Динамика колебаний стержня, прикрепленного к упругому элементу Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.79(075.8)

ДИНАМИКА КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЯ, ПРИКРЕПЛЕННОГО К УПРУГОМУ ЭЛЕМЕНТУ

Асп. ЛУГОВОЙ И. В., канд. техн. наук, доц. ЛУГОВОЙ В. П.

Белорусский национальный технический университет

Упругие тела имеют широкое применение в технике [1] для аккумулирования механической энергии, в качестве чувствительных элементов в измерительных системах, для создания силового контакта и натяга между деталями, в качестве упругих опор, амортизаторов и пр. Они могут воспринимать действие вынужденных колебаний в широком диапазоне частот. Колебания упругих тел рассмотрены в [2-4], но наиболее близкое решение задач по расчету динамики колебаний стержней приведено в [5]. Однако опыт использования упругих тел в ультразвуковых системах весьма ограничен их применением в устройствах в качестве передающего или рабочего инструмента [6-9]. В связи с этим данный вопрос требует углубленного теоретического и экспериментального исследования.

На основании проведенного анализа авторами была поставлена цель изучить возможность применения упругих элементов в акустических технологических системах. Предварительные исследования показали, что данной цели в наибольшей мере соответствуют такие элементы, как круглые кольца, кольца с плоскоовальной и эллиптической формой, винтовые и плоские пружины, витые трубчатые пружины с различным поперечным сечением, сильфон-ные упругие тела и пр.

В настоящей статье рассматривается обобщенная колебательная система, состоящая из упругого элемента и рабочего инструмента (рис. 1а). В качестве последнего предложен стержень с круглым поперечным сечением. Расчетная схема, состоящая из упругого элемента и длинного стержня, приведена на рис. 1б. Упругий элемент 1 условно представлен в виде пружины, а стержень 2 имеет длину I и площадь поперечного сечения ^ (рис. 1б). При сжатии пружины статической силой на ее нижнем торце возникает статическая сила Р, а в сечении стержня - нормальная сила Ы, вызывающая деформацию сжатия их. Общее линейное перемещение стержня будет слагаться из статической ис и динамической ид составляющих и = ис + ид.

Статическое перемещение верхнего торца стержня, подвешенного на пружине, слагается из упругой деформации пружины иш и деформации стержня по длине

ис ио1 ^ их.

Согласно закону Гука

- = Е—

F I :

(1)

где Е - модуль упругости; И - нормальная сила; Р - площадь сечения; А/ - удлинение стержня.

N„

x id

N

N

Рис. 1. а - общий вид механической системы; б - расчетная схема; в - схема действия сил

Наука итехника, № 1, 2013

б

а

в

1

1

2

P

P

x

Переходя к пределу Ах—>0, уравнение (1) можно записать для относительного удлинения

8 = ■

du dx

= и,

(2)

Силу упругости пружины можно рассчитать по формуле

N„ = ки,

(3)

где к - коэффициент упругости.

Если весом стержня пренебречь ввиду малости, то из рис. 1в можно видеть, что нормальное усилие в стержне равно усилию сжатия пружины и усилию на торце стержня

N = N„ = Р.

(4)

Обозначим через и(х) смещения в произвольном сечении стержня 0 < х < I.

Из (1) и (4) следует, что в произвольном сечении длиной х усилие сжатия равно

N = EFu. =EF

du dx

(5)

Подставив (3) в (5), получим ЕРи'х = ки или Мх = ЕРи' х = кии].

Рассматриваемая система может иметь два крайних случая:

• первый, когда верхний конец стержня свободный, т. е. жесткость пружины нулевая;

• второй, когда верхний торец неподвижен, т. е. защемлен.

Граничные условия:

п ' к

• прих = 0 и =-и.

ЕР

• при х = I Р = -ЕРи'.

Так как статическая составляющая от деформации пружины и'с=Иис, то можно записать

к

h = -

EF

(6)

В первом случае к = 0. Верхний конец стержня свободный, и усилие в нем равно нулю. Перемещение верхнего конца равно перемещению пружины

Р

и X =--.

