Динамика нефтяного пятна в море с учетом процессов деструкции. Математические модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ДИНАМИКА НЕФТЯНОГО ПЯТНА В МОРЕ С УЧЕТОМ ПРОЦЕССОВ ДЕСТРУКЦИИ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

© 2004 г. С.И. Дембицкий, А.В. Лаврентьев, А.В. Ларионов, М.Х. Уртенов

Mathematics models which describe the processes originated with oil in the sea after the spill as a result of the accident of the oil-tanker vessel including convection-diffusion transmission of the oil slick under the impact of wind and current, also destruction processes like evaporation, dissolution and biodegradation processes were invented.

Введение

Проблема загрязнения морей и океанов уже давно приобрела глобальный характер как по своим масштабам, так и по степени экологической опасности для всего человечества. Среди многочисленных загрязняющих веществ, поступающих различными путями в моря планеты, особое место занимают нефтяные углеводороды. Нефть попадает в море со сточными водами промышленных предприятий, при авариях на буровых установках, расположенных на континентальном шельфе, при авариях танкеров и нефтеналивных терминалов. По степени воздействия на морскую среду является одним из наиболее опасных загрязнителей. В море нефть встречается в различных состояниях: молекулярная пленка, пленка толщиной до нескольких мм (слик), эмульсия «вода в нефти» или «нефть в воде», донные отложения, растворенная в воде нефть, нефтяные агрегаты [1, 2].

Поведение нефти, попавшей в море, зависит от ее физико-химических свойств, таких как температура кипения фракций, плотность, вязкость, а также определяется условиями окружающей среды: ветровой и волновой деятельностью, течением, количеством нефтеокисляющих бактерий, температурой воздуха и воды.

После попадания нефти в море она начинает растекаться по водной поверхности. В начальной стадии растекание обусловлено действием силы гравитации. На следующей стадии основной вклад в растекание вносят сила трения и гравитационная сила, и, наконец, на последнем этапе растекание определяется соотношением между силой трения и силой поверхностного натяжения [3, 4].

Перемещение (адвекция) пятна нефти по поверхности моря происходит под влиянием ветра, течений и диффузионных процессов.

В процессе растекания и при последующем перемещении нефтяного пятна в нефти происходят различные физикохимические процессы (испарение, растворение, эмульгирование, фотоокисление) и биологическое окисление нефти бактериями. Эти процессы зависят от фракционного состава нефти, который в свою очередь зависит от типа транспортируемой нефти. Однако для ряда разных фракций скорости некоторых реакций могут быть примерно одинаковыми. В этом случае при математическом моде-

лировании эти фракции объединяются в одну формальную псевдофракцию, т. е. производится факторизация реальных фракций нефти по скорости моделируемой физико-химической или биохимической реакции и формирование факторизованных фракций.

Достигнув берега, нефть налипает на скалы, береговые сооружения, накапливается толстой пленкой в приливно-отливной зоне, проникает между камнями на глубину до 1 м, смешиваясь с минеральными и растительными частицами, образует нефтяные «лепешки», а также, отражаясь от берега в некотором количестве, остается на поверхности моря [1]. Эти процессы должны учитываться при постановке граничных условий.

В настоящем исследовании рассматриваются основные физико-химические и биохимические процессы (испарение, растворение, бактериальное разложение), происходящие с разлитой нефтью во время ее распространения по поверхности моря под действием ветров и течений, и предлагаются математические модели, описывающие эти процессы.

