Дискретное представление излучения параболической антенны в Matlab Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.677: 519.711.3 Якимов А.Н.

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического Петербург, Россия

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ В МА"ПАВ

приборостроения,

Введение

В математическом моделировании излучения зеркальной параболической антенны из-за сложности пространственной конфигурации ее излучающей поверхности перспективным оказывается использование метода конечных элементов (КЭ) . В соответствии с этим методом электромагнитное поле, формируемое антенной в заданной точке, является суперпозицией полей, создаваемых токами КЭ дискретизации ее излучающей поверхности.

В качестве КЭ разбиения излучающей поверхности целесообразно выбрать плоские треугольные элементы. При этом метод аппроксимации излучающей поверхности можно рассматривать как двумерное обобщение методов кусочно-линейной аппроксимации, а гладкая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации. Применение такого подхода позволяет обеспечить непрерывность искомой функции на границах между треугольными КЭ, которая гарантируется равенством значений функции в совпадающих вершинах треугольников, а также позволяет сохранить независимость аппроксимации от расположения КЭ по

отношению к глобальной системе координат Охуг . При этом поверхность локально определяется значениями функции в вершинах треугольников и поэтому не изменяется при переопределении осей х , у и г [1, 2].

Математической описание процесса суперпозиции электромагнитных полей, создаваемых фрагментами излучающей поверхности параболической антенны, представляет собой сложную задачу. Использование средств МАТЬДБ позволяет решить эту задачи в матричной постановке [3].

Основная часть

Математическое моделирование излучения параболической антенны целесообразно проводить на основе физической теории дифракции (ФТД), так как эта теория наиболее полно отражает физические процессы в антенне. Различные же уточнения электродинамических решений, полученных в рамках этой теории, обычно носят асимптотический характер и требуют слишком больших вычислительных затрат.

В соответствии с ФТД [4] полное поле излучения антенны формируется двумя составляющими

поверхностного тока J : "равномерной" 30 и

"неравномерной" ,1Н . То есть

J = Jo + Jн • (1)

Приближение дальней зоны позволяет считать, что все направления от начала локальных систем координат конечных элементов на точку наблюдения параллельны. Угловые же координаты точки наблюдения в локальных системах координат КЭ вследствие нелинейности излучающей поверхности оказываются различными. В связи с этим, для определения электрических составляющих электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения гладкой криволинейной излучающей поверхностью, особое значение следует придавать оценке характеристик рассеяния КЭ и ребер внешних КЭ, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении плоской электромагнитной волной, падающей под произвольным углом. Следует также обратить внимание и на необходимость оценки пространственной ориентации электрических составляющих поля, создаваемых на идеально проводящих КЭ и ребрах кромки излучающей поверхности

тангенциальной Н составляющей магнитного поля г

в глобальной системе координат, чтобы обеспечить их векторное сложение в точке наблюдения. Компоненты общего поля получаются простым суммированием сферических компонент поля р и р

рФ; (

каждого конечного элемента, и каждого

рФ< рец

краевого ребра кромки излучающей поверхности антенны относительно глобальной системы координат [2].

Поле рассеяния гладкой части треугольной грани в результате решения векторных волновых уравнений в форме Стреттона-Чу для трехмерной функции Грина и применения метода Гордона описывается выражениями удобными для расчета на ЭВМ [5]:

£ ^ехр^Д.^,)^^^ (2)

4 л Л,-Л, |д±|2 и к

Ц = (Й ■ Й+1 -«,))■ —;--ехр [-/ й± ■ (а,+1 + а,) ] (3)

2

В этих выражениях приняты следующие обозначения: Р1 - функция направленности облучателя;

йт - амплитуда сигнала на входе облучателя; Т

- векторный множитель, функционально зависящий от поляризации волны, падающей на треугольную гранв, и электрофизических параметров этой грани; а; = д —М - вектор, проведенный из средней точки треуголвника грани в одну из его вершин (рис. 1); = ~ проекция вектора

§ = на плоскости грани в локалвной системе

координат Охуг ; г. , ^ - единичные векторы, совпадающие с направлением волны, падающей в центр треуголвника, и рассеянной в направлении точки наблюдения соответственно; ¿¡1={дх,—ду} -вектор, который получается вращением вектора <7± на 90 градусов по часовой стрелке относительно направления на точку наблюдения; ^, -расстояния от средней точки треугольной грани до фазового центра облучателя и точки наблюдения соответственно; к = 2кх=4л/Я - модулв удвоенного волнового вектора рассеянного поля; ё!.

