Численное решение задачи о коагуляции двух частиц в потоке текучей среды в полярных координатах Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 541.311:614.84

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОАГУЛЯЦИИ ДВУХ ЧАСТИЦ В ПОТОКЕ ТЕКУЧЕЙ СРЕДЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

© 2014 г. Б.А. Авдеев, Е.П. Масюткин, В.И. Просвирнин

Авдеев Борис Александрович - аспирант, кафедра «Электрооборудование судов и автоматизация производства», Керченский государственный морской технологический университет. Тел. +38 (095) 681 54 56. E-mail: dirigeant@mail.ru

Масюткин Евгений Петрович - канд. техн. наук, профессор, ректор, Керченский государственный морской технологический университет. Тел. +38 (067)653-52-96.

Avdeyev Boris Alexandrovuch - post-graduate student, department «Electrical Equipment of Ships and Industrial Automation», Kerch State Maritime Technological University. Ph. +38 (095) 681 54 56. E-mail: dirigeant@mail.ru

Masyutkin Eugene Petrovich - Candidate of Technical Sciences, professor, rector, Kerch State Maritime Technological University. Ph. +38 (067)653-52-96.

Prosvirnin Viktor Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Electrical Equipment of Ships and Industrial Automation», Kerch State Maritime Technological University. Ph. +38 (099)955-67-70. E-mail: vip-3434@ mail.ru

Просвирнин Виктор Иванович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Электрооборудование судов и автоматизация производства», Керченский государственный морской технологический университет. Тел. +38 (099)955-67-70. Email: vip-3434@mail.ru

Разработана математическая модель коагуляции двух частиц в рабочей зоне гидроциклонов с радиальным магнитным полем. В основу модели положен подход Лагранжа. Проанализированы возможные положения частиц в гидроциклоне и одна относительно другой. Распределение напряженности магнитного поля описываются эмпирической зависимостью. Математическая модель выполнена в полярной системе координат. Для того чтобы оценить траекторию движения частиц и образовавшейся вследствие коагуляции частиц флокулы, система дифференциальных уравнений была преобразована к нормальной форме Коши. Показано, что коагуляция способствует сепарации частиц в гидроциклоне и интенсифицирует процесс. В качестве поясняющего материала приведены рисунки, иллюстрирующие процесс взаимодействия двух частиц при различных положениях одна относительно другой. Приведено численное решение системы уравнений.

Ключевые слова: модель; магнитный гидроциклон; коагуляция.

A mathematical model of the coagulation of two particles in the working area of hydrocyclones with the radial magnetic field is developed. The model is based Lagrange approach. The possible position of the particles in a hydrocyclone and relative to each other is analyzed. In order to estimate the trajectory of the particles formed as a result of particle coagulation floccules, the system of differential equations has been converted to a normal form of Cauchy. It is shown that the coagulation promotes separation of particles in a hydrocyclone and intensifies the process. As an illustration in the article are drawings the process of interaction between two particles at different positions relative to each other. Numerical solution of the system is reduced.

Keywords: model; magnetic hydrocyclone; coagulation.

Актуальность работы

Очистка технических жидкостей различного назначения (амортизаторные, антиобледенительные, гидравлические, охлаждающие, промывочные, пусковые, разделительные, смазочно-охлаждающие и тормозные) является одной из важнейших проблем в ресурсо- и энергосбережении и защите окружающей среды [1]. Особое место среди всех типов технических жидкостей занимают смазочно-охлаждающие жидкости (СОЖ), предназначенные в основном для смазки и охлаждения металлообрабатывающих инструментов, деталей и трущихся частей механизмов, что способствует снижению износа инструментов, повышению точности обработанных деталей и надежности

работы механизмов; кроме того, они вымывают абразивную пыль и стружку, защищают детали, инструмент и оборудование от коррозии, улучшают санитарно-гигиенические условия работы [2].

Средний срок использования СОЖ колеблется от двух недель до нескольких месяцев [3]. Основными причинами их замены является наличие большого количества взвешенных веществ (металлическая пыль, сажа, частицы абразивных материалов), расслаивание СОЖ и загнивание.

Основными механизмами извлечения примесей из СОЖ являются действие сил гравитации (осадите-ли, отстойники), инерции (циклоны, гидроциклоны, скрубберы, центрифуги), ситовый эффект (фильтры) и

сепарация под действием внешнего воздействия (сепараторы, классификаторы) [4]. В связи с тем что механические примеси, возникающие в процессе обработки деталей, эксплуатации машин и механизмов, являются ферромагнитными, то целесообразно применять магнитное поле для интенсификации процесса извлечения механических частиц из вязких сред.

