Дискретные преобразования со свойством прилипания на основе системы {sinx sinkx} и системы полиномов Чебышёва второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. И. Шарапудинов, Г. Г. Акниев. Дискретные преобразования со свойством прилипания

УДК 517.538

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СО СВОЙСТВОМ ПРИЛИПАНИЯ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ {sin x sin kx}

И СИСТЕМЫ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВА ВТОРОГО РОДА

И. И. Шарапудинов1, Г. Г. Акниев2

Доктор физико-математических наук, заведующий отделом математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, sharapud@mail.ru

2Инженер-исследователь отдела математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, hasan.akniyev@gmail.com

В настоящей статье вводятся дискретные ряды со свойством «прилипания» для периодического (по системе {sin x sin kx}) и непереодического (по системе полиномов Чебышёва второго рода Uk (x)) случаев. Показано, что дискретные ряды со свойством прилипания по системе {sin x sin kx} выгодно отличаются от косинус-рядов Фурье тем, что их частичные суммы вблизи границ отрезка [0, п] обладают значительно лучшими аппроксимативными свойствами. Аналогично, дискретные ряды со свойством прилипания по системе Uk (x) вблизи границ отрезка [— 1,1] приближают исходную функцию значительно лучше, чем суммы Фурье по полиномам Чебышёва первого рода.

Ключевые слова: теория приближений, ряды Фурье, специальные ряды, покусочная аппроксимация.

Представление функций в виде рядов по тем или иным ортонормированным системам с целью последующего их приближения частичными суммами выбранного ортогонального ряда является, пожалуй, одним из самых часто применяемых подходов в теории приближений и ее приложениях. Наряду с задачами математической физики, для решения которых указанный подход является традиционным, появились и продолжают появляться все новые важные задачи, для решения которых также все чаще применяются методы, основанные на представлении функций (сигналов) в виде рядов по подходящим ортонормированным системам (см., например, [1—8]). При этом часто возникает такая ситуация, когда функция (сигнал, временной ряд, изображение и т. д.) f = f (t) задана на достаточно длинном промежутке [0,T] и нам требуется разбить этот промежуток на части [aj,aj+1 ] (j = 0,1,..., m), рассмотреть отдельные фрагменты функции, определенные на этих частичных отрезках, представить их в виде рядов по выбранной ортонормированной системе и аппроксимировать каждый такой фрагмент частичными суммами соответствующего ряда. Такая ситуация является типичной для задач, связанных с решением нелинейных дифференциальных уравнений численно-аналитическими методами [4,6], обработкой временных рядов и изображений и других [5-7], в которых возникает необходимость разбить заданный ряд данных на части, аппроксимировать каждую часть и заменить приближенно исходный временный ряд (изображение) функцией, полученной в результате «пристыковки» функций, аппроксимирующих отдельные части. Но тогда в местах «стыка» возникают нежелательные разрывы (артефакты) (см. [8]), которые искажают общий вид временного ряда (изображения). Такая картина непременно возникает при использовании для приближения «кусков» исходной функции сумм Фурье по классическим ортонормированным системам. В работах [1], [2] введены некоторые специальные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби, частичные суммы a%(f,x) которых на концах отрезка [—1,1] совпадают с исходной функцией f (x), т. е. (f, ±1) = f (±1). В качестве одного из частных случаев таких рядов возникает ряд вида

ВВЕДЕНИЕ

ГО

Ф(в) = аФ (в) + sin в Pk sin кв,

к=1

где

П

аФ (в)

Ф(0) + Ф(п) + Ф(0) - Ф(п) 2 + 2

2

cos в, ф(в) = Ф(в) — аФ(в),

о

© Шарапудинов И. И., Акниев Г. Г., 2014

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1

В работе [2] исследованы, в частности, аппроксимативные свойства этого ряда в пространстве Cfn, состоящем из четных непрерывных 2п-периодических функций. В настоящей работе рассматриваются дискретные аналоги таких рядов и исследованы их аппроксимативные свойства.

