CC BY
86
№ 11 - 12 листопад - грудень 2011
2. За теоретичними залежностями прораховані головні енергосилові характеристики гвинтового робочого органа планувальної машини.
3. Побудовано та проаналізовано графічні діаграми отриманих результатів.
ВИКОРИСТАНІ ДЖЕРЕЛА
1. Машини для земляних робіт : навч. посіб. / Л. А. Хмара, С. В. Кравець, В. В. Ничке та ін./ - За заг. ред. Л. А. Хмари та С. В. Кравця. - Рівне - Дніпропетровськ - Харків. - 2010. -557 с.
2. Баловнев В. И. Моделирование процессов взаимодействия со средой рабочих органов дорожно-строительных машин. - М. : Высшая школа, 1981. - 336 с.
3. Красильников Л. В. Исследование лобового и косого резания грунтов при различной высоте рабочего органа: Автореф. дисс. . канд. техн. наук . - Харьков, 1967. - 20 с.
4. Красильников Л. В. Косое резание и копание грунта // Строительные и дорожные машины, 1967. - № 6. - С. 23 - 25.
5. Куриллов Е.В. Косое резание грунта дисковым ножом // Е. В.Куриллов, А. С.Щербаков / Механизация строительства. - 2009. - № 4. - С. 26 - 28.
УДК 539.3
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ В ОКРУЖНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПРОДОЛЬНОМ СЖАТИИ
М. В. Колесников, асп.
Ключевые слова: устойчивость оболочек, неоднородное сжатие, напряженно-
деформированное состояние
Введение. Проблеме устойчивости круговой цилиндрической оболочки под воздействием неоднородного в окружном направлении продольного сжатия посвящено большое число работ [1 - 6]. На сегодняшний день при исследовании устойчивости таких оболочек очевидной является необходимость использования геометрически нелинейной модели выпучивания. Современные расчетные программные комплексы (ПК), базирующиеся на методе конечного элемента (МКЭ), позволяют достаточно точно решать такого рода задачи. Так, результаты численного расчета устойчивости круговой цилиндрической оболочки при неоднородном в окружном направлении осевом сжатии в среде ПК ANSYS находятся в хорошем соответствии с данными эксперимента, что говорит о высокой эффективности комплекса [8].
В то же время напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки при неоднородном продольном сжатии, что непосредственно связано с прочностью рассматриваемых конструкций, изучено недостаточно, в особенности в геометрически нелинейной постановке. В настоящей работе с целью оценки применимости ПК ANSYS для исследования НДС оболочек при неоднородном сжатии проведен расчет тонкостенного цилиндра, результаты испытаний которого представлены в работе [7]. Данные расчета МКЭ сравниваются с экспериментальными данными, а также с результатами расчета методом конечных разностей (МКР). Изучено влияние геометрической нелинейности на величину опасных напряжений рассматриваемой оболочки.
Постановка задачи и методика численного моделирования. В работе [7] приведены результаты экспериментального исследования НДС продольно сжатой гладкой цилиндрической оболочки, подкрепленной по торцам кольцами. Радиус оболочки R = 200 мм, толщина t = 0,5 мм, длина L = 405 мм (относительные параметры: R/t = 400, L/R = 2). Материал - алюминиевый сплав АМГ6 (модуль Юнга Е = 70,6 ГПа, коэффициент Пуассона v = 0,3). На верхний торец оболочки нагрузка передавалась по всему периметру. Нагружение нижнего торца осуществлялось по четырем отрезкам дуг направляющего круга с центральным углом п/6. Располагались участки нагружения с одинаковым шагом по периметру (рис. 1, а). Нагрузка передавалась через специальные крестообразные упругие прокладки. Замеры относительных деформаций производились тензодатчиками с базой 10 и 20 мм при помощи статического измерителя деформации.
66
Вісник ПДАБА
Расчет НДС испытанной оболочки в статье [7] выполнялся МКР. На верхнем торце моделировались два типа граничных условий: равномерно распределенная нагрузка (q = const) и постоянное смещение торца (u = const). На нижнем торце, в местах передачи нагрузки, и по всему контуру верхнего торца тангенциальные и радиальные перемещения принимались равными нулю. Построение сетки осуществлялось для четверти цилиндра (см. рис. 1, а), порядок системы уравнений k = 126 для случая u = const и k = 131 для случая q = const.
