CC BY
63
У
правление подвижными объектами и навигация
УДК 517.977:629.7
ДИНАМИКА ГИРОСИЛОВОН СТАБИЛИЗАЦИИ
КРУПНОГАБАРИТНЫХ СПУТНИКОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НАСТРАИВАЕМОГО ПД-АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ1
И.Н. Крутова, В.М. Суханов
Рассмотрены некоторые вопросы компьютерного синтеза параметров настраиваемого пропорционально-дифференциального алгоритма гиросилового управления крупногабаритным упругим спутником, обеспечивающего оптимальное по времени управление ориентацией при наличии инфранизких частот упругих колебаний конструкции. Предложена методика выделения в пространстве параметров модели объекта области таких значений парциальных частот, в которой можно применять упрощенный алгоритм с постоянными коэффициентами без снижения качества управления. Рассмотрена возможность применения адаптивного алгоритма для гиросилового управления упругим спутником с нестационарной моделью.
Ключевые слова: деформируемый космический аппарат, математическая модель, гиросиловое управление ориентацией, гиродин.
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается режим точной гиросиловой стабилизации углового положения деформируемых космических аппаратов (ДКА). В качестве исполнительного органа системы служит силовой гироскопический комплекс (СГК), содержащий три гиродина (ГД), установленных по схеме плоской трехлучевой звезды [1]. При равенстве по модулю собственных кинетических моментов ГД Нк
(к = 1, 3 — номер канала стабилизации) каждый из них создает управляющий момент, воздействующий на угловое положение ДКА преимущественно относительно одной («своей») оси, связанной с корпусом системы координат.
Для крупногабаритных спутников связи, относящихся к классу ДКА, низкочастотные упругие колебания конструкции порождают проблему взаимосвязи между колебаниями конструкции и сис-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-08-01037).
темой управления основным («жестким») движением космического аппарата (КА), выражающуюся в снижении качества управления, в частности, в ухудшении точности ориентации в заданном направлении и в увеличении времени регулирования. Показано, что по отношению к упругим колебаниям q система, содержащая гироскопический стабилизатор, остается устойчивой даже при отсутствии управления гиродинами и при нулевом собственном демпфировании колебаний конструкции [1]. Физически это объясняется наличием свойства пассивной гироскопической реакции ГД с моментным приводом по оси прецессии. Действительно, упругие колебания инерционно взаимодействуют с корпусом КА и, благодаря гироскопической связи с ГД, передаются на ось прецессии ГД, где они гасятся в демпфирующем устройстве. Однако демпфирующие свойства пассивной гиро-стабилизации колебаний в системе, предназначенной для управления угловым положением спутника, относительно невелики и к тому же существенно зависят от частоты колебаний, ухудшаясь при снижении частот.
В работе [1] рассмотрен также ряд вопросов ги-росилового управления упругим КА с использованием в качестве закона управления гиродинами дискретного аналога пропорционально-интегрального алгоритма, сформированного на основе сигналов измерения углового положения ДКА. Наличие интегральной составляющей в законе управления приводит в установившемся режиме к накоплению ошибки углового положения по углам прецессии ГД, что вызывает необходимость периодической разгрузки СГК. Выявлено также наличие влияния упругих низкочастотных (0,1—0,3 Гц) колебаний конструкции на устойчивость и качество системы угловой стабилизации ДКА, хотя и не получено конкретных соотношений, определяющих влияние значений частот на выбор параметров системы из условия обеспечения требуемой динамики процессов управления.
С учетом сказанного в предлагаемой нами работе рассматривается возможность использования в качестве закона управления гиродинами дискретного пропорционально-дифференциального (ПД) алгоритма. Решается задача определения значений коэффициентов ПД-алгоритма, обеспечивающих оптимальное по времени регулирования управление ориентацией ДКА при наличии «инфраниз-ких» (0,01—0,1 Гц) частот упругих колебаний его конструкции. Рассматривается возможность применения адаптивной настройки параметров алгоритма в случае плохой определенности или при изменении частот упругих колебаний ДКА в отдельных каналах гиростабилизации.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАССМАТРИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ
Для конкретности перечисленные задачи без нарушения общности будем рассматривать на примере механической структуры геостационарного спутника «Муссон», характерные значения параметров которой, определяющие коэффициенты математической модели объектов рассматриваемого класса, приведены в работах [1, 2].
