CC BY
39
Рустанов А.Р.1, Щипкова Н.Н.2
Фоссийский государственный университет туризма и сервиса, Институт сервиса, г. Москва (филиал)
2Оренбургский государственный университет E-mail: aligadzhi@yandex.ru, ningeom@pochtamt.ru
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С11
В работе рассматривается новый класс почти контактных метрических многообразий, обобщающий класс косимплектических многообразий. Получена полная классификация АС-многообразий класса С11 постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор голоморфной секционной кривизны.
Контактные и почти контактные структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их изучение именно как дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ С. Чже-ня [1], Дж. Грея [2], С. Сасаки [3].
Впервые классификация почти контактных метрических структур была приведена в работах: Д. Чинья и Дж. Марреро [4]; Д. Чинья и С. Гонзалез [5]; В.Ф. Кириченко [6]. В данной работе мы придерживаемся терминологии, принятой в работе [6].
В данной работе рассматриваются почти контактные метрические (коротко, АС-) многообразия класса С11 в классификации Чинья и Гонзалеза. Почти контактные метрические многообразия класса С11 характеризуются тождеством [5]:
V X (а)г,г)=-п(ху7?(а)(ФУ,Фг)1 (1)
где Х,УОХ(М). Поскольку
Vх (пХг,2)=< У,Vх (ф2 >= х (ф)у,2 > ,
тождество (1) запишется в виде
-< V х (ф)у , 2 >=-п(х )<^(Ф)ФУ, Фг >. Полученное равенство с учетом соотношения
< ФХ,ФУ >=< X,У >-п(хП(У) перепишем в виде
< Vх(ф)у,г >=п(х)<ф^(ф)фу,г >, х,у,ге х(м). Так как 7ОХ(М) произвольное векторное поле, то из последнего равенства получим:
Vх (ф)у = п(х)фо^(ф)фУ; х,У е х(м). (2) Пусть (М, х, Ь,Ф,§) - АС-многообразие класса С11. В тождестве (2) положим У=х, тогда Vх (ф; = о, х е х(м). (3)
Поскольку для АС-многообразий имеем Ф о V х (ф); = V х;, х е х (м), то согласно (3) получим, что
V х ; = о, х е х (м). (4)
В частности, из (3) следует, что V; (ф); = о . Значит, и шестой структурный тензор АС-структуры класса С11 [7] равен нулю, т. е.
о = ф о ^(ф); = о. (5)
Кроме того, из (3) следует, что V*;, (ф); = о, х е х(м). А значит, четвертый и пятый структурные тензоры АС-структуры класса С11 [7] равны нулю, т. е.
1) Е(х) = -2{о VФ2х (Ф; + Ф2 о Vфх (ф);}= о;
2) Р(х) = 1 { о Vф2{ (Ф)?-Ф2 о Vфх (Ф);}= о, х,У е х(м)(6)
А третий структурный тензор АС-структуры класса С11 [7] примет вид: п(х )=
= 1 {ф о^;(ф)ф2х +Ф2 о^(ф)&х} х,Уе х(мХ (7) Если в тождестве (2) положить Х=х, то V;(ф)У = Фо V;(ф)фу, Уе х(м). (8)
В частности,
^(Ф)ФУ = Фо^(ф)ф2У, Уе х(м). (9)
Отсюда п((ф)фу )=п(ф ° V; (ф)ф 2У )= о,
У е х (м ), т. е.
п((ф)фу )= о, У е х (м ). (10)
С учетом (9) и (10) третий структурный тензор АС-структуры класса С11 примет вид:
п(х)= 1Ф о V; (ф)х, х е х(м) (11)
Теперь заменим в тождестве (2) Х на ФХ, тогда
VфX(Ф)ФУ = о; х,Уе х(м). (12)
Таким образом, структурные тензоры АС-структуры класса С11 имеют вид:
1) в(х ,У )= о; 2) с(х ,У )= о; 3) Б(х )= 1Ф о У;(ф)Х; 4) Е (х )= о; 5) Р (х )= о; 6) О = о.
Таким образом, имеет место следующее: Предложение 1. Пусть 8=(Р,х,Ь^) -АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны:
(1) Б - АС-структура класса С11;
(2) В=С=Б0=Е=Р=С=0;
(3) Б - АС-32-структура.
Расписывая (2) на пространстве присоединенной С-структуры [6], получим следующее:
Предложение 2. На пространстве присоединенной С-структуры компоненты ковариан-тного дифференциала структурного оператора имеют вид:
1) Ф0,і = Фа,і = Фа . = Ф0,j = Фа =
’ ’ о,1 ^ Ь,с
= Фа л =Ф‘?с = Фа ? = 0;
Ь,С
' Ь,с
2) Dab = ВаЪ = -£±Ф^; 3) Daъ = ВаЪ = £±О“0.
