Научная статья на тему 'Численный расчёт свободного движения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами'

Численный расчёт свободного движения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
187
47
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
МОДЕЛИРОВАНИЕ / НЕСЖИМАЕМАЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ / ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА / КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СЕТКА / УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА / MODELING / INCOMPRESSIBLE VISCOUS LIQUID / NUMBER OF REYNOLDS / FINITE-DIFFERENCE GRID / NAVIER-STOKS EQUATION / OFFSET PRINTING

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Паничкин Алексей Васильевич, Варепо Лариса Григорьевна

Проведено моделирование течения и исследована начальная картина протекания конечного объема вязкой несжимаемой жидкостью, имеющей свободные границы, между вращающимися цилиндрами при числах Рейнольдса от 1 до 100 на двумерной сетке с помощью конечно-разностных методов c равномерным шагом. Получены численные решения движения свободных границ жидкости, характерные для различных значений вязкости, путем расчетов перемещения граничных узлов по узловым линиям фиксированной сетки.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Паничкин Алексей Васильевич, Варепо Лариса Григорьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Numerical calculation of motion of a small volume of viscous incompressible fluid between rotated cylinders

We address modeling of initial flow of a finite volume of a viscous incompressible fluid with free boundaries placed between rotated cylinders for Reynolds numbers from 1 to 100. Calculations were performed on a two-dimensional uniform grid with the help of finite difference methods. The numerical calculations for motion of free boundaries were investigated for various values of viscosity, with the help of moving boundary nodes on node lines on a fixed grid.

Текст научной работы на тему «Численный расчёт свободного движения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами»

Вычислительные технологии

Том 18, № 2, 2013

Численный расчёт свободного движения малого

•• U U

объёма вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами

А. В. Плничкин1, Л. Г. Варепо2 1 Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Россия 2Московский государственный университет печати, Россия e-mail: panich@ofim.oscsbras.ru, larisavarepo@yandex.ru

Проведено моделирование течения, и исследована начальная картина протекания малого объёма вязкой несжимаемой жидкости, имеющей свободные границы, между вращающимися цилиндрами при числах Рейнольдса от 1 до 100 на двумерной сетке с помощью конечно-разностных методов с равномерным шагом. Получены численные решения движения свободных границ жидкости, характерные для различных значений вязкости, путём расчётов перемещения граничных узлов по узловым линиям фиксированной сетки.

Ключевые слова: моделирование, несжимаемая вязкая жидкость, число Рейнольдса, конечно-разностная сетка, уравнения Навье — Стокса.

1. Постановка задачи

Рассмотривается моделирование процесса переноса жидкости на основе решения уравнений Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку анализируется движение жидкости с начальным нанесённым её слоем на верхний цилиндр, целесообразно рассмотреть область решения в сопутствующей системе координат ОХУ, связанной с верхним цилиндром с центром в точке О, расположенной на поверхности цилиндра в середине нанесённого участка жидкости (рис. 1).

Ограничимся постановкой плоской задачи в полярной системе координат г, в, связанной с центром О1 цилиндра 1 и вращающейся с постоянной угловой скоростью ш в положительном направлении ((р = в + ш£). При этом отсчёт углов производится от отрицательного направления оси ОУ. Уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в неподвижной полярной системе координат г, для вектора скорости (У, Ур) имеют вид ([1], с. 363)

ЗУГ

"at

+ vr

dVr

dr

r V,R dVr

r

d'R

(V,)2

1 dP

p dr

—+ И v2Vr -

Vr 2R 3Vin

r2 r2 d'R

dt

, + V dVk + VvRdVV^ + VVv

+ Vr Г\ + Г\ -F-, +

dr

r

d'R

r

1 R dP p r d'R

+ И V2V,-^ +

V, 2R dVr

r2 r2 d'R

dVr Vr R dV, dr r r d'R

r

где

V2 V = -—+

1 дУ д2 V Я2 д2 V

+

г дг дг2 г2 (д^Я)2' V — кинематическая вязкость, р — плотность жидкости, Р — давление, Я — радиус цилиндра 1.

