Численное решение задачи нестационарной теплопроводности в многослойных телах Текст научной статьи по специальности «Физика»

т е п л о э н е р г е т и к а

УДК 621.1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛАХ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И., инж. УСТИМОВИЧ В. А.

Белорусский национальный технический университет

Композиционные материалы, в силу своей структуры обладающие уникальными свойствами, широко применяются в современном производстве. В этом ряду значительный интерес вызывают стеновые строительные, тканевые и конструкционные продукты нового класса - волокнистые и многослойные, позволяющие получать изделия с заданными свойствами. Такие материалы типа «сэндвич» применяются в строительном производстве (гипсоволокнистые, гипсокартонные с огнеупорными, водостойкими и другими свойствами).

Использование многослойных материалов с заданным сочетанием физико-механических свойств открывает большие возможности для изготовления изделий и конструкций с повышенными качеством и эксплуатационными характеристиками для различных отраслей народного хозяйства Республики Беларусь. Выбор и комплектация разнородных слоев подобных продуктов обеспечивают получение изделий с набором заданных характеристик: высокопрочных, жаростойких, антикоррозийных и т. п.

Рассмотрим теплофизические особенности процесса теплообмена в многослойной стенке в общей постановке. Отдельные слои могут претерпевать фазовые или химические превращения (отвердевание термореактивных смол, гипсовых наполнителей, испарение или конденсация в пористых теплозащитных материалах). Расчет проводим с учетом фазовых превращений и зависимостей теплофизических характеристик сопряженных тел от температуры.

На рис. 1 приведена схема системы рассматриваемых тел в условиях симметрии. Приняты обозначения: 1 - металлическая или металлокерами-ческая матрица; 2 - неметаллическое покрытие (керамика, стекло- или ба-зальтоволокнистые материалы); 3 - слой, в котором происходят фазовые или химические превращения (термореактивные смолы, гипс); 4, 5 - неметаллические слои со специальными свойствами (армированный углерод,

термостойкие покрытия и т. д.). Количество и материалы слоев могут быть различными в соответствии со служебными характеристиками и функциональными особенностями многослойной стенки.

Найдем распределение температуры в системе сопряженных тел для каждого момента времени. В этих условиях температурное поле многослойной стенки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений переноса теплоты (ввиду нелинейности потоков теплоты и граничных условий) с соответствующими краевыми условиями. Изменение температуры по сечению (вдоль координаты х) в любой момент времени для каждого слоя многослойной стенки определяется из решения системы дифференциальных уравнений теплопроводности

дт(х,р_д Г эт;(лс, дt Эх Эх

х

\~~~~~ *

""I-4 1

3

а гтгтптгттг И !

2 1

1..........1 _1

Рис. 1

с,(ТМТ,)

(1)

где 7 - индекс, определяющий принадлежность уравнения и параметров к различным слоям многослойной стенки; с (Т) - удельная теплоемкость 7-го слоя как функция температуры; рДТ) - плотность материала 7-го слоя как функция температуры; ^ДТ) - коэффициент теплопроводности 7-го слоя как функция температуры; х - координата, направленная по нормали к поверхности стенки.

Условия теплового сопряжения на границах слоев (граничные условия IV рода) имеют вид:

= К (2)

Э t Эх

х = х,; '/, = Т7,-!,

(3)

где 7 = 1, 2, ..., п; х7 - длина сопряжений 7-го и (7 - 1)-го слоев.

В соответствии с условием задачи принимаем, что теплообмен на внешней поверхности многослойной стенки происходит по закону Ньютона - Рихмана. Тогда с учетом симметричной модели граничные условия запишутся так:

г)Т

— = 0 при х = 0 ; (4)

Эх Э77

X— = -Х(Т-Тс) прих = а. Эх

Начальные условия имеют вид

Т1(х,0) = Т10 при 7 = 1, 2, ...,77.

(5)

(6)

Для рассматриваемой схемы (рис. 1) для слоя 3 решается задача с фазовыми превращениями с подвижной границей фаз.

На границе раздела фаз (в слое 3) при х = запишем условия фазового перехода [1]:

т;=т;=т^г)- (7)

Л-з —^--^з—^-= Рзг— при х = ^, (8)

ох ох ш

где Тф - температура фронта фазовых превращений; р3 - плотность материала; г - удельная теплота фазового перехода.

Линейный источник при координате х = £, представим с помощью

8-функции Дирака. При этом воспользуемся основным свойством 8-функции [2]

|/(х)8 (х-®сЬс = т. (9)

Для решения задачи фазового перехода применяется метод сглаживания: 5-функция заменяется 8-образной функцией 8(7—7ф, А), отличной

от нуля лишь на интервале (/ф — Д, Т^ + А) и удовлетворяющей условию

нормировки:

| д(Т-Тф,А)с!Т = \. (10)

Сглаживая на интервале (Т^ - А, + А) функции Ь'3(Т), 8" ( /'). с"(Т), Х'Ъ{Т), Х"(Т). например, при линейной зависимости между значениями в твердой фазе при Т < /ф - А и в жидкой фазе при / 7ф А. получим квазилинейное уравнение, по форме совпадающее с дифференциальным уравнением (1). Для решения полученного квазилинейного уравнения можно использовать разностные методы.

