CC BY
37
2016
Математика и механика
№ 2(40)
МАТЕМАТИКА
УДК 519.711.3, 514.181.22 Б01 10.17223/19988621/40/1
М.С. Бухтяк
ДЕФЕКТ ОТОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ ДЕФОРМИРОВАННОГО ЛЕПЕСТКА СЕТЕПОЛОТНА
Как и в предшествующих публикациях, автор исследует раскрой сетеполот-на для формирования осесимметричного параболического рефлектора, отождествляя раскрой с взаимно-однозначным отображением части плоскости на часть параболоида вращения. Введенное автором ранее понятие дефекта отображения применяется для сетополотна, ограниченного соседними параболическими ребрами жесткости и подверженного так называемому матрасному эффекту.
Ключевые слова: параболический рефлектор, сетеполотно, отображение поверхностей, дефект отображения поверхности на поверхность, деформация сетеполотна.
Данная работа продолжает построение геометрической модели раскроя сетеполотна для осесимметричного рефлектора, начатое в [1, 2]. В основе модели -вычисление искажений локальных длин при отображении части плоскости на часть параболоида вращения. Аппарат исследования, предложенный в [1, 2], дополнен инвариантом отображения [3]. Там же указанный инвариант применен для анализа раскроя сетеполотна, но без учета так называемого матрасного эффекта [4, 5]. Данный пробел восполнен в предлагаемой статье.
1. Модель деформированного лепестка
Модель лепестка, деформированного под действием так называемого матрасного эффекта ( с учетом ортотропных свойств сетеполотна), построена в [4], однако недостаток места привел к неполному её описанию. Отметим ключевые данные о модели и восполним пробелы. Попутно уточним одну из оценок.
Конструктивные параметры рефлектора: ^ - фокусное расстояние параболоида, Я - радиус вырезающего цилиндра, п - число секторов, на которые рефлектор разделен параболическими ребрами. Лепесток сетеполотна симметричен относительно плоскости, проведенной через ось I параболоида и линию 3 наибольшего прогиба лепестка (гребневая линия). Модель основана на присоединении к гребневой линии парабол, пересекающих параболические ребра таким образом, чтобы вершина параболы находилась на гребневой линии, главные нормали в точке пересечения этих линий совпадали, а соприкасающиеся плоскости были ортогональны.
Пусть равновесное состояние нагруженного сетеполотна достигается на гребневой линии при значении кривизны этой линии в точке Т равной &окр и значении
кривизны параболы в той же точке равной &рад. Ортотропность сетеполотна
моделируется параметром
£„„„ Ь =-
^рад
Совместив начало координат О с вершиной параболоида, совместив ось 02 с I и располагая ось 02 в плоскости, содержащей линию обнаруживаем, что вектор-функция, годограф которой есть гребневая линия (при сохранении главных членов разложения в ряд Маклорена), имеет вид
г = {г,о,/()} , 0 < г < Я , (1.1)
где / (г) = Ыг2 + N4 (1.2)
К 2 +1 к2ь (2 +1)3 и ы =---—, N =-*--- . (1.3)
4Г (1 - К 2Ь ) 16^з (6К 2Ь -1)(1 - К2Ь )3
Здесь К = tg —.
п
В [4] приведены условия надежности модели. Заметим, что модель сохраняет надежность и при менее стеснительных ограничениях. Именно, вводя в рассмотрение величины
М = 4ГЫ -1, N = (бК 2Ь -1) , обнаруживаем, что условия (2.4) в [4] можно заменить более слабым требованием:
(ы > о)&(т < о)&(м > о) & (4 тг3 + 4ыг -1 > о).
