CC BY
23
Вестник Омского университета, 2005. № 1. С. 5-16. © П.Н. Надточий, М.В. Борунов, Г.Д. Адеев, 2005
УДК 539.173
ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СИСТЕМАТИКИ ВИОЛЫ И РАЗРЫВ ДЕЛЯЩЕГОСЯ ЯДРА НА ОСКОЛКИ
П.Н. Надточий, М.В. Борунов, Г.Д. Адеев
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55a
Получена 15 декабря 2004 г.
A probabalistic scission criterion of fissioning nucleus is used for systematic study of the fission fragment energy distribution parameters, especially for the mean kinetic energy of fragments (EK) in the wide range of coulomb parameter (600 < Z2/A1/3 < 2200). Dynamical interpretation of well-known Viola's systematics for (EK) is given. Results of the dynamical calculations of (Ek ) within three-dimensional Langevin dynamics show that the mean distance between future fragments at scission configuration increases linearly with Z2/A1/3. This distance changes from 2, 37R0 for 142Ce and to 2, 65До for 256Fm. In spite of the above mentioned noticable increase of the mean distance between future fragments at scission, the Viola's systematics is valid even for very heavy nuclei.
1. Введение
Вопрос об условии разрыва делящегося ядра на осколки неизбежно встает при любом теоретическом описании и моделировании процесса деления, одним из отличительных признаков которо-
го является разделение исходного компаунд-ядра преимущественно на два осколка. Под разрывом здесь следует понимать переход от единой конфигурации ядра, которая становится по ряду причин неустойчивой, к конфигурации системы уже разделенных осколков. Проблема разрыва перемычки (шейки) между будущими осколками возникала неоднократно [1-6], однако в полной мере она до сих пор еще не решена, и сегодня остается одним из самых неясных вопросов физики деления. Сразу отметим, что в теории деления в основном используются два критерия(условия) разрыва, которые являются очевидными предельными случаями по отношению друг к другу. Так, например, в многочисленных работах Ник-са и др. [7-9], в работах иных групп [10,11] за критерий разрыва принимается условие обращения в нуль радиуса шейки, К^ = 0 (простейшее условие геометрического разрыва). Хотя данное условие разрыва согласовано в модели жидкой капли (МЖК) с резкой поверхностью ядра [1,12], оно является неудовлетворительным, так как описание ядра в МЖК теряет смысл, когда
радиус шейки сравнивается с расстоянием между нуклонами [2]. Привлекательным с физической точки зрения является определение условия разрыва на основе критерия неустойчивости ядра относительно вариации толщины его шейки [2], когда исчезает гребень, разделяющий долину деления и долину разделенных осколков. Данное условие разрыва соответствует предразрыв-ным конфигурациям делящегося ядра с конечным радиусом шейки, в среднем равным 0,3До (До = гоА1/3 - радиус исходного сферического ядра) [1,2,13-16]. Заметим, что наличие двух долин и хребта между ними, исчезающего для вытянутых форм, подтверждено макроскопическими расчетами по методу Хартри-Фока [17]. Другим физически разумным и приемлемым является критерий разрыва ядра, основанный на балансе сил кулоновского отталкивания будущих осколков и ядерного притяжения между ними. Как было показано в [18], это условие разрыва приводит к предразрывным конфигурациям для области актинидных ядер приблизительно с тем же самым радиусом шейки 0, 3До . В модели случайного разрыва Броза и др. [3] использован критерий гидродинамической нестабильности шейки относительно разрыва, который также приводит к предразрывным конфигурациям ядра с радиусом шейки (0, 3 — 0,4) До .
Начало теоретического изучения вопроса разрыва делящегося ядра на осколки было положено в работах В.М. Струтинского с соавторами [1], где на основе точного решения интегродиффе-ренциального уравнения в МЖК было впервые дано физически последовательное определение критической конфигурации как узкой области деформаций, в которой на энергетической поверхности образуется выход из долины деления (непрерывных форм капли) в долину разделенных осколков [1]. При больших деформациях этой данной критической конфигурации не существует непрерывных фигур условного равновесия. Данная критическая деформация интерпретируется как точка разрыва делящегося ядра на осколки. Ей соответствует расстояние между центрами тяжести будущих осколков:
Всги = 2(1,17 — Г)гоА1/3. (1)
Расстояние _Осгг( определяет кулоновскую энергию отталкивания образовавшихся осколков
Уссгй = 0,185(1 + 1,2Г)^ 2/А1/3, (2)
где Г - константа, характеризующая зависимость поверхностного натяжения от кривизны поверхности. В расчетах [1] она принималась равной —0,1; 0; 0,1. Кулоновская энергия взаимодействия осколков при критической деформации составляет большую часть их наблюдаемой
кинетической энергии. Эта параметризация (2) широко используется в систематиках средней кинетической энергии осколков:
(Ек) = О^ 2/А1/3 + С2. (3)
Сравнив результаты расчетов с экспериментальными данными, В.М. Струтинский с соавторами [1] рекомендовали значение Г = —0,1.
Важным следствием постоянства критической деформации для широкого круга ядер, как отмечено в [1], является линейный вид зависимости средней кинетической энергии осколков деления (Ек) от параметра Z2/А1/3, что собственно и составляет полуэмпирический закон, установленный Терреллом на основе исследования экспериментальных данных [19]. На данный момент все наиболее известные систематики экспериментальных данных по (Ек) [4,19] используют линейный вид зависимости (Ек) от Z2/А1/3, но с различными коэффициентами и называются систематиками Виолы, после пионерской, основополагающей, работы [20]. Величина данных коэффициентов, в частности, зависит от расстояния между центрами масс формирующихся осколков непосредственно перед разрывом сплошной формы ядра. Интересно отметить, что, используя результаты В.М. Струтинского и его соавторов о том, что критической деформации ядра соответствует расстояние между центрами масс Всги ~ 2,3 — 2,38До , можно получить коэффициент зависимости (Ек) от Z2/А1/3 , близкий к найденному в работе Виолы с соавторами [21] из анализа экспериментальных данных.
