D-оптимальная процедура последовательной идентификации динамической регрессионной модели Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 004.056

В-ОИТИМАЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ

МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРА

В. А. Фату ев, А.Г. Храпова, А.Н. Морозова

Рассмотрена процедура последовательной В-отпималъной идентификации динамической регрессионной модели Волыперра. Алгоритм включает в себя синтез участков локального В-оптимального тестирующего сигнала и поэтапное уточнение оценок неизвестных параметров модели.

Идентификация, В-оптималъная процедура, реальный масштаб времени, синтез тестирующего сигнала, оценивание неизвестных параметров.

Рассмотрим особенности Б-оптимальной процедуры последовательной идентификации динамической регрессионной модели (ДРМ) Вольтерра:

Тп

у(0 = w0 + \ и\(т)и(! - т)с!т + о

т т

1п 1п 0 0

где м^(т) - ядро Вольтерра первого порядка; \м2(т1,т2) - ядро Вольтерра второго порядка; и/0 - ядро Вольтерра нулевого порядка или постоянная составляющая; Тп - время памяти.

ДРМ Вольтерра в дискретном виде имеет вид

к 1-1

¥(пАг) = щ + 2>(("1)А0Р/ш +

|=1 7/7—0 к 1-1 1-1 + Т ю-1)Д0Р™ Е иЦп-т-\)Ь)$]т+е{пМ\ (2)

/,7=1 777—0 777—0

(ш+\)М

где Ргт = | фг- (т, а)^т; к - порядок системы; 1 - дискретное время памя-

шАХ

ти.

Вектор неизвестных параметров выглядит следующим образом:

А = а, аь «2, ап, ап, а1Ъ «22). В качестве факторов планирования используются дискретные значения входного сигнала:

иТ = (и((п - 1)А?),и((п - 2)А),....и((п -1)А)). (3)

D-оптимальная процедура последовательной идентификации фППИ) [3, 4] реализуется по следующему алгоритму: на вход исследуемой системы в момент времени ?0 подается некоторый произвольный тестирующий сигнал (его называют «затравочным»), предполагающий проведение п0 измерений выхода. В качестве «затравочного» сигнала используется произвольный трехуровневый сигнал. Длина «затравочного» сигнала выбирается исходя из возможности вычисления на его основе начальной оценки вектора неизвестных параметров.

Далее, начиная с момента времени (^ + 1З), в течение времени ^ вычисляются начальные оценки Ао элементов вектора А, ковариационная

матрица оценок cov(Ао) и синтезируется первый участок локального D-оптимального тестирующего сигнала.

Вычисление начальной оценки Ао по результатам затравочного тестирования производится методом Гаусса - Ньютона:

V /V

1о( *+1) = Ао(

А0(*+1) = Ао(*) + М-1(Ао(*))~(А0(*)), * = 0,1,..., (4)

где

по

М (Ао(8)) = I УФ (Ао(5), Пг )УФТ (Ао{ 8) и);

^ ~ по

~ Ао{ *)) = I УФ( Ао{8\иг)

г=1

-^о ,, -Ф( Ао^Д

г=1 1

По начальной оценке вектора неизвестных коэффициентов определяется начальная ковариационная матрица:

2

cov( Ао) @ое

IУФ( Ао,и ^УФГ (Аои

Vг=1

(5)

2 -где ое - дисперсия случайной составляющей выхода.

Далее осуществляется синтез первого участка оптимального тестирующего сигнала. Он заключается в поиске такой точки пространства планирования, в которой дисперсия предсказания выхода по модели, получен-

ной по результатам «затравочного» тестирования, будет максимальной. Для (N+1)-ro этапа синтез сводится к решению следующей аргументной задачи:

- T / R / r \ / R

uN+1 = argmax УФ AN, u cov AN УФ AN, u . (6)

v J

v j

v j

и&и о

Также при синтезе первого участка один раз проводится оптимизация значения дискретного времени памяти - 1 [1,3].

После определения точек плана непрерывный тестирующий сигнал получается путем «сшивания» участков на у1 тактов:

И1((п-/ + ])&) = им((п-7г + ])А), г = 1,2,3,...; ] = о,1,...,(7г -1), (7)

где 1- номер участка.

Для каждой пары участков глубина возможного «сшивания» у1 может меняться от 1 до /-1 и определяется дискретными значениями ординат этих участков. При планировании нескольких измерений выхода во время сшивания участков сигнала можно переставлять точки местами.

Алгоритм «сшивания» участков сигнала представлен на рис. 2.

Если «сшивание» пары участков невозможно, то их необходимо состыковать по правилу

иг-1 ((п - /)А?), к, иг-1 ((п -1) А?), иг ((п - /) А?), к, иг ((п -1)А?) (8)

Число уровней тестирующих сигналов, предназначенных для идентификации нелинейных систем, принимается равным трем. Данное количество уровней было выбрано, во-первых, потому что это минимальное число уровней, при котором возможно оценивание параметров нелинейной модели, т.е. информационная матрица Фишера не будет вырожденной и, во-вторых, потому, что увеличение числа уровней вызывает резкое возрастание числа просматриваемых точек при решении задачи (6).

После окончания реализации очередного К-го участка сигнала и проведения всех запланированных измерений выхода необходимо уточнить НМНК оценку вектора А^ и синтезировать следующий участок локального D-оптимального тестирующего сигнала, проверив перед этим выполнение правила останова DППИ.

Уточнение производится с учетом всех ранее произведенных измерений выхода, включая измерения этапа «затравочного» тестирования.

