Научная статья на тему 'Численное решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «Патронник гильза порох» методом конечных элементов'

Численное решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «Патронник гильза порох» методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
924
273
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕ-МЕНТОВ / THE NONSTATIONARY THERMAL CONDUCTION / THE FINITE ELEMENT METHODE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лялин В. М., Дунаев В. А., Тарасова Н. А.

Изложена математическая модель и результаты решения задачи нестационарной теплопроводности для системы «патронник гильза порох» методом конечных элементов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

NUMERICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF THE NONSTATIONARY THERMAL CONDUCTION FOR THE SYSTEM "CHAMBER CASE GUNPOWDER" WITH THE FINITE ELEMENT METHOD

A method and results of an experimental investigation of semihot presswork special items bar stock is presented.

Текст научной работы на тему «Численное решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «Патронник гильза порох» методом конечных элементов»

УДК 658.5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ «ПАТРОННИК-ГИЛЬЗА-ПОРОХ»

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В.М. Лялин, В. А. Дунаев, Н.А. Тарасова

Изложена математическая модель и результаты решения задачи нестационарной теплопроводности для системы «патронник-гильза-порох» методом конечных элементов.

Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, метод конечных элементов.

Актуальной задачей обеспечения надежности функционирования гильз спортивно-охотничьих патронов является задача нестационарного теплообмена между патронником, гильзой и порохом. Для численного решения этой задачи воспользуемся методом конечным элементов, как одним из наиболее эффективных численных методов, получивших в последнее время широкое распространение для решения наиболее сложных задач теории теплопроводности.

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что искомую непрерывную величину, такую, как температура, необходимо аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Эти кусочно-непрерывные функции определяются внутри каждого конечного элемента с помощью значений функции в узловых точках. Для каждого элемента может быть определен свой вид функции, но эти функции подбираются так, чтобы сохранялась их непрерывность вдоль границ элементов.

Задача сводится к нахождению таких значений узловых температур, которые обеспечат наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это приближение осуществляется путем минимизации функционала, связанного с физической сущностью задачи. Для задачи распространения тепла минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением теплопроводности, которое является для этого функционала уравнением Эйлера-Остроградского. Минимизация этого функционала в классе кусочно-непрерывных функций сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений относительно узловых температур.

В двумерных задачах широкое распространение получили элементы в виде треугольника. Стороны линейных элементов представляют собой

прямые линии. На рис. 1 изображен треугольный конечный элемент.

Рис. 1. Треугольный конечный элемент

Введем нумерацию его узлов и будем обозначать значения величин в узловых точках с соответствующим индексом Х1, Х2, Х3, у1, у2, Уз, Т1,Т2, Т3, а разность величин между двумя точками с двойным индексом, например: Х21=Х2-Х1 .

Линейная функция распределения температуры по конечному элементу в общем виде представляется зависимостью

Т=а+ЬХ+су, (1)

где а, Ь и с - постоянные коэффициенты. Для нахождения этих трех констант воспользуемся тремя значениями температуры в узлах конечного элемента, что дает три алгебраических уравнения:

Т1=а+ЬХ1+су1;

Т2=а+ЬХ2+су2;

Тз=а+ЬХз+суз.

В результате решения этой системы получаем значения констант а, Ь и с, выраженные через геометрические параметры конечного элемента и узловые температуры. Подставляя их затем в уравнение (1) для функции Т, находим

Т=Н1Т1+Н2Т2+НзТз,, (2)

где

N1 = 2ГУ23 (х - Х3 Х23 - Уз

N2 = ^ГУз! (х - Х1 Х31 (У - У1

т (3)

'3

^ — 1 Уі2 (Х - Х2 )-Х12 (У - У2 );

2&

S -1 -

^ 2 Х21У32 Х32у2

ST - площадь треугольника.

Коэффициенты N называют коэффициентами формы. Уравнение (2) в МКЭ записывают в матричной форме:

T =[N^{1-; } .

Данная линейная функция распределения температуры обеспечивает ее непрерывность на границе с соседними элементами, т.к. это распределение линейно вдоль любой стороны треугольника и при одинаковом изменении величины в узлах такие же самые изменения будут и вдоль всей внутренней границы.

