Динамические реакции в механических колебательных системах. Структурные интерпретации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752.1 Хоменко Андрей Павлович,

д.т.н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел /факс: 8(3952)63-83-11 Елисеев Сергей Викторович, д.т.н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, тел /факс: 8(3952)59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ. СТРУКТУРНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

A.P. Khomenko, S. V. Eliseev

DYNAMICAL REACTIONS IN MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS. STRUCTURAL INTERPRETATIONS

Аннотация. Предлагается метод определения динамических реакций в механических колебательных системах на основе структурных аналогов математических моделей. Показано, что динамические реакции определяются динамической жесткостью в точках контакта элементов системы между собой или с опорными поверхностями.

Динамическая реакция определяется как произведение динамической жесткости на смещение точек контакта. В физическом смысле динамическая реакция представляет собой обратную связь, которая формируется относительно объекта защиты. Объект защиты в этом случае является базовым звеном с передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка. Приведен ряд примеров.

Ключевые слова: динамические реакции, реакции связей, передаточные функции механических колебательных систем, устройства для преобразования движения.

Abstract. The method of definition of dynamic reactions in mechanical oscillation systems on the basis of structural analogs of mathematical models is offered. It is shown that dynamic reactions are determined by dynamic ruggedness in contact points of elements of system among themselves or on seating.

Dynamic reaction is defined as product of dynamic ruggedness on offset of contact points. In physical sense dynamic reaction represents feedback which is formed concerning object of protection. The object of protection in this case is a basic link with transfer function of an integrating link of the second order. A number of examples is given.

Keywords: dynamical reactions, reactions of ties, transfer functions of mechanical oscillation systems, devices for transformation of movement.

Введение

В решении задач динамики машин, в которых расчетные схемы часто представляют собой именно механические колебательные системы с одной, двумя (и более) степенями свободы, в течение последних лет обозначились тенденции развития более общих подходов, основанных на использовании структурных интерпретаций математических моделей систем, описываемых обыкновенными линейными и дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами [1, 2]. Структурные аналоги дифференциальных уравнений, получаемых известными способами, обладают потенциалом поиска новых конструктивных решений, связанных с расширением набора типовых элементарных звеньев, возможностей построения более сложных структур, взаимодействующих между собой как квазиэлементы по правилам структурных преобразований теории цепей и теории автоматического управления [3]. Основой для оценки динамических свойств в случаях периодических возмущений, близких к гармоническим, являются передаточные функции системы. Предметом исследований при таком подходе становятся особенности установления зависимостей между входными воздействиями (вибрации различного вида) и координатами, определяющими динамическое состояние объектов защиты. В теории и практике виброзащитных систем большее внимание уделяется координатам и скоростям точек объектов защиты в различных вариантах задач оценки и контроля динамических состояний. В меньшей степени внимание уделяется возникающим в механических колебательных системах силовым реакциям между элементами системы, а также в контактах с опорными поверхностями.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

При всей развитости подходов, относящихся к кинетостатике машин и механизмов, а также вопросам оценки динамического состояния машин, их узлов и деталей, механические колебательные системы обладают своей спецификой. Причина заключается в том, что колебательные системы отличаются от общепринятых представлений о механизмах как механических цепях, состоящих из твердых тел, соединенных кинематическими парами [4, 5]. В механических колебательных системах обычные представления связаны с восприятием традиционного набора типовых элементов механических колебательных систем в виде упругих элементов (пружин), диссипативных устройств (демпфера) и массоинерционных элементов в виде материальных точек или твердых тел.

Сравнительный анализ технологических основ построения математических моделей, расчетных схем, особенностей использования различных элементов в составе колебательных систем дает основание полагать возможным развитие некоторых общих подходов, отражающих системные представления о свойствах колебательных систем в целом и их отдельных элементов в частности [6].

Возможности сопоставления математической модели механической колебательной системы, записанной в виде соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений, эквивалентной в динамическом отношении структурной схеме системы автоматического управления, позволяют предложить новые способы описания динамических свойств механических колебательных систем и методы определения особенностей состояний, связанных с определением условий возникновения определенных режимов, в том числе с оценкой динамических и статических реакций.

В большинстве машин силы веса, а также специальные постоянные силы, прикладываемые к определенным точкам или узлам машин, формируют статические реакции, которые при действии периодических сил (с нулевой средней составляющей) можно считать неизменными. Движение элементов машин приводит к появлению динамических реакций, которые суммируются со статическими. Сумма статических и динамических реакций может рассматриваться как полная реакция. В расчетах, связанных с определением возможностей надежной работы, важной является не только величина полной реакции, но и ее знак. Изменение знака полной реакции может привести к раскрытию контактов, соударениям и другим нежелательным эффектам.

В предлагаемой статье рассматривается метод определения статических и динамических реакций, который основан на преобразованиях исходной структурной модели механической колебательной системы. Идея метода основана на представлениях о том, что упругий элемент в колебательной системе является формой реализации обратной связи для объекта, совершающего периодические движения относительного положения статического равновесия. В рамках такого подхода упругий элемент или пружина отождествляется с типовым элементом структурных схем систем автоматического управления. Такими же типовыми элементами могут рассматриваться демпфера и другие устройства. Каждый из таких типовых элементов имеет элементарные передаточные функции, соответственно, усилительного, дифференцирующего звена, дифференцирующего звена второго рода и т. д. [7]. Входным сигналом у таких звеньев является смещение (некоторая координата), а выходом - усилие (упругая сила, сила сопротивления, инерционная сила и т. д.).

Из таких типовых элементов могут быть сформированы более сложные структуры, которые обладают свойством квазиэлементов. Построение сложных структур подчиняется правилам параллельного и последовательного соединений пружин [8]. Преимуществом оценки динамических свойств систем на основе использования структурных схем является то, что основная информация может быть получена при использовании только упругих элементов (имеется в виду передаточная функция). Что касается учета других свойств системы, то демпфера и устройства для преобразования движения просто присоединяются параллельно к соответствующим точкам контактов упругих элементов, что, в частности, и наблюдается при параллельном соединении пружин и демпфера [1, 2].