к

(7)

Во втором случае к = °° означает, что верхний торец стержня неподвижен, т. е. и = 0. Перемещение стержня без пружины в произвольном сечении х равно

и х =-

Рх

(8)

Суммируя (7) и (8), получим общее перемещение для произвольного сечения:

_Р_ Рх _ Р U Х ~ к EF ~ EF

EF к

■ + х

(9)

Из уравнения (9) следует, что величина перемещения стержня зависит от упругих свойств пружины к и жесткости поперечного сечения стержня ЕЕ, а усилие на верхнем конце стержня при х = 0 соответствует усилию сжатия стержня на пружине, т. е.

Nx=0 = Р = ЕРи' = kit.

(10)

Таким образом, можно заключить, что на величину усилия Р при статическом сжатии стержня влияют деформация упругого тела и01

и коэффициент упругости к.

Следовательно, для создания предварительного натяга торца стержня к опоре необходимо изменить параметр к. Техническое решение данного положения может быть достигнуто изменением характеристик упругого элемента, в частности применением упругого элемента с регулируемой жесткостью. Авторами статьи для этой цели предложена конструкция ультразвуковой технологической системы, в которой упругим элементом служит сильфон (рис. 2) [10].

Рис. 2. Устройство для регулирования упругости сильфона

Наука итехника, № 1, 2013

1

3

Устройство состоит из преобразователя и волновода ультразвуковых колебаний 1 с отверстием 2, жестко и герметично соединенного с ним гофрированного сильфона 3, используемого в качестве упругого элемента. К нижнему торцу сильфона герметично закреплен фланец 4 с резьбовым отверстием для соединения со сменным рабочим инструментом 5. Рабочий инструмент применяется для выполнения технологической операции, воздействуя на объект 6 в виброударном режиме. В отверстие 2 волновода 1 осуществляется подача рабочей среды в полость сильфона 3 под давлением Р. Варьированием Р в полости достигают изменения жесткости упругого элемента, что соответственно сопровождается изменением частоты и амплитуды собственных колебаний сильфона.

Динамическая составляющая ид(х, 0 может быт определена из волнового уравнения

д2и _ 2 Э2« ~дё=с дх1'

(11)

где c = Á— - скорость звука в стержне, равная Р "

скорости движения волны в стержне.

Рассмотрим колебания стержня, подвешенного на пружине (рис. За), вызванные действием периодической динамической силы Р = l'u sin со/

„ EFlmA

ИЛИ Ра =-.

А" х +

А' х +

\с J 'со^2

Д х

Vе У

Л.2 X

sin со/ +

cosco/1 = 0.

Откуда:

— А X =0;

А2 х = 0.

/ л2 со

Краевые условия:

Д о = Д 0 =0;

Д' / = Д / =0.

Далее:

. сох сох

Д х =CjSin--н Со cos—;

с с

сох

сох

Д х =c3sin--l-c4cos—.

с с

Постоянные интегрирования Сь С2, С3, С4 запишутся из краевых условий:

„со со/

ц— cos— = 0; С2=0; с с

со со/ „ С3—cos — = 0; С4=0. с с

Рис. 5. а - расчетная схема стержня, закрепленного к пружине; б - закон изменения динамической силы

Пусть динамическая сила (рис. 3б) вызывает перемещения

и = Д х sin (di + Д х eos (di.

(12)

Учитывая, что С и С3 одновременно не могут быть равными нулю, cos — = 0.

с

Корнями этого уравнения будут л 2п + \ с

для л = 0, 1, 2, 3, ..., (13)

21

(йп называется собственными частотами стержня.

Учитывая, что п имеет бесконечное число значений, можно утверждать о бесконечно большом количестве степеней свободы у стержня. Уравнение динамических перемещений ид примет вид

Продифференцируем (12) и подставим в волновое уравнение (1 1)

л 2п +1 х л 2п +1 ct "д =2,ci»sin-:—sin-:-+

я=0

21

21

Наука итехника, № 1, 2013

б

а

Р

д

Р

0

+C3)IS in

к 2п +1 х к 2п +1 ct sin-

21

21

к 2n + \ x к 2n + \ ct xsin-—-cos-—-. (15)

21

21

где с\„ и c3n - постоянные, определяемые из начальных условий:

N

и xJ = 0 =--х;

д ' EF

Уравнение (15) показывает, что число гармонических колебаний стержня бесконечно. Подставив в (15) Ы = —Рл, окончательно получим

-2L =v

~EFX áf3"

к 2n + l х

c3„sin-

21

8PI _ -1

и x,t =—> -тХ

n'EFt~f, 2п + \ '

Разложим выражение в ряд Фурье, где с3„ будет являться коэффициентом этого разложения. Умножим левую и правую части на

к 2т+ \ х

, где т = О, 1, 2, ... и, проинте-

sin-

21

грировав в пределах и < х < /, получим

\ к 2п +1 х к 2п +1 х / = sin-sin-dx =

lim J - -

О

21

Л}

21

к п-т х cos--COS

I

21

кп+т+1х /

dx.

