CC BY
48
УДК 622.732
^ВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ОБОГАЩЕНИЯ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ ИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТА ОТЕЧЕСТВЕННЫХ И ЗАРУБЕЖНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
А
А.И. Карлина1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрено сочетание в одном процессе гидравлического разделения и сегрегации зерен дисперсного горного материала. Изучена энергетическая теория и общие принципы разделения зерен пустой породы от зерен тяжелых ценных минералов. Доказано, что отношение диаметров разделяемых частиц увеличивается с увеличением разности их плотностей, уменьшением коэффициента разрыхления и существенно выше при разделении крупных частиц, чем при разделении мелких. Рассмотрено разделение частиц на слои в вертикальном потоке жидкости под действием неуравновешенности сил, действующих на частицу, находящуюся среди частиц иных размера и плотности. Ил. 4. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: гидравлическое разделение и сегрегация; процессы гравитационного обогащения диспергированных горных материалов; теоретические исследования; экспериментальные работы; гипотезы; разделение скорости при ламинарном и турбулентном течении водных систем.
IMPROVING MATHEMATICAL MODELS OF GRAVITY SEPARATION OF MINERALS BASED ON THE EXPERIENCE OF DOMESTIC AND FOREIGN RESEARCHERS A.I. Karlina
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article discusses the combination of hydraulic separation and grain segregation of dispersed rock material in a single process. Having studied the energy theory and general principles of dead rock grains separation from the grains of valuable heavy minerals, the author proves that the ratio of the diameters of separated particles rises with the increase in their density difference, with the decrease in the fragmentation index, and is significantly higher under the separation of large particles than under the separation of smaller ones. The separation of particles into layers is considered in a vertical flow of fluid under the action of unbalanced forces acting on the particle being among the particles of different size and density. 4 figures. 5 sources.
Keywords: hydraulic separation and segregation; process, gravity concentration of dispersed rock materials; theoretical researches; experimental work; hypotheses; velocity separation in laminar and turbulent flow of water systems.
При гравитационном обогащении часто в одной машине сочетаются оба процесса - гидравлическое разделение и сегрегация.
При разделении в любой гравитационной машине взвесь минеральных частиц в жидкости можно рассматривать как механическую систему тел, находящуюся в поле силы тяжести в неустойчивом равновесии. Такая система обладает потенциальной энергией, величина которой при условии равномерности распределения частиц различной плотности по высоте определяется выражением
Ео=0^ротдНо, где s - площадь горизонтального сечения камеры, в которой происходит разделение; рот=(1-т)(рт-рж) -относительная плотность взвеси; m - коэффициент разрыхления взвеси (объемное содержание жидкости во взвеси); рт и рж - плотность соответственно твердых частиц (средневзвешенная) и жидкости; Но - высота взвеси.
Взвесь стремится занять положение устойчивого равновесия, достигаемое, согласно принципу Дирихле, при условии минимальности ее потенциальной энергии. Этому условию отвечает разделение взвеси на слои, в нижних из которых сосредотачиваются преимущественно частицы большей плотности, а в верхних - меньшей. Разделение взвесей в гравитационных процессах обогащения происходит с уменьшением потенциальной энергии системы. Однако в условиях сегрегации возможны случаи (при ускорениях больше д), когда «всплывание» крупных частиц в слое мелких происходит при увеличении потенциальной энергии системы [1; 3]. Изменение потенциальной энергии взвеси частиц двух плотностей в результате полного разделения будет равно (рис. 1):
ДЕ=[0,5ротНо2-0,5ротНЛрот2(Н1+0,5Н2)]д.З, где рот, рот1, рот2 - относительная плотность всей взвеси до разделения и ее частей после разделения соответственно.