Что касается сути предлагаемого метода определения силовых реакций в колебательной механической системе, то она заключается в том, что объект защиты на основе полученной системы дифференциальных уравнений движения выделяется и представляется в виде интегрирующего звена второго порядка, а высвободившаяся часть механической системы организуется в обратную связь. В этом случае связь, в физическом смысле, представляет собой некоторую обобщенную пружину (квазипружину), имеющую вполне определенную динамическую жесткость. Это позволяет легко определять динамические реакции связи. Статические реакции также могут быть определены на основе упомянутого подхода.

Методическая база определения реакции опирается на алгоритмы преобразований структурных схем, что не только служит средством получения аналитических выражений для различных реакций, но и позволяет раскрывать некоторые малоизученные динамические свойства систем, имеющих в своем составе твердые тела и устройства для преобразования движения и др.

I. Динамические реакции в механической цепи последовательного соединения (с двумя степенями свободы)

Рассматривается механическая колебательная система (рис. 1, а), состоящая из двух массои-нерционных элементов с массами т1 и т2, соединенных упругими элементами с жесткостями к1, к2, к3. Объектом защиты может быть выбран любой из массоинерционных элементов. Система имеет две опорных поверхности I и II. В качестве внешних возмущений рассматриваются гармонические силы Q1(t), Q2(t), а также движение основания (кинематическое воздействие) с известным гармоническим законом ^(г). После обычных процедур определения кинетической и потенциальной энергий [2] могут быть получены дифференциальные уравнения движения:

т У1 + (к + к2 )• У1 - к2у2 = Ql (у)+ кZl (г), (1)

т2 У2 + (к2 + кз^ у2 -к2ух = Qг. (2) Структурная схема может быть построена с учетом (1) и (2) и имеет вид, как показано на рис. 1, б.

Отметим, что на рис. 1, а точки А, А1, А2, В, В1, В2 выделены особо для последующего определения в них динамических реакций. На основании структурной схемы (рис. 1, б) могут быть найдены передаточные функции системы при входном воздействии О2 (^ (I') = 0, О (I') = 0) и выходных сигналах в виде координат у1 и у2:

а)

б)

т. В

//////////////

& Ю т. в

V (р) = = ^, Q 2 А0,

у 2 тр2 + к + к2

V (Р) = ^ = Q 2

(3)

(4)

где А0 = (т1р2 + к + к2)• (т2р2 + к2 + к3)-к^ является характеристическим частотным уравнением системы.

Структурная схема системы может быть преобразована, как это представлено на рис. 2, а-г, и, в конечном итоге, развернута относительно базового звена, соответствующего объекту защиты (т2), имеющего, в свою очередь, передаточную функцию интегрирующего звена второго рода:

^ (р ) = -Цт. (5)

т2 р

Преобразование исходной структурной схемы (рис. 1, б) позволяет выделить прямую цепь, в состав которой входит передаточная функция (5) объекта защиты: вначале (рис. 2, а) в структуре парциальной системы из элементов т2, к2, кз, затем - рис. 2, б - парциальная система упрощается до элементов т2, к3; далее в прямой цепи выделяется объект защиты с передаточной функцией (5) -рис. 2, в или рис. 2, г.

Воспользуемся уравнениями (1), (2) и приведем их на основе преобразований Лапласа к виду: _ _ _

тхр 2 У1 + (к + к 2 )• У1 - к2 у 2 = 0, (6)

т2 р 2 у 2 + (к 2 + к3 у 2 - к 2 у1 = Q 2. (7)

Из(7)следует:

у1 = У 2 •

к0

тр2 + к + к2

Приведем (2) к виду:

т2р

У 2 +(к2 + к3 )• у 2 - к 2 у 2 •

кп

т1 р + к[ + к2

(8)

■=е 2. (9)

а/ кг —

1

2 тгР + к + к2

Ог (' )

1

21 О 2

к2 1

т1р2 + к2 + к

21 /////??/////// Т т. А

Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схемы виброзащитной системы

о

к

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

а)

е 2

к2

т1р + к + к2

(+) 1

т2р2 + к2 + к3

б)

- к, + -

1

т2р2 + кг

е 2

в)

к

е 2

т^ + к + к2

4+) 1

т2 р2

У 2

-о

г)

22

к3 •(тр + к + к2)+ к2 • (тр + к)

пхр + к + к2

т2 Р

Рис. 2. Варианты преобразования исходной структурной схемы, приведенной на рис. 1, б: а - выделение парциальной системы т2, к2, к3; б - выделение парциальной системы т2, к3 - положительная обратная связь; в - выделение базового звена или объекта защиты - положительная обратная связь; г - выделение объекта защиты - отрицательная обратная связь

Из (9) получим:

(к2 + кз )'(тьР2 + к1)+ к1 • к2 - - ППЧ

т2Р У2 +- 2 , ,--У2 = е2 • (10)

тр

+к + к

Так как (10) представляет собой уравнение кинетостатики для m2, то можно записать:

F ин + Rm2 — Q 2. (11)

Здесь

F ин = m2p 2 , а ^ (к1 + к2 )(т1р + к1 + к2 ) + к1к2

т1 р2 + к + к2

ляются изображениями по Лапласу силы инерции и реакции связи системы.

Если механическая колебательная система представлена механической цепью и состоит из упругих и массоинерционных элементов, что в рамках структурной теории виброзащитных систем отображается структурной схемой, разрешенной относительно выделенного объекта защиты с передаточной функцией интегрирующего звена второго порядка (рис. 2, а), то отрицательная обратная связь в физическом смысле отражает динамическую жесткость, определяемую при приложении внешней силы е к объекту защиты массой m2.