В работе [22] нами был предложен вероятностный критерий разрыва ядра на осколки. Обычно в расчетах предполагается, что исходное компаунд-ядро, достигнув в процессе своей эволюции критической деформации, с единичной вероятностью делится на осколки. При использовании вероятностного критерия разрыва ядра предполагается, что существует ненулевая вероятность разделения ядра на осколки после появления шейки в форме ядра. Предварительные динамические расчеты, проведенные в [22], показали, что при использовании однотельного механизма ядерной вязкости данный критерий разрыва дает результаты для наиболее вероятной критической деформации близкие к результатам, найденным в работах В.М. Струтинского с соавторами [1].
2. Вероятностный критерий разрыва делящегося ядра на осколки
Условие разделения исходного компаунд-ядра на осколки в случаях нулевого и конечного радиуса шейки определяет в пространстве коллектив-
ных координат линию или поверхность разрыва для случая двух или трех коллективных координат соответственно, которые четко разделяют предразрывные (сплошные) и уже разделенные формы ядра. Обычно в расчетах предполагается, что исходное ядро, достигнув в процессе своей эволюции эту линию или поверхность, с единичной вероятностью делится на осколки. В настоящей работе нами предлагается рассматривать в качестве предразрывных форм все формы ядра с шейкой. После появления шейки в форме ядра становится возможным выделить формирующиеся осколки, разделив исходное компаунд-ядро по шейке, и нами предполагается, что в этом случае существует ненулевая вероятность разделения ядра на осколки при любой его конфигурации. Для оценки этой вероятности предлагается рассматривать разрыв перемычки, соединяющей будущие осколки, как флуктуацию. В этом случае вероятность разрыва равна
IV = ехр (-АЕ/Т),
(4)
где АЕ - изменение энергии при флуктуации, а Т - температура ядра. Разрыв делящегося ядра на осколки происходит в результате флуктуаций в области шейки, находящейся в неустойчивом состоянии. Условие неустойчивости шейки относительно разрыва трудно сформулировать. В работе [23] условие фрагментации связывалось с понижением плотности среды до некоторого критического значения, а в работах [3] разрыв рассматривался как проявление гидродинамической нестабильности Релея, обусловленной поверхностными колебаниями. Однако результаты этих и других работ [1,2] не позволяют сделать сколько-нибудь точные количественные предсказания о величине критического радиуса шейки, при которой происходит разрыв. В качестве единственного исключения можно лишь, пожалуй, упомянуть работу [18], где критический радиус шейки, при котором происходит разрыв ядра на осколки, был найден из условия равенства сил кулоновского отталкивания и ядерного притяжения. Таким образом, подход, основанный на рассмотрении энергетической зависимости вероятности разрыва (4), может являться в данном случае разумным решением этой чрезвычайно сложной физической задачи. Заметим, что применение формулы (4) предполагает, что начальные и конечные состояния системы, испытывающей приводящие к разрыву флуктуации, не разделены между собой энергетическим барьером. Если же энергетический барьер между начальным и конечным состоянием существует, то в формуле (4) вместо АЕ необходимо использовать величину этого барьера. Идеи теории флуктуаций довольно давно и неоднократно успешно
использовались для описания разрыва ядра на осколки [3] и формирования массового и зарядового распределений, а также многих других характеристик, наблюдаемых при делении [24]. Так, например, в модели случайного разрыва шейки Броза и др. [3] для оценки вероятности разрыва перемычки в ином месте, нежели соответствующем минимальному значению радиуса шейки, использовали формулу больцмановско-го типа, аналогичную (4). Разность энергий АЕ вычислялась как дополнительная поверхностная энергия, появляющаяся при таком разрыве, в модели жидкой капли с резкой поверхностью ядра [1,12]. Старцев вычислял вероятности разрыва, используя, как и мы, модель жидкой капли, учитывающей диффузность поверхности ядра и конечный радиус действия ядерных сил [25]. Следует, однако, особо подчеркнуть, что при вычислении величины АЕ в формуле (4) им выбирались специфические начальные и конечные состояния, отличные от используемых в настоящей работе.
Для описания формы ядра мы использовали измененный вариант хорошо известной {с, /г, а}-параметризации. В ней были выполнены статические расчеты в методе оболочечной поправки Струтинского [2], динамические расчеты массово-энергетического распределения (МЭР) осколков деления в диффузионной модели [26,27], а также проведено большое количество расчетов различных характеристик деления в ланжевеновском подходе [13,14,16,28-31]. Она задает трехпара-метрическое семейство форм, являясь тем самым достаточно удобной для проведения трехмерных ланжевеновских расчетов. Параметр с описывает удлинение ядра (длина ядра в единицах радиуса начальной сферы До равна 2с), параметр /г определяет изменение толщины шейки при заданном удлинении, координата а задает отношение масс будущих осколков. Уравнение поверхности ядра в выбранной нами параметризации формы представляется в виде:
(с2 - г2) (А3+Вг2/с2 если В > 0;
(с2 - г2) (Л, + аг/с) ехр(Вс.г2), если В < 0,
(5)
где р8 — полярный радиус, а г — координата вдоль оси симметрии ядра. Величина В выражается через параметры формы ядра (с, /г, а) [2] следующим образом:
В = 2/г + • (6)
Параметр Ац определяется из условия сохранения объема ядра и для сплошных форм имеет
- аг/с)
вид
Л =
с"3 - £ с 5 '
если В > 0;
3 ехр{Вс3) + (1+;
если В < 0.
(7)
Форма ядра в {с, /г, а}-параметризации за-
ключена в пределах от гтщ
-с до
Если в этих пределах функция обращается
в нуль только при г = ±с, то это сплошные формы ядра. Если на отрезке [-гШт, гшах] появляются еще два корня, то такие формы интерпретируются как разрывные. Остальные случаи (с нечетным числом корней в пределах [гтщ, -гтах]) не могут считаться формами ядра и часто называются «запрещёнными» или «нефизичными» формами (более детальное обсуждение таких форм см. в работе [32]).
Прежде всего обсудим проблему «запрещенных» форм. Отметим, что такие формы существуют только при о ^ 0. Кроме того, для каждого значения с и /г можно найти ашах такую, что в области |а| < ашах лежат только формы ядра, а «запрещённые» формы находятся во всей остальной области.