Магнитное поле, действующее в рабочей камере гидроциклона, будет служить для коагуляции частиц между собой.

Несмотря на то что магнитные гидроциклоны применяются в течение многих десятилетий, до сих пор остается неисследованным процесс коагуляции под действием магнитного поля в криволинейном потоке.

Существуют различные конструкции магнитных гидроциклонов, которые приведены на рис. 1. Наибольшее применение нашли гидроциклоны с радиальным магнитным полем [1, 5].

Сечение А-А

Рис. 1. Базовые конструкции магнитных гидроциклонов: а - с радиальным магнитным полем; б - с внешним магнитным полем; в - с магнитным полем на конической части; г - с коагулятором на входе

Целью работы является создание математической модели коагуляции двух частиц в рабочей зоне гидроциклона под действием магнитного поля.

Материал и результаты исследований

Динамике частиц в криволинейном канале инерционных аппаратов без наложения магнитного поля посвящен целый ряд исследований [6 - 11], однако ни в одной из этих работ не рассматривались вопросы, связанные с силой коагуляции и, как следствие, не учитывалось образование флокул.

Коагуляция - объединение мелких частиц дисперсных систем в более крупные под влиянием сил сцепления. Этот процесс играет важную роль в очистке вязких сред от механических примесей. Под действием сил коагуляции маленькие, дисперсные коллоидные частицы объединяются вместе в большие массы, называемые флокулами.

Силами коагуляции могут являться силы, вызванные следующими воздействиями:

- полями электрической природы (электрическое или магнитное поля);

- ультразвуком;

- броуновским движением;

- силами притяжения Ван-дер-Ваальса.

В работе [12] приведена модель коагуляции двух частиц в криволинейном потоке, однако и она требует дальнейшего совершенствования.

За основу модели коагуляции двух частиц в магнитном гидроциклоне используем модель движения одиночной частицы, представленную в статье [11]. Сила коагуляции тем выше, чем меньше расстояние между взаимодействующими частицами, поэтому существенную роль в процессе извлечения в магнитном гидроциклоне играет концентрация частиц на входе.

Сила коагуляции под действием магнитного поля между двумя частицами в общем виде может быть представлена так [12]:

М,

Ff =

цш 2

ц оЦ г

где Mi, M2 - магнитные массы частиц, м2-кг/(с2-А); ц0 = const = 4к -10"7 - магнитная постоянная, Гн/м; цу

- магнитная проницаемость среды, в которой находятся частицы; s - расстояние между частицами, м.

С учетом того, что магнитная масса вычисляется по формуле [12]:

м А х,

где l - длина ферромагнетика, м; V - объем частицы, м3; H - напряженность магнитного поля, А/м; % -магнитная восприимчивость вещества, б.е., сила коагуляции может быть представлена в следующем виде:

Л 0 d1 d2 HiH 2 XiX 2

Ff =

9 s

(1)

где d1, d2 - диаметры сферических частиц, м; Н1, Н2 -напряженности магнитного поля для каждой частицы в рабочей камере соответственно, А/м.

Процесс коагуляции схематически изображен на рис. 2.

Н= О ?1к> Ь,<> ?Фк Нф()

а б

Рис. 2. Процесс извлечения дисперсной среды в гидроциклоне без наложения магнитного поля (а) и с наложенным магнитным полем (б); Н - напряженность поля; ¿1к, ¿2к, tфк -время достижение внешней стенки гидроциклона первой частицей, второй и образовавшейся флокулы соответственно

Как мы можем видеть из рисунка, скоагулиро-ванной частице требуется меньше времени для достижения внешней стенки аппарата.

Рассмотрим движения частицы в магнитном гидроциклоне на основании подхода Лагранжа.

Кинетику и извлечение частицы в магнитном гидроциклоне будем рассматривать при следующих предположениях:

- процесс является установившимся;

- осредненная скорость движения жидкости постоянна по времени и по сечению;

- тангенциальная составляющая скорости равна скорости потока;

- концентрация частиц в объеме, занимаемом в

магнитном поле, известна;

- среда не реагентноспособна;

- не учитывается отскок частиц от стенок гидроциклона;

- не учитывается тепловая (броуновская) коагуляция частиц в гидроциклоне;

- движение жидкости от периферии к оси гидроциклона (сток) отсутствует;

- не принимается во внимание возможность отрыва осевших частиц восходящим потоком;

- отсутствует выбрасывание частиц из нисходящего потока в восходящий и наоборот;

- не учитывается оседание частиц в конической части гидроциклона.

Расстояние между коагулирующими частицами в полярных координатах можно вычислить из теоремы косинусов (рис. 3 а):

s2 = R* + R22 - 2RiR2 cos (0! - 02).