- вектор поляризации волны, рассеянной в направлении точки наблюдения. С учетом предположения идеалвной проводимости поверхности, вектор е!. находится из вектора поляризации падающей волны ег толвко по тангенциалвной составляющей падающего магнитного поля, ориентированного в направлении к,=[г, х е-] с учетом коэффициентов отражения [2].

Поле рассеяния внешней кромки зеркала, состоящей из ребер внешних элементов разбиения поверхности, может быть найдено, если ввести аналогию этого явления с дифракцией электромагнитной волны на ребре клина (рис. 2) [4,5]. В этом случае выражение для рассеянного поля имеет вид

Л! J\s 1

где 4^ = 0,5 кх ду ; кх = 2л/А; ду - проекция вектора <? на осв уг локалвной системы координат Охгуггг (см. рис. 2); ь - длина ребра грани, принадлежащего внешней кромке; т = 0\ I) \гг Т] а ; 7 = (0,1,0) - единичный вектор, совпадающий с освю уг ; С - коэффициент дифракции магнитной компоненты падающего поля.

Рисунок 2

Наиболее корректным считается [5] выражение С в форме А. Михаэли, которое для освещенной

грани эквивалентного клина в случае наблюдения в передней полуплоскости имеет вид

2 И (1/N) 8Ш[(Я--^)/ N ]

G = H

yo

(5)

ks sin Д sin Д Isin « cos[(w-aj)/ N] -cos(p / N) I

где H'y0 - проекция магнитной составляющей падающего электромагнитного поля на ось yr локальной системы координат Oxryrzr ; Z - характеристическое сопротивление окружающей среды; Д- = arccos( — r¡ 7) , Ps = arccos( -/ rs) - углы между направляющими векторами волн падающих на центр ребра, рассеянных в направлении точки наблюде-соответственно (см. рис. 2);

+ ТЕ1 , = Ее] -(6)

' 1 ' ]

Представление в МАТЬАБ информации об излучающей поверхности антенны и поверхностных токах на ней в матричной форме позволяет придать элементам матриц значения соответствующих параметров в центрах КЭ дискретизации или на их ребрах. Это позволяет использовать форму операций в МАТЬАБ с каждым элементом матрицы отдель-

но для определения компонент поля

E.

и

E.

е

ния и осью у1 и ^ - углы между проекциями на треугольную грань и осью

<P¡

векторов r¡ и г x, соответственно;

Так, например, нормаль п к поверхности КЭ и проекция магнитной составляющей Ы,- на эту поверхность ( Ыи ) могут быть получены по координатам вершин треугольного КЭ и его центральной точки [3].

Нормаль

n к плоскости, ершины треугольника p1, p2

N = 2 ; « = arccos (^ ) ; ^ = sin Д cos p / sin Д .

Зная сферические компоненты поля E

't'

E,

каждого треугольного элемента,

E, ,■ и EB

е

каждо-

ЕФ 1 и Ее]

го краевого ребра излучающей поверхности относительно глобальной системы координат, можно простым суммированием получить компоненты общего поля [6-8]:

проходящей через и р3 , совместим с осью 2 локальной системы координат КЭ и опишем ее пространственную ориентацию в системе

0ху2 известными [2] формулами

= С°8 «X = А / Гп ,

2у = соаау = Ау / Гп , = соаа1 = А /гп (7)

где 2 , 2 , г2 - направляющие косинусы оси 2

локальной системы координат

Oxyz в глобальной

и

системе

Oxyz ;

r = +

n —

+a2 + a2

y

перед корнем определяется ли, опущенной из точки O

причем знак знаком вектора нормана плоскость КЭ;

x„

xp1 _ xp3 yp1 _ yp3

шин треугольника pi , Зная направляющие

координаты

относи-

легко найти его проек-

pi _ zp3 _

p2 и p3 .

косинусы вектора осей локальной системы координат Oxyz тельно глобальной Oxyz , ции на оси локальной системы Oxyz :

н=нcos aH'= н (c°s af' ■ c°s аХ+ cos aH' ■cos a +

H- = Н cos aH' = Н (cos af' ■ cos al + cos af' ■ cos aj + H- = Н cos af' = Н (cos af' ■ cos al + cos af' ■ cos a*y +

(8)

Модуль тангенциальной составляющей верхности КЭ при этом равен

симметричной параболической антенны с диаметром зеркала 03 = 1 м и фокусным расстоянием / = 0,35 м, при шаге дискретизации излучающей поверхности равном Я/2 , для случая ее облучения электромагнитной волной с длиной Я = 0,1 м и вертикальной поляризацией, создаваемой рупором с размерами ар = 0,0 65 м и Ьр = 0,048 м в

горизонтальной плоскости показал близость рассчитанных ДН (рис. 3) к аналогичным характеристикам, полученным аналитическими методами с ьысокой степенью приближения [2].