Уравнения динамики ДКА с СГК из трех ГД, собранных по схеме типа «звезда», в малой окрестности невозмущенного движения могут быть представлены в следующей скалярной форме [1].
• Уравнения динамики ДКА с ГД по каналу курса:
/ у - Н0! + а/р[02 + 03 + а(2у + ф + а ) + + ф (0! + 02 ) - а (0! + 03 )] +
+ /Т § у + ? § * = М;
/р01 + кв 0! + кррх + а/р(ф + а) + #у =
= МУ (Иу);
г1¥у + §У + ОТ2 §У = 0;
Г2у у + § у + ОТ2 §Т = 0.
• Уравнения динамики ДКА с ГД по каналу крена: / ф - #р2 + а/р[в, + рз + а(2ф + у + а) + + а (р2 + Рз) - у (в, + 02)] + /Г §4 = -М; /р02 + кв 02 + крр2 + а/р(у + а) + #2ф = МГ («г);
"Г I 0Г2 _Г —
%ф + §1 + ОГ = 0.
(2)
• Уравнения динамики ДКА с ГД по каналу тангажа:
/3 а - Н3 03 + а/р[ 0, + 02 + а(2 а + у + ф) +
~з а
+ у (в, + рз) - ф (р2 + Рз)] + Л §3 = М3;
/рРз + кв Рз + кррз + а/р(ф + у) + #за = Маи (ив);
.. 3 . „32 3
Чз
а + + оГ = 0.
(3)
В уравнениях (1)—(3) обозначено: (у, ф, а) е х — углы ориентации корпуса ДКА (каналы: курс у = х,,
крен ф = х2, тангаж а = хз); р = (рк), к = 1, 3 — углы прецессии рамок ГД соответствующих кана-
лов гиростабилизации; §х = (§х), / = 1, пх — вектор
координат, характеризующих упругие колебания конструкции ДКА по каждому из трех каналов; Н = (Н,, Н2, Нз) — равные по модулю кинетические моменты гиродинов СГК; I — моменты
инерции ДКА (/х . 2а /„, где а = ео8(я/4), /в —
моменты инерции ГД,); / = (/ ), I = 1, пх — коэффициенты инерционного влияния упругих элементов конструкции на движение корпуса ДКА в
соответствующем канале гиростабилизации; гХ = = (г,, , ..., тхп ) — безразмерные элементы, которые определяются в соответствии с правилом
Х Т х , Т х Т х
г1 = / / JI , где УI — моменты инерции упругих элементов конструкции ДКА; Ох = (О,, О^, ..., Охп ) — парциальные частоты упругих колебаний ДКА в соответствующих каналах управления (от-
метим, что уравнения колебаний упругих солнечных батарей для КА «Муссон» учитывают четыре
основных тона, два из которых (д] и д]) влияют на динамику канала курса, а в каналах крена и тангажа учитывается по одному тону колебаний
2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ГИРОСТАБИЛИЗАЦИИ ДКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ
Показано, что в силу малости величины а/
в
(дЧ и д? соответственно)); Мх — возмущающие 0,25) по сравнению с моментом инерции ДКА 1Х
моменты; Ми (их) — управляющие моменты, прикладываемые относительно осей рамок ГД; их — алгоритм управления соответствующим гиродином.
Из уравнений (1)—(3) видно, что все каналы гиростабилизации даже в рамках линеаризованной модели являются взаимосвязанными, причем структура взаимосвязей обусловлена как инерционными, так и гироскопическими влияниями.
Для измерения углов ориентации х = (у, ф, 9) используется дискретная система определения углового положения КА с периодом квантования Т. Кусочно-непрерывные управления гиродинами фиксируются на каждом периоде управления То, который выбирается кратным периоду Т так, что пу = То/Ту — целое число (для определенности примем То = 4 с, = 0,25 с). Для обработки измерений на /'-м периоде управления воспользуемся следующей процедурой осреднения координаты:
х. = п
у1 е xv = х(у1;).