Условие равенства нулю массы одного из осколков может быть записано в виде:
дг
0.
(8)
О
Условие (8) означает, что минимум (шейка) находится в одной из крайних точек формы ядра £тт или ¿шах • Используя (8) и учитывая, что в крайних точках функция р2а(г) обращается в нуль, получаем для {с, /г, а}-параметризации:
(Аа+В),В> 0;
^тах ^ (9)
Л, в < о.
Видно, что атах существенно зависит от с и /г, это и создает проблему построения сетки при использовании в качестве координаты массовой асимметрии параметра формы а.
Нами предлагается новый вариант введения координаты массовой асимметрии:
<?з =
а/ (Л + В) , В > 0; а/Аа, В < 0.
(10)
При таком выборе проблема «запрещенных» форм полностью решается: все возможные асимметричные формы ядра (при данных с и /г) заключены в пределах |дз| < 1.
Коллективный параметр, отвечающий за формирование шейки в форме ядра, удобно выбирать так, чтобы условие равенства толщины шейки нулю выполнялось при одном (или почти при одном) и том же значении этого параметра. Равенство нулю толщины шейки в случае а = 0 достигается при
/г = /гвс=^ + ^. (11)
Из выражения (11) видно, что значение /гвс будет существенно изменяться в зависимости от величины с. Введем коллективную координату шейки в виде:
Ь + 3/2
Координата дг обладает следующими свойствами: если дг = 0 5 то /г = —3/2 (что гарантирует достаточно большие значения потенциальной энергии, чтобы исключить попадание броуновской частицы в эту область); если <¡2 = 1, то для симметричных форм толщина шейки будет равна нулю. Для асимметричных форм ядра толщина шейки будет обращаться в нуль при несколько меньших, но близких к единице значениях дг •
Таким образом, по нашему мнению, оптимальными при работе с {с, /г, а}-параметризацией являются коллективные координаты: q = (дх = с, <721 9з) • Нами используются эти координаты со следующими пределами изменения: <¡1 € [0,5; 4, 5], 42 е [од] и © е [-1,1].
Моделирование процесса разделения ядра на осколки проводилось в многомерном стохастическом подходе, при этом использовалась система стохастических уравнений Ланжевена для коллективных координат , 1 9з • Явный вид уравнений движения можно найти в работе [22].
Для описания диссипации коллективного движения во внутренние степени свободы нами был использован вариант однотельной диссипации - поверхностный с окном [33] с коэффициентом редукции кц = 0,25, с которым наилучшим образом воспроизводятся параметры массово-энергетического распределения осколков и множественности предразрывных частиц [16].
При применении формулы (4) для расчета вероятности разделения составного ядра на осколки необходимо четко выделить предразрывные формы ядра и соответствующие им конфигурации системы осколков. Другими словами, необходимо сформулировать метод перехода от сплошной предразрывной формы ядра к конфигурации системы осколков. К настоящему времени однако не существует однозначного метода такого перехода. В работе [6] показано, что разрыв шейки происходит достаточно быстро за время тг ~
10~23 с, что позволяет параметры единой фигуры связать с параметрами осколочной конфигурации на основе равенства низших моментов функции распределения плотности. Равенство моментов плотности до и после разрыва имеет простой физический смысл сохранения числа частиц, положения центра тяжести, размеров системы по осям г и р и т. д. Так, например, в работе [3] формы осколков предполагались эллипсоидальными и для нахождения параметров формы использовались условия сохранения числа частиц и размеров системы по оси г. В работе [28] форма осколков также параметризовалась эллипсоидами, однако параметры формы осколков находились из условия сохранения энергии и максимума энтропии системы осколков. Параметризация формы осколков эллипсоидами интуитивно кажется не совсем точной, и с большей вероятностью сразу после разрыва шейки осколки все же имеют грушевидные формы [34,35], характеризующиеся одновременно квадрупольными и ок-тупольными деформациями. Их нахождение из условия максимума энтропии [28] или из условия сохранения моментов плотности до и после разрыва [6] приводит к достаточно трудоемким вычислениям. Более того, в нашем случае, когда в качестве предразрывных форм ядра выступают все формы ядра с шейкой, эти вычисления еще более усложняются. Поэтому в настоящей работе мы параметризовали форму осколков на основе сплошной предразрывной формы ядра, которая рассекалась плоскостью перпендикулярно оси г при минимальной толщине шейки. Полученные осколки раздвигались на расстояние ,з, как показано на рис. 1. Следует отметить, что такая параметризация формы осколков ,з —>■ 0 обеспечивает сохранение всех моментов плотности системы до и после разрыва шейки. При малых значениях ,з по сравнению с размерами сплошной формы низшие моменты плотности также сохраняются с большой точностью. В то же время из физических соображений очевидно, что сразу после разделения конфигурации осколков, выбранные нами, являются энергетически невыгодными из-за большой площади поверхности и наличия плоских срезов. За короткое время, сразу после разрыва шейки, плоские срезы сглаживаются и форма осколков становится близка к грушевидной. В уравнении (4) под АЕ понимается потенциальная энергия системы двух осколков, раздвинутых на расстояние ,з (см. рис. 1), отсчитываемая относительно потенциальной энергии предразрывной (сплошной) формы ядра (в = 0). Потенциальная энергия делящегося ядра Е в настоящей работе как для предразрывных форм, так и для уже разделенных рассчитывалась в макроскопической ядерной модели [25,36], учитывающей ко-
нечный радиус действия ядерных сил и диффузное распределение ядерной плотности. Обобщенная поверхностная энергия (ядерная энергия) Еп представляется в этой модели в виде двойного интеграла по объему ядра
= dS. (13)
V V
Для расчета кулоновской энергии Ес с учетом диффузного распределения плотности заряда используется выражение
(14)
где cs = <i„\ I hj-:. I = (N-Z)/A, а = |rl-r1|, Е°с = , о-с = • Значения параметров а =
= 0,68 Фм, ad = 0,7 Фм, г0 = 1,16 Фм, as = = 21,13, ks = 2, 3 были выбраны согласно работе [36]. Здесь V обозначает объем сплошной формы ядра, или суммарный объем осколков. Для расчета энергий кулоновского Vc или ядерного Vn взаимодействий осколков в формулах (13) и (14) необходимо проводить интегрирование по объемам осколков. Выражения (13) и (14) для ядерной и кулоновской частей потенциальной энергии сплошной формы делящегося ядра могут быть преобразованы к двойному поверхностному интегралу с двукратным применением [25,37] теоремы Гаусса.