Функция (1.2) с коэффициентами (1.3) найдена в [4] путем приближенного решения дифференциального уравнения (2.5) в [4] с надлежащими начальными условиями. Указанное уравнение перепишем в виде
^^ -Ф(/(г) ) = о. (1.4)
Сг 2
Описание оператора Ф(/(г)) ясно из [4], а также, что величины
с2 / (г)
сг2 ,
Ф( / (г)) имеют одинаковую размерность. Следовательно, значение левой части равенства при подстановке /(г) из (1.2) имеет инвариантный смысл, если нет изменения масштабирования по координатным осям. Тем не менее имеет смысл оценить относительное значение разности (1.4), поскольку видно масштабное изменение значения указанной разности при подстановке (1.2) в зависимости от конструктивных параметров. Имея в виду цели практики, укажем, что для величин, имеющих размерность длины, числовые значения указаны в метрах.
В качестве эталона приняты следующие значения конструктивных параметров: = 8, Я0 = 6, ¿0 = 1, {п1,п2,...,п9} = {12,14,16,20,24,26,28,32,36} . (1.5) Соответственно
п „ К2 + 1 дг К2¿0 ((2 +1)3
К = 1ё-, м, =, ыг =-*->--
4^0 (1 - Кг2¿0 У ' 16^03 (6Кг2¿0 - 1)( - К? )3
£ (г) = и/ + м/, г = 1,...,9.
Невязку решения дифференциального уравнения (1.4) для различных значений
г оценим безразмерным выражением
£«))
в, (Г)=- Л
л2 £ «)
Ж 2
Среднее квадратичное значение (СКО) невязки
~0
Вычислив требуемые интегралы, получаем табл. 1 значений СКО невязки.
Таблица 1
Значения СКО невязки решения уравнения (1.4) для различных п
г пг Ь
1 12 0,02937
2 14 0,01880
3 16 0,01444
4 20 0,01077
5 24 0,00924
6 26 0,00878
7 28 0,00843
8 32 0,00795
9 36 0,00764
Автор склонен полагать решение дифференциального уравнения (1.4) в виде (1.2) удовлетворительным. Функции, с которыми мы будем иметь дело, содержат (кроме прочего) величины М и N . Ввиду чрезмерной громоздкости указанных функций, возникает необходимость их аппроксимировать (скажем, разложением в отрезок ряда Маклорена). В этой связи интересно выяснить, как ведут себя М и N при различных значениях конструктивных параметров. Ответ на этот вопрос содержится в рис. 1 и рис. 2. Разумеется, полученная информация не доказывает целесообразность применения разложений наших функций по М и N, но обосновывает надежду на успех. Полученные аппроксимации будут проверены на предмет близости к приближаемым функциям. Ясно, что порядок разложения по степеням М следует указывать большим, нежели порядок разложения по N.
Рис. 1. Зависимость Ы от Г и п при Ь е {о.6, о,7, о.8, о.9,1.о, 1.1,1.2,1.3,1.4}
N
о.ооо4 о.ооо2
Рис. 2. Зависимость N от Г и п при Ь е{о.6, о,7,о.8,о.9,1.о,1.1,1.2,1.3,1.4} (очередность снизу вверх)
2. Основная функция и дефект отображения
Основная функция, сопоставляемая паре поверхностей, введена в [3] в качестве меры отличия отображения одной поверхности на другую от изометрического отображения. В основе конструкции - две поверхности Е1 и Е2, отнесенные к
криволинейным координатам и, V. Именно,
: Я = г1 (и, V) е С1, 22: Я = г2 (и, V)е С1, (и, V)е Б с К2.