Используем уравнение (7), построенное на основании принципа Даламбера, и выделим реакцию связи, которая может быть представлена выражением:

)+к1к

яв-

Rm2 —

к3 •(m1p2 + к + к2)+ к2 •(от^2 + к) —

2 7 7 У 2 )

m1 p + к1 + к2

В свою очередь, может быть найдено из структурной схемы на рис. 2, г, что дает:

_ кз • ^ p2 + к1 + к2)+ к2 • ^P2 + к1 ) ~ . (13) 2 + к + к2

Совпадение (12) и (13) доказывает возможность определения динамической реакции по параметрам обратной связи. Таким образом, динамические реакции в механических колебательных системах в рамках структурных представлений могут определяться путем соответствующих структурных преобразований. Физическая сущность отрицательной обратной связи на структурной схеме по рис. 2, г заключается в том, что этот упруго-инерционный компакт представляет собой, в некотором смысле, обобщенную пружину [2], обладающую динамической жесткостью. При p ^ 0 динамическая жесткость трансформируется в приведенную жесткость упругого компакта, что соответствует упругим свойствам исходной системы при действии статической силы 0О, равной амплитуде периодического внешнего воздействия 02(О-В частности, из (13) следует, что приведенная жесткость обобщенной пружины (при p = 0) определяется:

к' = к3 •(к\ + к2) + к1к2 = к +-

к^ + к^ к\ + к2

к1к2

(14)

к

тр + к + к

2

2

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

пружина с жесткостью к[2 =

к^ + к2

к р (р ) = к з +

т2р + к + к2

к2 • (т2 р2 + к )

к12(р) =

„2 к1 ю = —

т,

тр + к + к

6-

Из (14) можно заключить, что в статическом режиме жесткость опирания объекта защиты формируется двумя упругими элементами, образующими компакт: пружина жесткостью кз, а также

к1 • к2

со стороны элемента кз. В свою очередь, при частоте

2 к1 + к2 Ю =-

т.

(19)

получаемой

последовательным соединением упругих элементов к1 и к2. Общая жесткость соответствует параллельному соединению:

к^ = кз + к^2 . (15)

В свою очередь, динамическая жесткость будет определяться выражением:

к2 •(т^.р2 + к1 )

(16) (17)

т р 2 + к + к

В частности, компонента динамической жесткости к 2 (р), что следует из (16), может принимать нулевое значение при:

(18)

Это соответствует режиму, при котором на объект защиты действует только упругая реакция

а)

О 2

возникает режим, соответствующий остановке движения элемента т2 по координате у2. Такой режим соответствует динамическому гашению колебаний при силовом гармоническом возмущении Q2.

Структурная схема на рис. 1, а может быть преобразована в несколько этапов (как показано на рис. 3, а-г). В этом случае, так же как и ранее, реализуется переход к схеме, в которой будет выделено массоинерционное звено т1 с передаточной функцией:

^ (р) = -^т. (20)

щр

Схема распределения динамических сил, как это следует из структурных схем на рис. з (а-г), отличается от структурных схем на рис. 2 (а-г).

Для определения реакции, отнесенной к элементу т1, используем (6), откуда следует, что:

у2 = й2+ к1~у\ . (21)

т2р + к2 + к3

После подстановки в (6) получим:

б)

тгрг + к + к

4+) 1

щр2 + к + к -

Уг

-О

к2 1 Уг к2

щр2 + к + к щр2 + к + к3

О 2

в)

(+) г

2 тг р

.О

кг

т-2 р2 + к2 + кз

-о

Уг

г)

к • (т2р2 + к + к)+ к ' (т2Р2 + к)

2 3/ ''■2 \ 2Г

тр2 + к + к

г

щ р2

к2

т2р2 + к2 + к3

О 2

Уг

Рис. 3. Структурные схемы при последовательном преобразовании парциальных систем: а - парциальная система т1, к1, к2 - положительная обратная связь, внешняя сила ^ не приведена к входу парциальной системы т1, к1, к2;

б - внешняя сила Q 2 приведена к входу парциальной системы т1, к1, к2; в - звено т1 имеет положительную обратную связь; г - звено т1 имеет отрицательную обратную связь

а

к

2

к

2

2 2

к

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

т1р

• У1 +(к1 + к2 ^ У1 - к 2

Я 2 + к2 • У1 т2р2 + к2 + к3

— О

или

(к1 + к2 ) • (т2 р2 + к2 + к3 )-к22 _

т1 р • У1 +- г.,.,—--У1 =

т2р

+ к + к

(22)

к2 • 02

+ к + к

т2р . к2 , кз

откуда можно найти, что динамическая реакция на т1 определяется выражением:

Ят, —

к1 -(т2 р2 + к2 + к3)+ к2 -(т2р2 + к3)

т2р'

+ к2 + к3

• У1

•(23)

к

(^) = к1 • (т2Р2 + к2 + к3 )- к2 • (т2Р2 + к3 ) (26)

т2р2 + к2 + к3

или

где

кпрт, = к1 + к

23'

к 23 =

к2 • (т2р2 + к3)

т2р2 + к2 + к3

(27)

При р = 0 (27) может быть упрощено к виду:

(28)

_ к2 • к3 - "

2 к2 + к3 Ю =-

т.

(29)

а также режим, при котором механическая система (или компакт) из т2, к2, к3 не влияет на движение по к1 на частоте:

2 к3 Ю =

тп

(30)

Используя полученные выражения для жест-костей элементов, в том числе приведенных, а также значения для перемещений т1 и т2, найдем, что: — — к! • к2

КА = к1 • У! =-

А)

Ка = Ка = к •к2 "

Я 2,

е 2,

(31)

(32)

При этом сила инерции на т1 имеет вид:

^ = тхр2 • У1, (24)

а внешняя сила принимает форму выражения: — — к

бькв = Я 2--Г"!-Т. (25)

т2р + к2 + к3

Таким образом, при определении реакции на массоинерционном элементе т1 внешняя сила Я2 передает свои динамические воздействия, но этот эффект должен рассматриваться с учетом такого обстоятельства, что на элемент с массой т1 действует не 02, а сила е1экв, определенная из (25). Что касается динамической реакции на ть то она связана, как это было в приведенной выше теореме, с параметрами обратной отрицательной связи в соответствии со структурной схемой на рис. 3, г.

Приведенная жесткость обобщенной пружины для элемента с массой т1 имеет вид:

Кт, = Ял + К л =

КА2 =

к1 +

к2 • (т2р2 + к3 ) ) к2 т;

• е 2,(33)

2 •(т2 р 2 + "з).