Предложение 3. Пусть 8=(Р,х,Ь^) - АС-32-
структура на многообразии М. Тогда имеют место следующие соотношения:
1) Vфх (Ф)ФУ = о; 2) Vф2х (ф)ф2У = о;
3) V х (ф;= о; 4) V х ;= о.
Предложение 4. АС-32-структура является косимплектической структурой тогда и только тогда, когда ваЬ = ваЬ = о , т. е. V; (Ф)х = о.
Предложение 4 дает примеры АС-32-структур, пример 3-мерной АС-32-структуры дается в [5].
В силу вышеизложенного первая группа структурных уравнений АС-структуры класса Си на пространстве присоединенной С-структуры примет вид [6]:
1) Са = 0;
2) Саа = -9Ьа Л®" + ВаЬалаЬ
Ь "
3) Саа = 9а л аЬ + ВаЬа л а ,
(13)
Ь,0
, ВаЬ
V-!
Ф
Ь,0>
аЬ аЬ Ьа
В = ВаЬ, В =-В , ВаЬ = ~ВЬа •
Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений (13) дает:
1) йва +9^ лвЬ; = лас;
2) СВаЬ + ВсЬ9ас + ВасвС = ОаЬ0а-
3) СВаЬ - ВсЬ9а - Вас9Ь = -°аЬ0®’
(14)
где А[Ьс]= АЬа/ ] = о .
Дифференцируя внешним образом (14:1), получим:
л л _1_ л Ий па , \ahr\d лайдИ лай^И_ йА + АЬс иИ + АЬс иИ - АИс УЬ - АЬИ ие =
=лайи^И+, (15)
где {, лЬасйИ} - система функций, симметричная по любой паре верхних либо нижних индексов, служащая на пространстве присоединенной С-структуры компонентами ковариантного дифференциала тензора голоморфной секционной кривизны. При этом получим тождества:
1) лаИсВ''Г' = о; 2) Ааив№] = о. (16)
Тождество (15:1) назовем первым фундаментальным тождеством.
Для тензорных компонент формы римано-вой связности АС-структуры имеем следующие соотношения на пространстве присоединенной С-структуры [6]:
1) ва =:Екфа ак\ 2) вЪа = -^-1
’ Ъ 2 Ъ,к ’ Ъ 2 Ъ,к
3) 90а = ^0,а; 4) 90? = -^/-Тф 0,®; (17) 5) в° = -7^ 0а; 6) 90 ^л/-!ф0, а-Равенства (17) для АС-32-структуры при-
мут вид:
1) 9? =-ВаЬщ 2) ваъ =-ВаЬ®;
3) 90 =90 =ва = 90 = О-
.(18)
Дифференцируя внешним образом (18), получим:
1) ^9? = ВсЬ9са ла+ ВасвЬ Л а;
Ь с с
2) 9 = -ВсЬ9а Ла-Вас9Ь Ла;
3) ^90^ = d90 = ^90 = й?90 = 0.
(19)
Расписывая вторую группу структурных уравнений римановой связности [6]
С9) +9'к л91к =1 Д}кгак л а1.
(20)
где {)к;} - компоненты тензора Римана - Крис-тоффеля, на пространстве присоединенной С-структуры, получим:
1) Яа ? = ; 2) Д? ? =- £.ас
’ Ьссі ’ !?ссі
а остальные компоненты нулевые.
Ъd
Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве расслоения реперов вычисляются по формуле Sj =-Rjjk, которая на пространстве присоединенной G-структуры в силу
(21) принимает вид:
sab = Sa = , (22)
остальные компоненты нулевые. В частности, скалярная кривизна с вычисляется по формуле х = g% = 2Aab .
Почти контактное метрическое многообразие М называется многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с, если [8] VX е L ^ (R(X,ФХ)Х,ФХ ) = с\\х\\4, где с е с“ (м). Если к тому же с=со^1;, многообразие называется многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.
На пространстве присоединенной G-структуры это равенство запишется в виде:
4Rabcd X“ ХЬХСХА = -4cgabgci X X^ .
С учетом вида матриц структурного оператора и метрического тензора последнее равенство можно переписать в виде
\R-abcd + c45d JXa XbXcXd = 0 . Поляризация этого соотношения приводит нас к следующему результату.
Предложение 5 [9]. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда
R(a(be)d) = -с5bacd , (23)
где 8bacd =8S8dc -sasi .
Если М - АС-многообразие класса С11, то с учетом (21)и(23)получим
Теорема 1. АС-многообразие класса С11 является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры
<с =-2§bacd , (24)
где Sbacd =sasd -sasd.
Продифференцируем с учетом (15) соотношение (24): ——sbcd dc = Af^ + Abch&h. Пусть
dc = chrnh + chrnh. Сравнивая с предыдущим соотношением, с учетом линейной независимости базисных форм получаем, что sbacdch = 2Aadh. Поскольку Aadh = Aadc, имеем отсюда, что §badch = <5b'hdcc. Свертывая это равенство сначала
по индексам с и d, а затем по индексам а и b, получаем, что (2 —l)h = 0, а значит, ch = 0, ch = ch = 0. Следовательно, dc = 0, т. е. c=const.