1 Карлина Антонина Игоревна, аспирант, тел.: 89501201950, e-mail: karlinat@mail.ru Karlina Antonina, Postgraduate, tel.: 89501201950, e-mail: karlinat@mail.ru
а) б)
Рис. 1. Распределение тяжелых и легких частиц до (а) и после (б) разделения смеси (Но - высота смеси до разделения, Н1 и Н2 - высота слоя соответственно тяжелых и легких частиц)
Поскольку при разделении частиц потенциальная энергия должна уменьшаться (ДЕ>0), из последнего равенства с учетом постоянства объема и массы частиц смеси до и после разделения получается условие разделения взвеси частиц двух плотностей в гравитационном поле:
Рот1>Крот2, где К=(2Н1+НгНо)Н2/(НтН1)Н1.
Если общая высота при разделении не изменяется (Но=Н1+Н2), то К=1, тогда полученное выше неравенство примет вид рот1>рот2. Это условие экспериментально установлено П.В. Лященко при изучении разделения частиц, взвешенных вертикальным потоком жидкости [1-4].
Величина относительной убыли потенциальной энергии ДЕ/Ео для условий полного разделения двух-компонентной смеси определяется из соотношения
ДЕ/Ео=(к1р-1)С«(1-аМра+(МШ1-«)к1С+4
где к1=(1-т1)/(1-т2) - отношение объемных содержаний твердого во взвесях после разделения; т1 и т2 -коэффициенты разрыхления разделенных частиц; Р=(рт1-рж)/(рт2-рж); 0=ргш/рт2; а- массовое содержание компонента плотностью рт1 в исходной смеси (рт1>рт2), доли единицы.
Чем больше ДЕ/Ео, тем успешнее должен происходить процесс разделения. Убыль потенциальной энергии ДЕ/Ео увеличивается с увеличением к1и ^ (при постоянном значении рт2). С повышением разности плотностей (при постоянных размерах) или размеров частиц (при постоянных плотностях) разделение их должно улучшиться, что подтверждается практикой обогащения.
Зависимость ДЕ/Ео от а (массового содержания компонента плотностью рт1 в исходной смеси) имеет максимум при некотором значении содержания, находящемся в пределах 40-50% для рт1=3-7 г/см ,
3
рт2=2,65 г/см [5]. С этой точки зрения руды с малым или большим содержанием одного из компонентов при прочих равных условиях должны обогащаться с меньшей эффективностью, чем содержащие среднее его количество.
Энергетическая теория определяет лишь общие принципы разделения и не дает ответа на вопрос о механизме разделения частиц в гравитационных аппаратах. Существенное значение для процессов имеют закономерности разделения в вертикальном потоке жидкости.
Взвешенные в вертикальном восходящем потоке жидкости слои располагаются снизу вверх по уменьшению их плотности, определяемой из соотношения [2]
р„=ржт+рт(1-т).
Если общая высота двухкомпонентной взвеси в результате разделения на два слоя не изменится, то в соответствии с неравенством рот1>рот2 условие разделения примет вид
т1<т2+(1-т2)(рл,1-рП2)/(рП1-рж),
где т1 и т2 - коэффициенты разрыхления слоев. Для осуществления разделения при заданных значениях рт1, рт2, рж и т2 коэффициент разрыхления т1 не может превышать некоторого граничного значения, стоящего в правой части неравенства.
Отношение диаметров разделяемых частиц увеличивается с увеличением разности их плотностей, уменьшением коэффициента разрыхления т2 и существенно выше при разделении крупных частиц, чем при разделении мелких.
Поскольку взвеси частиц подчиняются закономерностям стесненного падания, то для каждого из слоев справедливо равенство
^^т/^т/2, где Уст - скорость потока жидкости вне слоя; Усв1 и Усв2 - скорости свободного падения частиц; п1 и п2 - показатели степеней, зависящие от числа Рейнольдса, рассчитанные по скоростям свободного падения частиц.
Для крупных (падающих в свободных условиях по закону Реттингера) и мелких (падающих по закону Стокса) шарообразных частиц значение п соответственно равно 2,39 и 4,65. Отношение диаметров шарообразных частиц данной плотности, разделяемых в вертикальном потоке жидкости, рассчитывается из
равенства Vcт=VCв1m1"^=VCв2m2"2 с учетом значения п по формулам:
- для крупных частиц:
б2М1=(т11т2)41\рт1-Рж)1(Рт2-Рж);
- для мелких частиц:
\2,33г
i0,5
^2/^1=(т1/т2)2 °[(рт1-рж)/(рт2-рж)]и где с(2 - диаметры разделяемых частиц. При обогащении мелких частиц указанными процессами шкала классификации должна быть существенно уже, чем при обогащении крупных, или необходимо изменение вязкости среды разделения.