Настоящее численное исследование, как уже отмечалось, проводилось в среде ПК ANSYS. Для создания расчетной модели цилиндрической оболочки использовался элемент SHELL 181 из стандартной библиотеки элементов ПК ANSYS, предназначенный для расчета оболочек с малой и умеренной толщиной. Элемент имеет четыре узловые точки, у каждой из которых 6 степеней свободы: три перемещения в направлении осей X, Y, Z узловой системы координат и три поворота относительно этих осей. Элемент применим для расчета геометрически нелинейных задач с большими деформациями и поворотами.
Конечно-элементная модель оболочки (рис. 1, б) строилась при помощи генератора сеток ПК. Во избежание существенного отличия размеров соседних элементов использовался метод регулярного построения. Все элементы принимались квадратными в плане. Число конечных элементов выбиралось на основе критерия получения стабильных результатов, как по критическим и предельным нагрузкам, так и по основным показателям НДС, путем процедуры последовательного сгущения сети. В окончательных расчетах общее их число составляло около 5 500.
Как и в расчете МКР, на верхнем торце оболочки рассматривались два условия u = const и q = const. В последнем случае для обеспечения неподвижности системы перемещения оболочки вдоль ее оси (как целого) ограничивались в одной точке (и = 0).
а б
Рис. 1. Расчетная схема метода конечных разностей и конечно-элементная модель
оболочки
Моделирование подкрепляющих колец осуществлялось балочным конечным элементом BEAM 189 из стандартной библиотеки. Сечение подкрепляющего кольца принималось в форме полого прямоугольного с характеристиками (площадь сечения А = 56 мм2, момент инерции относительно вертикальной оси Ia = 2778 мм4, момент инерции относительно горизонтальной оси Iz = 898 мм4, момент кручения 1кр = 2190 мм4, толщина стенки d = 1 мм), которые косвенно определялись из параметров, приводимых в работе [7]. Следует отметить, что форма сечения принималась из соображений обеспечения необходимой жесткости при максимальной простоте сечения, ввиду отсутствия указаний в работе [7].
Для выявления нелинейных эффектов расчеты НДС проводились при нагрузке, близкой к предельной её величине геометрически нелинейного расчета. Равнодействующая этой нагрузки T = 4P (здесь P - равнодействующая нагрузки, приложенной к одному из участков) составляла 22,3 кН для случая u = const и 19,1 кН при q = const.
Результаты расчета и их обсуждение. На рисунке 2, а - е приведены эпюры в продольных сечениях безразмерного параметра нормальных продольных усилий N1 = N1nR/(2P) (a - в для случая и = const, г - е для случая q = const ). Эпюры построены в трех
67
№ 11 - 12 листопад - грудень 2011
продольных сечениях: 1) посередине области приложения нагрузки (рис. 2, а, г), 2) на границе между участком приложения нагрузки и свободным от нагружения краем (рис. 2, б, д), 3) посередине свободного от нагрузки участка (рис. 2, в, е). На рисунке 1, а указанные сечения выделены жирными линиями. На эпюрах штриховые линии соответствуют расчету МКР, сплошные линии, тонкие и жирные,- расчету в среде ПК ANSYS в линейной и геометрически нелинейной постановках. Черными ромбами приведены значения N1, полученные в испытаниях.
На рисунке 3 показаны эпюры распределения нормальных усилий N1 в окружном направлении, полученные в среде ПК ANSYS: тонкая линия - линейный расчет, жирная -нелинейный. Эпюры построены для четверти оболочки, ввиду симметрии НДС, в области нижнего торца (рис. 3, а, г), в центре оболочки (рис. 3, б, д), и в области верхнего торца (рис. 3, в, е). Область приложения нагрузки P соответствует участку от 30° до 60°. Случаю u = const соответствуют эпюры а - в, случаю q = const - эпюры г - е.
Эпюры относительных радиальных перемещений w = wnEt/(2P) в указанных выше трех продольных сечениях приведены на рисунке 4 (сечения 1 (а, г), 2 (б, д) и 3 (в, е). Также, как и на рисунке 2, штриховые линии соответствуют расчету МКР, сплошные линии, тонкие и жирные, - расчету в среде ПК ANSYS в линейной и геометрически нелинейной постановке, соответственно. Положительные перемещения направлены от центра кривизны оболочки. Случаю u = const соответствуют эпюры а - в, случаю q = const - эпюры г - е. Для всех эпюр радиальных перемещений приведена также дополнительная шкала оси абсцисс w' = w/t.
68
Вісник ПДАБА
Рис. 3. Эпюры продольных усилий N в окружном направлении для случая u = const (а - в)
и q = const (г - е)
На рисунке 5 даны эпюры относительных радиальных перемещений в окружном направлении для среднего по высоте поперечного сечения оболочки: а - случай u = const, б -случай q = const. Тонкая линия - расчет МКЭ в линейной постановке, жирная - в нелинейной. Здесь же черными ромбами нанесены результаты расчета МКР [7].