(34)

Яв = к

т2 р + к2 + к3

к2 • (т2р 2

т2р 2 + к2 + к3 а0

-2=кз -(т1р 2+к1+к2) • е, (з5) А0

—

- - кз •(т^.р2 + к1 + к2 ) 75

КВ1 = Кв =----Q2,

А

к3 • (т1р 2 + к + к2)+к2 • (тр2 + к) ] , (т1 р 2 + к1 + к 2 ) ] (т1р2 + к + к2 ) т;

(36)

• е 2 =

(37)

к • (т1р2 + к + к2)+к • (тр2 + к)

• е 2

Кв2 = ^^

(

т^р2 + к1) о

А) Я2'

(38)

II. Использование передаточных функций

Выражения (31)—(38) могут быть переведены в передаточные функции системы, в которых входное воздействие является внешней гармонической силой Я2, а выходной сигнал представляет собой соответствующую динамическую реакцию.

Так, например, передаточная функция пары Я и

КА имеет вид:

кл • к-,

+ "з

что соответствует параметрам последовательно соединенных упругих элементов с жесткостями к2 и к3. Характерными режимами для элемента т! являются: режим динамического гашения при частоте:

Ж ( р ) = = к1 • к 2

Ка 62 А) '

в свою очередь, по точке В имеем:

Яв _ к •(тр2 + к + кг )

^ (р) = -

(39)

(40)

02 А)

Сравнение (39) и (40) показывает, что реакции на опорных поверхностях системы будут разными, а амплитудно-частотные характеристики будут иметь одинаковые экстремумы при нулях характеристического уравнения А0, но реакция в точке В будет иметь минимум на частоте

2 к1 + к2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Ю =

т

= ^ = :

А

Q 2

тр2 • (к2 + к3)+к2 • к + к • к3 + к3 • к2

= А

Из (41) следует, что на частоте:

2 к^ • к2 + к^ • к3 + к2 • к3 ю = -

(к2 + к3 ) • тх

V,,

( р) = ^

^^ Q2

ю2 =■

т.

(к1 + к 2 )

2 к2 + к3 Ю =-

т.

; при этом в т. А реакция не будет

иметь таких значений. Для элемента т2 можно записать, что передаточная функция Я т при входном воздействии Q2 примет вид:

кз • (тр2 + К + к2) + кг • (т1р2 + К)

(41)

(42)

^ 1 кз )• т1

динамическая реакция принимает нулевое значение. Однако это не означает, что на элемент т2 не будут действовать силы, поскольку остается статическая компонента общей реакции. При этом колебательные движения системы совершаются относительно положения статического равновесия. Передаточная функция динамической реакции по т1

при входном сигнале Q2 принимает вид:

движным. Кроме упомянутого режима, в соответствии с нулями характеристического уравнения А0, будут наблюдаться также два резонанса. Таким образом, если иметь в виду амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), соответствующую передаточной функции (4з), то АЧХ по динамической реакции будут отличаться от известных, что вполне объяснимо с физических позиций, поскольку динамическая реакция является другим параметром, чем координаты у1 и у2.

Для проверки правильности определения реакции на элементе т2 воспользуемся схемой на рис. 2, г. Так как входная точка на звене с переда-

точной функцией Ж(р ^ =-

1

т2 р

по физическому

смыслу (узел суммирования или сумматор) является точкой приложения трех сил (сила инерции, динамическая реакция, внешняя сила), то:

Р ин = Q 2 - Я®2 = Q 2 - ^ •

[к3 •(т1р2 + К + к2 ) + к2 •(т1р2 + кх)],

А

_ [к1 • (т2р 2 +к2 + к3 ) + к2 • (т2р 2 +к3 )] Ь (43)

тр2 +к2 + к А0

Особенность динамических взаимодействий на элементе т1 такова, что на частоте:

к2 •(к2 + кз)+к

2 • кз

откуда:

М р ) =

А - [к • (щр2 + к + к)+к • (щр2 + к)]

"ОТ= А :

щр2 •(щр2 + к + к )

= А '

(46)

(44)

наблюдается режим «обнуления» динамической реакции, а на частоте:

(45)

Динамическая реакция принимает бесконечно большое значение. В данном случае совпадает с режимом динамического гашения колебаний. В физическом смысле это означает, что на этой частоте динамическая реакция соответствует бесконечно большой жесткости обобщенной пружины; при этом элемент массой т2 становится непо-

а)

Для получения передаточной функции (46) из структурной схемы на рис. 2, г необходимо преобразовать последнюю к виду, как показано на рис. 4, а, б. Схема на рис. 4, а преобразуется к схеме на рис. 4, б.

Если воспользоваться структурной схемой на рис. 4, б, то передаточная функция совпадает с выражением (48), что подтверждает доказательную базу приведенной выше теоремы. Аналогичные результаты можно получить из уравнения (7), подставляя в него у2 = Ж2(р)- Q2.

Проведенные исследования позволяют

б)

£

Рис. 4. Структурная схема системы, приведенной на рис. 2, г, для определения силы инерции элемента т2 а - введение вспомогательного звена с единичной передаточной функцией; б - структура с единичным звеном в прямой цепи

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

предложить новый метод получения динамических реакций на основе использования структурных представлений механических колебательных систем. Авторами показано, что динамическая реакция интерпретируется как обратная связь, сформированная в отношении звена, имеющего передаточную функцию интегрирующего звена второго порядка. Такие структурные схемы могут быть развернуты не только относительно объекта защиты, но и для других массоинерционных элементов, что предполагает возможности расширения метода на системы со многими степенями свободы. Анализ результатов показывает, что использование динамических реакций для описания динамических свойств виброзащитных систем, позволяет создать не только методологическую базу для расчета элементов колебательной системы, но и расширить представления о возможностях проявления ранее не рассматривавшихся физических эффектов. Возможности подтверждения полученных результатов несколькими способами отражают универсальность и гибкость предлагаемого метода.

III. Введение устройств для преобразования движения. Предлагаемые методы математического моделирования позволяют расширить представления о возможностях применения технических средств, обладающих новыми свойствами. В частности, это может быть отнесено к устройствам для преобразования движения. Физической формой реализации таких идей может служить, к примеру, несамотормозящаяся винтовая пара или зубчатые, или рычажные механизмы. Несмотря на то, что внимание к упомянутой проблеме возрастает и сопровождается новыми техническими решениями, ряд аспектов мог бы получить дальнейшее развитие, что в частности, относится к определению динамических усилий в элементах при действии внешних периодических сил на виброзащитные системы. Рассматриваются вопросы методического обеспечения в построении математических моделей механических колебательных систем с устройствами для преобразования движения (УПД), а также развивается алгоритмическая основа для определения динамических реакций в соединениях элементов систем [2, 3].