При переходе к сопутствующей полярной системе координат г, в будем использовать уравнения для относительных компонент скоростей Уг,Уе. Перевод компонент вектора ускорения жидкости в эту систему координат с угловым ускорением г и угловой скоростью ш без изменения начала координат выражается уравнением

дУг дУ\

дг' дг

дЦ- д~и) + ( 0,гг ) + ( —2шЦ, 2шЦ ) + ( —ш2 г, 0

где предпоследнее слагаемое в правой части представляет кориолисово, а последнее — центростремительное ускорение. После перехода к новым компонентам скорости с преобразованием ускорений и при учёте углового ускорения г рассматриваемые уравнения Навье — Стокса примут следующий вид:

дит

дг

+ Ц

дит

т ЦЯ дит (Цв + иг)2 1 дР ( 2 ит 2Ядив

- — +--— - —---+ VI V и - — —7Г — —й--

дг г двЯ г р дг \ г2 г2 двЯ

див

дг

+ и-

див ив Я див и- ие

дг

г двЯ г

+ 2итш+гг — —

1 Я дР

ди- и-

р г двЯ Ядив

Ы V2 ив

ц 2ЯдиЛ Т2+Т2 двЯ)

дг + г + г двЯ

— 0,

(1)

, (2) (3)

где

2и —

1 ди д2 и Я2 д2 и

+

+

г дг дг2 г2 (двЯ)

2

Цилиндры 1, 2 имеют радиус R и вращаются в противоположные стороны с угловой скоростью ш без ускорения (е = 0), при этом наименьшее расстояние между поверхностями цилиндров равно 8. Рассмотрим прикасающуюся к цилиндру 1 область жидкости П толщиной по радиусу 8s , ограниченную частью окружности длиной 8l (8 < 8s). В начальный момент времени скорость жидкости в сопутствующей системе координат r, в равна нулю, на свободных поверхностях, где жидкость не соприкасается с границами цилиндров, P = Ратм (Ратм = 105 Н/м2). Для перехода к безразмерным переменным введём характерные длину L = 8s и скорость V0 = шR, число Рейнольдса Re = V0L/v, число Эйлера Eu = PaTM/pV0 = P0. Эти величины будут использованы в качестве параметров в тестовых расчётах для сравнительных характеристик.

Координаты точек окружности цилиндра 2 с центром в точке O2, расположенной на расстоянии (2R + 8) от O1, представим через (r, ф-\), где ф1 — угол между направлением из O1 на рассматриваемую точку цилиндра 2 и отрезком, соединяющим O1 и O2. Эти координаты имеют вид

r = Ryjsin2 Ф2 + (2 + 8/R - cos)2 = R^5 + 48/R + 82/R2 - 2(2 + 8/R) cos^, (4)

= arcsin(sin^2/V5 + 48/R + 82/R2 - 2(2 + 8/R) cosФ2), (5)

где ф2 — угол соответствующей дуги на цилиндре 2.

В сопутствующей системе координат движение центра цилиндра 2 вокруг цилиндра 1 происходит с угловой скоростью ш, а вращение его вокруг своего центра — с угловой скоростью 2ш по часовой стрелке. При соприкосновении цилиндра 2 с областью жидкости учитывается скорость движения точек окружности цилиндра 2, имеющая следующие компоненты в системе координат r, в:

V = Vx cOs('m1) + Vy sin('m1) , Vr = Vx sin('m1) - Vy cOs('m1), (6)

для которых xm = Xc + (2R + 8) sin('1) - r2 sin('2), Ут = Ус - (2R + 8) cOs('1) + r2 cOs('2), Vx = -ш(2R + 8)cos('1) - 2шг2 cos('2), Vy = -ш(2R + 8) sin('1) + 2шг2 sin('2), '1 = '0 - шí, '2 = 'mo - 2ш£; (xm, ym), (xc, yc) — координаты рассматриваемой точки и центра цилиндра 1 в декартовой системе координат OXY, связанной с цилиндром 1 (см. рис. 1), где '1 — угол поворота центра цилиндра 2 O2 относительно центра цилиндра 1 O1 (угол в для O2), '2 — угол между направлением из O2 на рассматриваемую точку цилиндра 2 и вертикальной линией, '0 — начальное значение в для центра цилиндра 2, 'm0 — начальное значение '2.