Выбор определенного расстояния s, при котором производился расчет вероятности разрыва по формуле (4), осуществлялся следующим образом. В статистическом приближении энергия ядра представляется в виде функционала от нук-лонной плотности рп и ее градиента [38]. Ответственный за конечность радиуса действия ядерных сил градиентный член записывается в виде
Es =Const J (Vpnf d3r. (15)
oo
В работе [37] показано, что распределение ядерной плотности можно представить в виде свертки юкавской функции по объему ядра с резкой поверхностью
v
где ау = 0,75 Фм - параметр юкавской функции, рп о - значение нуклонной плотности в центре ядра р„о = A/V (А - массовое число ядра), а интегрирование ведется по всему объему ядра V. Значение параметра ау = 0,75 Фм выбирается из условия, когда диффузность поверхности ядра равна 2,4 Фм [37].
Рис. 1. Форма осколочной конфигурации, полученная рассечением сплошной формы плоскостью перпендикулярной оси г в точке г = Zfq. Получившиеся осколки раздвинуты на расстояние s . Латинскими буквами А и D обозначены поверхности осколков, образованные функцией ps(z), а буквами В и С — поверхности плоских срезов, образовавшихся при рассечении сплошной формы
Если в формуле (15) выбрать Const = , а распределение ядерной плотности в виде (16), то получится формула (13). Интеграл (15) можно вычислить, воспользовавшись методом, описанным в [37]. Таким образом, (13) представляет собой поверхностный (градиентный) член в статистическом функционале энергии ядра для распределения плотности (16). В частном случае полубесконечной среды (z < 0) распределение плотности (16) имеет вид
( Ело (о — ez/ay) -у < 0'
м*> = ■ <17>
Такая трактовка, предложенная в [5], ядерной энергии в МЖК, учитывающей конечный радиус действия ядерных сил и диффузное распределение ядерной плотности, важна для нас с точки зрения определения понятия разрывной конфигурации ядра. Используя формулу (16), можно говорить о распределении нуклонной плотности и, соответственно, ввести понятие контакта осколков в момент разрыва. При задании распределения нуклонной плотности в виде (16) резкая поверхность ядра - это эффективная поверхность, проведенная внутри диффузного слоя, где рп = рпо/2. В этом случае осколкам, изображенным на рис. 1, при s = 0 будет соответствовать сплошная форма. При раздвижке осколков на расстояние s > 0 плотность в точке zдг будет постепенно уменьшаться. Касание осколков будет реализовываться, когда значение плотности в точке zn будет равно рп = рпо/2. Данное значение плотности в случае полупро-
странств ядерной материи, согласно (17), будет достигаться при раздвижке осколков на расстояние 5гир = 2ау1п(2). Расчеты, проведенные в [5], показывают, что при конечном радиусе шейки (/? у >0,2) плотность в центральной точке между двумя осколками оказывается равной рпо/2 примерно при таком же значении 5. Для рассматриваемых в данной работе тяжелых ядер с А > 200 значение 5гир ~ 0,13До •
3. Результаты расчетов
Если вокруг вопроса о месте формирования массовых распределений осколков дискуссии продолжаются и в наши дни [14,39], то по аналогичному вопросу для энергетических распределений нет разных мнений: кинетическая энергия осколков Ек определяется конфигурацией делящегося ядра в критический момент разрыва шейки (точки разрыва). При обсуждении результатов расчетов с различными условиями разрыва мы будем касаться в основном параметров энергетического распределения осколков деления.
Начнем обсуждение результатов расчетов прежде всего с рассмотрения разрывных конфигураций, к которым приводят различные условия разрыва ядра на осколки. И в этом случае интересно продемонстрировать различие статических и динамических расчетов. Для этого на рис. 2 представлены средние траектории, полученные для различных ядер, и пунктирной кривой - дно долины деления. Как известно, средние траектории и дно долины деления соответствуют симметричным по массе осколков формам (дз = 0), поэтому на рис. 2 схематично представлена двумерная сетка в коллективных координатах и (¡2 при (/з = 0. Как видно из данного рисунка, для легкого ядра 142 Се средняя траектория проходит вблизи дна долины деления, в то время как с утяжелением ядра средние траектории начинают все больше отклоняться в сторону более вытянутых конфигураций. Это является следствием поведения инерционного и фрикционного тензоров на спуске от седла до разрыва [14]. Вследствие этого, в динамических расчетах с однотельным механизмом ядерной вязкости получаются более вытянутые разрывные конфигурации ядра, чем в статических расчетах вдоль дна долины деления.
На рис. 3 и 4 для ядра 256^т вдоль средней траектории, полученой с к3 = 0,25, представлена вероятность разрыва, рассчитанная так, как описано выше, и нормированная на единицу. Как видно на рис. 3 и 4, вдоль средней траектории вероятность разрыва максимальна при И = 2, 75 До и Ддг = 0,19До 1 а средние значения этих величин равны: (И) = 2,65Ло и (Ллг) = 0,23До- Также
Рис. 2. Примеры средних траекторий для ядер 256^т, 224ТН и 142Се в коллективных координатах д1 и д2 при дз = 0: пунктирная кривая примерно соответствует дну долины деления и лежит при Н = а = 0; в узлах сетки
схематично приведены формы ядра для соответствующих значений коллективных координат д1 и д2 при дз =0
на данных рисунках стрелками отмечены разрывные конфигурации, соответствующие условию гидродинамической нестабильности шейки
[3].
Сравнение результатов расчетов критических деформаций с различными условиями разрыва представлено на рис. 5 и 6. Результаты расчетов, соответствующие дну долины деления, представлены на данных рисунках пунктирными линиями. Как видно на рисунках, все рассмотренные в данной работе условия разрыва дают близкие друг к другу результаты по критическим деформациям ядер. Как и следовало ожидать, для достаточно легких ядер, где спуск с седловой точки к разрыву короткий и проходит приблизительно по дну долины деления, критические деформации получаются примерно одинаковыми как в расчетах по дну долины деления, так и вдоль средней траектории. Для более тяжелых ядер средние траектории начинают отклоняться от дна долины деления, и поэтому критические деформации в этом случае соответствуют более вытянутым формам ядра, чем в случае статических расчетов вдоль дна долины деления.