Из соображений технической природы предпочтительно говорить не о соответствии указанных поверхностей, а об отображении одной из них на другую:
ф1: Е1 (2.1)
Первые квадратичные формы суть дифференциальные формы
йц2 = Е1 (и,v)du2 + 2— (и,v)dudv + G1 (и,v)dv2 ,
йц^ = Е2(и,v)du2 + 2—2(и,v)dudv + 02(и,v)dv2 . Для отображения поверхности Е2 на поверхность Е1 безразмерная характеристика отклонения отображения от изометрического определена основной функцией
[3]
Л(и, v) =
^ Е2(и, v)G2(u, v) - -2(и, v)2 ^ Е (и, v)G1 (и, v) - — (и, v)2
2 +
- Е2 (и, v)G1(u, v) - Е(и, v)G2 (и, v) + 2 —2 (и, v) -1 (и, v)
Е1(и, v)G1(u, v) - — (и, v) Дефект К (/) отображения (2.1) определен в [3] соотношением
E,G 2 - —2 dudv
К (/) ± (Б)-
^2
Для гребневой линии (1.1) элемент длины дуги имеет вид
+ 4М 2г2 + 16Мг4 Ж +16 Ж 2г6
(2.2)
Функцию (2.2) аппроксимируем полиномом
1 + 8Мг4N + 2М2г2 .
(2.3)
Относительная погрешность Q аппроксимации (2.3) для различных значений п
из (1.5) представлена на рис. 3.
Есть основания считать аппроксимацию приемлемой. Длина дуги гребневой линии соответственно оценивается функцией
БЬ = г + -Мг5 N + -м2 г3.
Как предложено в [4], деформированный благодаря «матрасному эффекту» лепесток Е2 задается вектор-функцией
Я2 =
г+-
и2 ь// '
и, /--
и 2 Ь/'
'('+(/ ) )2 2 (1+(/ )2)
(2.4)
и / определена в (1.2).
е
0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005
Рис. 3. Относительная погрешность аппроксимации (2.3) для значений п1,...,п9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Таким образом,
*2 =
г +-
и 21 (2 М +12 N12 ) (2 Мг + 4 N13)
2 (1 + 4 М2 г2 +16 Мг4 N +16 N2 г6)
и 2 £ (2 ММ +12 № 2 )
, и,
Мг2 + N4
2 (1 + 4 М2 г2 +16 Мг4 N +16 N2 г6)
(2.5)
0 < г < я.
Для Я2(и, V) строится полиномиальное приближение (по аргументу N порядок разложения в ряд полагаем равным 8, а по аргументу М равным 16).
Плоский кусок сетеполотна Е1, отображаемый на Е2, зададим следующей вектор-функцией:
я1 = и, 0} = {г+5 Мгъ N+3 М1 г5, и, 0
0 < г < я, - Кг < и < Кг. (2.6)
Пара вектор-функций ^(и,V), Я2(и,V) определяет отображение (2.1). Ясно, что прямые, соединяющие соответствующие точки двух определенных выше поверхностей, параллельны плоскости хОг, а сферическое изображение конгруэнции указанных прямых [6, с. 19] есть линия. Таким образом, конгруэнция - цилиндрическая [6]. Представление о соответствии наших поверхностей получим, соединив прямолинейными отрезками их соответствующие точки. Часть указанной конструкции приведена на рис. 4.
Вычислим дефект этого отображения. Следует иметь в виду, что исследуемое здесь отображение не есть результат решения оптимизационной задачи. Практически наверняка существует отображение, реализующее меньшее значение дефек-
Е
та. Таким образом, речь идет о верхней оценке дефекта. Уточнение значения верхней оценки (тем более - отыскание точной верхней границы) представляется весьма сложной задачей.