Таким образом, доказана следующая теорема, являющаяся контактным аналогом классической теоремы Шура для АС-многообразий класса С11.
Теорема 2. Точечное постоянство Ф-голо-морфной секционной кривизны АС-многообразий класса С11 размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его Ф-голо-морфной секционной кривизны.
Согласно замечанию 5 [9] любое трехмерное почти контактное метрическое многообразие является многообразием точечно постоянной, но, вообще говоря, не глобально постоянной Ф-голоморфной кривизны.
Пусть М - АС-многообразие класса С11 постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Первое фундаментальное тождество с учетом (24) запишется в виде 2 sbchBhd = 2 %ывы. Свернем это равенство по индексам а и b, тогда ^(n+l)Bcd = 2 (и+l)Bdc. Так как Bab =—Bba, то с(п + l)Bab = 0. Поскольку nil, то, либо с=0, либо Bab = 0. Во втором случае согласно предложению 4 структура является косимплектичес-кой.
Как известно, косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [10], и с учетом известных классификаций комплексных пространственных форм [11] получаем полную классификацию АС-многообразий класса С11 ненулевой постоянной Ф-голо-морфной секционной кривизны.
Теорема 3. АС-многообразие класса С11 ненулевой постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий:
1) произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую;
2) произведению комплексного проективного пространства на вещественную прямую;
3) произведению комплексного гиперболического пространства на вещественную прямую;
4) произведению двумерного многообразия на вещественную прямую.
12.05.2010
Список использованной литературы:
1. Chern S.S. Pseudogroupes continues infinis // Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. 1953. V. 52. P. 119-136.
2. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Of Math. (2). 1959. V. 69. №2. P. 421-450.
3. Sasa^ki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I // Tohoku Math. J. (2). 1960. V. 12. №3. P. 459-476.
4. Chinea D., Marrero J.C. Classification of almost contact metric structures //Rev. roum de math. pures et appl., 37, №3 (1992), 199-211.
5. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P. 15-36.
6. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М., МПГУ, 2003. - 495 с.
7. Кириченко В.Ф., Дондукова Н.Н. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. Т. 80, вып. 2, 2006, С. 209-219.
8. Ishihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form // Kodai Math.J., 1979, v. 2, p. 171-182.
9. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник, т. 193, №8, 71-100.
10. Kiritchenko V.F. Sur 1е адатйпе des variJtds approximativement cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris. St’r. I. Math. 1982.
V. 295. P. 673-676. '
11. Kirichenko V.F. Genera^d quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II // Geom. Dedicata. 1994. V. 52. P. 53-85.
Сведения об авторах:
Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры естественно-научных дисциплин Российского государственного университета туризма и сервиса, Институт сервиса (филиал), г. Москва,
кандидат физико-математических наук г. Москва, пр-т Вернадского, дом 88, корп. 1, ком. 1204, тел. 89262460821, e-mail: aligadzhi@yandex.ru.
Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и топологии Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 2534, тел. (3532)372532, e-mail: ningeom@pochtamt.ru.
Rustanov A.R., Shchipkova N.N.
The differential geometry of the almost contact metric varieties of the class S11. The work examined the new class of almost contact metric varieties, the generalizing class of cosimplect varieties. The authors got the complete classification of the AS- varieties of the class S11 of a constant F- holomorphic sectional curvature. The key words: almost contact metric variety, cosimplect variety, the tensor of holomorphic sectional curvature.
Bibliography:
1. Chern S.S. Pseudogroupes continues infinis // Colloques Internat. Centre Nat. Rech.Sci. 1953. V.52. P. 119-136.
2. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Of Math. (2). 1959. V.69. №2. P. 421-450.
3. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I / / Tohoku Math. J. (2). 1960. V. 12. №3. P 459-476.
4. Chinea D., Marrero J.C. Classification of almost contact metric structures.//Rev. roum de math. pures et appl., 37, №3 (1992), 199-211.
5. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures.// Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P 15-36.
6. Kirichenko V. F. Differential geometric structures on manifolds. - M., MPSU, 2003. - 495 p.
7. Kirichenko V. F., Dondukova N. N.. Contact geodesic transformations of almost contact metric structures.// Mathematical notes. V.80, is.2, 2006, 209-219 p.
8. Ishihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form //Kodai Math.J., 1979, v.2, p. 171-182.
9. Kirichenko V. F., Rustanov A. R. Differential geometry of quasi-Sasaki manifolds.// Mathematical collection, v. 193, №8, 71-100 p.
10. Kiritchenko V.F. Sur le gwomntrie des variwtws approximativement cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris. Swr. I. Math. 1982. V.295. P. 673-676.
11. Kirichenko V.F. Generalizsd quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. II // Geom. Dedicata. 1994. V. 52. P. 53-85.
