CC BY
41
Горбенко Ю.М., Яблокова В.С.
ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
При неточных измерениях решение задачи диагностики электрических цепей сводится к решению переопределенной системе уравнений, которое может быть найдено путем псевдообращения. Однако оно может оказаться вне априорных ограничений, сформированных по детерминированным оценкам неточных измерений. В таких случаях требуется управление решением переопределенной несовместной системы.
Рассмотрим такое управление, реализованное с помощью множителей Лагранжа. Пусть А • X = F - переопределенная несовместная система линейных уравнений. Потребуем, чтобы ее решение относительно ряда переменных X¡ лежало внутри симплекса П , или, что то же самое,
каждая из переменных X¡ (i = 1,...ш) находилась в границах заданных интервалов, т.е. пусть
х- = d¡ , Xia < d- < Хф ( xia,x,p - нижняя и верхняя граница переменной Xj ). Последнее
требование запишем в матричной форме Р * X = D, где Р = 1, 0.
В приведенных уравнениях матрицы имеют следующие размеры: А[ш,п], X[n,l], F[m,l], P[v,n], D[v,l] , v < n ( n - количество переменных, V - количество измеренных переменных,
формирующих симплекс Q, Ш- количество уравнений переопределенной системы).
При такой постановке задача сводится к решению переопределенной системы уравнений А • X = F при совместных линейных ограничениях Р ■ X = D. Рассмотрим функционал
S = (F~ А.-Х/ -(F -А- X) + (Хт • Р1 -D})-L d§
и найдем решение уравнения — = 0 при ограничениях Р • X — D, или
dx
-2-AT -F + 2-A1 -А-Х + Рг= 0, Р-Х = 0,
где L - матрица столбец множителей Лагранжа размера [vj]. Из этих уравнений можно получить
Х^(АТ ■А)~1 •Ат • F — -^(Ат ■ Ау] • Р1 -Ь = Х-^{А7 •А)"' - Рт L,
D = P-X = P-X-~P-(AT -А)'1 -Рг L. 2
Поскольку матрица (AJ ■АГ положительно определена (как обратная к положительно
j _I j
определенной матрице), то матрица Р- (А -А)"1 -Р1 также положительно определена и, следовательно, не вырождена. Поэтому
~^L = [P-{AT •А)-1 Рт]~1 •(.D-PX).
Получаем
Х = Х + (АГ ■АУ1 Р1 \Р (А1 ■АГ' -PTY -(D-PX). Таким образом, с помощью множителей Лагранжа можно управлять решением задачи диагностики при неточных измерениях.