Рис. 4. Фрагмент соответствия поверхностей Е1 и Е2
Вычисление основной функции для Я2 весьма затруднено. Применим для неё полиномиальное приближение. По аргументу N порядок разложения в ряд полагаем равным 6, а по аргументу M равным 12. Примем для аппроксимирующей вектор-функции символику
Щ = {Я у, 7} . (2.7)
Тогда, в частности,
г = t - 2Ltu 2 ax ,
где
ax = -М2 + 8t2М4 - 48^М6 + 256^М8 - 1280t8М10 - т4N2 + 384^N4 --24576^4М^5 - 8t2MN + 96t4М3N + 384t6N2М2 - 768t6М5N - 4800t8N2М4 + +5120t8М7N + 640t8MN3 + 43008t10N2И6 - 15360^М3N3 - 322560^2N2И8 --26880^2N4М2 +172032^2NM11 + 200704^2М5N3 + 2162688t14^М10 --3148873728t22N5М9 + 29771169792t24N5М11 + 573440^4N4М4 --7741440^6N4М6 + 16220160t16M9N3 + 1032192^6М3N5 - 119275520t18^М11 --20643840t18N5М5 + 81100800^8N4M8 -721616896t20N4M10 + +2854748Ш20М7N5 - 1966080^4М7N3 -30720^°М9N,
.У = и ,
7 = -и 2LM + (М + 8и 2LM3 - 6и 2LN) t2 +
+
(-48и 2 LM5 + N + 80 Ш 2 LM 2 )4 + 32и 2 Lt6Ъz
причем
Ъ2 = -21NM4 + 4992N6М10 - 8320t6М7N2 + 4160^N3М4 --3Ш6М¥4 - 4012М9 + 192t4М11 + 6t2N3 -144^ N5 + 7М¥2 --108t2М3 N2 - 340480t12 N5М4 + 57600^М9N2 + +1056ЛМ5N2 - 152320^М5N4 - 264t4^М2 - 880t4NM8 + +13056t1°N5М2 + 9600t8М3N4 - 44800t8N3М6 + 1751040^2М7N4 +
+5419008г14N5М6 - 65286144г16N5М8 - 16558080г14N4М9 + +137166848г16 N 4М11 - 365568г10 N 2М11 - 2996224г12 N 3М10 + +656015360г18 N5 М10 + 144г2 NM6 + 391680г10 N3 М 8 + 8М 7. На рис. 5 представлены графики основной функции для различных значений числа лепестков. График точного представления основной функции - на рис. 6.
Рис. 5. Относительная погрешность аппроксимации (2.7) - модуль разности вектор-функций для значений П1,..., П9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Рис.6. Точные значения основной функции для значений П1,..., П9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Для основной функции также строится полиномиальное приближение. О его качестве свидетельствует рис. 7.
Рис. 7. Абсолютная погрешность аппроксимации основной функции для значений п1,...,п9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Аналогично (рис. 8) строится полиномиальное приближение для элемента площади деформированного лепестка.
Рис. 8. Относительная погрешность аппроксимации элемента площади деформированного лепестка для значений п1,...,п9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Построенные аппроксимации позволяют вычислить дефект отображения для различных значений параметра n (число лепестков). Вычисления проведены для значений F = F0 = 8, R = R0 = 6, L = L0 = 1. Алгоритм, программированный в среде Maple, позволяет провести вычисления для любых допустимых значений указанных конструктивных параметров. Стоит отметить, что уровень ресурсоемкое™ программы определяется двумя параметрами: константой Digits, задающей разрядность обрабатываемых чисел, и порядком m0 разложения функций в степенной ряд. Начиная со значения Digits=12, дальнейшее увеличение значения этой константы не сказывается на результате (хотя растет продолжительность вычислений). В то же время, при m0 > 10 требуются слишком большие ресурсы компьютера. Результат вычислений представлен в табл. 2.
Таблица 2
Дефект отображения для различных значений числа лепестков при F = 8, R = 6, L = 1
Число лепестков Дефект отображения
12 0,000015
14 0.8662 -10-5
16 0.6117-10-5
20 0.5018-10-5
24 0.5281 -10-5
26 0.5501 -10-5
28 0.5720 -10-5
32 0.6113 -10-5
36 0.6431 -10-5
3. Второе отображение
Здесь мы строим отображение
Ф2 : ^ ,
отличающееся от (2.1) заданием иной вектор-функции, годограф которой есть кусок плоскости. Оставим неизменной первую компоненту вектор-функции (2.6), а в качестве второй компоненты примем длину 5 дуги V-линии деформированного лепестка (2.5). Заметим, что
0
u2L2 (2M +12Nt2 ) (2Mt + 4Nt3) u2L2 (2M +12Nt2 )
^ (1 + 4М2г2 + 16Мг4N +16N2 г6 )4 (1 + 4М2г2 + 16Мг4N +16N2г6 )4
Применяя полиномиальное приближение, приходим к оценке искомой величины в виде
5 = и + 8м3Ь2Мг2N + 2и3¿2М2 . (3.1)
3
График относительной погрешности аппроксимации (3.1) представлен на рис. 9.
