CC BY
104
3/2009 ™-ВЕ£ТНИК
ДИФФУЗИЯ АТМОСФЕРНОГО КИСЛОРОДА В ПОКОЯЩУЮСЯ И ДВИЖУЩУЮСЯ МАССУ
жидкости
Т.Г. Богомолова
МГСУ
Диффузия кислорода через открытую (свободную) поверхность водоема или водотока является основным процессом, обеспечивающим поступление кислорода в водный объект и компенсирующим расходование кислорода в водной массе на внутриводоемные процессы. В связи с указанными обстоятельствами изучение массообменных процессов между водными массами и атмосферным воздухом через границу раздела «вода-воздух», которые связаны с реаэрацией воды, является практически важным и представляет научный интерес.
Как известно, диффузионный поток вещества через границу раздела «вода-воздух» может быть описан первым законом Фика [1].
] = Б ^ (1)
о
где ¥ - площадь контакта водной и воздушной среды; Лt - время контакта; АС - перепад концентраций переносимого вещества (в данном случае кислорода) в средах; 3 - толщина диффузионного слоя, в пределах которого осуществляется обмен веществом между воздушной и водной средой; Б - коэффициент диффузии.
В тех случаях, когда движение взаимодействующих сред отсутствует, диффузионный обменный процесс осуществляется на молекулярном уровне и коэффициент молекулярной диффузии кислорода в воде близок к 1,72 см7сут.
О,
у
а
ю
г
б *
о ю го зо 40 ¡о г (юс) Рис. 1.
Наиболее слабо изученной характеристикой диффузионного процесса является толщина диффузионного слоя 3. Опытное определение толщины диффузионного слоя 3 производилась в лабораторных условиях в цилиндрических стеклянных сосудах при
Успобные обозначения Ф - связывающая цо$а£ка {"^/^с ■ о - --- 1,5-ы/, в — - - 0,75
??
г
и
различной площади контакта F между воздухом и водой, которая изменялась в широких пределах (в 13,6 раз). Градиент концентрации кислорода создавался добавками в воду раствора соли марганца MnSO4 х 4H2O и щелочи NaOH в различной концентрации (0,75 мг/л); 1,0 мг/л и 1,5 мг/л), которая активно «связывала» кислород, растворенный в воде, вследствие реакции окисления гидроокиси марганца.
Измерения концентрации кислорода в воде выполнялись стандартным прибором «Экотест 2000». Результаты измерений, приведенные на рис.1 показали, что резкое падение содержания кислорода в воде после введения «связывающей» добавки увеличивается с ростом концентрации добавки. С течением времени вследствие процесса растворения атмосферного кислорода концентрация его в водной массе возрастает, приближаясь к равновесной.
При выполнении опытов величина диффузионного потока кислорода j3 из воздуха в водную массу объемом F x h за интервал времени At определялась на основе балансового соотношения:
j =ЖКFh , (2)
где АСК = С - Ct - изменение концентрации кислорода в объеме воды глубиной h за
время At вследствие поступления его через поверхность F из атмосферного воздуха. В течение этого интервала времени диффузионный поток, согласно (1), может быть записан в виде:
j = DCnp^CFht, (3)
о
где C = + <'+At - средняя концентрация кислорода в пробе данный интервал времени At.
Совместное использование выражений (2) и (3) позволяет произвести опытное определение толщины диффузионного слоя 8:
5 = D<rl< ^ (4)
ACK h W
Значения 8, определенные экспериментально для статических условий диффузии кислорода в воду из атмосферного воздуха при различных начальных перепадах концентрации и сильноизменяющейся площади контакта воздуха и воды (рис.2) не обнаруживают систематического влияния этих факторов на величину 8, что подтверждает справедливость первого закона Фика для этих условий. Опытные значения 8 при значительном разбросе проявляют общую тенденцию к снижению во времени.
Полученное в опытах среднее значение 8 оказалось близким к 0,5 мм. Эта величина несколько превышает толщину диффузионного слоя, обычно приводимую в литературе [2], что может быть связано с использованной методикой измерений.