Скорость вертикального потока, при которой не происходит разделения данных частиц во взвеси, называется критической скоростью [1-4]. При V<VKp тяжелые мелкие частицы опускаются вниз, а при V>VKp поднимаются выше крупных. Критическая скорость зависит от диаметра и плотности разделяемых частиц и определяется из равенства
^т=^в1т1п1 = ^в2т2п2 и условия Рот1=Рот2. Для достаточно крупных или достаточно мелких частиц, для которых показатели степени п в равенстве Vcт=VCв1m1^=VCв2m22 являются постоянными, критическая скорость рассчитывается из уравнения
Vкр= Vсв1 ^в2{(РтГРт2)/[РтГРж)( Vсв2)V"-(Рт2-Рж)( ^свО^]}" Разделение частиц на слои в вертикальном потоке жидкости происходит благодаря неуравновешенности сил, действующих на частицу, находящуюся среди частиц иных размера и плотности. При взвешивании слоя однородных частиц в потоке жидкости сила воздействия на частицу определяется размерами как самих частиц, так и каналов между частицами внутри слоя.
В условиях большого разрыхления взвеси, близких к условиям свободного падения, определяющим является размер частиц, при малом разрыхлении -размер каналов. Последний связан с размерами частиц и коэффициентом разрыхления зависимостью
г=тбэксф/6(1-т), где г - гидравлический радиус каналов; бэ - диаметр эквивалентного по объему шара; ксф - коэффициент сферичности частиц.
Различают два режима движения жидкости в потоках малой толщины - ламинарное и турбулентное.
При ламинарном движении отдельные слои жидкости перемещаются параллельно дну, не перемешиваясь. Распределение продольных скоростей потока по нормали к поверхности подчиняется зависимости
V=gz(2h-z)i/2v, где V - скорость потока на расстоянии z от дна; h - общая толщина потока; i=sin« (а - угол наклона поверхности к горизонту); V - кинематический коэффициент вязкости жидкости. Зависимость между средней по сечению скоростью потока Vсp и максимальной скоростью Vmax, достигаемой на поверхности, имеет вид Vсp=2Vmax/3.
Ламинарное движение в открытых каналах имеет место при значениях чисел Рейнольдса Re=Vсph/к(300-1200), соответствующих потокам с небольшой толщиной. Например, ламинарное течение воды ^0,01 см /с) в лотке, наклоненном под углом
о=3°, будет происходить при Л< 1,2-2 мм.
При турбулентном движении происходит перемешивание жидкости между отдельными слоями, в результате которого скорости выравниваются. Весь поток можно условно разбить на три зоны - вязкий подслой, переходную и основную турбулентную зоны.
В вязком подслое, прилегающем ко дну, скорости малы, так как жидкость прилипает к поверхности. Движение носит ламинарный характер. Толщина этого слоя Апериодически изменяется в пределах 0<S<50VdJv,
где Vdu„={gRi)0,5 - динамическая скорость потока; R -гидравлический радиус потока.
Для потоков, ширина которых существенно больше высоты (концентрационные столы, шлюзы), R»h. В отдельные моменты времени происходит прорыв вязкого подслоя и турбулентное движение доходит непосредственно до твердой поверхности (А=0), после чего оно постепенно сменяется ламинарным [1; 5].
Существенное значение для турбулизации потока имеет шероховатость дна, характеризуемая средней величиной выступов шероховатости дна А (абсолютная шероховатость, мм) и ее отношением к толщине потока А/h (относительная шероховатость). Чем больше времени выступы шероховатости возвышаются над границей вязкого подслоя при его развитии, тем сильнее проявляется их влияние на поток в турбулентных зонах.