Полагаем, что механическая колебательная система содержит три массоинерционных элемента т, т1 и т2 (рис. 5), которые совершают вертикальные прямолинейные колебания в системе координат у1, у2, связанной с неподвижным базисом. Массоинерционные элементы соединены между собой и опорными поверхностями (I, II), посредством упругих элементов к1, к2, к3 и соответственно устройств для преобразования движения Ь1, Ь2, Ь3. Последние могут представлять собой, например, винтовые несамотормозящиеся механизмы

[5] с приведенными моментами инерции L¡, L2, L3. Такие устройства обладают возможностями приобретать кинетическую энергию в относительном движении элементов m¡ и m2. Устройства для преобразования движения могут быть отнесены также к элементарным типовым звеньям виброзащитных систем.

В структурной теории виброзащитных систем [1, 2] они называются также дифференцирующими звеньями второго порядка. В этом случае передаточные функции звеньев принимают вид L1p2, L2p2, L3p2, где p = j(ü - комплексная переменная [5]. Предполагается, что внешнее возмущение является заданным движением опорной поверхности I Zj (t) = A sin . На расчетной схеме (рис. 5)

выделены точки A1 и A2 (т. A1, A2), как точки совместного контакта опорных поверхностей с упругими элементами и устройствами для преобразования движения (УПД). Такого же типа точки имеют соответствующие обозначения: т. B1, B2, B3, B4 (рис. 5).

Z(t)

Рис. 5. Расчетная схема виброзащитной системы с устройствами преобразования движения

Для построения системы дифференциальных уравнений движения в системе координат у1 и у2 определяются выражения для кинетической и потенциальной энергий и формализм составления уравнения Лагранжа второго рода.

Система дифференциальных уравнений движения примет вид:

у"( т+ ¿ + ¿2)+У (к + к2) -

"У2 • L2 • Р2 " У2 • к2 = L • Z1 + k1 Z1 > У {m2 + L2 + L3)+y2(k2 + къ) -

- y- v p2 - У1 • К = o.

(47)

(48)

Применяя преобразования Лапласа, можно на основе (47), (48) построить структурную схему,

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

как показано на рис. 6, полагая начальные условия нулевыми (р = ую).

Передаточные функции системы при входном возмущении г 1 и выходных сигналах у и у2 соответственно имеют вид:

ж (р)=У±= (АР2 + к1 )'[(т2 + ¿2 + ¿з )р2 + к2 + кз ], (49)

21 Ао

]¥(р) = = (^ьР2 + к1 Ж Р2 + к 2 ), 21 А0

(50)

где

Ао = |Ц + ¿1 + ¿2 ^2 + к + к2 ]-•[(т2 + ¿2 + ¿3 Ь2 + к2 + к3 ]--(¿2 р 2 + к2 )2

(51)

¿2, кь к2 может быть преобразована так, что дает несколько вариантов представления математических моделей по координате у . Варианты

преобразований приведены на рис. 7, а-г.

Из анализа структурной схемы на рис. 7, г, можно заключить, что в целом отрицательная связь, охватывающая прямую цепь, представленную звеном с передаточной функцией 1

-—, может рассматриваться как некоторый эле-

тр

мент обобщенного вида. Такой элемент можно назвать обобщенной пружиной или обобщенным упругим элементом с приведенной жесткостью:

к1д = к + к2 + ЦР2 + ¿2р2 -

22

Выражение (51) является характеристическим уравнением системы, представленной на рис. 6.

Структурная схема на рис. 6 при выборе в качестве базовой парциальной системы блока т1,

(¿2 Р2 + к2 )2

(52)

[(т2 + ¿2 + ¿з) Р2 + к2 + кз ]' Выражение (52), в физическом смысле, со-

¿2р2+к2

1 L2р2 + к2

А (т + А + ¿2) р2 + к + к2

л!

¿1 р2 + к, ^ г1

Рис. 6. Структурная схема виброзащитной системы (по рис. 5) в координатах у1 и у2

а)

в)

(¿Р2 + к )

(т + L + L) р2+к+к

Г (+)

(т+Ь + L) р2+к+к2

кг + Ь2 р'

2_ (¿2 р2 + к2 )2

(т2 + ¿2 + ¿з) р + к2 + кз

Цр2 + к,

1

1 (т1 + ¿) р' + к1

б)

г)

(¿2р2 + к2 )

^__¿2 р' + "2

(т + Ь + Ь) р2 + к + к3

г 1

V (т + А + ¿2) р2+к

Ар2+к

г1

к, + ¿2 +(¿1+ ¿2 )2--

(¿2 р2 + к2 У

1

1 т р2

¿р2 + к,

Рис. 7. Варианты структурных преобразований схемы на рис. 6 для определения динамических реакций: а - парциальная система (т1, Ьь Ь2) к1, к2) с положительной обратной связью; б - система с отрицательной обратной связью с выделением упругого элемента к2; в - отрицательная обратная связь с выделением элементов к2 и Ь2; г - отрицательная связь с выделением к1, к2, Ь1 и Ь2

(т + ¿2 + ¿3) р + к + "з

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ответствует коэффициенту жесткости некоторого обобщенного упругого элемента, создающего для элемента массой m\ динамическую реакцию. Что касается динамической реакции в точке Аь то есть на опорной поверхности I, то реакция с учетом (49) определится:

Ra = (k + Lp2 )• y =

(53)

/ A,.

(к + Ар2 )•( Ар2 + к )• * х

х т2 + Ц + Ц) р2 + к2 + к ]

Числитель (53) представляет собой частотное уравнение, которое можно привести к виду:

(к + Цр2 )2 •[(т + Ц + Ц )р2 + к + к3 ]=о. (54)

Из (54) следует, что на частотах

ю2 = 1 ¿i

2

ГО, =-

+ k^

m2 + Ь2 + Z3

(54')

(54'')

(55)

/ A

исходной структурной схемы выделить соответствующий элемент или звено и сформировать обратную связь. Последняя определяет приведенную жесткость, которая, в свою очередь, используется (целиком или фрагментами) для нахождения динамических реакций.