Здесь I =

^ ш

Следовательно:

О

U

2

при п ^т;

при п = т.

2 N EF1

г к 2п + \ х xsin-dx

V

я+1

8 N1 -1 n^EF 2п + \2'

(14)

Вторую постоянную С\п найдем из условия

Э и, эГ

t=о = так как в начальный момент скоро-

сти всех сечении стержня равны нулю:

к 2п + \ с к 2п + \ х 0 = > а -sin-.

& 21 21

т. е. с\„ = 0 (n = 0, 1, 2 ...). Таким образом

8 N1 ^ -1

и x,t = —-> --

7iEFt~f, 2n + l "

х

к 2п + \ х к 2п + \ ct Xsin-;-COS-;-. (16)

21

21

Из уравнения (16) следует, что перемещение от динамических сил зависит от величины динамической силы, жесткости поперечного сечения и длины стержня.

Общее перемещение конца стержня слагается из перемещения от действия динамической Р, и статической Р сил, т. е и = и + и .

кЦ 7 с д

Граничные условия запишем исходя из того, что любое сечение стержня перемещается по гармоническому закону: ди

при х = 0 —- = Ии ; Эх

при х-1 ЕЕ—-—Р. Р Эх д

Здесь статическая составляющая от деформации пружины и'с = 1тс из уравнения (6).

Действие стержня на опорную поверхность имеет периодический характер и будет характеризоваться пульсацией нагрузки Р t с частотой колебаний стержня (рис. 3б). Поэтому, учитывая периодичность функции Р t , ее можно разложить в ряд Фурье

рд * =Хад^тсо/ + |3^со8содЛ

где а/, и - коэффициенты разложения

Т т

ak = 11'л t sin соktdt; = 11'л t cos соktdt, асоб-

0 о

ственные круговые частоты сод, = 2лл/.

Следовательно, краевое условие при х =1 на торце стержня запишется:

Наука итехника, № 1, 2013

о

Э и 1 ^-i _

Эх EFfT(_;

В силу краевых условий решение уравнения можно представить в виде

u x.

где функция ик х, / есть решение краевой за-

д'ик 2 д~ик

дачи для волнового уравнения —с 0 .

Эг ах'

Краевые условия:

п дик при X = 0 —- = пщ, Эх

, Эи, 1

прих = / —— =--ад. зтсо^ + р^ совсо^/1 .

Эх /'7''

Решение задачи ищем в виде

г/д, х, / = ад, х втсОд^ + бд, х со 8 0),./.

Откуда получаем систему:

л2

ад х = 0;

Ък х =0.

Краевые условия:

при х = 0 ак = Иак; Ь'к = ИЬк;

„пи V - / п' - _ ак . и' _ _ Р<Г

прих-/ ак--—, ок--—.

1<Л< ¡<Л<

Приведем функцию и к виду

решением которой будет

оу + arctg-

. ^ v Va^

w х,/ =-> --х

Зависимость (18) свидетельствует о том, что искомое динамическое перемещение взаимосвязано с параметром упругости пружины к.

Одними из возможных способов реализации данного положения являются предложенные авторами статьи ультразвуковые устройства [11, 12], в которых используются различные виды упругих элементов: упругое кольцо (рис. 4а), овал с плоскопараллельными сторонами (рис. 4б), мембранная коробка (рис. 4в). Ультразвуковое устройство состоит из пьезоке-рамического преобразователя 1, волновода 2, упругого элемента 3 и соединенного с ним рабочего инструмента 4, воздействующего на объект.

а б в

Рис. 4. Акустические системы с упругими элементами

В Ы В О Д Ы

1. Получены математические зависимости, позволяющие оценить влияние статической и динамической составляющих перемещений стержня, закрепленного на упругом элементе.

2. Предложена математическая модель динамических процессов стержня, прикрепленного к пружине, на основе решения волнового уравнения. Полученные формулы позволяют оценить влияние упругих свойств пружины на перемещение стержня.