Из зависимостей, приведенных на рисунках 2 и 3, видно, что при определении нормальных продольных усилий N линейный и геометрически нелинейный расчеты МКЭ, а также линейный расчет МКР практически совпадают между собой, т.е. геометрическая нелинейность, характерная для процесса деформирования оболочки при неравномерном продольном сжатии, на распределение и величину N1 не влияет. Полученные расчетные данные при условии q = const хорошо соответствуют эксперименту, что вполне естественно, поскольку очевидно, что передача нагрузки через упругую прокладку в значительно большей степени соответствует условию q = const. При условии u = const в области верхнего края оболочки между теорией и данными испытаний отмечается весьма существенное отличие. Здесь (у верхнего края), в центре нагруженной области, в расчете имеет место существенное снижение усилий N1, которое четко отражается как нелинейным, так и линейными расчетами (рис. 2, в и 3, в). Это является дополнительным подтверждением того, что для определения усилий N1 при неоднородном продольном сжатии геометрически линейная постановка задачи является вполне достаточной.
Максимальные радиальные перемещения w направлены к центру кривизны оболочки. Реализуются эти перемещения в окружном направлении (рис. 4) в центре нагруженной области, причем максимум прогиба по длине оболочки смещен от ее середины к локально нагруженному краю. В рассматриваемой области линейные решения МКЭ и МКР близки. Причем оба расчета четко и одинаково отражают существенную разницу перемещений для рассматриваемых двух случаев нагружения верхнего торца оболочки u = const и q = const. В то же время указанные решения в промежуточной и ненагруженной области отличаются, причем, в основном, количественно. Эти отличия, однако, достаточно малы, по сравнению с величинами прогибов в нагруженной области. Вполне вероятно, что разница между расчетом МКЭ и МКР в данном случае обусловлена величиной сетки, использованной в этих расчетах. Так, принимаемый размер конечного элемента в среднем равен 10 мм, в то время как шаг
69
№ 11 - 12 листопад - грудень 2011
принятой в работе [7] сетки составляет 40 мм. Здесь важно было бы сравнить расчет с экспериментом, однако, к сожалению, экспериментальные значения перемещений в рассматриваемой работе не приведены, несмотря на то, что методика получения таких экспериментальных данных значительно проще и менее трудоемкая, чем методика определения внутренних усилий.
Геометрически нелинейный расчет перемещений w МКЭ во всех рассмотренных случаях отличается от линейных решений, причем как качественно, так и количественно. В нагруженной области наблюдается осцилляция прогибов по длине оболочки, которая начинается у нагруженного нижнего края и затухает на уровне нижней трети цилиндра (рис. 4, а, г). В ненагруженной области эпюра прогиба образует две полуволны (что четко проявляется для случая u = const, рис. 4, в), в то время как в линейном решении изгиб происходит по одной полуволне.
Рис. 4. Эпюры относительных радиальных перемещений w и w' для случая u = const (а - в)
и q = const (г - е)
Полученные отличия линейного и нелинейного расчетов радиальных перемещений w являются свидетельством выраженного моментного геометрически нелинейного деформирования оболочки при неоднородном продольном сжатии, что соответствует как теоретическим, так и экспериментальным данным [2; 3; 6; 8]. В этой связи при оценке прочности такой оболочки линейный расчет, позволяющий с достаточной точностью определить продольные мембранные напряжения (а1), может оказаться недостаточным, поскольку не учитывает дополнительных изгибных напряжений, обусловленных геометрической нелинейностью процесса деформирования.
С целью уточнения напряженного состояния оболочки, связанного с нелинейностью ее деформирования, в среде ПК ANSYS были проведены расчеты по определению максимальных нормальных продольных напряжений а1, обусловленных как сжатием, так и изгибом.
70
Вісник ПДАБА
Результаты этих исследований для условия нагружения верхнего торца u = const приведены ниже.
Рис. 5. Эпюры относительных радиальных перемещений w для случая u = const (а) и q = const (б) в серединной поперечной плоскости оболочки
На рисунке 6 даны эпюры нормальных напряжений в продольном сечении в области приложения локальной нагрузки P. Здесь основные мембранные напряжения а1 = N\/t показаны сплошной жирной линией, суммарные мембранные и изгибные напряжения a1=N1/t ± бМ/t2 на внешней поверхности оболочки - сплошной тонкой линией, на внутренней - тонкой пунктирной линией. На рисунке б, а представлен случай нелинейного расчета, рисунок б, б отражает распределение напряжений в случае линейного расчета. Картина распределения напряжений для случая q = const близка к случаю u = const.
