CC BY
15
YAK 378.016 ББК 74.480.26
н.и. ПОПОВ
N.I. POPOV
АИАГНОСТИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ПРИМЕРОВ В СИСТЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
DIAGNOSTIC AND TECHNOLOGICAL APPROACH FOR EMPHASIZING KEY EXAMPLES IN SYSTEMS OF MATHEMATICAL PROBLEMS
Работа посвящена анализу использования диагностико-технологического подхода для определения ключевых заданий в системах математических задач при обучении студентов. Такие задания имеют существенное пересечение с другими задачами и упражнениями, поэтому, если при повторении провести теоретический разбор соответствующего им изучаемого материала и практическое закрепление умений и навыков их решения, то это должно привести к улучшению результатов выполнения не только ключевых упражнений, но и тех заданий, с которыми они имеют сильные связи.
The work is devoted to the analysis of the use of diagnostic and technological approach for determining key tasks in mathematical problems while teaching students. Such tasks have a significant intersection with other tasks and exercises, so if at revision to organize a theoretical analysis of the relevant study material and practical solidification of skills and solutions this should lead to better results not only in key exercises, but also those tasks they are strongly connected with.
Ключевые слова: диагностико-технологический подход, ключевые примеры, вну-трипредметные связи.
Key words: diagnostic and technological approach, key examples, intrasubject relations.
Проблемам разработки и анализа технологий, методик и моделей обучения в вузе посвящено немало трудов различных ученых [см., напр., 1-3, 5, 6]. Для повышения качества профессиональной подготовки студентов по математическим дисциплинам необходим комплексный подход, в котором гармонично сочетались бы информационно-коммуникационные технологии, теории и различные модели обучения.
Процесс выполнения математического задания или решения профессиональной задачи предполагает осуществление некоторой последовательности операций, каждая из которых соответствует определенному объему необходимых для этого знаний. При этом последовательность выполнения действий определяется конкретным алгоритмом, пошагово разбивающим математические примеры и упражнения на элементарные составляющие. В частности, в работе [3] отмечено, что такое разбиение задач на простейшие составляющие при подготовке контрольных работ по математике позволяет учесть требования учебной программы и поставленные дидактические цели, а также на промежуточных этапах профессиональной подготовки студентов своевременно обнаружить пробелы в знаниях у обучаемых по математическим темам.
В своей педагогической работе со студентами направления подготовки «Математика» ФГБОУ ВО «Марийский государственный университет» в 2016 году для повышения качества знаний обучаемых автором была использована методика определения ключевых заданий и упражнений в системах математических задач, опирающаяся на диагностико-технологический подход с использованием так называемой «диаграммы сильных связей» [4]. Студентам второго курса направления подготовки «Математика» физико-математического факультета была предложена контрольная работа по теме «Числовые ряды». Ниже приведен один из вариантов, содержащий пять задач.
Вариант контрольной работы
1. Показать, что ряд сходится и найти его сумму:
^ 1
2. Исследовать сходимость рядов:
Ч11 ГпУ 1 ГпУ 1 (пУ 1
а)1ГЫ -¥+Ы
( 1 у
е" -1
3. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
12+1 л/Я
11=1
4. Исследовать сходимость ряда:
да
I
11= 1
1п1 - 1п| sin1
п I п
После выполнения студентами контрольной работы был проведен тщательный анализ полученных результатов, при этом ключевым фактором являлась степень тесноты связей между упражнениями проверочной работы, и использовался ^критерий для определения достоверности этих связей [4]. Каждое задание, выполненное студентами, оценивалось по пятибалльной шкале. Кроме того, была оценена взаимосвязь всех задач друг с другом, вычислены коэффициенты корреляции и значения ^критерия (табл. 1).
Таблица 1 Значения ^критерия
1 2 3 4 5
1 ^н 1.21 1.21 0.39 0.73
2 ■ 0.72 0.50 0.92
3 ■ 0.50 0.92
4 ■ 2.15
5 ■
Матрица значений ^критерия, полученная на основе приведенного варианта контрольной работы, симметрична относительно главной диагонали (выделенной прямоугольниками), поэтому таблица 1 заполнена её элементами лишь наполовину. Следует подчеркнуть, что значения t > 1,64 позволяют достичь достоверности результата при исследовании не менее чем на 90%, при этом с помощью элементов полученной матрицы составляется круговая диаграмма сильных связей между заданиями контрольной работы (рис. 1).
Рис. 1. Диаграмма сильных связей
При анализе диаграммы особое внимание необходимо обратить на задачи, имеющие наибольшее количество связей с другими упражнениями контрольной работы и невысокий средний балл выполнения студентами. Такие задачи в определенном смысле являются резервными. Как показали многочисленные эксперименты [3-4], если при повторении провести теоретический разбор соответствующего им изучаемого материала и практическое закрепление умений и навыков их решения, то это должно привести к улучшению результатов выполнения непосредственно этих примеров и тех заданий, с которыми они имеют сильные связи.
Цель данного исследования заключалась в проверке эффективности использования рассматриваемого диагностико-технологического подхода в тех случаях, когда система математических задач содержит небольшое количество заданий (5) и некоторое множество примеров (например, 16). Ранее в различных публикациях автора [3, 4] отражены результаты анализа математических систем и вариантов контрольных работ, содержащих 6-10 задач или 11-20 заданий.