Теперь плоскую область, отображаемую на деформированный лепесток, зададим вектор-функцией
я = {г+8мг5 N+2мУ, и+8u3L2мt2N+— и3L2 м 2,о}, о < г < я, - кг < и < кг.
1 I 5 3 3 I
Рис. 9. Относительная погрешность аппроксимации (3.1) для значений п1,...,п9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Конгруэнция прямых, соединяющих соответствующие точки, теперь не цилиндрическая [6]. Сферическое изображение этой конгруэнции для значений конструктивных параметров (1.5) имеет вид (рис. 10):
Рис. 10. Сферическое изображение конгруэнции лучей, соединяющих соответствующие точки
Полиномиальное приближение основной функции здесь не приводим. Отметим, что относительная погрешность аппроксимации описывается графиком (рис. 11).
Рис. 11. Абсолютная погрешность аппроксимации основной функции для значений п1,...,п9 из (1.5) (очередность сверху вниз)
Мы не приводим данные о точности аппроксимации прочих функций. Ограничимся констатацией того факта, что точность не хуже, чем при рассмотрении первого отображения (табл. 3).
Таблица 3
Дефект отображения для различных значений числа лепестков при ^=8, Я=6, Ь=\
Число лепестков Дефект отображения
12 0.7466 -10-5
14 0.7755 -10-5
16 0.7710 -10-5
20 0.7676 -10-5
24 0.7707 -10-5
26 0.7728 -10-5
28 0.7748 -10-5
32 0.7785 -10-5
36 0.7814 -10-5
Сведем в одну таблицу данные о дефекте отображения для примеров, приведенных в [3], и примеров, рассмотренных здесь (при Г = 8, Я = 6, Ь = 1) (табл. 4).
Таблица 4
Дефект отображения для различных схем раскроя сетеполотна числа лепестков при Г = 8, Я = 6, Ь = 1
Число лепестков Выкраивание плоским листом Выкраивание лепестком с закругленными краями Для отображения ф1 Для отображения Ф2
12 0.1805 •Ю-6 0.2833 •Ю-9 0.000015 0.7466 •Ю-5
14 0.1805 •Ю-6 0.1529 •Ю-9 0.8662 •Ю-5 0.7755 •Ю-5
16 0.1805 •Ю-6 0.8665 •Ю-10 0.6117 •Ю-5 0.7710 •Ю-5
20 0.1805 •Ю-6 0.3672 •Ю-10 0.5018 •Ю-5 0.7676 •Ю-5
24 0.1805 •Ю-6 0.1771 • 10-10 0.5281 •Ю-5 0.7707 •Ю-5
26 0.1805 •Ю-6 0.1286 •Ю-10 0.5501 •Ю-5 0.7728 •Ю-5
28 0.1805 •Ю-6 0.9558 •Ю-11 0.5720 •Ю-5 0.7748 •Ю-5
32 0.1805 •Ю-6 0.5603 •Ю-11 0.6113 •Ю-5 0.7785 •Ю-5
36 0.1805 •Ю-6 0.3498 •Ю-11 0.6431 •Ю-5 0.7814 •Ю-5
4. Выводы
Содержание последней таблицы позволяет считать, что дефект отображения -довольно чувствительный инструмент сравнения отображений, отвечающих различным схемам раскроя сетеполотна, способный, к тому же, отмечать искажение формы сетеполотна, обусловленное «матрасным эффектом» [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бухтяк М.С., Соломина А.В. Геометрическое моделирование раскроя сетеполотна для осесимметричного рефлектора. Часть 1 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 2(34). С. 5-17.
