Динамика стержня при продольном ударе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИНАМИКА СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ*

H. Ф. Морозов1, П. Е. Товстик2

I. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, академик РАН, morozov@NM1016.spb.edu

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru

Введение. При статическом продольном осевом сжатии стержень может потерять устойчивость прямолинейной формы, переходя в смежные формы равновесия (это классическая задача Эйлера, которой он начал заниматься еще в 1744 году [1-3]). При динамическом продольном нагружении задача значительно сложнее. При строгой постановке по стержню распространяются продольные упругие волны, которые, в свою очередь, могут порождать интенсивные поперечные колебания, связанные с начальными отклонениями от прямолинейной формы стержня. Однако в связи с тем, что время распространения продольной волны по длине стержня существенно меньше наименьшего периода поперечных колебаний, как правило, используется приближенная модель, согласно которой считается, что продольная волна распространяется по стержню мгновенно, а осевая сжимающая сила постоянна по длине. При такой постановке решены задачи с внезапным приложением конечной нагрузки, превосходящей критическое значение в статике [4], с нагрузкой, линейно возрастающей со временем [2, 5], с нагрузкой, периодически меняющейся со временем и приводящей к параметрическому резонансу [2, 6]).

Ниже решается задача в более строгой постановке, при которой учитывается конечная скорость распространения продольных волн в стержне. Рассматривается кратковременный продольный удар постоянной силой по концу упругого стержня постоянного поперечного сечения $ длины Ь. Предполагается, что время удара меньше времени пробега продольной волны по удвоенной длине стержня. Исследуются поперечные колебания стержня, связанные с отклонениями его начальной формы от прямолинейной.

Сначала подробно рассматривается приближенная модель, в которой учитывается влияние продольной силы на поперечные движения, однако влиянием поперечных колебаний на продольные пренебрегается. При этом задача сводится к последовательности двух линейных задач — сначала определяется продольная сила, а затем исследуются поперечные колебания при известной продольной силе. Эта модель дает разумные результаты для сравнительно небольшого интервала времени, однако с ростом времени она становится неприменимой, ибо амплитуда поперечных колебаний может неограниченно возрастать. Возрастание амплитуды противоречит закону сохранения энергии, ибо после прекращения действия внешней силы система становится консервативной.

Предложена более точная нелинейная модель, свободная от указанного недостатка. Задача сводится к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно проекций перемещения точек оси стержня на продольное и поперечное направления. Способ приближенного решения этой системы не разработан, однако ее вид определяет область применимости приближенного подхода, при котором нелинейная задача сводится к последовательности двух линейных задач.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №06.01.00452 и 07.01.00250).

© Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, 2009

1. Распространение продольных волн в стержне в линейном приближении описывается уравнением

Е37Г

дх

д2и „д2м

д^ = Р

Граничные и начальные условия имеют вид

«(/,£)= 0, и[х, 0) = 0, —

—Ро, 0 < * < Т, ,, ,ч , „ ди

ж=о I 0, * > Т, ’ ’ д*

= 0, 0 < х < Ь.

*=о

(1.2)

Здесь и(х,*) —продольное смещение сечения, х — продольная координата, * —время, Т — время действия ударной силы, Е, V и р — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала. Формулы (1.2) соответствуют удару постоянной сжимающей силой Ро (Ро > 0 при сжатии).

Для исследования поперечных движений стержня необходимо найти функцию

ди

Р(х,г) = Е8— (1.3)

дх

при * > 0, 0 < х < Ь. Общее решение волнового уравнения (1.1) с учетом (1.3) имеет вид

Е

Р(х, £) = — Ро(/(х — сЬ) + д{х + с£)), с2 = —, (1-4)

р

где с — скорость звука, а функции /(г) и $(,г) определяются из условий (1.2).