При гидроэкологическом прогнозировании в качестве изменяющегося параметра часто рассматривается дефицит кислорода:
Def = Cnp - C (5)
Процесс реаэрации водной массы можно описать известным соотношением, характерным для процессов первого порядка [3]:
Df
lg-f = K2t (6)
Defo
3/2009
ВЕСТНИК _МГСУ
где Оф0 - дефицит кислорода в начальный момент времени; К2 - коэффициент (константа) реаэрации (при данной температуре).
\У6
___Ус/уеёные _ ?значение
• - с/ ■ Эо$оёхи 1.5-"Ул
О - -/--<О-"/*
® ----/--О ?5-«->/,
9 - €¡.¡62^ Во5а8хц ¡,5 у,
о - ---'.О-^уС
-0-- -"-
-О— с/- 2Э5мм доааВии 1,5 -"¿О
ф - -//----!0
_,,__0.15-"%
о г ь б г ю ¡г м /б /г го п ы хб & г7«с)
Рис. 2
Приток кислорода через единичную площадку Г = 1 м2 за время Ж согласно (3)
(7)
уменьшает дефицит кислорода в водном объеме глубиной к.
_ о = О^ = пвФ*
еф
Б к
Б к
Разделяя переменные и интегрируя, получаем: 1
1п Оф = -О—г + С
(8)
Определяя постоянную С из начального условия г = 0; Оеф = Оеф0, получаем: ОО
(9)
л иФ О( 1п—— =--г
О
еф0
С учетом (6) и (9), получаем:
К 2 = О—1—
2 2,3дк
(10)
При молекулярной диффузии кислорода О = 1,72 см2/сут для условий выполненных экспериментов (3 = 0,05 см) находим, что 13,75
К =
к
Г1/сут|,
(11)
где Гк! - см
Так, для водоемов глубиной к - 500 см коэффициент реаэрации К2 оказывается близким к 0,03 а при глубине к = 50 см возрастает до 0,3, что близко к данным С.В.Яковлева [5].
Для рек и проточных водоемов при естественном перемешивании водных масс, вызванном течением, коэффициент диффузии будет зависеть от характеристик водного потока.
Диффузия кислорода из воздуха в поверхностный слой водного потока также как и трение у дна происходит на молекулярном уровне за счет броуновского движения.
Среднеквадратичное отклонение молекул при броуновском движении согласно А.Эйнштейну равно
^ = (12) где Бм - коэффициент молекулярной диффузии молекул кислорода;
г - время диффузии.
Скорость нарастания слоя перемешивания молекул кислорода с водой можно получить из (12).
£м_ = 2^ (13)
г 8М
Таким образом, выражение (13) физически определяет скорость продвижения диффузионного «фронта» при молекулярном массопереносе. Удвоенная величина определяет среднеквадратичную толщину слоя перемешивания молекул кислорода с водой, при этом на верхней границе слоя концентрация кислорода С = Спр, на нижней границе слоя С = 0. Записывая для этого слоя закон Фика при Р = 1м2 и Д? = 1с в виде:
3 = А, (14)
В пределах слоя перемешивания толщиной 2^м, средняя концентрация равна Спр!2 найдем, что при увеличении 5и со временем объем слоя перемешивания нарастает, и масса кислорода в нем также увеличивается:
2£м (т)= Спр41Б^ (15)
При Д„ = 2 х 10-5 см2/с для диффузии молекул кислорода в воде с использованием выражения (12) можно оценить увеличение толщины диффузионного слоя при молекулярном растворении кислорода в воде вблизи поверхности (табл.1).
Таблица 1
1 10 60 (минута) 600 3600 (час) 86400 (сутки)
§мСМ 6,3х10-3 0,02 0,049 0,155 0,379 1,86
Умх103 см/с 3,16 0,999 0,409 0,128 0,052 0,0107
Расчетные данные (табл.1) показывают, что толщина диффузионного слоя перемешивания кислорода с водой вблизи поверхности воды возрастает до 0,5 мм за первую минуту, увеличивается до 3,8 мм за первый час и достигает 1,86 см за сутки при молекулярной диффузии. При этом скорость продвижения диффузионного фронта Ум уменьшается. Рассматривая 5М как расстояние, пройденное диффузионным фронтом, скорость Ум найдем с учетом (12) в следующем виде:
^3/2009_М|ВЕСТНИК
V. - £ - ('6)
Расчет скорости продвижения «фронта диффузии» (табл.1) показывает, что она остается на реальных временах диффузии весьма малой величиной. Это позволяет считать приповерхностный слой воды, насыщенной кислородом до С = Спр всего лишь пленкой (так называемая «пленочная» реаэрация воды).