1. Основные уравнения

Моделирование указанных выше процессов основано на следующих предположениях:

1) Нефть рассматривается как многофракционная жидкость, причем фракции понимаются в указанном выше смысле как факторизованные фракции относительно моделируемого процесса;

2) Моделируемые процессы (испарение, растворение, биологическое окисление (рисунок)) происходят в первом приближении независимо друг от друга, т.е. взаимным влиянием этих процессов, как и взаимодействием между факторизованными фракциями при этих физико-химических реакциях в первом приближении пренебрегаем;

Процессы, происходящие с нефтью в море

3) В качестве уравнения, описывающего распространение 1-й факторизованной фракции с концентрацией С, под влиянием турбулентной диффузии, полей ветров и течений с учетом ,-й физико-химической реакции или биологического окисления Я,, примем

следующее уравнение:

дС, дС, дС, дС, д2 С,

—+ и—+ V—+ м—- - Кх----------------- (1)

д( дх ду с% дх2

д2 С, д дС, ( \

-Ку----------К. —г- + Р(С,,Я, )= 0,

у ду2 д2 дг Х

где С, (х, у, г, t) - концентрация загрязнения, мг/м2; х, у, г - декартовы координаты текущей точки, м, ось ъ направлена вертикально вниз; t - время, с; и, V, V - компоненты вектора скорости течения, м/с, удовлетворяющего уравнению неразрывности

ди ^ дм п „

Ку - коэффициенты турбулент-

- +--I---= 0 ; Кх,

дх ду дг

ной диффузии в плоскости (х,у), м2/с, Кг - коэффициенты вертикальной диффузии, м2/с; Р(С,,Я,) -

функция, определяющая деструкцию ,-й факторизованной фракции в результате ,-й реакции Я, (испарение, растворение, биологическое окисление).

В общем случае уравнение задается в некоторой ограниченной пространственной области О, описывающей шельфовую зону моря и имеющей боковую поверхность Е, основания Е0, Ен и постоянную глубину Н. Будем считать также, что пересечение боковой поверхности Е плоскостью моря представляет собой объединение твердой Е1 и жидкой Е 2 границ.

Для ряда процессов уравнение рассматривается на поверхности моря, и задача становится двумерной.

Начальные условия в зависимости от содержания задачи могут быть сформулированы следующим образом:

а) мгновенный выброс мощности Q в точке (х0, у0, 20)

С, (х у,0) = ^С - х0)С - у0)С - г0),

здесь Qi - средняя поверхностная плотность г'-й фракции нефтяного загрязнения; (х0, у0, - координаты ис-

точника загрязнения; £(х) - дельта-функция Дирака;

б) задана поверхностная плотность ,-й фракции нефтяного загрязнения на части поверхности

, (х у)е ^

[ 0, (х, у) ^1,

£1 - область, покрытая первоначальным неразорвав-шимся пятном.

При достижении границы Е1 в зависимости от физико-химических свойств нефти и морфологической структуры побережья происходит отражение, частичное или полное прилипание нефти, а соответствующие граничные условия можно задать в виде

C,(x, У ) =

да

дп

= pc,

(2)

где п - нормаль к границе Е1; р - коэффициент прилипания нефтепродуктов к берегу, зависящий в общем случае от координат, 0 < р < 1. Если р(х,у) = 1, то

условие (2) описывает полное поглощение нефти берегом в точке (х,у); если р(х,у)=0, то условие (2) называют условием непротекания, и оно означает полное отражение нефти в точке (х,у).

Для свободной водной границы рассматриваемого района граничные условия для уравнения (1) записываются в виде С, (х, у, г, t) |Е = 0, это означает,(ч)го за

границей области £ концентрация нефти в расчетах не учитывается.

4) Оператор деструкции Р(С,, Я,) строится моделированием соответствующей реакции Я,, при этом к

уравнению (1) добавляется уравнение, описывающее соответствующую реакцию. Полученная система уравнений совместно с начальными и краевыми условиями описывает математическую модель динамики ,-й факторизованной фракции при учете реакции Я,. Математическая модель динамики нефтяного загрязнения с учетом всех реакций получается при использовании суперпозиции результатов для каждой фракции с учетом каждой реакции, а именно: концентрация нефти в любой точке поверхности моря есть сумма значений функций в указанной точке, являющихся решениями соответствующих уравнений.

Заметим, что предположение о независимости деструкции каждой фракции в первом приближении, позволяет получить распадающуюся систему уравнений для С, . Далее покажем, как моделируются процессы испарения, бактериального разрушения и растворения нефти.