В зависимости от значения параметра N=Vdu„.A/v различают три вида поверхностей: условно гладкие (N<10), с неполным проявлением шероховатости (10<N<50) и полностью шероховатые (N>50) [1; 5]. Одна и та же поверхность может рассматриваться как условно гладкая или шероховатая в зависимости от параметров потока.
Предложены два основных типа формул, определяющих распределение скоростей при турбулентном движении, - степенной и логарифмический законы.
Степенной закон:
V=Vn(zlh)1lp,
где 1/р - показатель степени, зависящий от числа Рейнольдса и шероховатости поверхности. Для каналов с гладким дном [1; 2] p=1,6lg(VÔUHhlv)+1. Зависимость средней скорости потока от скорости на поверхности имеет вид Vcp=pVnl(p+1 ).
Логарифмический закон:
VlVduH=A+Blgz, где XrVtoZlv- для гладких поверхностей; %=z/A - для шероховатых поверхностей; А и В - экспериментально определяемые коэффициенты.
По А.Д. Альтшулю для гладких поверхностей А=5,5, В=5,75; для шероховатых поверхностей А=8,48. Логарифмический закон не применим для областей, расположенных вблизи твердой поверхности. При использовании функции 2=(1+0,4VaUHzl^)l(1+0,4VaUHz/A) формула логарифмического закона рекомендована для гладких и шероховатых поверхностей при любых значениях z вплоть до нуля, при этом для каналов А=8,27 и В=5,75. Коэффициенты А и В зависят от концентрации и крупности частиц, а также от глубины
r.0,5
потока и уклона дна [3; 5].
При турбулентном движении жидкости по желобу средняя скорость потока V, м/с, определяется по формуле Шези:
V =ОД0
где С - коэффициент Шези, определяемый по формуле Маннинга С=п"1Я1/6 или по формуле Базена С=87/(1+п/Я0,5) (п - коэффициент шероховатости); Я - гидравлический радиус потока (отношение площади поперечного сечения потока к смоченному периметру), м.
Значения коэффициента п для движущейся по желобам воды приводятся в руководствах по гидравлике. Для гладких поверхностей п"1=100, для весьма шероховатых поверхностей п"1=50. Формула Шези применима для приближенного определения величины средней скорости потока пульпы в некоторых гравитационных машинах и аппаратах. При этом для винтовых сепараторов п"1=65-70, для концентрационных столов и суживающихся желобов п"1=50-60 [1; 2]. А.Д. Альтшулем предложена обобщенная формула определения величины коэффициента Шези С, применимая для гладких и шероховатых поверхностей:
С=25[Я/(Д+0,025/(Я/)°'5)]1/6, где 1 и Д выражены в мм; С - в м0,5-с-1.
Различают следующие виды движения зерен в наклонном потоке:
- движение волочением по дну или скольжением;
- скачкообразное или сальтация; при этом различны время пребывания зерен в зоне высоких скоростей и высота взвешивания, разной оказывается и дальность скачков;
- движение в непрерывном взвешенном состоянии.
Характер движения зерен в потоке зависит от скорости и глубины потока, состояния дна (шероховатости), гидравлической крупности частиц и концентрации зерен в потоке.
Движение шарообразных зерен скольжением и перекатыванием по дну потока происходит под действием сил:
- гравитационной силы (сила тяжести и сила Архимеда):
в=тд(рт-рж)рт;
- силы динамического давления струи воды на зерно:
Р3=Срж^2(^з), где ^ - коэффициент гидродинамического сопротивления в направлении продольного перемещения зерна (вдоль потока); Vср - средняя скорость по высоте потока; Vз - скорость движения шарообразного зерна диаметром б подъемной силы Рп, возникающей от турбулентных вихрей (Р^р^е^б2, где ^ - коэффициент гидродинамического сопротивления потока в направлении движения частицы перпендикулярно потоку; Vверт - вертикальная составляющая скорости потока);
- силы трения:
Рт=(Осова-Рп)1 где 1 - коэффициент трения частицы о дно желоба или
русла.