Для натурального N рассмотрим сетку узлов Л N =

чим евклидово пространство дискретных функций f = скалярное произведение:

ft = (2j + iM

= 2 N J

f (x) вида f: ЛN

N-1

. Через 12(Л1]Ч) обозна-

j=-n

^ R, в котором определено

(f,g)

1

N

N-1

f (tj )g(t j)-

j= —N

Не трудно проверить, что функции

^=, cos x, sinx,..., cos(N — 1)x, sin(N — 1), sinNx

образуют в 12^n) полную ортонормированную систему и, как следствие, для произвольного f £ 12(ЛN) имеем представление

f(x)

a0,N

2

N- 1

+ ak,N cos kx + bk,N sin kx +

k=1

bN,N

2

sin Nx,

(1)

где

1

afc,N = n

N-1

f (tj)cos ktj,

j= —N+1

bk,N

1

N

N-1

f (tj)sin ktj.

j= —N +1

(2)

Если функция f (x) £ 12^N) является четной, то из (2) следует, что bk равенство (1) принимает вид

f(x)

/о

2

N-1

+ fk cos kx,

k=1

N=

0 (k

1,..., N), поэтому

(3)

где

2

N-1

fk = N S f (tj )cos ktj ,

N j =0

0 ^ k ^ N — 1.

Отображение FN : 12 (ЛN) ^ RN, сопоставляющее функции f £ 12 (ЛN) вектор FN = (f0,..., fN-1)

и называемое дискретным косинус-преобразованием Фурье, находит многочисленные применения в различных областях приложений, в таких, например, как обработка изображений и временных рядов и др. В приложениях, как правило, вместо полного разложения (3) используют приближенное равенство

f(x)

/о

2

П

+ У^ fkv cos kvx,

v=1

n < N — 1,

(4)

по следующей схеме. Заданный «длинный» ряд данных разбивается на части, аппроксимируется каждая часть, используя равенство (4). После этого заменяется приближенно исходный ряд функцией, полученной в результате «пристыковки» функций (правых частей равенств вида (4)), аппроксимирующих отдельные части. Но тогда в местах «стыка», как правило возникают нежелательные разрывы, которые искажают общий вид временного ряда (изображения). Указанные разрывы в точках стыка возникают из-за того, что суммы, фигурирующие в правых частях в приближенных равенствах вида (4), заметно отклоняются от исходной функции f (x) в окрестностях точек x = 0 и x = п.

В настоящей работе рассмотрена задача о конструировании аппроксимирующих операторов an,N(f) = an,N(f,x), обладающих тем важным свойством, что в окрестностях точек x = 0 и x = п an,N(f, x) приближают f(x) значительно лучше, чем на всем отрезке [0, п]. Кроме того, требуется, чтобы an,N(f, x) приближали функцию f (x) на всем [0, п] не хуже, чем частичные суммы конечного ряда (3) вида

Sn,N (f,x)

2

n

+ fk cos kx.

k=1

(5)

414

Научный отдел

И. И. Шарапудинов, Г. Г. Акниев. Дискретные преобразования со свойством прилипания

Наконец, an,N(f, x) (0 < n < N) должен допускать численную реализацию со скоростью, сопоставимой со скоростью численной реализации Sn,N(f,x), использующей быстрое преобразование Фурье.

Как будет показано далее, операторы an,N(f, x), сконструированные в настоящей работе обладают указанными свойствами. Среди отмеченных свойств операторов an,N(f,x) мы особо выделяем первое, согласно которому an,N(f,x) приближает f(x) в окрестности точек x = 0 и x = п значительно лучше, чем по всей сетке Л N. Это свойство операторов an,N (f,x) мы будем называть свойством «прилипания» {^n,N(f,x) «прилипает» к f(x) в окрестностях точек x = 0 и x = п).