Разложим Ff на тангенциальные и радиальные составляющие (рис. 3 а):

ffri =-ff cos (Ф1); ff01 = ff sin (фх); ffr2 =-FF c0s (ф2 ); ff02 =-FF sin (Ф2 ).

(2)

Однако радиальные и тангенциальные составляющие силы коагуляции будут иметь различные знаки при различных расположениях коагулирующих частиц относительно друг друга (рис. 3 б - е и таблица), поэтому требуется более подробный анализ.

Рис. 3. К процессу коагуляции магнитных частиц в гидроциклоне: а - R\ > R2, 0i < 02; б - Ri<R2, 0i < 02; в - R\ < R2, 0i > I

г - Ri > R2, 0i > 62; д - Ri ~ R2, 0i < 62; е - Ri ~ R2, 0i > 02

Знаки радиальных и тангенциальных составляющих силы коагуляции при различных положениях частицы

Силы Положение коагулирующих частиц согласно рис. 3

а б в г д е

FFR1 - + + - - -

FF01 + + - - + -

FFR 2 + - - + - -

FF02 - - + + - +

Радиальная составляющая силы коагуляции имеет положительный знак, если угол ф будет больше п/2; так как косинус угла, находящегося в пределах (п/2, п), имеет отрицательные значения, то формула (2) полностью корректна для радиальной составляющей. Для тангенциальной составляющей дело обстоит иным образом, так как синус будет принимать только положительные значения в диапазоне (п/2, п). В связи с этим вводят «управляющий» безразмерный коэффициент, аналогичный представленному в работе [12], который бы принимал только два граничных значения -«+1» и «-1».

Значения cos^) и соб(ф2) могут быть выражены из теоремы косинусов; после несложных преобразований можно записать:

r - r2 cos (e1 -е2) r2 - r cos (a -e2)

cos ф1 =—-2-—-— ;cos ф2 = —-1-—-—.

s s

Выразим значения sin^) и sin^2) из основного тригонометрического тождества:

R2 sin (

^; sinФ2 — RiSin(02 -0)

sin =-

s s

В связи с тем что sin^) и Бт(ф2) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, то надобности в «управляющем» безразмерном коэффициенте нет.

Воспользуемся формулой распределения напряженности поля по радиусу в рабочей камере гидроциклона с радиальным магнитным полем [13]:

H (R)=H-1fR

(3)

где Н0 - напряженность магнитного поля у входного патрубка, А/м; R - радиус, м; N - эмпирический коэффициент, принимающий значения от 1 до 1,5, б.е.; D0 - внешний диаметр гидроциклона, м.

Подставив формулу (3) и ее производную по радиусу в формулу магнитной силы, представленной в работе [12], получим:

Fm =-^VH 02 R (D

2 N

(4)

Подставив значения радиальной и тангенциальной составляющих силы коагуляции (1), (2) и магнитной силы (4) в уравнения движения частиц [11], получим систему уравнений, описывающую коагуляцию

частиц в гидроциклоне с радиальным магнитным полем в полярных координатах:

d Ч _ R (ёО^ А Щ _ _

_ 1 А11 ^ В1 г) 2 N+1

2

dt

- С-

11 dt dR1 л2

dt

Rj

- С

dt ) 21 dt У dt2

(Rj - R2 cos(6j -02))(R1R2 )-

dR1 d 2R1

- E

(Rj2 + R22 - 2R1R2COS(0j -02 ))/2

= -A d01 dR + ^21 (u 0-R1 d01 1 +

R1 dt dt 21 ^ 0 1 dt J R2 sin(02 -01)(R1R2)-N .

(R2 + R22 - 2R1R2COS (01 -02))32

+ E

(5)

d2R2 = R (d02 dt2 2 l dt

- A

R dt

--B.

2 d2N+1 R2

- C2 | dRi 1 ^ dR2 \d2R2

v2 I - с 2

- C22 dt V dt2

- E

d 202 dt2

- E

A — ,2

(R2 - R1 cos(01 -02))(R1R2 )-N . (R12 + R22 - 2R1R2COS (01 -02 ))32

= -A HR* + A22 (u e- R2 ^ R2 dt dt 221 0 2 dt

R1 sin (02 -01 )(R1R2 )-N .