Перенос кислорода из приповерхностного слоя в толщу турбулентного потока осуществляется механизмом турбулентного перемешивания и прежде всего за счет вертикальных пульсаций скорости V1. Как уже отмечалось выше, вертикальные пульсации скорости, направленные к поверхности потока, переносят в приповерхностный слой массы жидкости из глубоких слоев, обедненных кислородом, а противоположные по знаку пульсации переносят в толщу потока фрагменты приповерхностного слоя с концентрацией кислорода С = Спр!2. Предполагая знакопеременные пульсации скорости V1 симметричными, учитывая продольный размер турбулентных образований, которые по имеющимся данным [4] в среднем близок к 0,3к, можно при скорости потока и определить периодичность обновления поверхностного слоя: к
Т0 = 0,3- (17)
и
Так, для равнинного водотока при Н ~ 2м и и ~ 0,6 м/сек, Т0 = 1с
Данные, приведенные в табл.1 показывают, что при такой периодичности толщина при приповерхностного слоя, насыщенного кислородом до С = Спр!2 остается
весьма малой и составляет доли мм, при этом запас кислорода, поступивший в этот слой из атмосферы через единичную площадку, согласно (15) и (17) равен:
т
и
Спр4 2ВД =
^2^0 - О0,6БЖ- (18)
Этот запас кислорода в течение периода 70, когда направление пульсации V1 изменяется на противоположное (V1 направлена вниз) переносится в толщу потока и создает через единичную горизонтальную поверхность секундный турбулентный диффузионный поток равный:
спр4 2ед, /2Д" ГТТБй
3т = ^ = 6'66~"Т (19)
Считая, что турбулентный обмен захватывает всю глубину потока к и записывая в этом случае закон Фика для всего потока в виде:
3 = Б % (20)
к
Можем из соответствия равенств (19) и (20) получить выражение для коэффициента турбулентной диффузии Бт и выявить факторы течения, влияющие на величину этого коэффициента
вт ^ = С. 6,66 ^ (21)
т к к Из этого равенства находим:
Бт 6,66Бмик (22)
Выражение (22) получено в рамках одномерной схематизации турбулентного массообмена и является приближенным. Это выражение можно записать иначе:
= (23)
DM\ Du К '
M
Учитывая, что кинематическая вязкость воды v и коэффициент молекулярной диффузии имеют одинаковую размерность, а их безразмерное отношение называется числом Шмидта:
Sh =— (24)
DM
Можно записать, что: D - £ (25)
С учетом (24) выражение (23) можно записать в виде:
D1 = , 6,66Sh— , (26)
DM \ v К '
где = Re - число Рейнольдса для водного потока. v
Для молекулярного переноса кислорода в воде при DM = 2-10-5 см2/с и v=0,01 см2/с v
число Sh =-= 500 .
DM
С учетом этого полученное соотношение (26) между коэффициентами турбулентной и молекулярной диффузии для потока воды можно записать в виде:
= 57,7VRe (27)
D
Найденная зависимость коэффициента турбулентной диффузии от числа Рейнольдса физически оправдана и указывает на весьма существенное влияние процесса турбулентного перемешивания на кислородный режим водотоков, которое может быть определено с использованием полученной зависимости (27).
Литература
1. Кафаров В.В. Основы массопередачи. М. Высшая школа 1979, 438 с.
2. Праудсниц Дж.М., Шервуд Т.К. Свойства газов и жидкостей Л.: Химия, 1982, 692 с.
3. Родзиллер И.Д. Прогноз качества воды водоемов приемников сточных вод. М. Стройиздат 1984, 261 с.
4. Хинце И.О. Турбулентность М. Физматгиз. 1963, 680 с.
5. Яковлев C.B. Канализация М. Стройиздат 1975, 632 с.
Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»