Пусть То = Ь/с — время пробега волны по всей длине стержня. Возможны различные подходы к исследованию поперечных движений в зависимости от соотношения времен Т и То. Ниже рассматривается случай Т < 2То, при котором действие импульса заканчивается до прихода волны, отраженной от правого конца к левому концу стержня. В этом случае в силу условий (1.2)

1, —Ьт < г < 0,

/ (г) = ^ 0, —2Ь < г < —Ьт, —4Ь < г < —2Ь — Ьт, д(г) = /(2Ь — г), (1.5)

-1, —2Ь — Ьт <г< — 2Ь,

где Ьт = сТо < 2Ь. Функции /(г) и $(г) периодичны с периодом 4Ь, следовательно,

при * > Т будет Р(х,* + 4Т0) = Р(х, *).

2. Малые поперечные движения стержня согласно модели плоских сечений Бернулли—Эйлера описываются уравнением [2, 3]

„ тд4ад д / д(адо + ад) \ „д2ад

£'7а?-йГ1'‘)-4^)+'’яда=0' (21)

где и>о + ад — полное отклонение оси стержня от прямолинейной, адо(х) = у>(х) —заданное начальное отклонение, ад(х,*) —искомое дополнительное отклонение, J — момент инерции поперечного сечения.

Введем начальные условия

ад(х, 0) = ад^х, 0) = 0, 0 < х < Ь, (2.2)

и рассмотрим два варианта граничных условий:

д2ад

ад = ДТ , =0 (ж = 0, ж = Ь), (2-3)

дх2

^ тд3ш чд(ш0 + ш) ^ тд2ш л , дш л ,ч

%"р(0'^ = % = 0 (ж = 0)> № = ^ = 0 (ж = ь)- (2-4) Первое из них соответствует шарнирно опертым краям х = 0 и х = Ь, а второе — свободному и жестко закрепленному краям.

Запишем уравнение (2.1) в безразмерном виде, в котором длина стержня и время пробега продольной волны по всей его длине равны единице:

д4 ш д / чд (шо + ш)\ д2 ш

Мтгх - — ( Фъ*1)-Чт7-------- ) + -т^г = °> 0 < Ж1 < 1,

дх1 дх1

дх1

дг2

(2.5)

где

Ь

х = Ьх 1, £ = —^1, /I =

£Ь2

= 1 — 1 -С 1, г = \1

К)

(2.6)

е(жь^) = — = е0 (/(*1 - М + д(х 1 +<!)), £о = ттт;-

Здесь г — радиус инерции сечения, е(х1 ,г1) —продольная деформация сжатия оси стержня, причем функции f (х) и д(х) те же, что и в формулах (1.4) и (1.5) с учетом замен Ь на единицу и Ьт на безразмерное время действия импульса т < 2 (далее нижний индекс 1 опускаем). В безразмерных переменных области, в которых функции f (х) и д(х) принимают значения ±1, показаны на рис. 1.

Рис. 1. Схема распространения продольных волн.

Уравнение (2.5) эквивалентно вариационной задаче

Ш1П

Г £ 2 Г1

иЬг ио

/ д 2 ш\

(27)

2

где минимум разыскивается по функциям ш(х, г), удовлетворяющим геометрическим граничным условям при х = 0 и при х =1. Будем искать решение в виде ряда Фурье

N

ш(х, г) = ^2 Хп (х)тп (г) (2.8)

п=1

по собственным функциям краевой задачи, удовлетворяющей уравнению X1У — а4X = 0 и граничным условиям X(0) = X"(0) = X(1) = X"(1) =0 в случае условий (2.3) и условиям X"(0) = X(0) = X(1) = X;(1) = 0 в случае условий (2.4).

Для условий (2.3) имеем

ап = пп, Xn = ппх, п = 1, 2,...; (2.9)

а для условий (2.4) —

«1 = 1.875, а2 = 4.695, а3 = 7.855, а

(2п - 1)п/2 + 2е-(2п-1)п/2, п > 4, С„(віп а„хі — віпИ а„хі) + 5„(сов а„хі — совИ а„хі), хі = х — 1,

сов а„ — совИ < совИ а„

Я =

віп а„ — віпИ а„ совИ а„

(2.10)

Функции Т„(і) удовлетворяют системе уравнений

<М2

+ Мап^п(^) — 53 а^к(і)(Тк(і) + 92^) — 0, п — 1,..., Ж,

К„

N

(2.11)

к=і

где

[ Х„йх, а„й(і) = [ (/(х — і) + #(ж + і))ХХ„йх, ^ йх, (2.12)

7о 7о ./о

и нулевым начальным условиям Тп(0) = ТП(0) = 0.