Н, и Р(<р )

Ур1 zpi 1 ZP1 ХР1 1 Xp1 yp1 1

Ур2 zp2 1 и ZP2 xp2 1 Ax = xp2 yp2 1

Урз zp3 1 lp3 Xp3 1 xp3 yp3 1

ер-

cos аХ),

cos ay),

cos al).

H =JH2 + H2

(9)

а ее проекции на оси локальной системы могут быть определены по выражениям

Я rx = cosaf' =Htx /Htz

H t,y = cosatf* = Hly /H,, H^ z = cos aH< =0 (10)

Полученных данных оказывается достаточно, чтобы определить вектор плотности поверхностного тока J = 2 [ n х Hlt] в локальной системе Oxyz , а с использованием формулы (7) и в глобальной системе координат Oxyz .

Отношение компонент полученных компонент поля Ej, и Ee . к их максимальным значениям пред-

■ф и Ee

ставляет собой функции, описывающие нормированные диаграммы направленности (ДН) по полю в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.

Расчеты, проведенные в MATLAB, подтвердили адекватность предложенной математической модели микроволновой антенны. Так, например, расчет

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн/ А.А. Семенов. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 320 с.

2. Якимов А.Н. Цифровое моделирование излучения микроволновой антенны с учетом краевых эффек

5

Рисунок 3

Рассчитанная по предложенной модели ДН антенны без учета краевых эффектов в горизонтальной плоскости (см. рис. 3, кривая 1) в результате учета "неравномерной" составляющей поверхностного тока успешно уточняется (см. рис. 3, кривая 2). Сравнение полученных ДН, с рассчитанной методом аппроксимации интерполяционным полиномом с использованием ламбда-функций и погрешностью, не превышающей 1-2% [10], показал близость результатов моделирования к аналитическому решению (см. рис. 3, кривая 3).

Заключение

Полученные результаты позволяют утверждать, что предложенная математическая модель адекватно отражает процесс излучения параболической антенны, может быть реализована в MATLAB и пригодна для исследования влияние формы излучающей поверхности на характеристики излучения антенны. Эта модель также позволяет оценить влияние деформаций излучающей поверхности антенны на ее характеристики излучения.

- №11,- С.32-3 8.

с пакетами расширений/ В.П.Дьяконов, - М.: Нолидж, 2001. - 880 с.

золн в физической теории дифракции/ П.Я.

И.В.Абраменкова, Уфимцев. - М.:

тов/ А.Н. Якимов// Метрология. - 2002.

3. Дьяконов В.П. MatLAB 5.3.1 В.В.Круглов; под ред. В.П. Дьяконова.

4. Уфимцев П.Я. Метод краевых i Сов. радио, 1962. - 244 с.

5. Борзов А.Б. Методы цифрового моделирования радиолокационных характеристик сложных объектов на фоне природных и антропогенных образований/ А.Б. Борзов, А.В. Соколов, В.Б. Сучков// Журнал радиоэлектроники: Электронный журнал РАН/ Под ред. акад. РАН Ю. В. Гуляева. - 2000. - №3. -http://jre.cplire.ru/iso/mar0 0/3/text.html (дата обращения: 24.03.2015).

6, А.Н.

4(2)

7, вий/ ред. 8

ство 2012. 9.

Якимов, А.Н. Якимов, Э.В. -2014. - С. Якимов А.Н. А.Н. Якимов. Н.К. Юркова. Якимов А.Н.

- основа моделирования антенн сложной конфигурации/ естия Самарского научного центра РАН. - т. 16. - №

Дискретное представление Лапшин, Н.К. Юрков // Из 454-458.

Проблемы моделирования излучения антенн с учетом влияния возмущающих воздейст-Надежность и качество - 2 013: труды Международного симпозиума: в 2 т./ под Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - т. 1 - С. 86-89. Исследование геометрической модели параболической антенны. - Надежность и каче-- 2012: труды Международного симпозиума: в 1 т./ под ред. Н.К. Юркова. - Пенза: Изд-во ПГУ, - т. 1 - С. 242-244.

Корн Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1974. - 832 с.

10. Горячев Н.В. Стенд исследования тепловых полей элементов конструкций РЭС/ Н.В. Горячев, И.Д. Граб, А.В. Лысенко, П.Г. Андреев, В.А. Трусов //Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2008. Т. 2. С. 162-166.

11. Драбкин А.Л. Антенно-фидерные устройства/ А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. - М.: Сов. радио, 1974. - 536 с.

Ax =

H

на