Именно свойство прилипания операторов an,N (f, x) в точках x = 0 и x = п существенно и

выгодно отличает их

от операторов Фурье (5). Наряду с ЛN = j tj = ^^N^ j

N-1

мы будем рас-

ли = { 4п1

N-1

j=-N

сматривать также сетку i\N = ^ > и соответствующее пространство 12 (Л^). Для f е 12 (Л^)

N ' j = -N

мы рассмотрим операторы, сконструированные по той же схеме, что и an,N(f,x), и исследуем их аппроксимативные свойства.

1. ДИСКРЕТНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ ПО СИСТЕМЕ {sinx sin kx}N

- = ’(2^}Г И о* = {N}N-1

N

НА СЕТКАХ О

N

j=0

j=1

1

Пусть N — натуральное число, tj

пространство дискретных функций g скалярное произведение:

(2j + х)п

= -— , ON = {tj j-)1. Через 12(ON) обозначим евклидово

2N N j=0 N

= g(x) вида g: ON ^ R, в котором для f, g е 12(ON) определено

f g>

= 2 = N

N- 1

f (tj )g(tj)-

j=0

(6)

Заметим, что функцию f(x) е 12(ON) можно продолжить на сетку ЛN, полагая f(—tj-1) = f(tj) для всех tj е ON. Не трудно проверить, что функции

sin x, sin2x,..., sin Nx

образуют в 12 (ON) ортогональную систему относительно скалярного произведения (6), также при 1 < k, n < N имеют место равенства

2

N

N-1

sin ktj sin nt j

j=0

0, k = n,

< 1, k = n < N, 2, k = n = N.

(7)

Из свойства (7) следует, что система {sin kx}N=1 является ортогональным базисом в 12(ON), и, следовательно, произвольная дискретная функция ^ е 12(ON) допустит представление

N

V(x) = Е sin kx, x е ON, (8)

k=1

где

N-1

Vu = E ^(tj) sin ktj

j=0

2/N, k < N, 1/N, k = N.

Рассмотрим сетку ON, добавив в нее две точки: t-1 =0 и tN = п, и обозначим oN = ON U {0, п}. Пусть дискретная функция f определена на новой сетке oN , т. е. f : oN ^ R. Положим

( ) f (0) + f (п) , f (0) - f (п) af (x) =-------------------1---------------cos x,

g(x) = f (x) - af(x), V(x) =

2

g(x) sin x

x е ON.

(9)

Математика

415

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1

Тогда ряд (8) принимает следующий вид:

g(x)

sin x

N

^2gk,N sin kx, k=1

x e ON,

где

gk,N

N-1

g(tj)

j=0

sin ktj sin t j

Ввиду (9) ряд (10) можно переписать еще так

2/N, k<N, 1/N, k = N.

N

f (x) = af (x) + sin x^^gk)N sin kx, k=1

T^1

x <E O

N.

Обозначим через an,N(f, x) частичную сумму ряда (11) следующего вида:

(10)

(11)

n-1

&n,N(f ) = &n,N(f,x) = af (x) + sin x^2gk,N sin kx, k, n < N. (12)

k=1

Не трудно показать, что для произвольного четного тригонометрического полинома Tn(x) порядка n < N справедливо тождество

&n,N (Tn ,x) = Tn (x), (13)

другими словами, an,N(f) является проектором на подпространство четных тригонометрических полиномов порядка п.

Мы можем трактовать an,N(f) как линейный оператор, действующий в различных функциональных пространствах. С этой целью введем некоторые обозначения. Пусть

,л = I (2j + 1)п N ' 2N

{jn}jGZ,

Cc^N — Cn U Z7

jGZ

Тогда функцию f = f (x), заданную на конечной сетке ON, можно продолжить на бесконечную сетку cN так, чтобы продолженная функция на cN была четной и 2п-периодической, т. е. при x e cN f (—x) = f (x) и f (x + 2п) = f (x). Множество Ce(cJIN) всех таких дискретных функций f(x) является нормированным в пространстве с нормой ||f||N = max |f(x)| = max |f(x)|. Через E^N(f) обозначим