V = 1
(4)
В отличие от работы [1], где применяется алгоритм управления гиродинами в виде дискретного аналога изодромного звена, в качестве закона управления рассмотрим возможность и особенности применения для управления гиродинами в режиме стабилизации ДКА ПД-алгоритма адаптивного типа (с перестраиваемыми коэффициентами) [3]:
= -[ кХ1 X] (/'Т,) + кХ А х. (/То)], / = 0, 1, 2, ...; х = (у, ф, 9),
(5)
где Ах. — первая разность, х. вычисляется согласно выражению (4); кХк — настраиваемый коэффициент, значение которого определяется на основании приведенного далее решения задачи оптимизации по критерию Ок, минимизирующему время
?к регулирования в к-м канале (при переориентации ДКА), которое в числе прочего зависит от текущего значения частоты ОХ, как правило, низшей (/ = 1) упругой моды
Ох = £ (кхх, ^) ^
х = (у, ф, 9).
шт ,
к2Х = таг> ^Ч = соп8' (6)
(«10 ) перекрестными инерционными влияниями движений ГД в первом приближении можно пренебречь [1]. Это позволяет декомпозировать систему (1)—(3) на три подсистемы, соответствующие изолированным каналам гиростабилизации:
гх -х
/хх + е / дх — Нв = Мх; , = 1
/рв + кв в + Нхх = М("х);
(7)
г,хх + дх + охХ дх = 0, I = 1, пх
где пх — число учитываемых в данном канале упругих мод.
Предварительно решим задачу начального синтеза базовых значений коэффициентов алгоритма (5) на основе одноканальной системы (7) без учета упругости конструкции. При этом уравнения (7) принимают вид
/х - Я в = Мх,
/рв + кв в + Ях = М("х).
(8)
Характеристическое уравнение этой системы при ее замыкании отрицательной обратной связью (5), формирующей управляющий момент
М("х) = — к0 (к1 х + кХ х), прикладываемый к рамке ГД, без учета дискретной фильтрации измеряемых углов ориентации записывается в виде операторного уравнения
Дя) = ф3 + ах/ + а15 + а0) = 0, (9) где я — переменная преобразования Лапласа и
ах = кв //р, а1 = Н(Н + к0 кХ )//х/р,
ао = Нко к1 //х/р.
(10)
В этом случае условие устойчивости по угловой скорости х для системы (8), полученное на основе уравнения (9) с учетом формул (10), имеет вид
кв (Я + ко кХ) > /р ко к1.
(11)
Известным преобразованием [4] я = у уравнение (9) приводится к виду
Ду) = у3 + Ьхух + ь1у + 1 = 0, (12)
п
X
п
где b2 = о2/ , = ^ОЦ — параметры Вышне-градского.
Степень устойчивости пХ исходного характеристического уравнения (9), определяющая время переходного процесса в системе (8) (для канала x = (у, ф, 9)), связана со степенью устойчивости л расчеты для канала крена дали: k0 = 2, kx = 15,
ные) значения коэффициентов базового ПД-алго-ритма в каждом из каналов управления. В частности, для каналов курса и тангажа с близкими значениями моментов инерции « /3 было получено:
kg'3 = 2, k2'3 = 20, k2'3 = 150. Соответствующие
уравнения (12) соотношением
Ъ = Пу^ , (13)
где пу определяется из решения уравнения [4]
П3 - Ь2п2 + ¿1П - 1 = 0.
Далее синтез параметров ПД-алгоритма (5) для исходной трехканальной модели с учетом низкочастотных упругих колебаний конструкции ДКА будем осуществлять на основе компьютерного моделирования уравнений (1)—(3), описывающих динамику пространственного углового движения ДКА с силовым гирокомплексом из трех гироди-нов. Для этого введем числовые значения параметров механической структуры ДКА и параметров СГК в соответствии с приведенными в работах [1, 2] данными для крупногабаритного спутника связи
«Муссон»: /2 = 48 100 Н-м-с2, /^ = 7700 Н-м-с2, /3 = 52 600 Н-м-с2, /] = 1630 Н-м-с2, /] = = 9941 Н-м-с2, /[ = 4285 Н-м-с2, /¡3 =
= 6130 ^^^ ^ = Гц = Ь ^ = Г21 = 2,32,
% = r32 = 1 r4s = r43 = 1 остальные ^ , ^ = 0; H = 170 Н-м-с, L = 0,36 Н-м-с2, k =
ß
ß
= 0,12 Н • м/рад, кр = 2,4 Н-м-с/рад; а =
= со8(л/4) = 0,707 — параметр СГК типа «звезда». Парциальные частоты колебаний, распределенных по каналам системы в соответствии с уравнениями
(1)—(3), составляют: О] = Ош1п = 2п(0,01+0,1 Гц),
О2 = 1,74 О] — парциальные частоты колебаний
в канале курса, О^ = 1,04 О] — частота колебаний
в канале крена, О¡¡ = 1,13 О] — аналогичный параметр в канале тангажа. Величину у^ш = Ош1п/(2л) условно назовем «опорной» частотой ДКА.
