Численный анализ модели обслуживания сессий в сети GSM/GPRS Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

7 декабря 2011 г. 18:46

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Численный анализ модели обслуживания сессий в сети GSM/GPRS

Построена функциональная модель процесса передачи информации по каналу сети GSM, в котором на частотный канал, состоящий из восьми физических каналов, поступают потоки GPRS-сессий. Исследована соответствующая аналитическая модель в веде многапинейной системы массового обслуживания с входящим ММРР потоком. При решении системы уравнений равновесия к матрице интенсивностей переходов применен метод lU-разпожения. Получено стационарное распределение вероятностей, исследованы вероятностн&яременные характеристики процесса передачи информации по каналу сети GSM.

Абаев П.О.,

ассистент кафедры систем телекоммуникаций РУДН, pobaev@so.pfj.edu. п)

Гайдамака Ю.В.,

доцент кофедры систем телекоммуникаций РУДН, ygoidamoka@moil.rv

Рудикова Е.В.,

магистр кофедры систем телекоммуникаций РУДН, eprvdikova@yandex.nj

Введение

Сеть GSM, предназначенная в первую очередь для передачи речи, накладывает на использование приложений Интернет ряд технических ограничений, которые связаны, в основном, с невозможностью обеспечить требуемую для приложения скорость передачи. Для преодоления этих ограничений был разработан новый стандарт общего сервиса пакетной радиопередачи в сетях GSM технология GPRS (GPRS, General Packet Radio Service). Технология GPRS, использующая для передачи данных существующий в сети GSM родиоин-терфейс, является первым промежуточным шагом в создании систем третьего поколения (3G, 3rd Generation). Поэтому системы, поддерживающие технологию GPRS, получили название 2G+.

В работе на основе механизма распределения частот на базовой приемопередающей станции построена функциональная модель процесса передачи информации по каналу сети GSM, в которой на частотный канал, состоящий из восьми физических каналов, поступают потоки GPRS-сессий. Исследована соответствующая аналитическая модель в виде многолинейной системы массового обслуживания с входящим ММРР потоком (Markov Modulated Poisson Process). Для уменьшения объема вычислений при решении системы уравнений равновесия к матрице интенсивностей переходов применен метод LU-разложения, т.е. представления матрицы в виде произведения верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы, у которой все элементы главной диагонали — единицы. Получены стационарное распределение вероятностей и вероятностно-временные характеристики процесса передачи информации по каналу сети GSM. Для иллюстрации предложенного метода приведен пример расчета ВВХ мотели.

Постановка задачи

В сети GSM используется множественный доступ с временным (TDMA, Time Division Multiple Access) и чостотным (FDMA, Frequency Division Multiple Access) разделением. Как показано на рис. 1, для

GSM зарезервированы д ве частотные полосы с разносом в 45 МГц с 890М1Ц по 915 МГц для восходящего и с 935 по 960 МГц для нисходящего трафика. Каждая полоса шириной в 25 МГц разделяется на 124 несущих канала по 200КГц шириной. Частоты группируются парами, организуя дуплексный канал, за распределение несущих частот отвечает базовая приемопередающая станция.

Каждая частотная несущая содержит восемь физических каналов, соответствующих восьми временным интервалам, составляющим TDMA-кадр. В то время как в сети GSM для передачи речи используется по одному физическому каналу для передачи восходящего и нисходящего трафика, в сети GPRS для обслуживания одной сессии при передаче данных может использоваться до 8 физических каналов.

На основе механизма распределения радиочастот на базовой приемопередоющей станции построим функциональную модель, в которой на частотный канал (рис. 2), состоящий из восьми физических каналов, поступают нисходящие потоки пакетов GPRS-сессий (напр^ер, данные, получаемые пользователем из сети Интернет). Восходящий трафик пакетов от мобильной станции (MS, Mobile Station) к базовой станции (BTS, Base Transceiver Station) в модели не учитывается (например, запросы пользователя на получение данных из сети Интернет), т.к он не создает существенной нагрузки на систему.

Возможность предоставления услуги передачи данных по технологии GPRS с различными уровнями качества обеспечивается с помощью одной из стратегий управления доступом пакетов в частотный канал. Для каждой GPRS-сессии устанавливается максимально

9Ы) МН/

959, Я МН?

935.2 МН/ 935 МН/

ItpCMCNMOlt іплсрмл

(тайм слот)

Нисходящий капал

Кмр ТОМА

пачка период 156 25 бит. 15/26 ме

915 МН/ 914 * МН/

*90.: мн. К90МН/

—Л

Кадр ТОМА

Рисі . Схема несунах частот GSM и кадра TDMA

130

T-Comm, #7-2010

GRPS-сессия 1

GRPS-сессия 2

GRPS-сессия К

TS7

TS6

TS5

TS4 ( 3

TS3 ж

TS2

TS1

TS0

FW. 2. Функциональная схема обслуживания трафика GPRSceccnPi иа частотном канале

возможное число доступных для передачи физических каналов. Если сессия исчерпала все доступные ей каналы, то вновь прибывающие пакеты данной сессии теряются.