В рассматриваемом случае оказалось, что только задачи № 5 и № 4 имеют сильную связь (на рис. 1 выделенную «жирной» линией) и при этом средний балл выполнения студентами ниже четырех по пятибалльной шкале. Наличие слабых связей (на рис. 1 отмеченных «пунктирными» линиями) между всеми заданиями для приведенного варианта контрольной работы естественно, поскольку задачи были предложены из одного раздела «Числовые ряды». Примеры № 5 и № 4 в нашем случае оказались значимыми, то есть методика выделения ключевых примеров оказалась всё-таки действенной и для небольшой системы математических задач. Закрепление навыков и умений в решении ключевых примеров должно повлиять не только на повторный результат их выполнения, но и привести к существенному улучшению результатов решения задач № 1, 2, 3. Конечно, следует отметить, при рассмотрении небольшой системы математических задач опытному педагогу-предметнику несложно определить наиболее значимые задания без использования диагностико-технологического подхода.
Применение методики выделения ключевых примеров в системах задач при изучении курса математического анализа студентами направления подготовки «Математика» ФГБОУ ВО «Марийский государственный университет» позволило в 2016 году повысить средний балл выполнения контрольной работы по теме «Числовые ряды» с 3,28 до 4,02 балла.
Проиллюстрируем использование диагностико-технологического подхода для определения ключевых заданий в системах математических задач при обучении школьников в очно-заочной физико-математической школе (ОЗФМШ) при ФГБОУ ВО «Марийский государственный университет» в 2015-2016 годах. Учащимся 11 класса ОЗФМШ были предложены варианты контрольных заданий по тригонометрии; один из них, содержащий шестнадцать задач, приведен ниже.
Вариант 08 контрольных заданий по тригонометрии
Часть 1
1. Сравните числа: sin 1 и sin 2.
2. На единичной окружности укажите точку, соответствующую углу а .
если а = arcctg(- 2) .
19л-
3. Упростите выражение: cos|--Ya \ ■
4. Найдите множество значений функций:
2. ™ , , .. С-у К , „ ____Л
ч ¡к 2(2к \ 2 9 3y¡2 + smx- cosx
а) у=--cos —+х\ + —; б) у=— arceos
е V 3 J 5 п
V 4 У
5. Вычислите: arcí^(sin630°).
Часть 2
6. При условии, что sin ОС — COS ОС = 0.5 , найдите значение выражения:
• 3 3
sin « + cos а cos 2 а
7. Упростите выражение:
, sin2 ос (л ч 13M8°-cos2162°
а) -7-T + cos(4/r-a); б) —--=--
l-sin(2,5/r + a) l-2sin 63°
8. Вычислите:
а) 3-sin^arccos(-l)-arceos jj ; б) co^^-larctg^j-
9. Решите уравнение: sin 2х+1 = sin2 Х+ 6ctgx .
Часть 3
10. Решите неравенство: 4cos2 Х+ COS2 2х<3 ■
11. Решите систему уравнений:
7Г
х-у=-
sin XCOS у= —.
4
3
12. Решите уравнения:
a, log +
б) ctg1 у+ 2 ctgy{sin х+ cos х)+ 2 = 0 .
Использование ранее определенной матрицы значений ^критерия, составленной на основе приведенного варианта контрольных заданий по тригонометрии, позволило построить круговую диаграмму сильных связей между задачами (рис. 2).
Рис. 2. Диаграмма сильных связей между задачами
На приведенной диаграмме (рис. 2) упражнения, выполненные учащимися со средним баллом, равным 4 и выше по пятибалльной шкале, обозначены кружочками с пунктирной границей (для остальных заданий средний балл оказался меньше 4). Задачи, имеющие много связей (примеры 3 и 5 имеют по 7 связей, задание 9 имеет 6 связей, упражнения 6 и 7 - по 5 связей, задачи 8, 11 и 16 - по 4 связи) выделены кружочками с темным фоном. Примеры 3, 5, 7, 9, 11, 16 с наибольшим количеством связей можно назвать ключевыми для предложенного варианта контрольных заданий по тригонометрии [4].
Выделение с помощью диагностико-технологического подхода ключевых примеров и упражнений в системах математических задач значимо. В первую очередь, эффект от такого подхода ощутим, когда система содержит большое количество заданий, в случае же математических систем, содержащих 5-6 задач, также можно отметить положительные результаты. Практическая наработка ключевых примеров и заданий позволяет качественно улучшить результаты обучения и, в конечном счете, повысить уровень знаний студентов.
Литература
1. Загвязинский, В.И. Теория обучения и воспитания [Текст] : учебник для бакалавров / В.И. Загвязинский, И.Н. Емельянова. - М. : Юрайт, 2012. - 314 с.
2. Макарова, Л.Н. Критическое мышление и познавательные стили студентов [Текст] / Л.Н. Макарова, И.А. Шаршов, А.В. Королева // Вестник Тамбов. ун-та. Сер. Гуманитарные науки. - 2015. - № 7 (147). - С. 13-20.
3. Попов, Н.И. Об эффективности использования модели обучающей технологии по тригонометрии при обучении студентов-математиков [Текст] / Н.И. Попов // Образование и наука. - 2013. - № 9. - С. 138-153.
4. Попов, Н.И. О выявлении внутрипредметных связей при изучении тригонометрии [Текст] / Н.И. Попов, А.Н. Марасанов // Наука и школа. - 2009. -№ 5. - С. 37-39.
5. Саранцев, Г.И. Гармонизация профессиональной подготовки бакалавра по направлению «Педагогическое образование» [Текст] / Г.И. Саранцев // Интеграция образования. - 2016. - Т. 20. - № 2 (83). - С. 211-219.
6. Kedraka, K. University Pedagogy: A New Culture is Emerging in Greek Higher Education [Text] / K. Kedraka, G. Rotidi. - International Journal of Higher Education. - 2017. - V 6 (3). - 147 p.