Используя приведенные числовые значения соответствующих параметров модели (8) и полученные выше условие устойчивости (11) и выражение (13), позволяющее установить допустимое время
регулирования (для жесткого КА) ?р , выраженное через параметры уравнения (9) соотношением ?р = 3/пХ, получим в итоге исходные (номиналь-
k2 = 130. Черта над коэффициентами указывает, что их значения получены без учета упругости конструкции КА.
Процедуру компьютерного синтеза будем осуществлять раздельно по каждому каналу с последующей проверкой методами моделирования «устойчивости» полученных результатов по отношению к возмущениям со стороны других каналов пространственной системы гиростабилиза-ции углового положения ДКА, заданной уравнениями (1)—(3).
Показано, что время регулирования в системах управления ориентацией ДКА в общем случае зависит от частоты упругих колебаний конструкции, особенно в низкочастотной области, заметно увеличиваясь при понижении частоты колебаний [3].
Поставим задачу поканального параметрического синтеза ПД-алгоритма системы гиростабилиза-ции ДКА с низкочастотным спектром упругих колебаний конструкции.
Пусть минимальная частота упругих колебаний ДКА, соответствующая частоте колебаний в канале курса Qmin = , пошагово, с интервалом дискретности Ап = 0,0628 c 1 (или Af = 0,01 Гц), изменяется в пределах 2п(0,1+0,01 Гц). Парциальные частоты колебаний ДКА в остальных каналах управления также изменяются соответствующим образом по соотношениям Qx = k^Qmin, приведенным выше. Зададим начальное состояние системы (1) — (3) в виде:
x(0) = 0,017 рад; x (0) = 0; px(0) = px (0) = 0; qX(0) = qX(0) = 0; x = (v, <p, 3).
Определяя время регулирования t* известным образом [4]: |x(t) — xj < Ax, 11 i*, выберем требуемую точность ориентации ДКА в виде 5 % от установившегося значения так, что Ax = 5-10 5 рад. При выбранных ранее базовых значениях параметров ПД-алгоритма (5) (кЦ, k^ = const) время регулирования tx, изменяясь при изменении значений
частот колебаний Qx, в общем случае не является оптимальным.
Зафиксируем для всей области изменения частот первый коэффициент базового алгоритма
kj = const, оставив свободным выбор второго коэффициента = var.
Решаемая задача состоит в компьютерном поиске для каждого текущего (и = 1, 2, ..., N) набора значений парциальных частот (Qmin = 2n/min,
= k Q . ) такого оптимального значения
i x min7 n
(k2 = к2опт )n, которое в соответствии с критерием (6) обеспечивает для «и-го ДКА» минимальное время регулирования (t* )n = min, x = (у, ф, 9).
Результаты решения задачи методами компьютерного моделирования частично приведены в таблице.
В качестве аргумента (варьируемого параметра) здесь принята низшая парциальная частота упругого элемента в канале курса /^ = Qmin/(2n), которая (в совокупности с зависящими от нее частотами колебаний в других каналах) определяет частотные свойства ДКА на и-м этапе моделирования (и = 1, ..., 10). В результате поканальной реализации каждого этапа путем вариации коэффициентов алгоритма (5) k2 = var, x = (у, ф, 9), отыскиваются их оптимальные значения (k2 = к2опт )n (см. табл.), обеспечивающие минимальное время регулирования в соответствующих изолированных
каналах гиростабилизации t*min. Из таблицы видно, что оптимальные значения коэффициентов
kU (/min) и кгопт (/min) по каналам курса и тангажа в рассматриваемом диапазоне изменения «опорной» частоты /min практически совпадают, что объясняется относительной близостью моментов инерции ДКА и парциальных частот в этих ка-
налах. Заметное отличие (~ 15 %) коэффициента к2опт (/Шт) в канале крена вызвано более чем пятикратным отличием момента инерции КА по данному каналу. В таблице также содержится информация о времени затухания ? *х упругих колебаний
, возбуждаемых управляющими моментами ги-ростабилизатора при переориентации ДКА.