GPRS-сессия, как показано на рис. 3, представляется последовательностью чередующихся периодов "On"/uOff" активности и паузы. В течение периода активности может быть передано некоторое количество пакетов, во время паузы пакеты не передаются, таким образом, трафик GPRS-сессий имеет пульсирующий характер.

Задачей исследования является анализ одного из основных показателей качества обслуживания трафика GPRS-сессии на участке между мобильной и базовой приемопередающими станциями вероятности потери пакета из-за отсутствия свободных каналов. С этой целью в работе построена математическая модель в виде многолинейной системы массового обслуживания (СМО) с входящим ММРР потоком (MaHcov Modulated Poisson Process) [2\ а также предложен метсд расчета характеристик модели.

Математическая модель

На рис. 4 схематично изображена СМО, моделирующая обслуживание трафика GPRS-сессий одним частотным каналом. На систему, состоящую из С приборов, от К источников (GPRS-сессий) поступает ММРР-поток заявок (GPRS-пакетов). Каждый источник может находиться в одном из двух состояний "О" (Off) или "1" (On). Длительности пребывания к-источника в состояниях "(У и "Г имеют экспоненциальное распределение с параметрами и (5к соответственно, к= 1,К. В состоянии "О" источник не генерирует заявки. В состоянии" 1" к-й источник генерирует заявки (k-заявки) с интенсивностью А . ()< X, < оо. к = |. А . Число приборов, доступных к-заявкам, не превосходит заданной величины . 0£ гк < С. к = \.К . Если в момент поступления /(-заявки заявками того же типа занято меньше, чем гк приборов, к-заявка поступает на обслуживание, за-

Оп On On

LoffJ L

Off

сессия GPRS ftic. 3. Временная диаграмма трафика GPRS-сессии

нимает один прибор и обслуживается на нем в течение случайного времени, имеющего экспоненциальное распределение с параметром ц, 0 < Ц < оо, не зависящим от типа заявки. Если в момент поступления ^-заявки заявками того же типа занято гк приборов или все приборы в системе заняты, поступившая заявка теряется. Построенную СМО будем кодировать в обозначениях Башарина-Кендалла как ММРР(/Сг) | М | С.

Обозначим лк(1) число ^-заявок в СМО, 0 < п^і) < гД и А (/ )е {і). 1} состояние /(-го ММРР потока (к-потока) в момент времени ( > 0. Тогда составной случайный процесс )ф) = (п(і), Щ по построению является Марковским процессом и описывает поведение исследуемой системы нод множеством состояний

Ж = 5Ух£. 5У = |" £», *С.0 2и, Л =їїг|.£ = {ІІ.іУ‘

11)

Обозначим />(п.1) (м.І)б X, стационарное распределение вероятностей состояний МП х(0 и рассмотрим В, с/ множество состояний, в которых система не может принять на обслуживание /(-заявку. Будем называть Вк множеством блокировок /(-заявок, и для его построения введем следующие вспомогательные множества:

ПІ' =!(п.1)е Х:пк = гк ;/к =1|

— множество состояний блокировки из-за того, что в системе уже обслуживается гк заявок того же типа;

= {(п.1)еХ:п. = С,пк *гк :1к = 1}

— множество состояний блокировок /с-заявок из-за отсутствия свободных приборов.

С учетом введенных обозначений множество блокировок Вк имеют вид

#* = п;ип; (2)

а вероятность блокировки 8^ определяется формулой

Я, = £р(п.1) + £/;(п.1)- У/.М (3)

(«1>п*4 <п1> пї (піНіГ'МІІ

T-Comm, #7-2010

131

Задачей данной работы является разработка методо вычислений распределения вероятностей р(п,1), (п.1 )є X, и вероятностей блокировки Вк, к = I. А'.