1. Определим динамическую реакцию в т. А2, что следует из выражения:

Ял2 (р) = (Цр2 + кз )~ф2 =

(к + ь2р2) • (ь2р2 + к )•( Цр2 + к )• * (56)

= л •

Из (56) следует, что динамическая реакция между элементом т2 и опорной поверхностью II в общем случае не совпадает с динамической реакцией в т. А1. Что касается передаточной функции по выходу в виде Ял2 при входном воздей-

динамическая реакция принимает нулевые значения. При этом частота ю2 из (54'') соответствует режиму динамического гашения колебаний, если элемент т1 выбрать в качестве объекта защиты при внешнем воздействии ^ . Отметим также, что = ю2 отражает частный случай «обнуления» динамической реакции, что надо рассматривать отдельно, учитывая корни характеристического уравнения (51).

Из (53) можно также определить передаточную функцию при выходном сигнале, соответствующем динамической реакции КА , и входе - в

виде кинематического воздействия 1г:

^ =_^ _ =

Кл (к1 + Ц р2) • (к. + ¿1 р2 )• " •[( т2 + Ц + ¿3) р2 + к2 + кз ]_

Форма амплитудно-частотной характеристики, соответствующей (55), будет иметь свои особенности, так как числитель (55) имеет частоты «зануления» (54') и (54''), а знаменатель имеет полюса, то есть определяет частоты собственных колебаний, при которых возникают резонансные режимы. Равенство нулю динамических реакций означает, что на определенных частотах будут доминировать реакции, соответствующие статическим нагрузкам.

IV. Оценка динамических реакций в отдельных точках системы

Предложенный выше метод, по существу, заключается в том, чтобы путем преобразований

WR. (Р) = -

.(57)

ствии ^, то она имеет вид:

Ял2 _ (к3 + Цр2^(¿2р2 + к2) 2 (к + Ц р2 )• г1 л0

Амплитудно-частотная характеристика системы в данном случае имеет два минимума, при которых динамическая реакция равна нулю:

(«1 )2 = к2

Ь

k-i

(«2 )2=

Ь

(57')

(57'')

Кроме того, из (51) следует, что в (57) характеристическое частотное уравнение также определяет в общем случае два режима резонанса.

2. Если две опорные поверхности (I и II) могут быть объединены, как показано на рис. 8, то, полагая zY = 0 и вводя внешнее силовое возмущение Q = Q sin Qt, приложенное к элементу m1, получим:

Ra = Ra + Ra2 =(k + L1 p 2 )• y 1 +

+ (k3 + L3p 2 ^ y 2 =

(k + Lp2 )4(m2 + L + L3 ) p2 + k + кз ]

•öi +

(58)

(k 3

+ ¿3 P 2 )-[¿2 P 2 +

k 2 ]• gl

= 01 |(к1 + ¿1 р 2 ) • [(т 2 + ¿2 + ¿3 )р 2 + к 2 + к 3 ]+|

Ло | + (кз + ¿з р 2) • (¿2 Р 2 + к2)

Выражение (58) отличается от (53) и (55) тем, что вместо (к + Цр2 )• \ на расчетной схеме (рис. 8) представлено Я . Такая замена вполне

и

и

0

+

0

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

г^ 1

Рис. 8. Расчетная схема виброзащитной системы с общей опорной поверхностью

объяснима, поскольку в данном случае кинематическое возмущение 2 приводится к эквивалентному силовому воздействию ^ = кг, как это было показано ранее. Таким образом, передаточная функция при выходном сигнале ЯА и входном Q примет вид:

ния. Характерным для передаточных функций, определяемых выражениями (55), (57), (59), является то обстоятельство, что при р ^да модули (55), (57), (59) стремятся соответственно к пределам:

¿1 (т2 + ¿2 + ¿3 )

< p)=£=

(59)

/ 4,

(k + Lip2 )•[( т2 + L2 + L3) p2 + ¿2 + k3 ] + + (k3 + L3 P2 )•( k2 + L2 P 2 )

Частотное уравнение в числителе (59) может быть записано в виде:

A = p4 -[¿j (m2 + L2 + L3)p2 + ¿2 + L3 J + + p2 [k (m + l2 + l )+l (k2 + k3)+k3L2 + k2L3 J+(60) + k1 -(k 2 + k3) + k 2 k3. Из (60) могут быть получены значения ча-

а)

б) в)

(m + L + l2 ) • (m + L2 + L3 ) - L

L2 L3

(ml + L1 + L-)- (m2 + L- + L3 )-L2 '

^Ra (P)

Li (

m9

L2 + ¿3 )+ L2 ¿3

(61)

(62)

.(63)

стот, при которых

R<

принимает нулевые значе-

р^ш (тх + + ¿2 ) • (т2 + ¿2 + ¿3) - ¿2 Отметим, что каждое из выражений (61)-(63) имеет значения, меньшие, чем 1. Если ¿1, ¿2, ¿3 будут равны нулю, то соответственно выражения (61)-(63) также будут иметь нулевые значения.

Общий вид возможных амплитудно-частотных характеристик на основе выражений (65), (67), (69) представлен на рис. 9.

Отметим, что в некоторых случаях при

■ 1

V

^-W ЫCOS.1 ^бин.1 (ЛcoS.Z Ыдин.2 COfanj

Рис. 9. Возможные виды амплитудно-частотных характеристик при двух режимах «обнуления» динамических реакций: а - частота «обнуления» находится между частотами резонанса; б - частота «обнуления» находится в зоне «до резонанса»

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

определенном сочетании параметров т1, т2, Ц1, Ц2 и Ц3 частоты обнуления могут находиться и в других сочетаниях, в том числе и совпадать с частотами собственных колебаний. Динамические реакции Ял и Ял2 также могут быть получены в предположении, что ^ = 0, а сила Я1 прикладывается к элементу массой т1. В этом случае:

p) = f _

( к, + L, p2 )•[( m2 + L2 + L3) p2 + к2 + к3

и

Wju (р) _ Ъ- _(к + L3p2Мк2 + L2p2)

(64)

. (65)

(k2 + L2P2 )2

(66)

(т2 + Ц + Ц )р2 + к + к3 Используя (66), найдем, что динамическая реакция по массе т1 определится (= 0, Ф 0):

а)

(L2p2 + к2 f

(m + l+l ) p2+к + к2

г>

L (m2 + ¿2 + ¿3) p 2 + k2 + кз К

^2

R m, _ к.