Систему (2.11) будем интегрировать численно. Приведем алгоритм вычисления коэффициентов ап&(£). В силу формул (1.5) функции /(г) и $(г) принимают значения 0, ±1, и можно найти явные выражения для а„^ (£). Однако в связи с их громоздкостью более удобно написать выражения для производных

йа.

„к

= Ф„к(і), П, к = 1,..., Ж,

(2.13)

а сами функции ап&(£) находить численным интегрированием уравнений (2.13) одновременно с интегрированием системы (2.11). Введем обозначения хт = £ — 2т, ут = хт — т, т = 0,1,... Тогда при т < 1 будет

Ф„к(і) = ( —1)г

а при 1 < т < 2 —

Ф„к(і) = ( —1)г

^„к(хт ) + ^0т^„к( Ут^ ^„к(хт) (^Ут^

^„к( хт+і) ^пк^Ут^

2т < і < 2т + т,

2т + т < і < 2т + 1,

2т +1 < і < 2т + 1 + т,

(2.14)

^„й(—хт+і) — ^„й(— Ут+і^ 2т + 1 + т < і < 2т + 2,

^„к(хт ) + ^0т^пк(ут-і): ^„к(хт ) + ^0т^„к( Ут^ ^„к( хт+і) + ^0т^„к( Ут^ ^„к( хт+і) (^Ут^

2т < і < 2т — 1 + т,

2т — 1 + т < і < 2т + 1,

2т +1 < і < 2т + т,

2т + т < і < 2т + 2.

(2.15)

В формулах (2.14) и (2.15) ^(.г) = Х„(^)Х^(^), ^00 = 0, 4т = 1, т = 1, 2,... В

силу формул (2.12) а„к(і) = а^„(і), период функций а„^(і) при і > т равен четырем, а их средние значения за период равны нулю.

Пример. Возьмем £0 = 0.01, ^ = 0.0002, т = 0.5. Для стержня кругового поперечного сечения радиуса Д приведенное значение ^ соответствует отношению Ь/Д = 40.8. Значение т = 0.5 соответствует длительности импульса, при которой продольная волна проходит половину длины стержня. В формуле (2.8) возьмем N = 10. Приведем

„

периоды свободных поперечных колебаний. В случае условий шарнирной опоры (2.3) формулы (2.9) дают первые 10 периодов: 45.0, 11.3, 5.0, 2.8, 1.8, 1.25, 0.92, 0.70, 0.56, 0.45, а в случае условий (2.4) — 121.4, 20.2, 7.2, 3.7, 2.2, 1.5, 1.07, 0.80, 0.62, 0.50. Эти периоды следует сравнивать с временем пробега продольной волны по всей длине стержня, равным 1, и с периодом функций а„^(£), равным 4.

Численное интегрирование системы (2.11), (2.13) показало, что результат сильно зависит от коэффициентов (2.12) , описывающих начальную неправильность. Были

проведены численные эксперименты, при которых одна из величин = 1, о остальные

=0, ] = к. Наиболее существенный рост решений Хп(£) системы (2.11) наблюдался при к = 3,4, 5, причем функции продолжали расти (с осцилляциями) и тогда, когда £ > т, т. е. после прекращения действия ударной силы.

Чтобы проиллюстрировать изменение со временем формы прогиба был рассмотрен пример, в котором у>1 = 0.5, ^2 = 0.8, <^>з = 1.0, ^4 = 0.8, ^5 = 0.5, а остальные ^ =0, к > 6. На рис. 2 представлены функции и>(ж,£) в последовательные моменты времени с интервалом Д£ = 0.2 для граничных условий (2.3) (рис. 2, а и рис. 2, 6) и для граничных условий (2.4) (рис. 2, с и рис. 2, й). На рис. 2, а и рис. 2, с продолжительность интегрирования £ < 2, а на рис. 2,6 и рис. 2, й — £ < 12. Видим, что с ростом времени интегрирования амплитуды растут, что свидетельствует о наличии параметрических резонансов.