Сопротивление оказываемое потоком движущемуся телу, не равно £ Оно существенно больше и зависит от соотношения скоростей в вертикальном и горизонтальном направлениях. При установившемся движении силы в направлении потока уравновешиваются:
22 [тд(рт-рж)/рт]з1па+Сржб ^ср^з) =
22
=/{[тд(рт-рж)рт]со$а<1р»Уверт б}.
Скорость частицы определится из уравнения
2 0 5
Vз=Vср-[(mgo/Cdрж)(1cosа-siпа)-C11Vверm/C] , ,
где
2 3 2 2
тдо/^б рж=хс1 рт(рт-рж)д/6^с1 ржPт=^gd(рт-рж)/6Qрж=Vo .
Величина siпa=siп6 является малой величиной, а ^а=^6я1. Принимая условно С=С1=Со, где коэффициент сопротивления при свободном падении зерна в жидкости, получим Vз=Vср-[1(Vo2-Vверт2)f^5.
Отсюда следует, что при Vo>Vверт зерно может скользить по дну потока, а при Vo<Vверт зерно будет взвешено в потоке.
При обогащении следует предотвратить переход во взвешенное состояние зерен тяжелых ценных минералов, извлекаемых в концентрат, и необходимо стадиально перерабатывать крупную и мелкую фракции при оптимальных для них скоростных режимах. Иначе обогащать узко классифицированный материал. В противном случае следует вводить вторую стадию контрольного обогащения хвостовых продуктов с выделением из отвального продукта крупной фракции зерен легких породообразующих минералов и дообо-гащением мелкой фракции, но при сниженных скоростях потоков.
Схема сил, действующих на частицу в наклонном потоке, изображена на рис. 2. Из схемы следует, что движение зерен возможно, если подъемная сила Рп превысит составляющую силы веса зерен в среде Р, в этом случае зерно получит вертикальное перемещение. Если же сила гидродинамического давления потока на зерно Р¥ превзойдет силу трения Рт, зерно будет скользить или катиться по дну русла.
Рис. 2. Схема сил, действующих на частицу в жидкости, текущей по наклонной плоскости
Одной из причин возникновения подъемной силы в потоке является вертикальная составляющая профильного сопротивления обтекаемого зерна. Согласно Н.Е. Жуковскому, на пластинку, помещенную в по-
ток под углом р (угол атаки), действует общее гидродинамическое давление потока р, которое можно разложить на лобовое давление рл и подъемную силу рп (рис. 3):
Рл=РлРлуО»у//2;
где ^ и С1п - коэффициенты сопротивления соответственно лобового давления и подъемной силы; Рл и Рп - площади проекции зерна на плоскости, перпендикулярные линиям действия лобовой и подъемной силы; Vа - скорость движения потока на высоте диаметра зерна от дна наклонной плоскости.
теорией движения частиц в потоках вертикальный подъем частиц зависит от мелкомасштабных придонных вихрей, а горизонтальный перенос их - от крупномасштабных вихрей, связанных с геометрией и скоростью потока. Большая вероятность отрыва зерен будет в тех случаях, когда низкочастотная составляющая скорости, обусловленная крупномасштабными вихрями, совпадает по фазе с высокочастотной составляющей, связанной с придонными вихрями. Структура внутренних течений и волновые явления водных и взвесенесущих потоков рассмотрены при изучении работы винтовых аппаратов. Согласно тео-
Рис. 3. Схема, поясняющая возникновение подъемной силы при обтекании зерен потоком
Подъемная сила для пластинки имеет максимум при угле наклона пластинки р=45о, и в этом случае она равна лобовому давлению. В тонких наклонных потоках вблизи дна на зерно действует кроме архимедовой подъемная сила, достигающая не менее 0,8 силы лобового давления. С увеличением расстояния между зерном и дном русла асимметрия обтекания его потоком сглаживается и подъемная сила уменьшается. При симметричном обтекании потоком взвешенного шара эта сила равна нулю, но у лежащего на дне шарообразного зерна она не равна нулю. Сила профильного сопротивления, связанная с асимметрией обтекания, зависит и от степени сплоченности лежащих зерен и частиц. При увеличении разрыхленности слоя зерен подъемная сила уменьшается.