При планировании нескольких измерений выхода решается следующая задача [3]:

иN+1,г = а^шахУФТГАм,и)соуГАN г-1 1уфГАм,и\ (9) иеио У J У J У У

соу| а

N ,г

СОУ[ АN,г-1 |УФ| АN, ^+1,г |УФТ \А

n, un+1,г

о2 + УФ1 \А N, и

-м?им+1,г

соу(Г а N -1 )УФ[ аN,

и

n+1,г

X

(Ю)

х соу^аы г-1

где UN+1 / - 1-я точка части локального Б-оптимального плана, опреде-

Л

ляющего (К+1)-й этап ДППИ; соу(Ащ) - ковариационная матрица вектора

AN, если его уточнить по результатам 1 планируемых измерений выхода на (К+1)-м этапе.

После синтеза очередного участка сигнала он подается на вход объекта, и процедура повторяется вплоть до выполнения правила останова на том этапе, при планировании которого отличие локального плана, состоящего из точек, полученных на всех предыдущих этапах, от Б-оптимального становится меньше порогового значения е:

шах УФ1| AN, и | соу( Аы |УФ| АЛГ, и I -

N

ч

N 0 е

I пг

г=1

< е,

(11)

где q - количество неизвестных параметров модели; е - априори задаваемая малая величина.

Авторами была разработана программа по алгоритму, представленному на рис. 2. (рис. 1).

Рис. 1. Результат работы программы «сшивания» участков тестирующего сигнала

Рис. 2. Схема алгоритма «сшивания» участков тестирующего сигнала

Анализ БППИ показал, что время вычислений резко возрастает с увеличением числа факторов / за счет увеличения числа точек перебора при поиске глобального максимума, причем этот рост происходит в степенной зависимости, что обуславливает невозможность применения процедуры для больших значений /.

Для ускорения решения задач (6) и (9) можно использовать результаты, полученные в работе [2], согласно которой для модели (2) при известном параметре а на этапе поиска глобального максимума дисперсионной функции в число точек перебора включаются точки и , координаты которых могут принимать значения -1, о, +1 и удовлетворять следующим условиям:

1) количество нулей не должно превышать (к-1);

2) если в координатах вектора и заменить нули на любую комбинацию из -1 и +1, то соответствующие участки сигнала должны иметь не более (к-1) смены знаков.

Число таких точек определяется выражением

к-1 .к-1

Nk = I С/ I С(12)

1=о ]=г

Алгоритм перебора реализуется следующим образом: каждому вектору, удовлетворяющему указанным условиям, ставится в соответствие два (к-1)-мерных вектора и и и2, элементы которых принимают целые положительные значения. Данная пара векторов позволяет найти необходимый вектор так: и1 определяет местоположение нулей среди элементов искомого вектора, а и2 - местоположение изменений знаков вспомогательного вектора £ размерности (/-1), где 1 - число нулей в искомом векторе. По и 2 формируется вспомогательный вектор 1, затем на места, определяемые вектором и1 в искомом векторе, записываются нули и, наконец, оставшиеся пустые места заполняются по порядку элементами вектора 1, причем после каждого нуля необходимо у всех стоящих за ним элементов сменить знак на противоположный.

Для модели Вольтерра был разработан алгоритм перебора точек, изображенный на рис. 3.

Данный алгоритм позволяет без повторений перебирать все точки, удовлетворяющие указанным условиям, исключая нулевую точку и симметричную половину точек, что значительно ускоряет процедуру поиска глобального максимума.

к - порядок системы. I - дискретное время памяти; 7. - единичный вектор размерностью 1

|>м

г[т] = -1

Проверка количества

подключений при помощи подстановки

вместо нулей комбинаций из -1 и

Проверка количества переключений при помощи подстановки вместо нулей комбинаций из -1 и +1

<5

Конец ^

Рис. 3. Схема алгоритма перебора точек пространства планирования для ДРМВолътерра при поиске глобального максимума дисперсионной функции

Программы, построенные по данной схеме, показывают высокую производительность и надежность.

Список литературы

1. Круг Г.К., Ю.А. Сосулин, В.А. Фатуев. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции / М.: Наука, 1977. 208 с.

2. Круг Г.К., Фатуев В.А., Глазов В.М. Планирование эксперимента в задачах оптимальной идентификации динамических объектов // Вопросы кибернетики. Планирование эксперимента. М.: Советское радио, 1976. Вып. 27. С. 5-27.

3. Фатуев В. А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 1994. 104 с.

4. Фатуев В.А., Храпова А.Г., Морозова А.Н. Алгоритмическое обеспечение реализации процедуры последовательной D-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 11. Ч. 2. ТулГУ. С. 612-620.

Фатуев Виктор Александрович, д-р техн. наук, проф., tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Храпова Анна Геннадиевна, бакалавр, tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Морозова Анна Николаевна, бакалавр, tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

D-OPTIMAL PROCEDURE FOR THE IDENTIFICATION SEQUENCE REGRESSION

MODEL FOR DYNAMIC VOLTERRA

V.A. Fatuev, A.G. Khrapova, A.N. Morozova

The article describes the procedure of successive D-optimal identification of Volter-ra dynamic regression model for second-order systems. The algorithm includes synthesis of local sites D-optimal test signal and gradual refinement of estimates of the unknown parameters of the model.

Key words: Identification, D-optimal procedure, real-time synthesis of the test signal, estimation of unknown parameters.

Fatuev Viktor Aleksandrovich, doctor of technical sciences, professor, tan-tan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Khrapova Anna Gennadievna, bachelor, tantan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Morozova Anna Nikolaevna, bachelor, tantan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University