С изменением со временем положений точек xm,ym по углам '1, '2 их координаты в полярной системе координат r, в определяются следующим образом. Сначала по (4) для каждого значения угла ф2 = '2 - '1 находится r, затем по (5) вычисляется ф-\_. Окончательно имеем в = 'm1 = '1 -ф]_. При этом радиусы на поверхностях цилиндров 1 и 2 равны r1 = r2 = R.

Для свободной границы жидкости П, представляемой в виде некоторой функции f (t, r, в), кинематическое условие, обеспечивающее непроницаемость границы, будет иметь вид

ft + fr Ur + fe Ue = 0. (7)

Сила поверхностного натяжения жидкости на свободных границах для цилиндрической поверхности определяется по отношению Cn/rcr, где Сп — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, rcr — радиус кривизны линии f (t, r, в).

При слабом взаимодействии свободной границы жидкости с окружающим газом, имеющим давление Ратм и малые плотность и вязкость, условие непрерывности тензора напряжений на границе двух сред можно записать в виде формулы Лапласа

Р = Ратм — Сп/т"^гГсг ' п (8)

где п — внешняя нормаль к границе.

Для области жидкости П в сопутствующей системе координат на начальный момент времени Ь = 0 координаты т, в имеют пределы т Е [Я, Я+8в], в Е [—8ь/(2Я), 8ь/(2Я)]. Во всей области иг(0, т, в) = 0, Ид(0, т, в) = 0. В последующие моменты времени цилиндр 2 станет соприкасаться с этой областью начиная с точки (Я + 8s,8ь/(2Я)), для которой из условий прилипания и непротекания компоненты скорости будут определяться по формулам (6) иг = У, Ид = Уд. Это же будет выполняться и для других граничных точек жидкости, приходящих в соприкосновение с подвижной границей цилиндра 2. Условие для градиента давления на этой границе для т, в, соответствующих значениям (4) и (5) при ф\ = — в, получается из уравнений (1), (2):

(1 дР . лч Я дР . ,Л ((Ид + шт)2 Г2тт иг 2Я дИд \ (рдРР(Ь,т,в),7тдш(Ь,т,в)) = \;—- + 'Г*— й — йШ) ,

Иг Ид птт , Ид , 2ЯдИг

- 2ИГш + V Ч2ид- -д +

т2 т2 двЯ

На границе с цилиндром 1 из тех же условий для Ь из [0,Т] граничные условия в сопутствующей с этим цилиндром системе координат примут вид

1дР д 2П

иг(г,я,в) = 0,Ид(ь,я,в) = 0, -—(ь,я,в) = ш2я + и—т(ь,я,в).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р дт дт2

При этом координата в будет изменяться в пределах соприкасания рассматриваемой области жидкости с цилиндром 1.

На свободной границе необходимо поставить условия для компонент скорости, для каждого момента времени определяемые из следующих условий согласования тензоров напряжений на свободной границе (отсутствие взаимодействия с внешней средой): дит/дп = 0, дип/дп = 0, где ит — тангенсальный вектор скорости на границе жидкости, ип — вектор скорости по нормали к границе. При этом давление на свободных границах для всех Ь из [0,Т] определяется из упрощённого динамического условия (8).

При использовании уравнения (3) для определении поля давления во всей расчётной области течения жидкости П его обычно дополняют эволюционным членом дР/дЬ в виде

е,дР + V ■ и = 0, (9)

где

и = ^ )• V- и = ^ + И + ^

дт т т двЯ

ер > 0 — параметр, оптимально выбираемый при численных расчётах для сходимости решения и приближения (9) к уравнению (3).