Градиенты температуры и, следовательно, тепловые потоки в элементе определяются дифференцированием зависимости (2) по пространственным координатам

дТ 1 (-У23Г! -Уз1Т2 -У,2Т3 ), =^(х23Т + Х31Т2 + Х12Т3 )

дх 28

ду 28,

(4)

Рассмотрим область, показанную на рис. 2, которая разделена на треугольные конечные элементы.

В каждом конечном элементе данной области узловые величины температуры определяют функцию

' т,'

т = мт }=[Ы,;Ы2;Ыз ]•

т

12

т

(5)

Так как узловые величины однозначно определяют температуру во всей области, то функционал Ф[Т(х,у)] можно минимизировать по отношению к этим величинам, рассматривая его в классе линейных функций (5). Осуществим указанные операции вначале для каждого конечного элемен-

та, рассматривая стационарную задачу, а затем учтем нестационарность и составим общую систему уравнений для всего тела, путем суммирования уравнений по всем конечным элементам, из которых состоит исследуемое тело.

Подставляя функцию (5) в исходный функционал и дифференцируя его по узловой температуре Tг , получим

• кЭ = Я 2

xy

_д_

дх

+1

_д_

дУ

dxdy,

дФ

дТх

къ _

ЛхУ4зУ23 + 44у4233 )

' Л ' 11

т+

+

( Л ( Л

ХХх У31У23 +Уу УЗ т2 + Хху12.у23 +ХуХ12Х23 т 23

Л V 12 ) I V 13 )

45т

где Фкэ - функционал для одного конечного элемента.

Дифференцируя по Т2 и Т3, получим аналогичные выражения.

В матричном виде полученные выражения запишутся следующим образом:

дФ,

дТ

=1 !т},

(6)

где/!] - матрица теплопроводности конечного элемента

Л1 Л2 Л3

1,1 '

Л21 Л22 Л23

_131 132 Л33,

Окончательные уравнения процесса минимизации функционала по* дФкъ

лучаются объединением всех производных дт для всех конечных эле-

ментов и приравнивания их нулю:

дФ Nkъ дФ Nkэ 3 (

дфф=I дт=II (1 Л }+С ,}т

д11 ]=1 д11 ]=1 I=1 V

дт.'

дт

№}+ {с}1

дт'

-{& }-Ш-{& }={о}

2

2

1

<

>

<

<

>

где /Л], {С} - глобальные матрицы теплопроводности и теплоемкости, {т} -вектор узловых температур; {Ы} - векторы тепловых потоков всей области

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- лучистых, конвективных и контактных.

Для численного решения полученной системы уравнений МКЭ воспользуемся методом конечных разностей, применяя неявную разностную схему. Используя конечно-разностное выражение производной первого порядка в виде (!с+1 - !)/А* , преобразуем выражение (7) в соответствии с неявной схемой:

[лк+1 ]тк+' }=-{с/+1} ({тк+1 }-{тк })^+ы+1}+ {<Й+1 }+Ы+1},

где к - временной индекс, {тк+1}, {тк} - векторы узловых температур в последующий и данный моменты времени.

Для объединения в левой части уравнения всех членов, содержащих неизвестные величины !к+1, выделим в матрицах {Ыа} и {ЫК} неизвестные температуры узловых точек конструкции:

т={Л}({тс}-{т}), ш={Як}({тк}-{т}),

где {А}, {Як} - вектора конвективного теплообмена и термических сопротивлений для всей конструкции в целом.

Перенося в левую часть полученного уравнения члены, содержащие неизвестные !к+1, окончательно получим:

([лк+1 ]+—[ск+1 ]+ [а к+1 ]+ [як+1 ]){тк+1}=

т * (8)

=V* {ск+1 }т {тк}+ {Ак+1 }т т+1}- {тк+1})+Ы+1}+ }

Для обеспечения надежности функционировании гильзы необходимо решить задачу нестационарной теплопроводности в системе «патрон-ник-гильза-порох» и в результате отыскать значение температуры наружной поверхности пороха. Сравнив найденную температуру с температурой вспышки пороха, можно сделать вывод о возможности или невозможности самовоспламенения порохового заряда во время функционирования гильзы спортивно-охотничьего патрона при выстреле.

Проведем расчет в программе Term2, в основу которой положена вышеописанная математическая модель.