2. Бухтяк М.С., Соломина А.В. Геометрическое моделирование раскроя сетеполотна для осесимметричного рефлектора. Часть 2 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 4(36). С. 5-14.
3. Бухтяк М.С., Соломина А.В. Об одном инварианте отображения поверхностей применительно к раскрою сетеполотна // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 1(39). С. 13-24.
4. БухтякМ.С. Геометрическое моделирование деформации сетеполотна параболического рефлектора // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. № 1. С. 97-106.
5. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. М.: Радио и связь, 1987. 72 с.
6. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 528 с.
Статья поступила 10.01.2016 г.
Bukhtyak M.S. DEFECT OF MAPPING FOR DEFORMED SEGMENT OF METALLIC MESH
DOI 10.17223/19988621/40/1
Metallic mesh tailoring aimed to form a parabolic reflector is identified with biunique reflection of plain's part on a part of a paraboloid of revolution. In previous publications the authors have developed an analytical tool to assess the quality of metallic mesh tailoring for reflector antennas of any design. Its basis is a function (called the main function) the value of which depends on the ratio of first quadratic forms defining a local quadratic metric of a piece of plane and that for the corresponding segment of the metallic mesh. The integral mean of this function is called
18
М.С. Byxnn
the display defect. The examples of display effect to assess the quality of metallic mesh tailoring for axisymmetric reflector are provided in previous publications. They, however, do not take into account the effect of reverse deflection of the metallic mesh between adjacent ribs of the bearing structure - the so-called mattress effect. This article fills this gap. A vector function has been built for the metallic mesh exposed to mattress effect. The functions by which the problem of display defect is solved are very complex. Polynomial approximations are constructed for them with estimated accuracy of approximation. The algorithm has been developed to calculate the display defect for practically important values for technological parameters of the axisymmetric reflector. Among these parameters are the focal parameter of the parent paraboloid, radius of the cutting out cylinder, and number of sectors.
Keywords: parabolic reflector, metallic mesh, mapping of surfaces, defect of surface-to surface mapping, deformation of metallic mesh.
BUKHTYAK Mikhail Stepanovych (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: bukhtyakm@mail.ru
REFERENCES
1. Bukhtyak M.S., Solomina A.V. (2015) Geometricheskoe modelirovanie raskroya setepolotna dlya osesimmetrichnogo reflektora. Chast' 1 [Geometric modeling of metallic mesh sheet tailoring for an axissymmetric reflector. Part 1]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo univer-siteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(34). pp. 5-17. DOI: 10.17223/19988621/34/1.
2. Bukhtyak M.S., Solomina A.V. (2015) Geometricheskoe modelirovanie raskroya setepolotna dlya osesimmetrichnogo reflektora. Chast' 2 [Geometric modelling of metallic mesh tailoring for axisymetric refltor. Part 2]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(36). pp. 5-14. DOI: 10.17223/19988621/36/1.
3. Bukhtyak M.S., Solomina A.V. (2016) Ob odnom invariante otobrazheniya poverkhnostey primenitel'no k raskroyu setepolotna [On an invariant of surface mapping as applied to metallic mesh tailoring] Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1(39). pp. 13-24. DOI: 10.17223/19988621/39/2.
4. Bukhtyak M.S. (2016) Geometrical modeling of parabolic reflector's metallic mesh deformation. Mathematical Models and Computer Simulations. 8(4). (In print)
5. Gryanik M.V., Loman V.I. (1987) Razvertyvaemye zerkal'nye antenny zontichnogo tipa [Deployable Mirror Umbrella-Type Antennas]. Moscow: Radio i svyaz'.
6. Finikov S.P. (1950) Teoriya kongruentsiy [Theory of Congruences]. Moscow; Leningrad: GITTL.
