CC BY
34
8
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА
И ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ
ДИНАМИКА НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ПРИВОДА ОПОРНО-ПОВОРОТНОЙ ПЛАТФОРМЫ С ВЕНТИЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
И.Е. Овчинников
В статье рассматривается разомкнутая система непосредственного привода двухмассовой системы с вентильным двигателем. На основе анализа диаграммы Вышнеградского показываются некоторые пути улучшения качества переходного процесса за счет надлежащего выбора параметров двигателя.
Введение
Исследованию динамики двухмассовых систем с упругой связью и, в частности, вопросов демпфирования крутильных колебаний в приводах постоянного тока, посвящены публикации [1, 2], в которых отмечается возможность улучшать демпфирование колебаний за счет изменения жесткости механической характеристики приводного двигателя [2].
Вентильный двигатель, являющийся бесконтактным аналогом двигателя постоянного тока с механическим коллектором, имеет некоторые особенности, связанные с малым количеством секций (фаз) обмотки, влиянием их индуктивностей на вид характеристик, а также влиянием коммутационных процессов, связанных с отключением соответствующих элементов обмотки [3].
Далее будем рассматривать двухмассовую систему с упругой связью, приводимую во вращение вентильным двигателем (рис. 1).
Рис.1. Схема привода двухмассовой системы с вентильным двигателем.
На рис.1 ВД - вентильный двигатель, представляющий собой комплекс из электромеханической части М (двигатель) и полупроводниковой части К (коммутатор), управляемый по положению вала /(51), - угол поворота, J1 - момент инерции массы, приведенный к валу двигателя; J2 - момент инерции массы, присоединенной через упругую связь с коэффициентом упругости кх. В схеме соединения масс с моментами инерции J1 и J2 предусмотрено демпфирующее звено, создающее момент демпфирования, пропорциональный разности угловых скоростей «масс» J1 и J2:
м _ к (<щ азл
М_ Ч С ей) .
Далее, учитывая специфику привода, предполагающую большую равномерность электромагнитного момента двигателя, будем считать, что фазные напряжения трех-
фазного двигателя изменяются по гармоническому закону со сдвигом на 120 электрических градусов, а их привязка к координатам фазных осей может, в случае необходимости, изменяться. Это изменение соответствует введению угла опережения включения в0 фаз двигателя при каждой очередной коммутации [3, 4]. Далее угол опережения в0
будем считать равным нулю.
С учетом сказанного моментная (или механическая) характеристика трехфазного
вентильного двигателя будет иметь вид [4]
М-с'-а) (1)
Здесь ит - амплитуда фазного напряжения, С' = р ■ к01 ■ ч,1 ■ Ф - постоянная про-тиво ЭДС, р - число пар полюсов, к01 - обмоточный коэффициент, н'1 - число витков фазы, Ф - поток системы возбуждения на пару полюсов, Я - активное сопротивление 3
фазы, X = ^р■ ЬО - эквивалентное индуктивное сопротивление фазы, Ь - собственная индуктивность фазы, О - угловая скорость ротора (рад/с).
Хотя характеристика (1) имеет нелинейный характер относительно скорости О, она в ряде случаев, в особенности, когда Х<<Я, может быть представлена как линейная падающая, т.е. такая же, как у коллекторного двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Положив X « 0, получим
м = 3 ■ СК{ит - С'-О). (2)
Пусковой момент (0 = 0) и скорость идеального холостого хода (М = 0) будут определяться формулами
3 и
М =— С ■ I • I = —
1У1 П ^е 1П п
2 Я
О = —
ИХХ
Се
Запишем уравнения динамики для двухмассовой системы, изображенной на рис. 1.