Исходные данные для расчета:

а) для патронника:

- наружный диаметр - 24 мм;

- толщина стенки - 6,332 мм;

- температура внутренней поверхности - 543 К;

- плотность материала - 7781 кг/м ;

- удельная теплоемкость - 519 Дж/(кг К);

- коэффициент теплопроводности - 43 Вт/(м К);

б) для гильзы:

- максимальная толщина воздушного зазора между внешней поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника - 0,09 мм;

- минимальная толщина воздушного зазора между внешней поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника - 1х10-6 мм;

- температура внутренней и наружной поверхности на период начала расчета - 343 К;

- плотность материала - 7850 кг/м ;

- удельная теплоемкость - 495 Дж/(кг К);

- коэффициент теплопроводности - 37 Вт/(м К);

в) для пороха:

- температура наружной поверхности на период начала расчета -

343 К;

- плотность - 1600 кг/м .

г) максимальное время рассчитываемого процесса - 10 с.

На рис. 3 представлена графическая модель рассматриваемых сред.

Рис. 3. Графическая модель

На данной модели характерные точки 1 и 4 находятся на наружной поверхности пороха в зоне максимального (точка 1) и минимального (точка 4) воздушного зазора между гильзой и патронником. Точки 2 и 3 находятся на расстоянии 0,5 мм от точек 1 и 4 соответственно.

На рис. 4 представлены результаты расчета программы в виде графиков изменения температуры в течение времени для точек 1-4.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что величина воздушного зазора между наружной поверхностью гильзы и внутренней поверхностью патронника оказывает незначительное влияние

в начальном этапе теплообмена на температуру наружной поверхности пороха.

Рис. 4. Графики изменения температуры для точек 1-4

Максимальная температура пороха составляет 411 К, что на ~ 10 % ниже температуры вспышки пороха, таким образом самопроизвольное воспламенение порохового заряда в процессе функционирования гильзы спортивно-охотничьего патрона невозможно.

Список литературы

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М: Высшая школа, 1967.

600 с.

2. Метод конечных элементов: учеб. пособие для вузов / П.М. Вар-вак [и др.]. Киев: Вища школа, 1981. 176 с.

3. Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача. СПб: Изд-во СПбГТУ, 2003. 319 с.

Лялин Виктор Михайлович, д-р техн. наук, проф., tna-08@mail.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет.

Дунаев Валерий Александрович, д-р техн. наук, проф., tna-08@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет.

Тарасова Наталья Александровна, аспирант, tna-08@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет.

NUMERICAL SOLUTION TO THE PROBLEM OF THE NONSTATIONARY THERMAL

CONDUCTION FOR THE SYSTEM "CHAMBER-CASE-GUNPOWDER" WITH THE FINITE ELEMENT METHOD

V.M. Lyalin, V.D. Dunaev, N.A. Tarasova

A method and results of an experimental investigation of semihot presswork special items bar stock is presented.

Key words: the nonstationary thermal conduction, the finite element methode.

Lyalin Viktor Michailovich, doctor of technical sciences, professor, tna-08 a jvail.ru. Russia, Tula, Tula State University.

Dunaev Valeriy Aleksandrovich, doctor of technical sciences, professor, tna-08amail.ru, Russia, Tula, Tula State University.

Tarasova Natalia Aleksandrovna, postgraduate, ^a^amailm, Russia, Tula, Tula State University.

УДК 004.942

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Е.Б. Кариков, В.Г. Рубанов, В.К. Классен

Предложено использовать для построения математической модели колосникового холодильника нейронную сеть Элмана. Проведена декомпозиция колосникового холодильника на звенья, отражающие характерные процессы: движение клинкера по колосниковой решетке, теплообмен между воздухом и клинкером, движение воздуха. На основе результатов тестирования каждой из моделей и сравнительной оценки с экспериментальными данными показана адекватность нейронной модели реальному объекту.

Ключевые слова: производство цемента, колосниковый холодильник, математическая модель, нейронные сети, NARXсеть, сеть Элмана.

Процесс охлаждения клинкера неразрывно связан с его обжигом во вращающихся печах. Охлаждение клинкера - важный процесс в теплотехническом и технологическом отношениях. Из вращающейся печи клинкер поступает в холодильник с температурой 1100 - 1250 °С. Резкое охлаждение его в холодильнике способствует фиксации Высокотемпературных клинкерных фазы, препятствует росту кристаллов клинкерных минералов,

174

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.