3. Разработаны устройства и акустическая система с упругими элементами для прошивки отверстий в хрупких материалах, позволяющие повысить производительность обработки.

Л И Т Е Р А Т У Р А

. охх со.х

СП • sin ——Ь со, COS —

• 7

cot sin —--СП • COS —

эт

oy+arctg —

Р/.

(18)

1. Андреева, Л. А. Упругие элементы приборов / Л. А. Андреева; под ред. В. И. Феодосьева. - М., 1962. -462 с.

2. Ильин, М. М. Теория колебаний: учеб. для вузов / М. М. Ильин, К. С. Колесников, Ю. С. Саратов; под общ.

Наука итехника, № 1, 2013

к=и

к

ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2003. - 272 с.

3. Пфейффер, П. Колебания упругих тел: пер. с нем. / П. Пфейффер. - Л., 1934. - 154 с.

4. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко; под ред. Э. И. Глиголюка. - Киев: Наук. думка, 1972. - 500 с.

5. Симонов, В. В. Волновые процессы в бурильной машине / В. В. Симонов. - М.: МИНХиГП, 1979. - 113 с.

6. Ультразвуковой инструмент: а. с. СССР 38243, МКИ В 06в 3/00, В 23р 1/00 / А. А. Горбунов, В. М. Сал-танов [и др.]; опубл. 23.05.73 // Бюл. изобрет. - 1973. -№ 23.

7. Устройство для ультразвукового полирования: а. с. СССР 854685, МКИ В 24 в 1/04, В 06 в 1/00 / В. Ф. Зи-мовец, П. М. Герасимчук, С. Н. Стручков; опубл. 15.08.81 // Бюл. изобрет. - 1981. - № 30.

8. Излучатель изгибных колебаний: а. с. СССР 657868, МКИ В 06/ в 1/00 / Ю. С. Андреев, В. Н. Боканов-ский; опубл. 25.04.79 // Бюл. изобрет. - 1979. - № 15.

9. Вибрационный преобразователь: а. с. СССР 315479, МКИ В 06 в 1/08 / В. И. Каспирович; опубл. 01.10.71 // Бюл. изобрет. - 1971. - № 29.

10. Ультразвуковой инструмент для обработки отверстий: пат. полезной модели РБ, 8169, МПК B24B 1/04, B06B 1/00 / И. В. Луговой, В. Т. Минченя, В. П. Луговой; опубл. 30.04.2012.

11. Устройство для ультразвуковой обработки: заявка на пат. на полезную модель № 8458 от 03.01.12 / И. В. Луговой, В. Т. Минченя, В. П. Луговой.

12. Устройство для модуляции колебаний акустической системы: заявка на пат. на полезную модель № 8169 16.01.12 / И. В. Луговой, В. Т. Минченя, В. П. Луговой.

Поступила 21.06.2012.

УДК 629.113/. 115

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ИЗУЧЕНИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И НАГРУЖЕННОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИДРОУСИЛИТЕЛЯ РУЛЯ С РОТОРНЫМ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЕМ

Кандидаты техн. наук, доценты МИХАЙЛОВ В. В., СТРОК Е. Я.

ГНУ «Объединенный институт машиностроения» НАНБеларуси

В ряде работ были предложены модели рулевого управления автомобиля с гидроусилителем, имеющим в своем составе роторный распределитель. Его математический аналог позволяет исследовать, а также сравнивать различные варианты конструкций распределителей лишь при наличии известных, предварительно установленных характеристик расходов и давлений.

При оценке качества гидромеханического рулевого управления на предлагаемой модели основными условиями являются представление гидравлических и механических контуров с последующей проверкой адекватности расчетов совокупности механических и гидравлических явлений. Последующее усовершенствование изделия, например путем включения адаптивных

и корректирующих контуров, в этом случае более понятно при определении влияния конструктивных изменений на добротность системы.

Основой модели рулевого управления с гидроусилителем и роторным распределителем является его гидравлический многопоточный прототип с наложенными на него механическими зависимостями или связями. Такая качественная модель может быть успешно использована на программно-аппаратных платформах в качестве виртуально-натурного объекта исследований в реальном режиме времени.

Исследуемая схема рулевого управления мобильной машины с гидроусилителем и рулевым механизмом совмещенного типа, содержащим гидравлический и механический контуры, изображена на рис. 1.

Наука итехника, № 1, 2013