(+Ф=м - к- ^)-< % - 4 ]
. (3)
У 2 ^ = к, (4-4) + ка( ^ - 4)-МН
Здесь Уд - момент инерции ротора двигателя, 4 - угол поворота. Подставим в первое выражение уравнение для момента двигателя (2) и перейдем к безразмерным величинам:
М ,, 3П ,Т момент /л =-; М б = — С1П;
Мб б 2 ' П
О с14 _ ит
скорость с = — =-—; Об = — ;
Р 1 О ОЛ б С'
скорость сс =-—.
2 ОбШ
Разделим оба уравнения на базовый момент Мб и введем безразмерное время т = г ■О:
(( + -А) сА _ 1 _с* _ А_А)_ ГА _А
Мб Ст2 Ст 1 Ст Ст
J2О2б СА2 а а Г СА2 ^
2 б 2 _ ^ (1 )+ сд| -т-—Г |_"н
Мб Ст ^ Ст йт
к к О.
Здесь с _ ——; сд _ ——-. Кроме того, обозначим механические постоянные как
Мб мб ид + J1 )Об -
V о 1) б —Т- т о — Т-
М _ А; Т °б _ А; о б (4)
_ Т. Т .П _ Т
мб 2' 2 б 2
Подставив эти величины в предыдущие уравнения, получим следующую систему: ~ С А / \ С А п С А
Т1-т + (1 + сд)-т- + сА _ сд—т = 1
ат ат ат (5)
Т2 2 + с хА2 _сД~Т _ схА1 __"Н
Ст Ст Ст
Преобразуем уравнения (5) по Лапласу, приняв все начальные условия нулевыми:
__о, а _А2 _о.
с1т Ст
Т 15 2 +(1 + сд)5 + сх "Ц (5 )_(сд 5 + сх )-в2 (5 )_ 1
Т 2 5 + сд 5 + сх
5
_ "н
в (5 )_(сд 5 + сх )в (5
5
Здесь в12 (5) - изображение углов А1 и А2, 5 - оператор преобразования. Из данной системы уравнений имеем:
в ( )_ Т252 + сд(1 _"н ) 5 + сх (1 _"н )
в1 (5)_ 52 - Р3 (5)
- . (6)
в (5)_ сх (1 _"н ) + (( (1 _"Н )_"Н )_ Т "н 5 5
_ )_ 52 . Рз (5)
01 (5) _ 5в1 (5)
__- изображения угловых скоростей.
02 (5)_ в (5)
дв(5 (5 Ув, (5)_ Т 2 ^ + "Н
дв(5_А2) _ дА - угол рассогласования между валами J1 и J2. Здесь полином третьего порядка
Рз (5 )_ Т1Т2 53 +(((1 + Т 2 ) + Т 2 ) 52 +((Т 1 + Т 2 ) сх + сд) 5 + сх . (7)
Коэффициенты полинома, от которых зависит распределение корней соответствующего характеристического уравнения, определяют поведение рассматриваемой динамической системы в различных переходных процессах и качество этих процессов.
Характеристическое уравнение Р3 (5) _ 0 позволяет перейти к форме Вышнеград-ского [5]:
г3 + Аг2 + Бг +1 _ 0;
г = 3
T T 2
A =
T2
F (д) =
^ (д) 5 = (T1 + T 2 ) ))~T~T F2 (^ <0
1+Д
T 2 У
Сд + 1, F2 (д, ^ ) = 1 + 1 v
(Tl + T2 )
Условие устойчивости системы формулируется в виде АВ у 1, что в нашем случае приводит к неравенству
(
i+h
T i
Л
F1 (Сд ) ' F2 (Сд, ^ )f 1.
С другой стороны, от абсолютных величин коэффициентов А и В зависит характер переходных процессов в системе (колебательный, монотонный, апериодический), а также их качество, которое можно охарактеризовать, в частности, интегральной оценкой [5] вида
Iд^ = |д^2 dT.