Условия отрыва частиц от дна определяются пульсационными характеристиками горизонтальной составляющей скорости и, которые вызывают изменение гидродинамического давления на частицы. То же можно сказать и о вертикальных составляющих скорости V. Возникающий градиент давления направлен вверх в зону более высоких скоростей (то есть более низких давлений). Взвешивание частиц (движение их в вертикальном направлении) происходит под действием более мелких вихрей, определяемых донной шероховатостью и градиентом скорости у дна (рис. 4). Придонные вихри существуют кратковременно, возникновение их случайно, а разрушение связано с постепенным подъемом и увлечением во вращение новых масс жидкости. В соответствии с вероятностной
реме Н.Е. Жуковского, подъемная сила Рп зарождающегося вихря
Pп=pVЦ,
где V - относительная скорость поступательного движения жидкости; Ц=2хюг - циркуляция скорости - величина скорости вокруг оси динамического вращения.
Для учета величины этой силы необходимо знать масштаб придонных вихрей, их скорость и вероятность зарождения этих вихрей на единицу поверхности. Кроме этих основных составляющих механизма взвешивания частиц следует учитывать:
- фильтрацию воды в порах осевшего на дно слоя, что влечет ослабление механических связей зерен друг с другом, а с учетом пульсаций скоростей -возникновение знакопеременного порового давления в слое зерен, приводящего к более плотной переупаковке их;
- кинетические закономерности возникновения, роста и распада придонных вихрей;
- механические соударения зерен, имеющих разную скорость.
Минеральные зерна обогащаемого продукта, находясь в турбулентном открытом потоке, действуют на происходящие в потоке пульсационные движения. При этом уменьшается масштаб пульсаций. Гашение турбулентных пульсаций по А.Н. Колмогорову происходит лишь тогда, когда концентрация зерен в потоке достаточно велика, чтобы «архимедовы» ускорения стали одного порядка с ускорениями, типичными для турбулентных пульсаций.
Рис. 4. Вертикальное распределение усредненных скоростей различного насыщения их твердыми зернами: I- при отсутствии зерен; Е - при наличии полностью взвешенных зерен; Ш- при наличии движущегося донного слоя зерен; 17- при неподвижном донном слое
Для движения зерен волочением, например сальтацией (а именно эти режимы наиболее характерны для обогатительных аппаратов), гидродинамическая картина потока значительно усложняется из-за неоднородного распределения концентрации зерен по глу-
бине потока. Зерна, движущиеся в потоке без выпадения на дно, распределяются по высоте потока (при малых концентрациях твердого в потоке) в соответствии с диффузионной теорией.
Статья поступила 10.10.2014 г.
Библиографический список
1. Теоретические основы перемещения, промывки и обогащения полезных ископаемых: монография / К.Л. Ястребов, Б.А. Байбородин, Т.Я. Дружинина, В.В. Надршин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. 216 с.
2. Традиционные и перспективные процессы промывки и обогащения полезных ископаемых: монография / К.Л. Ястребов, Б.А. Байбородин, Т.Я. Дружинина, В.В. Надршин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. 296 с.
3. Ястребов К.Л. Развитие теории, технологии и совершенствование конструкции оборудования рудного самоизмельчения и гравитационного обогащения полезных ископаемых:
дис. ... д-ра техн. наук. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2002. 284 с.
4. Ястребов К.Л. Техническое обеспечение процессов обогащения россыпных месторождений. В кн.-сб. Металловеды и машиностроители. Иркутск: Изд-во ИГУПС, 2012. С. 318-326.
5. Yastrebov K.L., Dykusov G.E., Karlina A.I. Elaboration of technology and the way of reagent free complex preparation and purification of natural water & sewage // Science and Education, Material of the V international research and practice conference (February 27th-28th 2014, Munich, Germany). Vol. II. Munich: Publishing office Vela Verlag Waldkraiburg, 2014. Р. 392-401.