Система (2.11), (2.13) линейна, поэтому масштаб величин , определяющих амплитуду начальных неправильностей, находится в нашем распоряжении, и характерное их значение было принято равным единице. На оси ординат на рис. 2 отмечен соответствующий масштаб дополнительного прогиба и>(ж,£). В действительности |у>&| ^ 1 и прогиб пропорционально уменьшается.

Рассмотренный выше стержень сравнительно длинный. Расчеты показали, что для в пять раз более короткого стержня при Ь/Д = 8.2 прогибы примерно в 2-3 раза меньше.

4. Нелинейная система уравнений продольно-поперечных колебаний. Интегрирование сисиемы (2.11), (2.13) показало, что для больших интервалов времени она дает качественно неверный результат, заключающийся в неограниченном росте амплитуды. Есть два способа исправить ситуацию — ввести силы сопротивления или рассмотреть более точную систему, учитывающую влияние поперечных колебаний на продольные. Ниже выводится такая система.

Будем исходить из принципа Остроградского—Гамильтона

где Т и П — кинетическая и потенциальная энергии, — элементарная работа внешней

силы, по-прежнему, принимая гипотезу плоских сечений и пренебрегая моментом сил инерции вращательного движения сечения. В безразмерных переменных эти величины имеют вид

(Т — П) = £А,

(4.1)

(4.2)

£м(0, £), £ < т, = 0, £ > т,

Рис. 2. Изменение формы прогиба со временем (1а,Ь — граничные условия (2.3), — условия (2.4)).

где 5 — длина дуги оси стержня до деформации, в и в0 — полный и начальный углы между касательной к оси стержня и осью Ох, и и ш — продольное и поперечное перемещения точек оси стержня, отнесенные к его длине Ь. Величины £, в и в0 связаны с и и ш соотношениями

йх0 а йУо . а д(х0 +и) (л . , а д(Уо +ш) (л . л ■ а (Лг,\

—— = сов б'о, —— =811100, -------- = (1+6:) сое 6/, ---- = (1-\-£) Б1П и, (4.3)

где х0 (5) и у0 (5) — координаты точек оси стержня до деформации.

Выражение потенциальной энергии П в (4.2) через функции и и ш весьма громоздко. Поэтому возьмем приближенное выражение

т-т 1 [1 ( 2 (д2ш \2\ _ ди йу0 дш 1 (дш \2

п = 2 1\е+>‘Ы)),1,:’ , = Й + + <44)

в котором по сравнению с единицей опущены слагаемые порядков ди/д5, в2, в2.

Теперь варьированием соотношения (4.1) получаем искомую систему де д2и ди скуо дги 1 /дги^ 2

дв дЬ2 ’ дв с1в дв 2 V дв ,

(4.5)

д4ш д ( (дш д2ш

^ - д~8 (,е (у 57 + И)) + ~д¥ = °-

Система (4.5) эквивалентна рассмотренным выше уравнениям (1.1) и (2.1), если считать

ди Йу0 ^ш0 . .

-, = 1’ £ = &' !ь=^ (46)

Следовательно, неравенство

<9и> йи>о 1 / <9и>4 2

<< £0 (4.7)

дх йх 2 у дх

определяет область применимости рассмотренного выше приближенного подхода. Литература

1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.: Гостехиздат, 1934.

2. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1962. 880 с.

3. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 177 с.

4. Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР, 1949. Т. 5. №6.

5. Вольмир А. С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении // Строит. механика и расчет сооруж. 1960. №1. С. 6-9.

6. Болотин В. В. Поперечные колебания и критические скорости. Изд. АН СССР. Т. 1. 1951. Т. 2. 1953.

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.