Подставим в величины А и В значения безразмерных постоянных Т1 и Т2, а также сд и сх (4). В результате получим:
A = з
■М Fi (кд), 5 = (J + J)3
kx Q2
J1 Q6 'k:
2
Mб ■Ji J2
F (, кд)
Fl (кд) = 1 +
1 + Jl
J
F2 (kx, кд) = 1 + -
кд M б
(9)
2 J-
мб' ^ хкх (1 + )
На рис. 2 по данным [6] построена диаграмма Вышнеградского, на которой нанесены линии равного декремента затухания, характеризуемого величиной относительного уменьшения амплитуд колебаний через каждый период. Этот показатель в данном
( А (4 + 2п))
случае имеет вид Z =
A (5)
100%, где A (5) - значение амплитуды колеба-
ний при некотором угле 5, A (5 + 2п) - то же значение через период 2п . Линия 1 означает границу устойчивости AB = 1. Линии 2, 3 делят всю область устойчивой работы на зону затухающего колебательного режима (зона I между кривыми 1-3), монотонного затухающего режима с колебаниями, не изменяющими знака координаты и ее производной (зона II), и апериодического режима (зона III).
На рис. 2 пунктирной линией показана область, где система имеет достаточно малую величину квадратичной интегральной оценки качества переходного процесса [5].
В некоторых случаях надлежащий выбор параметров привода, в частности, двигателя, позволяет добиться необходимого качества переходного процесса. Это будет означать, что зависящие, согласно (9), от параметров коэффициенты A и B обеспечат положение «рабочей» точки на диаграмме Вышнеградского (рис. 2) в необходимой области, например, с желаемым декрементом затухания.
Рассмотрим такую возможность на конкретном примере.
Опорно-поворотная платформа, приводимая непосредственным (безредукторным) приводом на основе вентильного двигателя, может быть представлена как двухмассо-вая система с упругой связью и демпфированием (рис. 1).
x
1 2 3 4 5
Рис. 2. Диаграмма Вышнеградского и кривые равных декрементов затухания
Параметры платформы:
• моменты инерции J1 = 45000кг• м2, J2 = 110000кг• м2;
• коэффициенты упругости и демпфирования: кх = 3 • 108 Нм / рад,
кА = 1,0-105Нм• с/рад ; Параметры двигателя:
• момент инерции ротора Jр = 110кг • м2;
• амплитуда фазного напряжения ит = 42 • 300 = 424В;
• число пар полюсов р = 44 ;
• активное сопротивление фазы Я = 23Ом;
• собственная индуктивность фазы Ь = 0.0352Гн ;
3
• постоянная момента для трехфазного двигателя (см.(1)) Км = С'е = 1000Нм / А;
• постоянная ЭДС С'е = 667В • с / рад .
Используя (2), определим скорость идеального холостого хода:
и 424
^ = " б = ~Стт = = 0,636рад / с. С 667
Сравним активное и эквивалентное индуктивные сопротивления фазы на скорости идеального холостого хода:
3 3 3
Хтах = Хб = 2Р • ь •Пихх = 2 • 44 • 0,0352 • 0,636 = 1,48Ом (коэффициент - учитывает взаимоиндуктивность других фаз). Это означает, что в формуле моментной характеристики (1) можно пренебречь величиной X и пользоваться формулой (2). Кроме этого, можно не принимать во внимание электромагнитные процессы по сравнению с механическими.
Пусковой (базовый) момент двигателя (2) равен
3 С '-и 3 424
Мп = Мб = -- е т = -- 667--= 18444Нм .
п б 2 Я 2 23
Теперь, согласно (9), определим коэффициенты А и В, учитывая, что = У' + = 45000 +110 = 45110кг- м2. Далее получим из (9):
^ (кд) = 1 +
1 + ^
V У2 J
кд . Л 45110 1100000
д
• = 1 + 1 1 +-I-= 8,64.
М. V 110000J 18444
^ (к,, кд)=1+—гкМ—Т=1 + 8 ь'05-'8.444-^3 2.,.