• J1 _

? х

(ki + к 2 + Li р2 + L2 р2 ^

•[(m2 + L2 + L3 )Р2 + к2 + к3 ]-

-(к 2 + L2 р2 )2

x[(m2 + L2 + L3 Ь2 + к2 + к3 [ 6i

/Aq [(m2 + L2 + L3 )р2 + к 2 + к 3 ]

откуда можно найти передаточную функцию при входном силовом возмущении Я и выходе -

в виде динамической реакции К :

01 A

Выражение (55) совпадает с (64), а (57) - соответственно совпадает с (65), откуда следует, что передаточные функции при входном сигнале Q и выходных сигналах Ra1 и Ra2 идентичны с передаточными функциями, в которых входным сигналом является кинематическое воздействие z1, а выходным сигналом - смещение элементов m1 и m2, то есть координаты у1 и у2.

V. Определение динамических реакций, приложенных к массоинерционным элементам m1 и m2

Воспользуемся структурной схемой на рис. 7, г и запишем, что жесткость по отношению к элементу с передаточной функцией —Ц- в прямой

mp

цепи имеет вид:

кгЛ _ к1 + к2 + LlP2 + L2P2 -

W(p) _ R^ _

[к1 + к 2 +(Li + L2 )р2 ]•

•[(m2 + L2 + L3 )р 2 + к2 + к3 ]

(67)

^3/^ 1 п-2 | ^з] (к2 + ¿2 р 2 )2

Из числителя (67) может быть получено частотное уравнение, из которого определяются две частоты возмущения динамических реакций Я .

Резонансные частоты остаются такими же, что и в предыдущих случаях, то есть находятся из (51). Что касается элемента массой т2, то структурная схема на рис. 6 может быть преобразована при силовом внешнем воздействии Я1, как показано на рис. 10, а, б.

По аналогии с выше рассмотренными случаями запишем, что приведенная жесткость имеет вид:

Кбг = к2 + к3 +(¿2 + ¿3 )р2 -

42 (68)

(¿2 p2 + k2)

(m + L + L) p + к + k2

Тогда динамическая реакция по m2 опреде-б)

к2 + к3 (L2 + ¿3 )p2

(-L2 p2 + к2)

(m, + Li + L2) p + к, + к2

г (->

2 m2 p

tJ'i

¿2 p + k2

(m, + Li + L2) p + k + к2

Qi

L2 p + к2

(m + L + L) p2 + к + к2

Рис. 10. Структурная схема для определения динамической реакции на элементе ш2: а - положительная обратная связь; б - обратная отрицательная связь

лится:

=а

(68')

Кт2 (р)= китг • У2 =

[[к2 + кз +(¿2 + ¿з ) р2 ]•

•[(т + L + ¿2) р2 +к + к ] -( к2 + ¿2 р2 )'}•( к2 + ¿2 р2 ) / д, [(т + L + ¿2) р2 + к + к2 ],

откуда передаточная функция примет вид:

^ ( р )= ^ =

Г[к2 + кз +(¿2 + ¿з ) р2 ]

1 [•[( т + ь1 + ¿2) р2 + к + к ]--(к2 + ¿2 р2 )2 }•( к2 + ¿2 р2 )

/ д [(т + ¿1 + ¿2) р2 + к + ^ ]. Из (69) можно отметить более сложный характер динамических взаимодействий, чем для элемента с массой т1. В частности, в данном случае появляется возможность «зануления» Ящ на частоте:

» кп

ШМШгиа

Яа1 к (т2Р2 + ^2р2 + к2 + к3)

Ql

АО'

= ^ = к2к з Ла2 п А,

Ql

2 з;,(72) (73)

Ж- (р) = ЯА = Ql

Яа к [(т2 + ¿2 )р2 + к2 + к3 ]+ к2к3

АО'

Ят

, (74)

(69)

(75)

/ До",

(70)

а также еще на двух частотах, определяемых из частотного уравнения числителя выражения (69). где Что касается режимов, при которых значение (69) может возрасти до <», то таких ситуаций (в общем случае) может быть три.

Так, из знаменателя (69) может быть найдено:

(О2 = к1 + к\ ; (71)

т + + ¿2

другие частоты соответствуют частотам собственных колебаний, определяемых из (51).

Значение динамических реакций Ящ и Ят2 позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, например Ящ = Ят2 или Ящ + Ящ = 0; что может быть использовано при управлении динамическим состоянием виброзащитной системы. Значимым обстоятельством при этом является учет вида внешних воздействий и мест их приложения, а также выделения возможностей функциональной зависимости между возмущениями.

VI. Особенности взаимодействия элементов системы при Ь1 = 0, Ь3 = 0

В данном случае динамические реакции в системе могут быть найдены упрощениями полученных выражений (55), (57), (59):

Ж, ( р ) = ^ =

(¿2р2 + к + к )• •[(т2 + ¿2) р2 + к + к ]--(¿2р2 + к2 )2 Ж, (р)= ^ =

Ят 2 V / ^

(к + к + ^р2) • •[( т + ¿2) р2+к + к2 ]--(¿2р2 + к2 )2 (¿2 р2 + к) [(т+ ¿2) р2 + к + к2 ]• д"''

Д"'=[( т+ ¿2) р2 + к1 + к2 ]•

•[(т2 + ¿2)р2 + к + к] (¿2р2 + к)2. Наибольший интерес представляют для исследования случаи, когда к2 = 0, а к3 Ф 0 . Найдем, что (72) ^ (76) преобразуются к виду:

(76)

(77)

Т^ , , ЯД Я1 [(т2 + ¿2 ) р2 + "з ]

№ЯД( р)="сТ=-Дг-;

р)=Я;=;

Ж ЯД (р) = ^ =

с

к [(т2 + ¿2) р2 + к ]+¿2р2 • к

= Дг ;

Жяп (р) = ^ =

(78)

(79)

(80)

а

(¿2р2 + к) • [(т2 + ¿2) р2 + к ] - ¿2 р4

(81)

ю1 =

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

WRm( p) _ Rt _

{кз • [(m, + L2) p2 + к, ] - ¿2p4} • ¿2p2

[(m + ¿2) p2 + к, ]• A0" '

(82)

где

AQ"_[(mi + L2)p2 + к1 ]• [(m2 + L2)p2 + к3 ]-L\p\ (83) Выражения для амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) могут быть получены из (78)-(82). Отметим, что АЧХ обладают особенностями, по сравнению с обычными системами, дополнительными режимами динамического гашения и «запирания» в области высоких частот.