(R12 + R22 - 2R1R2 cos(01 -02 ))^

18WWi

dfCK (Рг - 0,5p)

(!+aw*);

d

aW4 ) ; aWi —

D - 2R* D0 + 2R1

Ai —

18ЦФ|

Wi

dC (Pi - 0,5p)

1 1 3 4 5

1 + aWi + 0 aWi , aWi , , aWi

8 256 16

B —

MtiXNH02 (Do

(Pi -0,5p) l 2

л - л2

I ; Cü ——pd¡; C2i — 1,615d/Vцр;

20

Е _ 2 Н О^Уо Г

1 3 d1p ^ 2

Е _ 2 НоУ^Хд, Г 23 d2Р I 2 где ц - коэффициент кинематической вязкости, м2/с; ф^ - коэффициент несферичности частицы, б.е.; Ск -коэффициент коррекции Коннингема, б.е.; р - плотность вязкой среды, кг/м3; i - индекс частицы; D -внешний диаметр гидроциклона, м; Щ - тангенциальная скорость движения жидкости, м/с.

N

1

+

X

N

0,050

180

270

01,610,02,920, V,V

0,010

0,005

0,15

0,005 0,010 0,015 б

0,005

0,010

0,015

Рис. 4. Результаты численного исследования математической модели процесса коагуляции двух частиц в рабочей камере гидроциклона (а) и разница между радиальными (б) и тангенциальными (в) составляющими

Система уравнений (5) решалась численным методом с помощью MathCAD 2001 для частных случаев (рис. 4): d1 = 70 мкм; d2 = 90 мкм; частицы -железный порошок, среда - вода; Н0 = 4-10 А/м. Начальные условия: R10 = 0,037 м; R20 = 0,03 м; 010 = = 1,75 рад; 0Ш = 1,6 рад; VR10 = VR20 = 0 м/с; = = ^020 = 2 м/с. Граничными условиями является момент соударения частиц, т.е. процесс протекает до тех

^ d2

пор, пока удовлетворяется условие 5 > — + — .

Выводы

Составлена математическая модель коагуляции двух частиц в рабочей камере гидроциклона с радиальным магнитным полем в полярной системе координат на основании подхода Лагранжа. Магнитное поле способствовало процессу флокулообразования, что в свою очередь увеличивает эффективность очистки и время достижения частицами внешней стенки гидроциклона.

Литература

1. Масюткин Е.П. Просвирнин В.И., Авдеев Б.А. Очистка технических жидкостей от магнитных примесей в инфраструктуре водного транспорта // Рыбное хозяйство Украины. 2012. № 3 (80). С. 40 - 49.

2. Тихонцов А.М., Чернышов А.В., Ковалев А.Е. Решение экологических задач машиностроения путем повышения качества гидроциклонной очистки СОЖ // Экология, энерго- и ресурсосбережение, охрана окружающей среды и здоровье человека, утилизация отходов: сб. науч. ст. XVII междунар. науч.-практ. конф. 2009. Т II. С. 219 - 225.

3. Васильев А.В., Хамидуллова Л.Р. Воздействие смазывающих охлаждающих жидкостей в условиях предприятий машиностроения и методы его снижения // Изв. Самарского научного центра РАН. 2006. Т. 8. С. 1171 -1176.

4. Худобин Л.В., Бердичевский Е.Г. Техника применения смазочно-охлаждающих средств в металлообработке. М., 1977. С. 189.

5. Масюткин Е.П., Просвирнин В.И., Авдеев Б.А. Анализ основ теории и методов расчета гидроциклонов с силовыми полями электрической природы (продолжение) // Рыбное хозяйство Украины. 2011. № 1 (78). С. 34 - 38.

6. Терновский И.Г., Кутепов A.M. Гидроциклонирование. М. 1994. С. 350

7. Nowakowski A.F., Doby, M.J. The Numerical Modelling of the Flow in Hydrocyclones // KONA Powder and Particle Journal. 2008. № 26. Р. 66 - 80.

8. Hemdan H.S. On The Potential of Large Eddy Simulation to Simulate Cyclone Separators : Dissertation partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Engineering : 24.01.2007. Chemnitz. 2007. P. 137.

9. Xiaodong L. Jianhua Y., Yuchun C. eW. Numerical simulation of the effects of turbulence intensity and boun-dary layer on separation efficiency in a cyclone separator // Chemical Engineering Journal. 2003. № 95. P. 235 - 240.

10. Svarovsky L. Solid Liquid Separation. Oxford, 2001. P. 554.

11. Авдеев Б.А. Модель движения частиц в магнитном гидроциклоне // Технический аудит и резервы производства. 2013. № 5/1(13). С. 36 - 41.

12. Александров Е.Е., Кравец И.А., Лысиков Е.Н. [и др.] Повышение ресурса технических систем путем использования электрических и магнитных полей. 2006. C. 544.

13. Просвирнин В.И., Голиков С.П., Авдеев Б.А. Модель распределения радиального магнитного поля в гидроциклоне // Вестн. ХНТУ. 2013. № 1(46). С. 300 - 304.

Поступила в редакцию

27марта 2014 г.

а

в