Также в связи с обсуждением результатов критических деформаций, представленных на данных рисунках, нам бы хотелось сравнить их с результатами, полученными В.М. Струтинским с соавторами более 40 лет назад [1]. В статических расчетах вдоль дна долины деления в [1] было получено, что критической деформации соответствует форма ядра с радиусом шейки щтъи = 0, 24^о и расстоянием между центрами масс ВссШ = 2, 3Яо для х = 0 и Я%ш - 0, 27Яо
Рис. 3. Вероятность разрыва, рассчитанная вдоль средней траектории для ядра 256^т, изображена как
функция расстояния между будущими осколками: сплошная стрелка указывает на среднюю деформацию, при которой происходит разделение ядра на осколки при вероятностном моделировании разрыва; пунктирная
соответствует условию гидродинамической нестабильности шейки по отношению к разрыву [3]; множитель 1, 59 соответствует расстоянию между центрами масс двух касающихся сферических осколков (в единицах Яо)
и = 2, 38^0 для х = 0, 8, где х - параметр
делимости, равный 2/Л)/(^2/Л)сгц; ^2/Л)сгц = = . С одной стороны, может показаться, что такое хорошее совпадение наших результатов, полученных с вероятностным условием разрыва вдоль дна долины деления, с результатами, полученными в [1], является случайным, поскольку при проведении расчетов использовались различные МЖК. Кроме того, в наших расчетах для описания формы ядра использовалась (с, Н, а) -параметризация, а в [1] проводились статические расчеты, где на форму ядра не накладывалось никаких ограничений. Однако с другой стороны, мы все же полагаем, что такое хорошее согласие наших расчетов и [1] является не случайным, поскольку и в данной работе, ив [1] вопрос о возможной разрывной конфигурации решается на основании рассмотрения энергетических характеристик сплошных и разделенных форм.
Также интересно отметить, что условие гидродинамической нестабильности шейки по отношению к разрыву [3] также дает близкие значения для критической деформации и примерно попадает в область деформаций, где вероятность разрыва начинает резко возрастать. И это, на наш взгляд, является достаточно случайным, поскольку этот критерий получен на основе гидродинамического рассмотрения ядра и никак не связан с моделью с конечным радиусом действия ядерных сил и диффузной поверхностью ядра [25], которая широко используется в вероятностном разрыве. Однако то, что данный кри-
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
Мо
Рис. 4. Вероятность разрыва, рассчитанная вдоль средней траектории для ядра 256^т, изображена как функция радиуса шейки. Сплошная стрелка указывает на среднюю деформацию, при которой происходит разделение ядра на осколки при вероятностном моделировании разрыва. Пунктирная стрелка соответствует условию гидродинамической нестабильности шейки по отношению к разрыву [3]
терий дает вполне удовлетворительные оценки для разрывной конфигурации и имеет под собой прочную физическую основу, он заслуживает рассмотрения наравне с остальными критериями разрыва.
Средняя кинетическая энергия осколков деления (Ек) в настоящее время является наиболее точно измеряемой величиной в экспериментальных исследованиях. Как было установлено в [4], (Ек) оказывается практически независимой ни от момента Ь делящегося ядра, ни от температуры (в области высоких энергий возбуждения). Поэтому (Ек) в теоретических исследованиях является, пожалуй, наиболее важной величиной с точки зрения изучения критерия разрыва ядра. Поэтому при изучении данного критерия привлечение для анализа данных о моментах энергетического распределения осколков ( (Ек), дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения) является просто необходимым.
В работе [21], где рассматривается значительное число ядер, для описания зависимости (Ек) была предложена следующая систематика:
(Ек) = о, 1Шг2/А1/3 + 7, ЗМэВ. (18)
В то же время, как было установлено в [4], если для тяжелых ядер отобрать только реакции, где преимущественный механизм реакции — это слияние-деление, то зависимость (Ек) (Я2/А) будет иметь излом при Z2/А ~ 900. В связи с этим, в работе [4] была предложена следующая систе-
____________________
1. —▼-Т
▼ т— -j 1 У...... т
600 800 1000 1200 1400 1600
z2/a1/3
Рис. 5. Радиус шейки, соответствующий критическим деформациям при различных условиях разрыва: треугольники — средняя деформация при вероятностном разрыве; квадраты — критическая деформация, рассчитанная для условия гидродинамической нестабильности [3]; сплошными кривыми соединены символы, соответствующие расчетам для средних траекторий, пунктирными кривыми соединены расчеты для форм, соответствующих условию h = О (примерно дно долины деления)
матика (Ек)
(Ек) = 0,131Z2/А1/3 МэВ, Z2/A1/3 < 900, (Ек) = 0,104Z2/А1/3 + 24,3 МэВ, Z2/A1/3 > 900.