Как показали исследования, в области пониженных значений рассматриваемого диапазона частот йШп = 2п(0,1 -г- 0,01 Гц), время затухания упругих колебаний значительно превышает время регули-
рования по углам ориентации, т. е. t
t *
, что
в отдельных случаях может считаться недостатком рассматриваемого способа управления.
В качестве примера на рис. 1 представлены переходные процессы в соответствующих каналах
гиростабилизации ДКА при к2 = к2опт для случая /Ш;п = 0,03 Гц, которому в приведенной таблице соответствует состояние п = 3.
Из графиков видно, что время гашения упругих колебаний существенно превышает реализованное оптимальным управлением (5) время регулирования (?Хтш т 170 с) по углам ориентации. В некоторых случаях такое «вялотекущее» демпфирование колебаний по тем или иным соображениям может оказаться неприемлемым, вследствие чего должна решаться дополнительная задача повышения эффективности управления колебаниями, которая в данной работе не затрагивается.
В соответствии с данными таблицы на рис. 2 построены графики оптимальных значений коэффициентов к20пт и к2опт, минимизирующих время регулирования в каналах крена и тангажа при из-
Некоторые результаты моделирования
n f _ «min , Гц J mm 2п л2опт t * • ymin ' с t V , с «i t V, с q2 л2опт t * • 9 min ' с t *Ф, с k2onT tSmin ' с t *э, с «i
1 0,01 400 373 Более 1000 900 319 154 Более 1000 390 158 Более 1000
2 0,02 300 300 1200 573 253 126 1100 305 225 1200
3 0,03 225 110 950 219 197 117 970 235 170 840
4 0,04 170 92 900 93 155 145 700 187 130 650
5 0,05 150 75 860 72 128 140 596 150 115 510
6 0,06 135 72 810 65 109 125 460 128 100 320
7 0,07 105 70 760 46 95 91 307 112 90 199
8 0,08 100 67 650 41 87 73 220 105 81 160
9 0,09 97 63 540 38 83 69 150 100 70 135
10 0,1 95 59 429 33 81 64 126 97 60 112
х 103
постоянными коэффициентами кЦ = 2, = 20
при двух альтернативных фиксированных значе-
— О —о
ниях коэффициента к2 = 150 и к2 = 0.
Результаты компьютерного исследования для двух указанных случаев в виде графиков зависимости времени регулирования от изменяющейся частоты упругих колебаний приведены на рис. 3. В обоих случаях наблюдается резкое увеличение времени регулирования при попадании в область
ф
2опт
400 350 300 250 200 150 100 50
1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
г" к9 (/ ) г 2опт т*п
кф (/ ) 2опт т^п
1 I 1 1 1 1 I 1 I I 1 I I 1
0 1 2 3 4 5 6 7 9 х 10 2 /., Гц
Рис. 1. Переходные процессы при ПД-алгоритме гиросилового трехканального управления ДКА
менении соответствующих парциальных частот колебаний ДКА, связанных с изменяющимся значением «опорной» частоты >/т1п.
3. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ГИРОСТАБИЛИЗАЦИИ ДКА С АДАПТИВНЫМ ПД-АЛГОРИТМОМ
В работе [3] показано, что зависимость типа к2 = к2опт (,/т|П) может быть использована для
адаптивной настройки соответствующего параметра алгоритма (5) при управлении ДКА с изменяющимся в изолированных каналах спектром частот. Такое поканальное изменение частот упругих колебаний возникает, например, вследствие вращения нежестких панелей солнечных батарей в процессе отслеживания ими направления на солнце.
Для подтверждения целесообразности приме -нения адаптивного управления в этом случае были проведены дополнительные исследования динамики гиросилового управления ориентацией ДКА в канале тангажа при использовании в качестве закона управления гиродинами ПД-алгоритма (5) с
Рис. 2. График зависимости коэффициентов к\опт от частоты упругих колебаний
800 700 600 500 400 300 200 100
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\\
\\ '9 (к2 = 0) 2
\;\ 'а (к2 = 150)
! \ \ \ \
.......;.......Г....... : \Ч !