2. Испарение

Испарение различных фракций нефти способствует уменьшению объема слика сырой нефти. В процессе испарения осуществляется переход в атмосферу компонентов нефти, имеющих низкую температуру кипения. Испарение легких фракций является одним из первых процессов деструкции пятна нефти. Наиболее интенсивно испарение происходит в течение нескольких первых часов после попадания нефти в море. К концу первых суток испаряется до 50 % соединений с 13-14 атомами углерода, а к концу третьей недели -50 % соединений с 17 атомами углерода [1, 5].

Бензин испаряется быстро, а мазутные фракции вообще не испаряются. Скорости испарения некоторых фракций примерно одинаковы, например скорость испарения парафинов может не отличаться от скорости испарения ароматических соединений, поскольку парциальное давление пара углеводородов зависит от числа атомов углерода в молекуле соединения. По мере увеличения числа атомов углерода парциальное давление пара различных углеводородных соединений уменьшается. Полагают, что потери нефти при испарении составляют 30-60 % от всей массы нефтяной пленки. В процессе длительного испарения увеличивается вязкость остатка нефти и про-

Е

исходит образование нефтяных агрегатов в виде смоляных комков [1, 2].

Скорость испарения какой-либо фракции нефти с поверхности воды зависит от свойств нефти, давления пара этой фракции, площади нефтяного пятна, температуры, ветровой обстановки. Ветер оказывает существенное влияние на испарение, срывая нефтяные капельки с гребней морских бурунов и ударяющихся о берег волн. При повышении температуры воздуха над поверхностью моря скорость испарения увеличивается.

Уравнение, описывающее уменьшение нефти за счет испарения, имеет вид [6]:

dM, = KeXxPx_a

dt

RT

(3)

та с номером ,, равная

M,

ЕМг

■; Pi - давление насыщен-

ДС = I- ksx,p,m

,(m)/(RT), і є [1, к]

і є [к +1, n]

ддд Д =-+ u-+ v-K

д

2

д

2

этим потери нефти за счет процессов растворения составляют около 10 % от общей массы нефтяного пятна. Процесс растворения продолжается около 10 сут с момента попадания нефти в море. Растворение нефти способствует ее переносу на значительные расстояния. Одним из определяющих факторов при растворении нефти в море является волнение [1, 2, 5].

В уравнении (1) функция Р(С,,Я,) приобретает смысл доли нефтепродуктов, растворяющихся в воде [6]:

dM,

dt

= -KdX,S,A ,

(4)

где М, - количество вещества компонента с номером /', моль; t - время, с; Кп - коэффициент массопереноса для углеводорода, м/с; X,- молярная доля компонента

где - количество вещества компонента с номером /', моль; t - время, с; КЕ - коэффициент массопереноса для углеводорода, м/с; X, - молярная доля компонен-

с номером і, равная

; Si - растворимость в воде

ных паров компонента с номером і, Па; Я - газовая постоянная, 8,314 Дж/мольК; Т - температура окружающей среды над поверхностью слика, К; А - площадь пятна нефти, м2; выражение ХіРі представляет парциальное давление пара компонента с номером і.

Коэффициент массопереноса углеводорода связан со скоростью ветра и и может быть вычислен по формуле [7] КЕ = 0,0025 и 0 78.

Перепишем уравнение (3) в терминах поверхностной концентрации С(х, у, ґ) в точке (х,у) в момент времени ґ. Для этого умножим обе части уравнения (3) на величину молярной массы М}т) компонента с номером і, а затем разделим обе части (3) на А, полу-

дС КеХР: г(т) ТЧ

чим: — =-------------Е——Мі 1. Волнение моря в данном

дґ ЯТ 1

случае не учитываем. Для фракций, неподверженных процессу испарения, полагаем Р(Сі, Я])=0.

Итак, для легких, летучих фракций и нейтральных, не испаряющихся фракций пятна, получим, соответственно, следующую систему уравнений:

компонента с номером /', кг/м3; А - площадь пятна нефти, м2. Для фракций, неподверженных процессу растворения, полагаем Р(С, Я-)=0.