2. Конечно-разностные методы решения

Для численного решения уравнений (1), (2), (9) вводится новая полярная система координат х,у, преобразованная из полярной системы координат г, в и соответствующая (Яв, Я — г), в которой граница цилиндра 1 проходит по оси Ох, а у цилиндра 2 центр перемещается при у < 0 от Яр0 справа налево со скоростью Яш. В этой системе координат расчётную область W представим в форме прямоугольника с регулярной сеткой и равномерными шагами Нх, Ну (Мх, Ыу — число узлов по координатам х, у). На фиксированной сетке применяются конечно-разностные методы с вводом подвижных граничных узлов для границы цилиндра 2 и свободной границы жидкости, которая в начальный момент находится на цилиндре 1 без относительного движения. В новой системе координат обозначим компоненты скорости (Ц, — Ц) через (и, у) = V.

В принятых в системе координат х,у обозначениях векторов скорости (что удобно для привязки к размерной длине области жидкости при графическом отображении в прямоугольной расчётной области) уравнения (1)-(3) после перестановки (1) и (2) и при отсутствии углового ускорения е примут следующий вид:

ди ди иЯ ди уи ^ дЬ ду Я — у дх Я — у

1 Я дР / 2 и 2Я ду \ , Л

+ А У2и-—---- , (10)

р Я — у дх \ (Я — у)2 (Я — уг2 дх) '

ду ду иЯ ду (и + ш(Я — у))2 1 дР / 2 у 2Я ди

т +%+ЯГ-уь + я-у = — ррду П у2у — (Я—у)* Э1-.

ду у = 0, (12)

где

ду Я — у Я — у дх

„2тт 1 ди д2 и Я2 д 2и V2U = —--+ +

Я — уду ду2 (Я — у)2 (дх)2'

Для расчёта в уравнениях (10) и (11) конвективно-диффузионных членов использовалась схема стабилизирующей поправки [2] с итерационным шагом по времени т

Vn+1/2 — V

Л I \ / П+1 / 2 Ж / П \ | \ \ / П |

т

Лl(vn+1/2 — Vn) + ЛVn + Л0Vn — Грп+1/р + ¥п, (13)

^^п+1 _ vn+1/2

- = л2

Л2(Vn+1 — Vn), (14)

где

л РЯР ^ + Л_1 2КЪ \2 А1А-1 л А2 + А_2 , А2А-2

Л1 = иЯ/(Я — у)^Х" + иЯ/(Я — у) -АТ, Л2 = у + '

ЛoVn = А —2Я/(Я — у)2 -+Л-■ уп — 1/(Я — у) -2hЛ_2 ип—

у

— 1/(Я — у)2пп, 2Я/ (Я — у)2 ^ ^ — 1/(Я — у)А2 +ьА_2 уп — 1/(Я — у)2уА +

ху

+ ^1/(Я — у)ьпип, —1/(Я — у)ипип^

Еп = (^2упш, —2ипш — ш2(Я — у)

А\, Д-1, Д2, А-2 — операторы сдвига функции на шаг сетки вверх или вниз по осям координат х, у.

Оператор Л в (13) является суммой Л1+Л2. Порядок аппроксимации в операторах Л и Л0 не больше двух (т.е. 0(кХ,Щ)), а порядок аппроксимации градиента давления (Грп+1 в (13)) и дивергенции скорости в (9) в случае применения трехточечных шаблонов в каждом пространственном направлении может быть повышен до четырёх. Для градиента давления используется следующее математическое представление в окрестности узла (хг}уу):

ТРп+1| ^ (Я/(Я у)(Д1 + Д-1 Рп+1 К +1 N Д2 + Д-2 рп+1 Ч гп+1 \ (15

ГР кз - ^Я/(Я — у) ^ 2ьх — ~6рхххм) , 2ку — ~6РУУУ^) . (15

Для аппроксимации третьих производных по x и y от давления второго порядка на компактном шаблоне (с использованием трёх узлов в каждом направлении) вначале произведём замены этих производных в виде

Pxxx = ((R - y)2/R2) (pGx - Pyyx + R/(R - y)pyx), (16)

Pyyy = pGy - 2R2/(R - y)3pxx - R2/(R - y)2Pxxy + 1/(R - y)2Py + 1/(R - y)Pyy, (17)