наилучшее приближение функции f e Ce(uJIN) тригонометрическими полиномами Tn(x) порядка n, удовлетворяющими условиям f(0) = Tn(0), f(п) = Tn(n). Пусть Tn(f) = Tn(f,x) — тригонометрический полином порядка n, удовлетворяющий условиям f(0) = Tn(f, 0), f(п) = Tn(f, п), для которого

K,N(f) = If - Tn(f)|N-

(14)

Далее, с учетом (13) имеем:

f (x) - &n,N (f,x) = f (x) - Tn (f,x) + Tn(f,x) - &n,N (f,x) = f (x) - Tn (f,x) + &n,N (Tn (f) - f,x)-

Отсюда и из (14) находим

|f (x) - &n,N (f,x)| < En,N (f) + |ffn,N (Tn (f) - f,x)|- (15)

Теперь обратимся к равенству (12), из которого в силу того что f(0) = Tn(0), f(п) = Tn(n),

где

n- 1

&n,N (Tn(f) - f,x) = sin xj^ (Tn(f) - f )k,N sin kx,

k=1

N-1

(Tn(f) - f)k,N = E [Tn(f.tj) - f (tj)]

j =0

sin ktj sin tj

(16)

(17)

416

Научный отдел

И. И. Шарапудинов, Г. Г. Акниев. Дискретные преобразования со свойством прилипания

Из (16) и (17) получим:

&n,N

„ , 2 г . „ sin kx sin ktj

,n (Tn - f,x) = sin x^Yl |Tn(/,tJ) - f (tj )\^

N j=o

Поэтому в силу (14)

N-1

k=1

sin tj

(18)

kn.N(Tn(f) - f,x)| < E'n(f)-E

’ 7Г ' ■*

j=o

sin x

En 1 sin kx sin kt j

k=1

sin t

Из (15) и (18) имеем:

|f (x) - &n,N (f,x)| < K,N (f )(1 + Ln,N (x))

где

N- 1

Ln,N(x) = ^

j=0

sin x

En 1 sin kx sin ktj

k=1

sint

(19)

(20)

В связи с неравенством (19) возникает задача об оценке величины L'KnN (x) при x G 0N Аналогичная задача возникает и в случае, если рассмотреть an,N(f) как оператор, действующий в пространстве Cfn, состоящем из четных 2--периодических непрерывных функций f(x), для которых норма определяется обычным образом, а именно ||f || = max |f(x)|. В этом случае аналог неравенства (19)

жбК

имеет вид

|f (x) - &n,N (f, x)| < En (f )(1 + Ln,N (x))

где En (f) — наилучшее приближение функции f G Cfn тригонометрическими полиномами Tn(x) порядка n. Требуется оценить величину LnN (x), определенную равенством (20) для произвольного x G R.

Перейдем к сетке ОЦ = {j-/N}Ц-1. Через 12(ОЦ) мы обозначим евклидово пространство дискретных функций f (x) вида f : ОЦ ^ R, в котором скалярное произведение определено с помощью равенства

<f-®>" = ^EffN-MN-V

N- 1

N \N I\N j=1 4/4

Полную ортонормированную систему в l2 (ОЦ) образуют функции

sin x, sin2x,sin(N — 1)x,

т. е.

2

N-1

2 ^ . , j- . j- , I0, k = n,

N j= N N kn |i, k = n.

Из (21) следует, что произвольная функция ф G l2 (ОЦ) допускает представление

N-1

ф^) = фk sin kx, x G ОЦ,

где

k=1

v,k = 1V1 ф(ж) sinj

^k N ^ ^ \ N / n

j=1 4 7

(21)

(22)

(23)

Пусть теперь f (x) произвольная функция из l2(ПЦ), которую доопределим в точках x = 0 и x = -. Положим

af (x) = f (0) + f (-) + —f(-) cos x, h(x) = f (x) — af (x),

2

(24)

и заметим, что h(0) = h(-) = 0. Для функции ф^) =

h(x)

sin x

коэффициенты из (23) принимают

следующий вид:

фk =

N

2 N-1 h (f) — af (N) kj-

j=1

sin Ц

sin ~N = hk.