Зависимость, отражающая изменение начальной растворимости нефти имеет вид [8] £ = £0е~0,1 , где 80 - начальная растворимость нефти.

В терминах поверхностной концентрации уравне-

где М

(m)

- К .

дt дх ду х дх2 у ду2

3. Растворение

В процессе растворения происходит переход компонентов нефти с низким молекулярным весом в объем воды. Растворение нефти в воде, как и ее испарение, зависит от числа атомов углерода. Наибольшей растворимостью обладают низкомолекулярные углеводороды, такие, как бензол, толуол, ксилол. С увеличением молекулярной массы растворимость нефтяных углеводородов уменьшается. В 1 л дистиллированной воды растворяется примерно 10 мг соединений с 6 атомами углерода, 1 мг соединений с 8 атомами углерода и 0,01 мг соединений с 12 атомами углерода. Растворимость нефти в морской воде несколько ниже. В связи с

дС

ние (4) примет вид: —- = -К0Х£М\т) • дt

молярная масса компонента с номером

Система уравнений, описывающая перенос, деструкцию и растворение нефтепродуктов, имеет вид (волнение моря в данном случае не учитываем):

АС, + К0Х,£,ы\т) = 0, , е[1, к],

ДС, = 0, , е [к +1, п].

4. Бактериальное разложение

Распределение мелких капель нефти в массе воды способствует разложению нефтяных углеводородов нефтеокисляющими бактериями. В открытом море в 1 л воды содержится до 2000 бактерий. В воде, сильно насыщенной кислородом, при температуре 25-30 оС микроорганизмы могут окислять за день до 2 г нефти на 1 м2 поверхности моря. Процесс микробной деструкции ускоряется при растворении компонентов нефти в воде и при увеличении температуры воды. При низких температурах и пониженном содержании кислорода в воде биодеградация происходит медленно [1, 2, 5].

Микробное разложение нефтяных углеводородов в море является одним из важнейших факторов, влияющих на концентрацию содержащихся в воде загрязняющих веществ. Разлагать нефть способны около 90 видов морских бактерий и грибов, а также некоторые водоросли. Экспериментально показано, что бактериальному разложению подвержены в большей или меньшей степени все входящие в состав нефти фракции [5]. Потери нефти в результате микробного окисления составляют до 30 % от массы слика [1, 5].

Ароматические соединения свежей нефти оказывают токсичное действие на нефтеокисляющие микроорганизмы, поэтому можно считать, что процесс

Q

микробиологической трансформации нефтяных углеводородов в полной мере начинается через несколько часов после разлива - к этому времени легкие ароматические компоненты испаряются.

Для описания процесса микробной деструкции нефти, попавшей в море, в уравнении (1) представим Р(С,, Я,) как функцию, значение которой имеет смысл доли нефтепродуктов, поглощенных микроорганизмами. Такая функция зависит от времени, концентрации загрязнения и численности бактерий, питающихся нефтью. При этом предполагается, что процесс микробного окисления происходит при некоторой фиксированной температуре.

Моделирование изменения численности популяции нефтеокисляющего микробного населения будем проводить на основе одного из фундаментальных предположений, лежащих в основе всех моделей роста популяции: скорость роста популяции пропорциональна ее численности. Математически этот закон записывается с помощью уравнения Мальтуса [9]:

<М = ЯП , (5)

<1

где М - численность бактериального населения; t -время; Я в общем случае может быть функцией как самой численности так и времени, или зависеть от других внешних и внутренних факторов.