VII. Упрощенный способ построения математических моделей

Использование представлений о приведенных жесткостях позволяет упростить получение основных характеристик и построение математических моделей. Используем исходную расчетную схему на рис. 8, что позволяет записать:

ки _ к + 4p2 +

[(m2 + ¿3 ) p2 + к3 ]•[ L2 P 2 + к2 ] _

(m + L2 + l ) p2 + к + к (к, + Lxp2 )•

•[(m2 + L3 )P2 + к2 + к3

[(m + L3) p2 + ¿2p2 + к - к - ¿ip2 ]• •[¿2p2 -к2] / (m + l2 + ¿3) p2 + к + к _ [к + к +(L + ¿2) p 2 ]•

[(m2 + ¿3) p2 + к2 + к3]--[¿2p2 + к2 ]2 + ¿2 + ¿3 ) p 2 + к2 + к3 _ К

/ (

m,,

(84)

Полученное выражение (84) полностью совпадает с выражением (66) и последующим определением динамической реакции К т после умножение (84) на у .

Расчетная схема на рис. 8 может быть также использована для определения К т , что реализуется следующими подстановками:

кпр2 _ к3 + L3 р +

| [(mi + Li )р2 + к ]-LР 2 + к2 ] =

(mj + L1 + L2) р2 + к + к 2

(к + ь3р2 + L + L) Р 2 + к + к ]+

+ [(mi + Li )p2 + L2p2 + к - к2 - L2p2 + к2 + ¿2p2 ] •[L2 Р 2 + к 2 ]

/(m + L + L)р 2 + к + кг _

[ к3 + к2 +(¿3 + L2 ) p1 ]•

[(m + L + ¿2)p2 + К + к]- / (85) -[¿2p2 + к2 ]2 / (m + l2 + L ) p2 + к + к ■

Выражение (85) совпадает с выражением (68) и позволяет получить выражение для динамической реакции К т , совпадающее после соответствующего введения у2 с (68').

Таким образом, метод определения динамических реакций заключается в соответствующей трансформации исходной структурной схемы с построением её варианта, на котором выделяется в прямой цепи звено с передаточной функцией

1 или . Обратная связь (ожидательная

т1р т2р

или положительная) может рассматриваться как некоторый элемент, обладающий приведенной жесткостью (обобщенная пружина). Умножение приведенной жесткости на соответствующую координату у1 или у2 приводит к определению Ящ

или Кт . Для всех действий используются изображения переменных в области преобразований Лапласа. Определение динамических реакций между массоинерционными элементами т1 и т2 с опорными поверхностями I и II (рис. 5) производится аналогичным образом, но при этом используются соответственно приведенные жесткости

(параллельного соединения Цр2 + к или Ьър2 + к с последующим умножением на у или

У2). Приведенные жесткости для определения динамических реакций, действующих на элементы т1 и т2 могут быть найдены также непосредственно из расчетных схем на рис. 5 или рис. 8, если воспользоваться приемами определения сопротивлений, как это делается в теории цепей. Заключение

По результатам, полученным в исследованиях, посвященных вопросам определения динами-

/

ческих реакций в механических колебательных системах, можно сделать следующее заключение:

1. Определение реакций связано с представлением объекта защиты в виде базового интегрирующего звена второго порядка и приведением механической системы к цепи обратной связи, охватывающей базовое звено. Физический смысл такой связи заключается в том, что она определяет собой приведенную динамическую жесткость обобщенной пружины. Если такие параметры известны, то определение динамической реакции сводится к выбору соответствующих точек взаимодействия и определению координат их движения при известных внешних воздействиях и передаточных функциях.

2. Показаны возможности применения метода для определения динамических реакций в системах с двумя и более степенями свободы, в том числе для систем, включающих в свой состав устройства для преобразования движения (или типовые элементарные звенья с передаточной функцией дифференцирования второго порядка). При построении передаточных функций, введение устройства для преобразования движения (это относится и к диссипативным элементам) соответствует добавлению передаточных функций элементов через параллельное соединение к соответствующим упругим элементами путем совмещения точек их контактирования.

3. Для оценки свойств динамических реакций предлагается введение амплитудно-частотных характеристик, в которых определяется зависимость отношения модулей реакций к модулю внешнего воздействия. Возможно также получение амплитудно-частотных характеристик как реакция на кинематическое возмущение. При этом характеристики имеют особенности, зависящие от вида внешних сил и мест их приложения в системе.

Исследования выполнены по гранту в рамках Федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-2013 гг. по теме «Мехатроника виброзащитных систем» (1.3.2 - естественные науки) № 14.132.21.1362.

Авторы выражают благодарность Большакову Р.С. и Каимову Е.В. за участие и помощь в

работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. - Иркутск: ИрГУПС. 2012. - 288 с.

2. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. - Новосибирск: Наука, 2011. - 394 с.

3. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба

B.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. - СПб: Политехника. 2013. - 364 с.

4. Литвин-Седой М.З. О силах реакций в системах связанных тел при осуществлении заданного движения / Известия высших учебных заведений. Серия «Авиационная техника». №2. 1966.

C.19-28.

5. Корольков М.В. Разработка и исследование математических моделей динамики механизмов с зазорами в сопряжениях деталей / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. 05.02.05. М..: МААИ. 2010. 22 с.

6. Упругие элементы в механических системах. Структурные интерпретации/ Хоменко А.П., Елисеев С.В., Артюнин А.И., Елисеев А.В., Большаков Р.С., Каимов Е.В.; Ирк. гос . ун - т путей сообщ . - Иркутск , 2013. - 460 с . - Биб-лиогр . : 200 назв . - Рус . - Деп . в ВИНИТИ 02.08.13 № 230 - В 2013.

7. Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. - Иркутск.: Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2008. - 523 с.

8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности системы при исключении переменных динамического состояния. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. №2 (38). С. 8-17.