где G следует из подстановки dUr/dt и OUg/dt из уравнений (1) и (2) в (3) и равняется всем слагаемым без функции давления после преобразования координат и компонент скорости ((9R,R - r) в (x,y) и (U,-Ur) в (u,v)):

G(x, y, u, v) = -v2y + 1/(R - y)(vvy - 2uuy - 2ruyvx) +

+R/(R - y)2(uvx + uxv - Ru2x) + 2ш2 - 2шщ + 2w/(R - y)(u + Rvx). (18)

Аналогично строится аппроксимация дивергенции скорости четвёртого порядка на компактном шаблоне

V ■ V"+1|„ ^ R/(R - y)( Al +¡A-1 - f K+Lj

-1/(R - vKf + v"+ - f v"»., (19)

с использованием замен для третьих производных и с последующей аппроксимацией первых и вторых производных по каждому пространственному направлению центральными разностями второго порядка

иххх = —(Я — у)/ЯУухх + 1/ЯУхх, (20)

Уууу = 2/(Я — у)3(у — Яих) + 2/(Я — у)2(Уу — Яиху) + 1/(Я — у)(Ууу — Яихуу). (21)

Аппроксимация производных в (15) и (19) производится в узлах с индексами г,], где г = 1,..., N — 1, ] = 1,..., N — 1. Для расчёта давления уравнение (9) представляется в конечно-разностном виде

ерр-Р-+ V • Уп+1,к+1 = 0, (22)

т

где дивергенция скорости заменяется по (19) при использовании (20), (21) с заменой частных производных первого и второго порядка на конечно-разностные аналоги со вторым порядком аппроксимации на трехточечных шаблонах. При каждом расчёте давления необходим дополнительный расчёт данного параметра на твёрдых границах по уравнениям движения (10) и (11). Для этого вблизи твёрдых границ в дополнительных узлах на расстоянии в полшага от стенок используется аналог условия Тома для производных от компонент скорости и для их значений в виде (на примере граничного узла (0,]))

д'2 « \ = «Ц — „ = (31'0„,- + б1'ц- — У2,з)

(сдх)2) у ' 1/2' 8 .

На каждой п + 1-й итерации по времени по (22) определяется давление с помощью отдельного итерационного процесса при к = 0,1, ...,Ж(е), где £ — малая величина, не превышающая по норме приращения давления на Ж-й итерации. При этом на каждой итерации по к проводится перерасчёт вектора скорости уп+1,к при изменённом давлении рп+1,к. Данный алгоритм был применён в работе [3] для тестового расчёта вязкой несжимаемой жидкости. В такой постановке моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости производится до определённого значения времени £, пока цилиндр 2 находится в зоне контакта с жидкостью, первоначально расположенной на цилиндре 1 и при начальном времени вступающей в контакт с цилиндром 2.

3. Расчёт движения границы жидкости

Для расчёта перемещений условной границы жидкости, не проходящей через узлы сетки, вводятся дополнительные узлы на линиях между внутренними и внешними узлами, как это показано на рис. 2. Их смещение за шаг по времени т с учётом с каким-либо приближением кривизны границы можно определить по компонентам скорости («^ )

Рис. 2. Сеточный шаблон около подвижной границы

в прилегающем к границе расчётном (г, ])-м узле. Для этой цели можно пронумеровать окрестные узлы от 0 (центральный (г, ])-й узел) до 8 и произвести построение параболической интерполяции для кривой границы по трём дополнительным узлам, находящимся на пересечениях с узловыми линиями. В таком случае разрешение малых структур для областей, занимаемых жидкостью, будет ограничиваться шагами по сетке Нх и Ну. Как и центральный узел, указанные три узла выбираются на данной узловой и двух соседних линиях.