Рис. 6. Эпюры напряжений и в меридиональных сечениях оболочки, в случае нелинейного расчета МКЭ(а) и линейного расчета МКЭ (б)
Из зависимостей, приведенных на рисунке 6, видно, что характер изменения нормальных суммарных напряжений о1 по длине оболочки геометрически нелинейного и линейного расчетов различен. Для нелинейного расчета в области нижней трети оболочки характерна осцилляция напряжений а1, обусловленная изгибной составляющей. Линейный расчет дает у нижнего края типичный краевой эффект. Однако, тем не менее, максимальные абсолютные значения суммарных напряжений в этих расчетах оказались близкими. Близкой оказалась и их локализация - внутренняя поверхность нижнего края нагруженной области оболочки. Таким образом, учет геометрической нелинейности при оценке прочности оболочки по суммарным мембранным и изгибным напряжениям а1 в данном случае не дает каких-либо заметных изменений величины опасных напряжений.
71
№ 11 - 12 листопад - грудень 2011
Однако, в данном случае, расчет на прочность только по нормальным продольным напряжениям а1 является недостаточным. Так, особенность нелинейного деформирования оболочки в нагруженных областях (рис. 4, 5, в частности, осцилляция прогибов) указывает на то, что в этих областях, наряду с нормальными продольными усилиями N1, возникают также окружные усилия N2, которые являются равнодействующей мембранных окружных напряжений а2. Кроме того, в этой области имеет место существенный окружной изгиб (рис. 5), связанный с изгибными напряжениями о2. Напряжения о2, как изгибные, так и мембранные, в принципе, могут повлиять на прочность оболочки. В этой связи необходимо отметить необходимость дополнительных расчетов эквивалентных напряжений с целью оценки несущей способности оболочек при данном типе нагружения.
Отметим еще один интересный результат проведенного исследования. Расчет МКЭ проведенного исследования при размерах сетки, равных размерам сетки при расчете МКР, показал худший результат по отношению к эксперименту, что говорит о высокой вычислительной эффективности МКР. Это связано, вероятно, с различными принципами моделирования исследуемых систем сравниваемыми методами (дискретизация математических уравнений в МКР и физическая дискретизация в случае МКЭ)
Выводы. Исследование НДС цилиндрической оболочки в геометрически линейной и нелинейной постановке при неоднородном в окружном направлении продольном сжатии выявило ряд дополнительных эффектов. В ходе исследования отмечено практически полное соответствие величин продольных усилий Nj (в обеих постановках МКЭ, а также при расчете МКР) эксперименту. Следует также отметить, что расчеты НДС исследуемой оболочки хорошо соответствуют как расчетам МКР, так и экспериментальным данным, что говорит о применимости ПК ANSYS для решения подобного рода задач. Необходимо отметить, что данное исследование является неполным и требует дополнительных расчетов в геометрически линейной и нелинейной постановке эквивалентных напряжений и их сравнительного анализа.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Григолюк Э. И., Кабанов В. В., Устойчивость оболочек. - М. : Наука, 1978.
2. Андреев Л. В., Заварыкин Л. Г., Ободан Н. И. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. - М. : Наука, 1988.
3. Заварыкин Л. Г. Нелинейное деформирование и устойчивость цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии: Автореф. дисс. канд. техн. наук. - Днепропетровск, 1984. - 19 с.
4. Бинкевич Е. В., Красовский В. Л. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном сжатии // Тр. VIII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. - М. : Наука. - 1973. - С. 246 - 249.
5. Гавриленко Г. Д. Устойчивость цилиндрических оболочек под действием сосредоточенных сил // Прикладная механика. - 1970. - 6. - № 3. - С. 25 - 31.
6. Красовский В. Л. Деформирование и выпучивание тонкостенных цилиндров при продольном неоднородном сжатии // Theoretical Foundations in Civil Engineering. - Warsaw: WPU. - 1995. - P. 87 - 96.
7. Длугач М. И., Поляков П. С., Максименко В. П. Исследование прочности цилиндрических оболочек, нагруженных продольными силами // Прикладная механика. - К. : -1968. - Том IV. - Вып. 4
8. Красовский В. Л., Колесников М. В., Рюдигер Шмидт, «Статический резонанс» в цилиндрических оболочках при периодически неоднородном сжатии (эксперимент и численное исследование) // Theoretical Foundations in Civil Engineering. - Warsaw: WPU. - 2008. - P. 189 -200.
9. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций // М. Машиностроение, 1975.
72
