104 2 210 5,75
14 100 390,54 14 507,22 44 087 4 824 6,92
Следует отметить, что рассматриваемый алгоритм даёт точное решение ЗК, а модификация лишь повышает его быстродействие. Это говорит о том, что наше эвристическое предположение не получило опровержения. На рис. 1 показано экспериментально полученное относительное быстродействие модифицированного алгоритма.
Для более точного подтверждения гипотезы было проведено по 1 000 сравнений методом ветвей и границ и модифицированного алгоритма для N = 3.. .10 (ввиду больших временных затрат на решение ЗК N < 11) и получен точный результат модифицированным алгоритмом.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
N
Рис. 1. Относительное быстродействие метода
Как видно из рис. 1, с ростом размерности задачи превосходство модифицированного алгоритма метода ветвей и границ растёт. На малых размерностях ^ < 7) модифицированный алгоритм малоэффективен, т. к. часть времени затрачивается на построение матрицы «планарности», а сокращение переборного пространства практически не изменяется.
Временная зависимость от размерности задачи показана на рис. 2. Метод ветвей и границ с условием непересекаемости более «быстр», т. к. позволяет отсеять заведомо ложные частные решения. Тем не менее оба варианта алгоритма чувствительны к размерности задачи, т. к. с её незначительным увеличением время поиска заметно возрастает.
N
ш ш 1 аоТ а ааоаае е аба[ ео
^^^“1 аоТ а аабаае е аба[ ео п опёТ аеа] [ аТ абапаёаа] Т пое
Рис. 2. Временная зависимость от размерности задачи
Как видно из рис. 2, зависимости времени от размерности задачи подчинены экспоненциальному закону, т. е. t = Ь0 ■ в('ЬХ ' ы\ На основании статистических данных найдём Ь0 и Ь1 для обоих алгоритмов. Метод ветвей и границ имеет зависимость типа = 0,0001 ■ е(1,4545 ' 1Г>, а для метода ветвей и границ с условием непересекаемости: ^Ы> = 0,0015 ■ е(11155 1Г>. На основании выведенных зависимостей спрогнозируем временные затраты для задач размерности N < 50 (рис. 3).
1Е+25
1Е+22 1Е + 1Э 1Е + 16 1Е + 13 1Е + 10 1Е+07 10000 10
0,01
►
У
к
к
1 р—
N
Рис. 3. Прогнозирование временных затрат на решение ЗК с размерностью N
Следует отметить, что прогнозирование временных затрат справедливо лишь для экспериментальной машины, во всех остальных случаях коэффициент Ь0 может быть отличен от представленного в статье.
Заключение
Выдвинутое нами эвристическое предположение (гипотеза) о том, что оптимальный маршрут ЗК на плоскости в полном графе всегда обладает условием непересекаемости, подтвердилось.
Результаты показали, что дополнительное ограничение условия непересекаемости для ЗК на плоскости метода ветвей и границ не только не ухудшает качество найденного решения, но и существенно сокращает время его поиска. При этом данная модификация сохраняет свойство распараллеливания алгоритма метода ветвей и границ, что является резервом для сокращения времени вычислений.
Данное ограничение может быть применено в поисковых алгоритмах (например, в генетических) как дополнительный критерий определения конца эволюции или как эвристический критерий отбора особей. Метод ветвей и границ с условием непересекаемости может быть применён для решения ЗК и других сходных задач с небольшой размерностью.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Курейчик В. М. Применение генетических алгоритмов для решения комбинаторно-логических задач оптимизации. Интеллектуальные САПР: Междуведом. темат. науч. сб. - Вып. 5. - Таганрог, 1995. - С. 132-133.
2. МакконнеллДж. Основы современных алгоритмов. - 2-е изд. доп.; - М.: Техносфера, 2004. - 366 с.
Получено 1.10.2006
SUPPLEMENT OF THE METHOD OF BRANCHES AND BORDERS FOR THE DECISION OF A TASK OF A TRAVELLING SALESMAN
ON A PLANE
В. О. Eopo3Hoe
In the given work the method of the decision of a task of the direct-sales representative (ZK) on a plane on the basis of supplement of the method of branches and borders with the condition of disjointness is submitted. The heuristic assumption is suggested: "The optimum route of ZK on a plane in the complete graph always has a condition of disjointness, that is the route can be lead so, that for the next cities the ribs of graph will not have crossings". To confirm the hypothesis more exactly about 1 000 comparisons by a method of branches and borders and modified algorithm for N = 3...10 were carried out, that is more than 8 thousand tests, the exact result is received with the modified algorithm. The results have shown, that additional restriction "disjointness" for ZK on a plane of the method of branches and borders essentially reduces time of searching. Thus the given modification keeps the property of paralleling of algorithm of the method of branches and borders, which is a way of reduction of time of calculations.