Из множества необходимых для жизнедеятельности пищевых компонентов, субстратов, потребляемых организмами исследуемой популяции, субстрат, находящийся в наименьшей доступности и лимитирующий ростовые процессы, определяет скорость размножения. Этот принцип известен как принцип минимума Либиха [10]. Причиной ограничения роста популяции нефтеокисляющих бактерий является лимитирование по количеству дрейфующей в море нефти. Из микробиологических исследований известно, что в условиях лимитирования по субстрату скорость изменения численности популяции растет пропорционально концентрации субстрата, а при избытке субстрата выходит на постоянную величину. В течение некоторого времени численность популяции растет экспоненциально, пока скорость роста не начинает лимитироваться какими-либо другими факторами. Зависимость скорости роста Я в уравнении (5) от количества субстрата может быть описана уравнением Моно [9, 10]:

ИтС

R(C )=

(6)

уравнения (5) и (6) с учетом отмирания микроорганизмов:

дМ = МтС

дt С + Ks

-М -AM,

(7)

где X - скорость отмирания клеток.

Таким образом, рост микробной популяции в единицу времени пропорционален величине концентрации нефти и зависит от количества лимитирующего субстрата, а убыль популяции происходит за счет естественной смертности микроорганизмов.

Для описания взаимосвязи изменения концентрации нефти и численности нефтеокисляющих микроорганизмов будем исходить из того, что убыль нефтепродукта пропорциональна численности нефтеокисляющих микроорганизмов [10]. Получим закон, по которому концентрация нефти изменяется во времени и зависит от численности популяции микроорганизмов:

1 VmC

дС

дt к С + Ks

M,

(8)

где к - коэффициент пропорциональности между количеством бактерий и поглощенным субстратом.

С учетом сделанных выше предположений, а также принимая во внимание тот факт, что все входящие в состав нефти фракции подвержены бактериальному окислению, на основе уравнений (1), (7) и (8) получим систему уравнений, описывающую изменение численности популяции нефтеокисляющих микроорганизмов при условии ограниченности по субстрату и конвективно-диффузионный перенос нефтяного загрязнения с изменением концентрации нефти при микробном окислении:

^mC-М +AM = Q , ДС +1 Mm<C М = Q .

где у.т - максимальная скорость роста бактерий; С -концентрация субстрата (нефтепродукта); К - коэффициент насыщения, имеющий размерность, аналогичную размерности субстрата. Согласно теории, коэффициент насыщения численно равен той концентрации субстрата, при которой наблюдается половинная от максимальной скорость размножения.

Итак, для описания динамики популяции нефтеокисляющих микроорганизмов будем использовать

дМ

дt С + К, ’ к С + К,

Заключение

В настоящей работе предложены математические модели физико-химических процессов, происходящих с нефтью, попавшей в море при аварии танкера или нефтеналивного терминала. Приведены уравнения, описывающие адвективно-диффузионное распространение нефтяного пятна, а также модели, учитывающие испарение, растворение и биодеградацию нефти. Все указанные модели интегрированы в систему визуализации, разработанную авторами и позволяющую в прибрежной зоне моря на участке Новороссийск -Геленджик отследить посредством двумерной анимации процесс перемещения нефтяного пятна и графически отобразить изменение во времени пространственных характеристик слика и количественных характеристик нефти [11].

Литература

1. Герлах С.А. Загрязнение морей. Диагноз и терапия. Л., 1985.

2. Нельсон-Смит А. Загрязнение моря нефтью. Л., 1973.

3. Зданьски А.К. и др. Методы расчета эволюции нефтяного загрязнения в шельфовой зоне. М., 1987.

4. Нунупаров С.М. Предотвращение загрязнения моря с судов. М., 1985.

5. Израэль Ю.А., Цыбань А.В. Антропогенная экология океана. Л., 1989.

6. Mackay D., Leinonen P.J. // Report. EPS-3-EC-77-17. Ottawa, 1977.

7. Buchanan I., Hurford N. // Report of the forties fate trial. Report No LR 671 (OP). 1988.

8. Apai D. // Honours thesis for bachelor of engineering. Australia, 2001.

9. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., 1993.

10. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск, 1978.

11. Дембицкий С.И. и др. // Наука Кубани. 2002. № 1. С. 15-18.

Кубанский государственный университет______________________________________________________14 марта 2003 г.