(25)

Математика

417

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1

Из (22)-(25) выводим

f (x) = af (x) + sin x E hk sin

N— 1 ,

: hk sin kx, x G <

U—Л V

jnY

NJ.

k=1 v - у j=0

Обозначим через rn,N(f, x) частичную сумму ряда (26) следующего вида:

(26)

n — 1

Tn,N(f, x) = af (x) + sinx hk sin kx, 1 < n < N — 1.

k=i

Можно показать, что для произвольного четного тригонометрического полинома Tn(x) порядка n < N — 1 имеет место тождество

Tn,N (Tn,x) = Tn (x). (27)

Дискретную функцию f(x), заданную на конечной сетке {jn/N}^=0, мы продолжим на бесконечную сетку Zn/N = {jn/N}°=—те так, чтобы продолженная функция была четной и 2п-периодической при x G Zn/N, т. е. x G Zn/N, f (—x) = f (x) и f (x + 2n) = f (x). Множество всех таких функций мы

обозначим Ce (Zn/N), которое мы превратим в нормированное пространство с нормой

llfIln/N = max |f(x)|.

xe^n/N

Через En,N/n обозначим наилучшее приближение функции f G Ce(Zn,N/n) тригонометрическими полиномами Tn(x) порядка n, удовлетворяющих условиям f(0) = Tn(0), f(n) = Tn(п). Пусть

Tn (f) = Tn (f, x) — тригонометрический полином порядка n, удовлетворяющий условиям f(0) = = Tn(f, 0), f(n) = Tn(f,n), для которого

Enn/N (f ) = If — Tn(f )|n/N. (28)

Тогда в силу (27) f(x) — Tn,N (f,x) = f(x) — Tn(f,x) + Tn,N (Tn (f) — f,x), а отсюда и из (28) находим

|f (x) — Tn,N (f,x)| < En,n/N (f) + |Tn,N (Tn (f) — f,x)|.

Далее, из (25) и (26) имеем:

n— 1

,N(Tn(f) — f,x) = sin xJ^(Tn(f) — f )k sin kx,

j = 1

где

(Tn(f) — f )k = N E [T» (f' f) — f (|f)

sin

jkn

Из (29) и (30) находим

2 sin x

N —1

t,„n (Tn (f) — f,aO E |Tn ( f, N ) — f (N)| E

j=1

N

N

n — 1 • 7 • jkn

sin kx sin 5^дТ-

N

k=1 sin N

Отсюда и из (29) имеем:

N —1

lTn,N (Tn (f) — f,x)| < En,n /N (f) ^ S

j=1

sin x

n— 1 ■ 7 ■ jkn

sin kx sin =т-

sin

k= 1 sin N

Сопоставляя (29) c (31), получаем:

1 f (x) Tn,N (f, x) 1 < En,n/N (f) (1 + Ln,n/N (x) ),

(29)

(30)

(31)

n

где

Ln,n/N (x)

2

N

N—1

sin x

j=1

n—1

E

k=1

sin kx sin

jkn

~

N

Отсюда возникает задача об оценке величины Ln,n/N(x) при n, N ^ го,

(32)

418

Научный отдел

И. И. Шарапудинов, Г. Г. Акниев. Дискретные преобразования со свойством прилипания

2. ОЦЕНКИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА ОПЕРАТОРОВ an,N(f) И rn,N(f)

В настоящем мы приводим оценки для величин Ьжп N (x) и Ln n/N, определенных равенствами (20) и (32) и представляющих собой функции Лебега для частичных сумм an,N (f, x) и rn,N (f, x) соответственно.

Теорема 1. Имеют место следующие оценки:

Ln,N(x) < C(1 + ln(n| sinx| + 1)), 1 < n < N,

Ln,n/N(x) < C(1 + ln(n| sinx| + 1)), 1 < n < N — 1.