П д; кх ( + У2 — 3-108 (4,511 +11—104 - 0,6362
. I 1,1-105 -18,442-106 0 ^
А = 3-4-8—'-2-г - 8,64 = 0,46.
V 4,5112-108 - 0,6362 - 3-108
В = (4,511 +11—104 - з-2 3 -610 - 0,6364---1,0 = 64.
4 ! \ 18,442-106 - 4,511-104-11-104
Из рис. 2 видно, что точка с коэффициентами А = 0,46, В = 64 лежит в области
II. Эта точка будет отвечать медленно затухающему монотонному процессу
У 0, У 0, ДА У 0, ЖДА У 0 I. Степень устойчивости, определяемая веществен-
V ж ж J
ной частью корня характеристического уравнения (7), наиболее близко расположенной к мнимой оси, равна [5]:
К = К - ,3рГ = 4,. /АМг, 0 \т.т, 'уУ,Л-пб
где нормированная степень устойчивости отвечает уравнению
В = — + Ак0 - к02. (10)
К0
При вычисленных значениях А и В
к0 « 0.0167, к = 0.0167 - з
3-108 18,44 103
4,511-104 -11-104 - 0,6364
= 0.317.
Таким образом, экспонента наиболее медленно затухающего члена решения, оп-
—кт — КПбг
ределяющего переходный процесс, равна е = е , а постоянная времени этой экспоненты Тк = —1— =-1-= 4,96с. Столь малое быстродействие системы может
к-Пб 0,317-0,636
быть улучшено за счет уменьшения коэффициента В и некоторого увеличения А . Из выражения (9) для А и В мы видим, что уменьшение времени протекания переходных процессов может быть достигнуто при увеличении жесткости механической характери-
М б
стики, определяемой отношением —-. Например, увеличение жесткости в 2 раза за
Пб
счет уменьшения скорости идеального холостого хода Пихх = Пб в 2 раза даст значение коэффициентов (9) А = 0,73 и В = 40,3 .
Для зоны II рис.2 из (10) находим к0 « 0.025, к «1,19 , ^ = 2,63с. Быстродействие
увеличилось в 1,9 раза.
Рассмотрим увеличение жесткости характеристики в 2 раза за счет увеличения пускового (базового) момента Мб. В этом случае А = 0,408, В = 40,3, к0 = 0.025, к = 0,598, Ть = 2,63с, т.е. постоянная времени оказалась такой же, как и в предыдущем
случае, когда жесткость характеристики была увеличена за счет уменьшения скорости идеального холостого хода .
И в том, и в другом случае для увеличения жесткости характеристики в 2 раза потребуется увеличить площадь пазов статора двигателя также в 2 раза при сохранении неизменным коэффициента заполнения паза по меди. Тот же результат может дать увеличение длины пакета статора в два раза при прежней геометрии статорного листа или применение сдвоенной конструкции двигателя, работающей на один вал. На основе проведенного анализа можно сделать следующие выводы.
1. Определенное влияние на уменьшение времени переходных процессов, уменьшение колебательности и улучшение качества процесса может быть достигнуто за счет правильного выбора механической характеристики двигателя, определяемой в рассматриваемом случае двумя точками - пусковым моментом (Мб) и скоростью идеального
холостого хода ( Об ).
2. Параметры двигателя, использованные в приведенном примере, по всей вероятности, не обеспечат необходимого быстродействия и качества процесса регулирования в замкнутой системе.
Литература
1. Ключев В.И. Теория электропривода. М.: Энергоатомиздат, 2001.
2. Совершенствование и повышение качества электромеханических систем / Сборник трудов семинара ЛДНТП, 1977.
3. Овчинников И.Е. Теория вентильных электродвигателей. Л.: Наука, 1985.
4. Овчинников И.Е. Вентильные двигатели и привод на их основе. СПб: Корона Принт, 2006.
5. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1954.
6. Воронов А.А. Элементы теории автоматического регулирования. М.: МО, 1954.