------- ------- -------
1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1
3 4
6 7 8 х 10-2 /., Гц
Рис. 3. Графики зависимости времени регулирования от частоты упругих колебаний в канале тангажа для трех типов алгоритма
5
Рис. 4. Структурная схема адаптивной системы изолированного канала гиростабилизации ДКА: АЦП — аналого-цифровой преобразователь сигнала датчика угла ориентации ДКА; /т1п —
оценка текущего значения изменяющейся «опорной» частоты ДКА на выходе фильтра Калмана ФК, используемая для на-
стройки коэффициента
пониженных значений частот упругих колебаний (/Шш < 0,05 Гц). Присутствующий на рисунке третий график ¿2 (к2опх) будет пояснен далее.
Для устранения указанного недостатка в любом из каналов гиростабилизации используем предложенную в работе [3] процедуру адаптивной настройки коэффициента к2, х = (у, ф, О) при изменении частоты /Щ|п, используя найденную ранее
зависимость к2опх (/Щ1п) (см. табл. и рис. 2). Подсистема настройки коэффициента к2 в общем случае содержит фильтр Калмана, используемый для идентификации текущего значения частоты /Щ1п [5].
Структурная схема изолированного канала гиростабилизации ДКА с контуром адаптивной настройки коэффициента к2 алгоритма (5) приведена на рис. 4.
Результаты моделирования динамики системы гиростабилизации с настраиваемым указанным образом ПД-алгоритмом управления гиро-дином на примере канала тангажа представлены на рис. 3 в виде графика зависимости времени регулирования от изменяющейся частоты ¿2 (к2опх).
Видно, что в области относительно высоких частот /Щ1п 1 0,05 Гц все три типа алгоритма реализуют примерно одинаковое время регулирования по координате О. При управлении ДКА в области низких частот /Щ1п < 0,05 Гц адаптивный алгоритм обеспечивает заметно более высокое
качество управления по времени регулирования ^ (/min),о П ^ (/min),а . V/min < 0,05 Гц.
к2опт k2 " const
Компьютерные исследования динамики двух других каналов гиростабилизации углов у и ф показали, что выявленные положительные свойства применения настраиваемого ПД-алгоритма сохраняются и в этих каналах, а, следовательно, и при управлении полным движением ДКА, описываемым моделью (1)—(3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенные исследования подтвердили возможность применения ПД-алгоритма в качестве закона управления в режиме гиросиловой стабилизации крупногабаритных спутников с ограниченной жесткостью конструкции. Особенно эффективен данный алгоритм при гиродинном управлении нежесткими спутниками с инфранизкими частотами упругих колебаний, хотя при этом требуется усложнение исходного ПД-алгоритма, заключающееся в необходимости введения процедуры настройки его коэффициента при квазипроизводной (первой разности) регулируемой координаты. Такой усложненный алгоритм целесообразно применять в качестве адаптивного в задачах управления ориентацией деформируемых спутников с изменяющимся спектром низкочастотных упругих колебаний конструкции
ЛИТЕРАТУРА
1. Сомов Е.И. Динамика многократной цифровой системы пространственной гиросиловой стабилизации упругого космического аппарата // Динамика и управление космическими объектами: сб. науч. тр. — Новосибирск, 1992. — С. 46—76.
2. Космические аппараты космодрома «Плесецк» серии «Муссон» // Инф. бюлл. пресс-центра космодрома «Плесецк». — 1994. — № 39. URL: www.plesetzk.ru/index.php?d=doc/ inf&p=inf039 (дата обращения 14.08.2012).
3. Крутова И.Н, Суханов В.М. Адаптивный алгоритм управления ориентацией крупногабаритных информационных спутников с изменяющимися параметрами // Проблемы управления. — 2011. — № 5. — С. 74—81.
4. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Ч. 1. — М.-Л.: Энергия, 1965.
5. Ермилов А.С., Ермилова Т.В. Идентификация нестационарных параметров мод упругих колебаний деформируемых космических аппаратов // Тр. 11-й междунар. конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» / ИПУ РАН. — М., 2010. — С. 121—123.
Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.В. Павловым.
Крутова Инесса Николаевна — д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник, Ш (495) 334-87-79,
Суханов Виктор Миньонович — д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник, Ш (495) 334-87-79, И suhv@ipu.ru, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва.