Из рис. 2 видно, что для узловой линии такие узлы по оси х имеют номера 36, 02 и 04, по оси у — 02, 04, 17. Пусть при рассмотрении дополнительного узла по оси х будут заданы координаты этих узлов (х1,у1), (х2,у2), (х3,уз). Тогда интерполяцию можно записать в следующем виде:

х = Х2 + (у — У2) (Х3—Х1) + (*—^ (хз—Х2 — . (23)

V Уз — у1 / уз — у1 V уз — у2 у2 — у1 )

Аналогично интерполяция строится и для дополнительного узла по оси у. В новых координатах такие интерполянты вместо f (¿, г, в) для кинематического условия (7) можно рассматривать как отдельные функции свободной границы f1(t,x,y) и ^^,х,у), причём одна из них представляет перемещение свободной границы по оси х, другая — по оси у.

После перемещения границы в виде интерполянты (23) за время т координаты рассматриваемых узлов по х и у изменятся на величины тщ^ и ту^^ и примут значения (х'1,у'1), (х2,у2), (х'3,у3). При этом интерполянта для узловой линии по оси х для определения новых координат дополнительного узла (х2,у2) сместится на величину

гр^ _ А^^ \ (^г/1) 2 / т^ _ /у»? гр? _ гр?

5х = тщ,! — туи( + ^^ ( — ) . (24)

. уЗ — у 1 / уЗ — у1 V уЗ — у2 у2 — у 1

Представленный расчёт движения границ жидкости по дополнительным узлам, находящимся на узловых линиях, позволяет учесть кривизну линии границы и точнее вычислять смещение последней при её произвольных ориентациях и произвольных направлениях вектора скорости.

4. Результаты расчётов

Для рассмотренной постановки задачи приведём результаты расчётов по конечно-разностной схеме (13), (14), (22) на равномерной сетке при Мх = Му = 80 и V в пределах от 0.2 • 10-5 до 0.2 • 10-3. Для определения числа Рейнольдса используем такие параметры как начальная толщина слоя жидкости и начальная радиальная скорость схождения цилиндров в области жидкости. При выбранных значениях этих параметров течение будет соответствовать числам И,е от 1 до 100, причём скорость между цилиндрами в малой области их контакта с жидкостью по мере вращения цилиндров может изменяться в несколько раз.

Для итерационного шага т значения выбирались из условий устойчивости расчётной схемы в пределах от 0.5 • 10-7 до 0.5 • 10-6 при следующих параметрах задачи: начальные размеры области жидкости 8ь = 0.008 и 8в = 0.004, коэффициент поверхностного натяжения Сп = 0.03, г1 = г2 = 0.05. Размерности всех величин здесь соответствуют

д

Рис. 3. Границы области течения жидкости при г = 0.1 ■ 10-2, Яе = 1 (а), г = 0.1 ■ 10 2, Яе = 10 (б), г = 0.2 ■ 10-2, Яе = 10 (в), г = 0.1 ■ 10-2, Яе = 100 (г) и г = 0.2 ■ 10-2, Яе = 100 (д); ш = 100

размерностям физических величин в системе СИ. Расчётная сетка рассматривалась для области, включающей начальную область жидкости П, с координатами х от —0.008 до 0.008 и у от —0.0049 до 0.0001.

На рис. 3 показаны численные решения с мгновенными линиями тока, полученными при задании на одной границе ф = 0 из поля скоростей путём интегрирования в расчётной области с точностью 0(Н2х + Ну) следующих соотношений:

я—удф = щ дф = (25)

Я ду ' дх '

Визуализация течения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами, представленная на рис. 3, показывает возможные перемещения свободных границ жидкости для разных чисел И,е на моменты времени t = 0.1 • 10-2 и t = 0.2 • 10-2. При этом движение свободных границ при числах И,е = 1 и 10 по сравнению с расчётами для И,е = 100 соответствует течению с большей вязкостью и существенным изменением всей свободной границы на начальном промежутке времени движения цилиндров.

Таким образом, показаны возможности применения рассмотренного метода для моделирования течений несжимаемой жидкости с движущимися и свободными границами на заданной регулярной сетке.

Список литературы

[1] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

[2] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.

[3] Плничкин А.В. Ускорение сходимости в расчётах стационарных течений жидкости при больших числах Рейнольдса // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13. Спец. выпуск № 3. С. 38-44.

Поступила в 'редакцию 7 декабря 2012 г., с доработки — 25 февраля 2013 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.