Поскольку в настоящих расчетах мы выбираем начальные условия, пригодные только для описания реакций слияния-деления, то, соответственно, получающиеся в наших расчетах результаты должны быть ближе к систематике экспериментальных данных, предложенной в [4]. На рис. 7 представлены экспериментальные данные и теоретические расчеты (Ек) с использованием различных условий разрыва. Средняя кинетическая энергия осколков деления в данной работе рассчитывалась согласно выражению
(Ек) = (Vc) + (Vn) + (Eps), (19)
где Vc — кулоновская энергия отталкивания; Vn — энергия ядерного притяжения; Eps — предраз-рывная кинетическая энергия осколков. Угловые скобки в формуле (19) означают усреднение по ансамблю ланжевеновских траекторий, который состоял из примерно 103 траекторий. Все слагаемые в формуле (19) рассчитывались в момент разрыва. Расчетные формулы для Vc и Vn приведены в приложении работы [22]. На рис. 7 представлены результаты расчетов с вероятностным условием разрыва и с условием разрыва Rn = 0, 3Rq . Как видно на данном рисунке, оба условия разрыва дают близкие значения (Ек),
Рис. 6. Расстояние между центрами масс осколков, соответствующее критическим деформациям при различных условиях разрыва. Обозначения те же, что и на рис. 5
которые в области легких ядер хорошо согласуются с известными систематиками и экспериментальными данными. В области тяжелых ядер с Z2/AVS > 900 наблюдается все возрастающее отклонение рассчитанных значений (Ек) от систематики [4] и экспериментальных данных, они лежат ближе к систематике Виолы [21]. Однако они, тем не менее, демонстрируют линейный вид зависимости (Ек) от параметра Z2/^1/3. Рассчитанные значения (Ек) с условием разрыва Rn = 0,3i?o на несколько МэВ больше, чем (Ек), рассчитанные с вероятностным условием разрыва. В нижней части рис. 7 представлены рассчитанные значения (Vn) и (Eps) для условия разрыва Rjy = 0, 3Ro. Как видно на данном рисунке, (Vn) и (Ер3) близки друг к другу и противоположны по знаку. Перед обсуждением результатов интересно проследить, как зависят (Vn) и (EpS) от условия разрыва и насколько они компенсируют друг друга. Предположение об идеальной компенсации (Vn) и (Eps) является одним из основных предположений, приводящих к систематике Виолы (18).
В случае однотельного механизма ядерной вязкости спуск делящейся системы от седла до разрыва происходит медленно, в режиме сверхзатухания. Вследствие этого (Eps) слабо меняется на спуске от седла до разрыва, поэтому можно считать, что для всех описанных выше условий разрыва она будет постоянной и равна значениям, указанным на рис. 7. Энергия ядерного притяжения осколков, напротив, гораздо сильнее зависит от условия разрыва ядра и быстро убывает с утоныпением шейки предразрывной формы ядра и увеличением расстояния между центрами масс будущих осколков. На рис. 8 представлена
Рис. 7. Сравнение рассчитанных и экспериментальных значений средней полной кинетической энергии осколков деления в зависимости от кулоновского параметра Z2/A1//3 : закрашенные квадраты - экспериментальные данные; открытые треугольники - результаты расчетов с
условием разрыва Rjy = 0, 3Ro ; открытые квадраты — результаты расчетов с вероятностным условием разрыва; сплошная прямая — систематика [4]
зависимость суммы (Vn) + (Eps) от параметра
Z2/Al/3
для условия разрыва R]\f — 0, 3Rq и вероятностного условия разрыва ядра на осколки. Как видно на данном рисунке, при вероятностном условии разрыва компенсация (Vn) и (Eps) происходит с точностью до 2 МэВ. При этом для легких ядер сумма (Vn) и (Eps) меньше нуля, а для тяжелых ядер сумма энергий больше нуля. В случае условия разрыва Rn = 0,3Ro компенсации (Vn) и (Eps) не происходит и их сумма всегда меньше нуля. Выполнение зависимости (Ек) ~ Z2/А1 показывает, что среднее значение (D) в единицах радиуса исходного ядра Д0 ^ А1' 3 почти постоянно и слабо зависит от его ну к лонного состава, как это следовало из статических вариационных расчетов МЖК [1,2]. Отсюда можно сделать заключение, что (D), полученное в динамических расчетах, эквивалентно jjcnt из статических расчетов.
В работах [40, 41] было предпринято систематическое изучение экспериментальных данных по (Ек) и конечной деформации в делении. Информация о конечной деформации извлекалась из данных о (Ек) • При этом в данных работах исследовались ядра с 1200 < Z2IAXI3 < 1600. Расстояние между центрами масс осколков деления в момент разрыва оценивалось согласно следующему выражению
D(A1,A2) = Z1Z2e2/EK(A1,A2), (20)
где D(Ai,A2) — расстояние между центрами масс осколков деления. Для сравнения разрыв-
Рис. 8. Сумма средних значений (Vn) и (Eps) при различных условиях разрыва в зависимости от параметра Z2/A1//3 : закрашенные квадраты — условие разрыва R]\[ = 0, SRo , закрашенные круги — вероятностное условие разрыва
ных деформаций различных делящихся ядер в [40,41] был использован параметр /3, характеризующий удлинение ядра в момент разрыва. Этот параметр определялся согласно выражению
0 = D(A1,A2)/Do(A1,A2), (21)
где Dq(Ai, А2) — расстояние между центрами масс двух касающихся сферических фрагментов.
При проведении анализа результатов в [40,41] было получено, что в случае возбужденных ядер (при отсутствии оболочечных эффектов) конечная деформация ядра /3 ~ 1, 65 в результате симметричного деления. Кроме того, было получено, что /3 практически не зависит от массы осколков, равна 1,65 для симметричного разделения осколков и слегка уменьшается до 1,6 для соотношения масс осколков А1/А2 > 1,5.
Использование в формуле (20) Ек вместо энергии кулоновского отталкивания Vc было связано с предположением, сделанным в [40,41], о том, что энергия ядерного притяжения осколков и Eps приблизительно компенсируют друг друга в момент разрыва. Кроме того, в формуле (20) используется выражение для кулоновского взаимодействия осколков, которые рассматривались как точечные заряды.
В данной работе мы также рассчитывали значения /3 по формулам (20) и (21), используя наряду с рассчитаными значениями (Ех) также и (D), полученное в динамических расчетах. Результаты представлены на рис. 9 (для условия разрыва Rn = 0, 3Ro) и рис. 10 (для вероятностного разрыва). На рис. 9 открытыми кругами представлены результаты расчетов /3 по формулам (20) и (21), где значения (Ек) брались из
систематики Виолы [21]. Эти данные представлены для того, чтобы проследить, как меняется критическая деформация в широком интервале изменения параметра делимости, поскольку в работах [40,41] деление высоковозбужденных ядер изучалось на интервале 1200 < Z2/А1!3 < 1600. Как видно на рис. 9, значения /3, найденные с использованием систематики Виолы, демонстрируют рост от 1,49 до 1,6 при изменении г2/а1' 3 от 600 до 2200. Тот факт, что значения /3, найденные из систематики Виолы, оказываются несколько меньше, чем значение /3 ~ 1,65, найденное в [40, 41], объясняется тем, что систематика Виолы аппроксимировалась по экспериментальным данным в широком интервале г2/а1' 3 , а значение (3 ~ 1,65 найдено при обработке гораздо меньшего числа ядер в более узком интервале 1200 < г2/А1/3 < 1600.