3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА

Мы рассмотрим на отрезке [—1,1] сетку узлов

x, =cos N j = 1, 2, ...,N — 1.

Положим An = {x,}N—1 и рассмотрим евклидово (N — 1)-мерное пространство l2(AN), состоящее из дискретных функций вида f : An ^ R, в котором введено скалярное произведение:

(f,g)N =

2

N

N-1

$Z(1 — x2 )f (x, )g(xj)-

j=i

Полную ортонормированную систему в l2 (An) образуют функции

Uk (x)

sin(k + 1) arccos(x) V1 — x2

k = 0,1,..., N

2,

(33)

представляющие собой классические полиномы Чебышева второго рода. В самом деле, из (21) и (33) имеем:

2

N

N-1

(1

N- 1

(Uk,Un) = N Е (! — xj)Uk(x,)Un(xj) =

j = 1

2, sin k arccos x, sin n arccos x, x2)- j

2

N-1

V1-

1x

— > sin k — sin n— = okn. N ^ N N ,=1

,

Отсюда следует, что произвольная функция ^(x) e l2(AN) допускает представление

N-2

¥>(x) = ^2 ^kUk(x), x e An,

k=0

где

2

N-1

^k = ^ S ^(xJ)Uk(x,)(1 — j N ,=1

(34)

(35)

Пусть f(x) — произвольная функция из 12(An), которую доопределим в точках x = —1 и x = 1. Положим

Ь, (x) = f (1) +/ (—11 + f (1) —/ (—x, g(x) = f (x) — b, (x),

2

и заметим, что g(1) = g(—1) = 0. Для функции ^(x) =

g(x)

(1 — x2)

коэффициенты (35) имеют вид

2

N-1

^k = N S g(x, )Uk (x, ) = 3k, k = 0, 1, . . . ,N — 2.

N ,=1

Из (34)-(36) для x e An U {—1,1} находим

f(x) = ь,(x) + (1 — x2) 9kUk(x).

k=0

N-2

(36)

(37)

Математика

419

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1

Обозначим через Sn,N(f) = Sn,N(f, x) частичную сумму конечного ряда (37) следующего вида:

n — 2

Sn,N (f,x) = bf (x) + (1 - x2 gk Uk (x). (38)

k=0

Тогда не трудно увидеть, что для произвольного алгебраического полинома Pn(x) степени не выше n имеет место тождество

Sn,N (Pn ,x) = Pn(x). (39)

g(x) = Pn (x) - bpn (x 1 — x2 1 — x2

ном степени не выше n — 2, поэтому в силу свойства (33) и равенства (35) имеем gk = ^k = 0 при k = n — 1, n,..., N — 2. Поэтому в силу (36) и (37) мы можем записать

n—2

Pn(x) = bpn (x) + (1 — x2 )^2 9k Uk (x) = Sn,N (Pn,x).

k=0

В самом деле, qn—2(x) = p(x)

)

представляет собой алгебраический поли-

Расширим сетку AN, добавив к ней две точки x0 = 1 и xN = —1. Положим An = AN U {—1,1}. Будем рассматривать дискретные функции вида f : AN ^ R. Множество всех таких функций, для

которых определена норма ||f ||An = max |f(x)|, обозначим через C(AN). Пусть N(f) — наилучшее

x£An ’

приближение функции f G C(AN) алгебраическими полиномами Pn(x) степени n, удовлетворяющие условию Pn(—1) = f (—1), Pn(1) = f (1). Пусть Pn(f) = Pn(f, x) — алгебраический полином степени n, удовлетворяющий условиям f(—1) = Pn(f, —1) и f(1) = Pn(f, 1), для которого

E;A n (f ) = II/ — Pn (f )IIa„

(40)

Тогда в силу (39)

f (x) — Sn,N (f, x) = f (x) — Pn (f, x) + Sn,N (Pn (f) — f, x),

а отсюда и из (40) находим

|f (x) — Sn,N (f,x)| < EAn (f) + |Sn,N (Pn(f) — f,x)|.