Из граничных условий (2) видно, что температурные функции на границе слоев не имеют разрывов, а претерпевают разрыв первые производные. Этот факт дает возможность рассматривать систему сопряженных тел как стенку с теплофизическими свойствами, зависящими от координаты и температуры и терпящими разрыв на границе слоев.

Учитывая это обстоятельство, а также вводя безразмерные переменные, перепишем систему дифференциальных уравнений и краевые условия в безразмерных переменных:

с(и, х)р(и, х)

дt Эх

Х(и, х) — Эх

(11)

(¡и

— = 0 при х = 0; (12)

Эх

Х— — —СШ при х=1; (13)

Эх

и = (х,0) = и0(х), (14)

где и - безразмерная температура, определяется в каждой точке системы

Т-Т

в любой момент времени; и --; х - безразмерная координата, представляющая отношение текущей координаты к наружному размеру многослойной стенки; Т0 - температура окружающей среды.

Для решения поставленной задачи используем метод сеток. Для численного решения уравнения (11) перейдем к конечно-разностному аналогу. Расчетную область многослойного тела заполним нерегулярной сеткой с узлами х7, где 7 = 1, 2, ..., п, причем количество узлов в каждом слое обозначаем через п7. Тогда шаг сетки на каждом слое Н7 = а7/п7, где а7 -безразмерная толщина 7-го слоя. Введем в рассмотрение также фиктивную сетку, узлы которой на полшага к7 сдвинуты к оси, так что границы слоев отстают на полшага от смежных узлов. Обозначим нумерацию узлов сетки

5

от -1 до п, где п = ^ п..

1

Для конечно-разностной аппроксимации производных в (11) используем четырехточечную неявную схему. Тогда рассматриваемую задачу можно свести к итерационной системе алгебраических уравнений

1+1 г 1

7 77, —и, 1

«ГРЛ-—- = т

X п

7+1 _ 1+1 1+1 _ 1+1 ^

Мг+1 Мг ~ 7-1

А 1--д 1-

'Ч— И '— Н

7 + 7 ~

у / / у

(15)

где 7 = 0, 1, 2, ..., п - 1.

Аналогичным образом проведем аппроксимацию краевых условий на соответствующей сетке. Разностный аналог граничных условий имеет вид:

7+1 7+1 7+1 . 7+1

и — и , и +и ,

X -— = -а—-(16)

"~2 К 2

77° =й при 7 = 1, 0, ..., п - 1;

77° = 0 При 7 = П\, П + 1, ..., П.

Начальные условия запишем следующим образом:

11_х =и0. (17)

Теплофизические коэффициенты в выражениях (15), (16) вычисляем по температуре на предыдущем временном слое, взятой в узле сетки при целом индексе и в середине между двумя узлами при половинном индексе.

Количество (п + 2) уравнений (15), (16) определяем (п + 2) неизвестных сеточных функций п7 (7 = -1, 0, ..., п). На каждом временном шаге система (п + 2) уравнений (15), (16) решается с помощью прогоночных соотношений:

Ро = 1; То = 1;

- - а2

X 1 /(М+) + X 1 ЦШ_) + cipi —

г+- г— X

Рг+, =—1-=-1-=-; (18)

г'ч— г—

2 2

- а2

Л ! /(АА_)у,.+— с.-р.-м/ _ т

А, ! 1{Ш+) !+—

2

где / = 0, 1, ..., п - 1.

1 + аакп /

^ л

2А !

/ л

1 - аакп /

2Я,

"Р-

V " у

7+1 /+1п . „,

где 7 = п, п - 1, ..., 0;

— Х1 (| л',, — Х1 ,

п

п— 2

п

В Ы В О Д

По результатам численного эксперимента установлен характер распределения температур в сечении многослойной стенки, который определяется геометрическими соотношениями и термическим сопротивлением отдельных слоев стенки. При наличии слоя с фазовыми и химическими превращениями теплота поглощается в основном данным слоем. Температурное поле многослойной стенки в определенной степени зависит также от тепловых условий на поверхностях стенки. Из анализа температурного поля выявлена роль начальных параметров и толщин отдельных слоев стенки.

Набор материалов отдельных слоев обусловлен функциональными особенностями стенки (прочностными, термо- и жаростойкими, антикоррозионными и т. д.) и зависит от эксплуатационных свойств изделий, их служебного назначения.

Универсальность разработанной математической модели и численного метода решения позволяет рассчитывать многослойные изделия с заданными служебными характеристиками для различных отраслей народного хозяйства (энергетической, нефтехимической, машино- и приборостроительной и т. д.).

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Е с ь м а н, Р. И. Расчеты процессов литья / Р. И. Есьман, Н. П. Жмакин, Л. И. Шуб. -Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.

Представлена кафедрой промышленной теплоэнергетики

и теплотехники Поступила 10.11.2006