Закрашенные круги на рис. 9 показывают значения /3, найденные с использованием (Ек) из данных теоретических расчетов, проведенных с условием разрыва RN = 0, ЗRo. Как можно видеть на рис. 9, в области легких ядер значения /3, найденные из систематики Виолы и из наших расчетов, практически совпадают, поскольку наши расчетные значения (Ек) точно попадают на систематику Виолы. С утяжелением ядер различие наших значений (Ек) от даваемых систематикой Виолы начинает отличаться на несколько МэВ. Поэтому и расчетные значения /3 становятся различными. Закрашенными квадратами на рис. 9 показаны значения /3, полученные на основе динамических расчетов при моделировании разрыва ядра на осколки с использованием вероятностного критерия. Этот вариант оценки критической деформации /3, на наш взгляд, является наиболее точным, поскольку он не использует приближений о компенсации (Уп) и (Ерз) и приближения о взаимодействии осколков подобно точечным зарядам. Как видно на рис. 9, расчет /3 с использованием данных приближений приводит к гораздо более слабой зависимости /3 от г2/А1/3, чем при использовании (И). Таким образом, если при расчете /3 не использовать указанные выше приближения, то зависимость /3 от ядра принимает следующий вид: /3-1,51 для Z2|A1I3 = 600 и /3 - 1,64 для г2/А1'3 = 2200. Однако стоит отметить, что этот результат получен с условием разрыва RN = 0, ЗRo и в расчетах с модифицированным вариантом однотельной ядерной вязкости. При использовании других условий разрыва и (или) других механизмов ядерной вязкости зависимость /3 от г2/А^3 может оказаться другой. В качестве иллюстрации этого факта мы приводим на рис. 10 результаты расчетов /3 при вероятностном моделировании разрыва ядра на
1.70 1.68 1.66 1.64 1.62
400 800 1200 1600 2000 2400
z2/ai/3
Рис. 9. Зависимость параметра ¡3 от Z2 / А1/3 для условия разрыва Як — О, З^о: открытые круги — результаты расчетов (3 по формуле (21), где значения (Ек) брались из систематики Виолы [21]; закрашенные квадраты — значения полученные с использованием расстояния между центрами масс (И), из динамических расчетов; закрашенные круги — значения найденные с использованием (Ек) из теоретических расчетов. Сплошная и пунктирная линии проведены методом наименьших квадратов по закрашенным кругам и квадратам соответственно. Открытые квадраты — результаты расчетов (3 по формуле (21), где вместо {Ек) брались значения кулоновской энергии (Ус)
осколки. Обозначения на рис. 10 аналогичны ис-пользованым на рис. 9. Как видно при сравнении этих рисунков, зависимости (3 от на них
различны. Состоит различие в том, что меняется и наклон прямых, которые аппроксимируют данные зависимости, и значения, через которые они проходят. При применении вероятностного моделирования разрыва полученные значения (3 на интервале 1200 < ^2Д41/3 < 1600 оказываются несколько ближе к значению (3 ~ 1,65, найденным в [40, 41]. Однако данный факт, в силу использования несколько различных процедур расчета /3 в наших динамических расчетах и в [40,41], не может однозначно свидетельствовать в пользу вероятностного критерия разрыва, но в качестве косвенного подтверждения — несомненно.
Также стоит отметить, что, как указано в [1,40,41], линейный вид зависимости (Ек) от обусловлен независимостью критической деформации от делящегося ядра (или параметра Z2/A1/3). Однако, как видно из наших результатов, увеличение критической деформации на 10% при увеличении Z2|AVI?> от 600 до 2200 также позвояет с большой точностью сохранить линейный вид зависимости (Ек) от как при использовании вероятностного критерия разрыва, так и при использовании условия разрыва Ддг = 0,3До - Полученные в наших
.80 п
.78.76.74.72.70.68.66- у/
.44 —I-,-1-,-1-,-1-,-1-,-р-
400 800 1200 1600 2000 2400
z2/a"3
Рис. 10. Зависимость параметра (3 от Z2/А1/3 для вероятностного условия разрыва (обозначения на рисунке аналогичны обозначениям на рис. 9)
расчетах зависимости (Ек) от Z2/^1/3 отклоняются от систематики Виолы не более чем на 5 МэВ (для самого тяжелого ядра 122^? рассмотренного в данной работе), для остальных ядер это отклонение не превышает 3 МэВ. Таким образом, можно сделать вывод о том, что линейный вид зависимости (Ек) от Z2/^1/3 может быть корректно воспроизведен в теоретических расчетах с однотельной ядерной вязкостью даже в случае, если критическая деформация оказывается зависимои от При этом, однако, необходимо проводить точный расчет энергии кулоновского отталкивания и ядерного притяжения для соответствующих предразрывных форм ядра и учитывать предразрывную кинетическую энергию осколков Eps.
4. Заключение
Проведено систематическое изучение параметров энергетического распределения осколков деления для большой совокупности делящихся ядер в широком интервале кулоновского параметра(600 <
Z2/Al/3
< 2200). Для расчета энергетического распределения осколков использован предложенный ранее вероятностный критерий разрыва делящегося ядра на осколки. Дана динамическая интерпретация широко используемой систематики Виолы для средних значений кинетической энергии осколков (Ек) • Показано, что вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти идеальной компенсации вкладов (Vn) и (Eps) в (Ек) • Это предположение подразумевается при описании (Ек) в систематике Виолы. Проведенные динамические расчеты (Ек) в рамках трехмерной ланжевеновской динамики
показывают, что среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом параметра . Среднее расстояние меняется от 2,37До для 142Се и до 2, 65До для 256Рпг. Это увеличение не является настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер.
Более глубокий анализ условия разрыва и критической деформации, реализующейся в делении, подразумевает привлечение дополнительных характеристик энергетического распределения осколков. Прежде всего это информация о более высоких моментах распределения: дисперсии, асимметрии и эксцессе [42,43]. Кроме того, представляет самостоятельный интерес исследование параметров распределения осколков по В [43].