Далее, из (38) имеем (bPn „(f)—f(x) = 0)

(41)

n—2

Sn,N(Pn(f) — f) = (1 — x2) £ (Pn(f) — f )kUk(x),

k=0

где в силу (36)

Из (42) и (43) находим

2

N — 1

(Pn(f) — f )k = N S (Pn (f,xj ) — f (xj ))Uk (xj )-N j = 1

2(1 — x2) N-1

n— 2

Sn,N (Pn (f) — f,x) = -N-- 5^(Pn(f,xJ ) — f (xj )^^ Uk (x)Uk (xj ),

N ^v--»w,xj ) — f (xj,

j=1 k=0

откуда, в свою очередь, в силу (40) выводим

N— 1

|Sn,N(Pn(f) — f,x)| < EA,n(f)N E (1 — x2)

j = 1

n— 2

Uk(x)Uk(xj)

k=0

(42)

(43)

(44)

Сопоставляя (44) c (41), мы можем записать

|f(x) — Sn,N(f,x)| < eA,N(f)(1 + An,N(x)),

(45)

420

Научный отдел

И. И. Шарапудинов, Г. Г. Акниев. Дискретные преобразования со свойством прилипания

где

N— 1

Лn,N (x) = — (1 - x2)

j=1

n —2

Uk(x)Uk(xj)

k=0

(46)

В связи с неравенством (45) возникает задача об оценке величины Лп,N (x). Положим x = cos 9. Тогда из (46), (33) и (32) имеем:

Лn,N (cos 9) = — ^ sin 9

N — 1

j=1

Пр sin(k + 1)9 sin j(kN1)n 2 sin 9 " 1 Пр1 sin k9 sin k N

' ^ sin j— k=0 sin N = N ^ j=1 ' ^ sin j— k=1 sin N

= Ln,n (9).

Поэтому в силу теоремы 1 выводим следующий результат.

Теорема 2. Имеет место оценка

Лп^(x) < C(1 + ln(n\/1 — x2 + 1)), —1 < x < 1, 1 < n < — — 1.

Библиографический список

1. Шаранудиков И. И. Предельные ультрасферические ряды и их аппроксимативные свойства // Ма-тем. заметки. 2013. Т. 94, вып. 2. С. 295-309. DOI: 10.4213/mzm10292.

2. Шаранудиков И.И. Некоторые специальные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, № 5. С. 201-224. DOI: 10.4213/im8117.

3. Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устикик М. Н., Дедус А. Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М. : Машиностроение, 1999.

4. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. М. : Наука, 1983.

5. Арушакяк О. Б., Волченскова Н. И., Залеткик С. Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышёва для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон. матем. изв. 2011. Т. 8. С. 273-283.

6. Trefethen L. N. Spectral methods in Matlab. Philadelphia : SIAM, 2000.

7. Trefethen L. N. Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equation. Cornell University, 1996.

8. Mukundan R., Ramakrishnan K. R. Moment functions in image analysis. Theory and Applications. Singapore : World Scientific, 1998.

Discrete Transform with Stick Property Based on {sin x sin kx} and Second Kind Chebyshev Polynomials Systems

1.1. Sharapudinov, G. G. Akniev

Daghestan Scientific Centre Of Russian Academy of Sciences, 45, Gadgieva str., Makhachkala, Republic of Dagestan, 367000, Russia, sharapud@mail.ru, hasan.akniyev@gmail.com

In this paper we introduce the discrete series with the «sticking»-property of the periodic ({sin x sin kx} system) and non-periodic (using the system of the second kind of Chebyshev polynomials Uk (x)) cases. It is shown that series of the system {sin x sin kx} have an advantage over cosine Fourier series because they have better approximation properties near the bounds of the [0,n] segment. Similarly discrete series of the system Uk (x) near the bound of the [-1,1] approximates given function significantly better than Fouries sums of Chebyshev polynomials.

Keywords: approximation theory, Fouries series, special series, piecewise approximation.