Метод вычисления характеристик

Пусть А инфинитезимальный оператор МП Х(/) и У - и*1* г/ максимальное значение элементов вектора п є N • Обозначим х(у+1) = ... х2К ) число, составленное из элементов век-

тора х и представленное в системе счисления по основанию (у ♦ 1). Очевидно, что представление числа х(у ♦ 1) в десятичной системе счисления определяется формулой

(❖+ОЙ. = $>,&+■)*''

Введем на множестве X лексикографический порядок (х' = (пМ')> х" = (п ".!"))<=>

(4)

(5)

Нетрудно убедиться, что матрица А имеет блочный трехдиагональный вид т е

Л =

•>» и„ 0 ... II 0

■- О, и, 0 II

и ьг И: 0

и I)

и 0 Ьс_, ИС-1

0 0 ... 0 1-е О,

и

Заметим, что множество X представимо в виде х*ил* , где X, - {(п. |)б X ://. = /} и X, с\ X, = 0. / * у . Поэтому нсщдиаго-нальные блоки и описывают переходы МП Щ из состояний множества X, в состояние множества Х,*]> / = О.С-I • Аналогично под-диагоиальные блоки 1. описьвают переходы из состояний множества X, в состояние множества X, _1» •“ ЬС а диагональные блоки й — переходы внутри множества X, ' = 0,С.

Обозначим в вектор длины К, /-й элемент которою равен 1, а остальные элементы равны 0. Тогда ненулевые элементы блоков матрицы А вьмисляются по следующим формулам;

и((іГ.Ґ)(п *.!*))= а . осли Ґ =Ґ.п* = п*+с 0<<гг/'=І Ь((п,.І#).(п*.І,#))**п/ ц. /=І.А‘.еслнҐ=Ґ. п" = п'-с, П«п'.і'КпМ'))=

а .если п* = п'. Ґ=І'+ег /' =0. {і .ссли п' = о'Г =Ґ-е. /' = І.

(7)

(8) (9)

Для определения стационарных вероятностей необходимо решить систему уравнения равновесия (СУР)

ния А = I • Ц где и — верхняя треугольная матрица, а I — нижняя треугольная матрица, у которой все элементы главной диагонали единицы Полученные в ходе разложения матрицы 1и и будут также блочными, и размеры их блоков будут совпадать с размерами соответствующих блоков матрицы А

о„и„« . II 1 II ... 0 \\„\„|» II

1,0, и, II ... 0 = - V, 1 1) ... (1 II \\ V', II II

II 1. 1), 0 ...-V, 1 II ... XV, 1

ті

Представим вектор стационарных вероятностей в виде р1 = (р^р , ..( рс), причем число элементов подвекторо р/ і = 0,С, равно числу строк (столбцов) блока й, / = 0,С. Согласно [1 ] для неразложимой матрицы А справедливо утверждение: существует единственное Ш-разложение А-(I.-У}\Л/, где У —нижняятреугольная блочная матрица с блоками У, имеющая нулевые диагональные блоки, — верхняя треугольная блочная матрица с блоками V/ , матрица >^сс—нижний блок матрицьі W является неразложимой консервативной матрицей, а вектор рг = (р^р,,..., рс) является решением СУР (10) тогда и только тогда, когда

Р» = Хр,гХ„*«с-і..о

[12)

ИЗ)

А =0

(10)

Из формул (12) и (13) следует, что вектор р? = (р^р,,..., рс) является решением СУР (10), если с учетом обозначений У = У У/ =У/ справедливы соотношения: р1^. N^=0'и р[ = р/1, • , I = О, С-1,

которые позволяют свести решение системы (10) к решению системы меньшего порядка.

Для успешной работы алгоритма Ш-разложения элементы главной диагонали матрицы А не должны обращаться в нуль в процессе вычислений. Сложности могут возникать и в случае, когда эти элементы не равны нулю, но близки к нему. В прикладных задачах вместо Ш-разложения чаще используют ШР-разложение Р • А = I. • Ц где Р — матрица перестановок, в каждом столбце которой и в каждой строке по одному элементу, равному единице, а остальные элементы равны нулю, определитель матрицы Р по модулю равен единице, р р произведение двух матриц перестановки также является матрицей перестановки.

Для получения ШР-разложения используют модифицированный метод Гаусса исключения неизвестных, причем на каждой итерации происходит операция перестановки местами двух строк соответствующей матрицы, необходимая для получения ненулевых ведущих элементов.

Пример расчета

Рассмотрим пример построения матрицу А для случая С = 3, К - 2, г= (2,3). Выпишем пространство состояний х согласно формуле (1) и первые несколько блоков матрицы А

X=^о.о)(0.1)(1.0)(I.I)(0.2)(2.0)(0.3)(1.2)(2.1 1У (ы)

Поскольку задача осложняется большой размерностью пространства состояний, а следовательно, и матрицы А то для поиска решения СУР воспользуемся методом Ш-разложения [}\в результате которого можно получить представление матрицы в виде п рои зведе-

1>„ и» 0 0 '() 0 0 0 0 0 0 0

ь, ■> и, 0 • 1’.,= 0 я, 0 0 0 о 0 0

0 1) 1 0 0 0 0 0 0 ^1 0

(1 0 п 0 0 А. 0 0 0 К,

132

Т-Сотт, #7-2010