[1] Strutinsky V.M., Lyashchenko N.Ya., Popov N.A. II Nucl. Phys. 46, 639 (1963); Струтинский B.M., Н.Я. Лященко, H.A. Попов // ЖЭТФ. 43, 584
(1962); Струтинский В.М. // ЖЭТФ. 45, 1891
(1963); Струтинский В.Ad. // ЖЭТФ. 45, 1900 (1963).
[2] Brack М. et al. // Rev. Mod. Phys. 44, 320 (1972).
[3] Brösa U., Grossmann S., Muller A. // Phys. Rep. 194, 167 (1990); Brösa U., Grossmann S. // Z. Phys. А 310, 177 (1983).
[4] Иткис М.Г., Русанов А.Я. // ЭЧАЯ. 29, 389 (1998).
[5] Startsev A.I. // XIII meeting on Physics of Nuclear Fission (SSCRF-IPPE), Obninsk 1995, Ed. by B.D. Kuzminov, p. 94.
[6] Рубченя В.А., Явшиц С.Г. // ЯФ. 40, 649 (1984).
[7] Nix J.R., Swiatecki S. W. // Nucl. Phys. 71, 1 (1965); Nix J.R. II Nucl. Phys. А 130, 241 (1969).
[8] Davies K.T.R., Sierk A.J., Nix J.R. // Phys. Rev. С 13, 2385 (1976).
[9] Negele J.W., Koonin S.E., Moller Р., Nix J.R. // Phys. Rev. С 17, 1098 (1978); Sierk A.J., Koonin S.E., Nix J.R. II Phys. Rev. С 17, 646 (1978).
[10] Hasse R. W. II Nucl. Phys. А 128, 609 (1969); Phys. Rev. С 4, 572 (1971).
[11] Tillack G.-R., Reif R., Schulke A., et al. // Phys. Lett. В 296, 296 (1992); Tillack G.-R. II Phys. Lett. В 278, 403 (1992).
[12] Cohen S., Plasil F., Stuiatecki W.J. // Ann. Phys. (N.Y.) 82, 557 (1974).
[13] Bao J., Zhuo Y., Wu X. 11 Z. Phys. А 352, 321 (1995).
[14] Karpov A.V., Nadtochy P.N., Vanin D.V., Adeev G.D. II Phys. Rev. С 63, 054610 (2001).
[15] Надточий П.Н., Карпов A.B., Адеев Г.Д. 11 ЯФ. 65, 832 (2002).
[16] Nadtochy P.N., Adeev G.D., Karpov А. V. 11 Phys. Rev. С 65, 064615 (2002).
[17] Berger J.F., Girod M., Gogny D. 11 Nucl. Phys. А 428 (1984); 502 (1989).
[18] Davies K. T.R., Managan R.A., Nix J.R., Sierk A.J. II Phys. Rev. С 16, 1890 (1977).
[19] Terrell J. // Phys. Rev. 113, 527 (1959).
[20] Viola V.E., Sikkeland Т. // Phys. Rev. 130, 2044 (1963).
[21] Viola V.E., Kwiatkowski K., Walker M. // Phys. Rev. С 31, 1550 (1985).
[22] Адеев Г.Д, Надточий П.Н. // ЯФ. 66, 647 (2003).
[23] Дьяченко А.Т., Рубченя В.А., Эйсмонт В.П. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 45, 764 (1981).
[24] Карамян С.А., Оганесян Ю.Ц., Пустыль-ник В.И. II ЯФ. 11, 982 (1970).
[25] Krappe H.J., Nix J.R., Sierk A.J. // Phys. Rev. С. 20, 992 (1979).
[26] Адеев Г.Д., Гончар И.П., Пашкевич В.В. и др. // ЭЧАЯ. 19, 1229 (1988); Adeev G.D., Pashkevich V. V. 11 Nucl. Phys. A502 (1989).
[27] Сердюк О.П., Адеев Г.Д., Гончар И.И. и др. // ЯФ. 46. 710 (1987).
[28] Косенко Г.И., Ванин Д.В., Адеев Г.Д. // ЯФ. 61, 416 (1998).
[29] Косенко Г.П., Гончар И.П., Сердюк О.И. и др. // ЯФ. 55. 920 (1992).
[30] Косенко Г.И., Коляри И.Г., Адеев Г.Д. // ЯФ. 60. 404 (1997).
[31] Гончар И.П., Геттингер А.Э., Гурьян Л.В. и др. // ЯФ. 63. 1778 (2000).
[32] Mamdouh A., Pearson J.M., Ray et М. et al. // Nucl. Phys. А644. 389 (1998).
[33] Nix J.R., Sierk A.J. // Proceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Frontiers of Heavy Ion Physics, Yugoslavia, 1987, edited by N. Cindro et al. (World Scientific, Singapore, 1990). P. 333; in Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics, Dubna, USSR, 1986, edited by M. I. Zarubina at al. (JINR, Dubna, 1987). P. 453.
[34] Гоng P. II Phys. Rev. 102, 434 (1956).
[35] Hasse R.W., Myers W.D. Geometrical Relationships of Macroscopic Nuclear Physics Berlin; Springer-Verlag, 1988.
[36] Sierk A.J. II Phys. Rev. С 33, 2039 (1986).
[37] Davies K.T.R., Nix JR.// Phys. Rev. С 14, 1977 (1976).
[38] Бете Г. Теория ядерной материи. М.: Мир, 1974.
[39] Vanin D.V., Kosenko G.I., Adeev G.D. j j Phys. Rev. С 59, 2114 (1999).
[40] Zhao Y.L., Nagame Y., Nishinaka I. et al. // Phys. Rev. C62. 014612 (2000).
[41] Zhao Y.L. et. al. 11 Phys. Rev. Lett. С 82. 3408 (1999).
[42] Жданов C.B., Иткис М.Г., Мулыин С.И. и др. Ц ЯФ. 55, 3169 (1992).
[43] Жданов С.В., Вейзин С.Д., Иткис М.Г. и др. // ЯФ. 55, 913 (1989).