References

1. Sharapudinov I. I. Limit Ultraspherical Series and Their Approximation Properties. Math. Notes, 2013, vol. 94, iss. 2, pp. 281-293. DOI: 10.1134/S0001434613070274.

2. Sharapudinov I. I. Some special series in ultraspherical polynomials and their approximation properties. Izv. Math., 2014, vol. 78, no. 5, pp. 1036-1059. DOI: 10.1070/IM2014v078n05ABEH002718.

3. Dedus P. F., Mahortyh S. A., Ustinin M. N.,

Dedus A. P. Obobshchennyi spektral’no-analitioheskii metod obrabotki informatsionnykh massivov. Zadachi analiza izobrazhenii i raspoznavaniia obrazov [Generalized spectral and analytic method of data arrays processing. Problems of image analysis and pattern recognition]. Moscow, Mashinostroenie, 1999 (in Russian).

4. Pashkovskiy S. Numerical applications of polynomials

Математика

421

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1

and Tehebyehev series [Vyehislitel’nye primeneniia mno-goehlenov i riadov Chebyshevaj, Moscow, Nauka, 1983 (in Russian).

5. Arushanyan О. B., Volehenskova N. I., Zaletkin S. F. On calculation of Chebyshev series coefficients for the solutions to ordinary differential equations. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2011, vol. 8, pp. 273-283 (in Russian).

УДК 517.51

6. Trefethen L. N. Spectral methods in Matlab. Fhiladelphia, SIAM, 2000.

7. Trefethen L. N. Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equation. Cornell University, 1996.

8. Mukundan R., Ramakrishnan K. R. Moment functions in image analysis. Theory and Applications. Singapore, World Scientific, 1998.

О РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Т. Н. Шах-Эмиров

Научный сотрудник отдела математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, tadgius@gmail.com

Пусть для А ^ 1 задана измеримая 2п-периодическая и существенно ограниченная функция (ядро) k\ = k\ (x). Исследуются условия на вес w(x) и ядра [k\(t)}x^i, при которых семейство операторов свертки {KAf(x) : Kaf (x) = JE f (t)k\(t - x) dt}\^i (E = [-п,п]) равномерно ограничено в весовых пространствах Лебега с переменным показателем — .

Ключевые слова: пространство Лебега с переменным показателем, операторы свертки, условие Дини-Липшица.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть E = [—п,п], 1 ^ p(E) ^ p(x) ^ p(E) < го — измеримая 2п-периодическая функция, где p(D) = ess inf p(x), p(D) = ess supp(x) для произвольного D c R, w(x) — суммируемая почти всюду

- xeD xeD

положительная функция (вес). Через Lp^W обозначим пространство измеримых 2п-периодических функций f = f (x) таких, что

[ |f (x)|p(x)w(x) dx < го.

Пространство Lp(xW нормируемо, и одну из эквивалентных норм можно определить [1-4], полагая

f (x) p(x)

для f е Lp(%

\f ||p(A,w ||f ||p(A,w (E) inf {a > 0 •

a

w(x) dx < 1}.

(1)

Отметим некоторые свойства, связанные с этими пространствами, которые понадобятся нам в дальнейшем.

1е

I f ||p(-) ,w II f w

p(-)

lp(A •

2°. Для любых измеримых множеств A с B

llf llp(-),w (A) ^ Ilf||p<.,,„(B),

так как

f(x)

lf llp(0,w (B )

p(x)

w(x) dx ^

f(x)

lf llp(0,w (B )

p(x)

w(x) dx = 1.

3°. Почти дословно повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1.6.1 в [2], можно показать, что если 1 ^ p(x) ^ q(x) ^ q(A) < го, то для любой функции f е LW(‘ x)(A)

lf ||p(0,w (A) ^ ||f ||q(^),w (A)

1 [A w(x) dx /

где A — измеримое множество, rp,q ^ —I—A----------------- ( a(x) = , a*(x) =

a

a-

g(x)

p(x)

a(x)

a(x) - 1

E

E

A

B

© Шах-Эмиров Т. Н., 2014