CC BY
32
УДК 532.5 ББК 22.253
А.В. ЧЕЧНЕВ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ СИММЕТРИЧНЫХ ПЛОСКИХ ТЕЛ К СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
Ключевые слова: моделирование, гидродинамические процессы, численные методы. Предложен новый численный метод решения задач о вертикальном движении системы симметричных плоских тел к свободной поверхности жидкости. Он основан на сведении исходной гидродинамической задачи с помощью группы специальных приемов к последовательности задач Неймана для односвязных областей. Последние решаются методом источников и стоков, которые сводятся к решению интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода методом Н.М. Крылова - Н.Н. Боголюбова, позволяющим аппроксимировать его хорошо обусловленную СЛАУ. Как показали численные методы на тестовых задачах, метод устойчив по времени и обладает высокой степенью точности.
A. CHECHNEV NUMERICAL SIMULATION OF VERTICAL MOVEMENT OF SEVERAL SYMMETRIC FLAT BODIES TO FREE LIQUID SURFACE
Key words: modeling, hydrodynamic processes, numerical methods.
The article offers a new numerical method of solving problems concerning vertical motion of symmetrical flat bodies system to free liquid surface. It is based on reducing an original hydrodynamic problem to a sequence of Neumann problems for simple connected regions by use of special techniques. The latter are solved by methods of sources and sinks, which are reduced to the solution of integral Fredholm equations of the 2nd kind by means of N.M. Krylov - N.N. Bogoliubov method, which allows approximation of its well-grounded SLAE. As shown by numerical methods used on test problems, the method is stable in time and highly accurate.
Задачи о движении твердых тел в жидкости составляют в совокупности обширный раздел гидродинамики. Благодаря развитию вычислительной техники для их решения все чаще используются различные численные методы. Однако точность многих из них совершенно недостаточна для получения адекватных решений при больших временах моделируемого гидродинамического процесса.
Всякая нестационарная гидродинамическая задача с твердыми и сводной границами в модели идеальной несжимаемой жидкости может быть сведена к последовательности смешанных задач для уравнения Лапласа [3]. Последние обычно решаются с помощью интегральной формулы Грина для гармонических функций. Однако получаемая при этом система интегральных уравнений имеет смешанный тип, вследствие чего аппроксимирующая ее система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является, как показывают машинные эксперименты, плохо обусловленной, причем ее число обусловленности возрастает обратно пропорционально шагу граничной сетки.
В [4] для решения задачи о вертикальном движении симметричного плоского тела эти смешанные задачи с помощью группы специальных методов сведены к задачам Неймана, для решения которых существуют численные методы, сводящиеся к решению хорошо обусловленных СЛАУ [1].
Ниже область применения данного метода расширяется до класса задач о вертикальном движении произвольного числа симметричных плоских тел с общей (вертикальной) осью симметрии к свободной поверхности жидкости.
1. Постановка симметричной задачи о движении плоских тел к свободной поверхности жидкости. Пусть при t = -0 под горизонтальной свободной поверхностью покоящейся жидкости находятся n плоских твердых тел, сечения которых Tk(0) (k = 1, n) симметричны относительно некоторой прямой, перпендикулярной свободной поверхности (она принимается далее за ось 0y). При t > +0 все тела движутся вертикально вверх с заданными скоростями Uk (t), k = 1,n.
Требуется найти для всех te[0, T], где T > 0 - заданное время, свободную границу rz(t) и потенциал поля скоростей ф(г, t) в области Dz(t), занимаемой жидкостью в момент времени t.
2. Построение конформного отображения внешности нескольких симметричных контуров на внешность отрезков мнимой оси. Для применения метода [4] нам необходимо найти конформное отображение Z = ®(z, t)
внешности Qz(t) контуров TR(t), R=l,n, плоскости Z на внешность Qs(t) отрезков TR(t) = i[aR(t), bR(t)], R = 1,n, плоскости S, переводящее симметричные относительно мнимой оси точки плоскости Z в такие же точки плоскости S и бесконечность - в бесконечность.
Построим это отображение с помощью решения следующей задачи Неймана для области Qy(t): найти ограниченную гармоническую в ней и непрерывно дифференцируемую вплоть до границы aQy(t) функцию ^0(Z, t), удовлетворяющую ограниченным условиям
^°(Z, t) = (ио, nz), Z e Tk (t), k = 1, n,
< dnZ
ф0(да, t) = 0,
где и = (0; 1), nZ - орт нормали в точке гладкости Z e Tk(t), направленный
внутрь контура Tk(t), R = 1, n.
Решив эту задачу, мы тем самым найдем искомое отображение Z = ®(z, t) [2]: ~ ~
£ = х + ^(Z, t), ц = y -ф0 (Z, t), где 4o(Z,t) - исчезающая на бесконечности функция, сопряженная с функцией фо^ ,t) в область QZ (t).
Функцию ф0^,t) будем искать в виде потенциала простого слоя [1]:
Ф0 (Z 0, t) = -£ f Pk (Z, t )ln | Z - Z0\dSz, Z0 e Q z (t). (1)
k=1Tk (t)
Тогда плотности Pk(Z, t) b(1) должны удовлетворять следующей системе линейных интегральных уравнений [1]:
n COS ^ -
%pk (Z0, t) +2 f Pm (z, t)C Z0Z.dsz = f (z0, t), Z0 e Tk (t), k = 1, n, (2)
m=1Tm (t) |z - z0|
где ¥г„ г - угол между векторами п20 и 2 - / (г) = (и0, йг0).
го е Тк (г), к = 1,п.
Систему (2) можно решить приближенно, заменив ее следующей СЛАУ:
п мт Дт(кт) _ _
ър(к) + Щ—к- Д7 = //■к), п = 1, Мк, к = 1, п, (3)
т=1 7 =1 ДЛ> ;
где Мт - число разбиений контура Тт (г), т = 1, п, на части,
д£(т) = г(т) - 2(т), 7 = 1, Мт ,{2(т): 7 = 1, Мт} - узлы сетки на кривой Тт (г), т = 1, п ;
к) = (П, Яг(к}),
п(к) =
Л$(к) , Д£г(к) ,
, Ах(к) = Яе^ -7г(к)), Дуг(к) = 1т-г(к)),
Дю(кт) = адгат 7
71 Дкт) Дкт) '
д(кт) = |7(к) - 7(т) I д(кт) = |7(к) - 7(т) I 7(т) = о 5( 7 + 7(т))
— ^ ]+0,5 ,1+1 _ |^1+1 +0,5 ^7+0,5 _ "г +1 Л
Д(кт) = (х(к) х(т) )( у (к) у (т) ) (х(к) х(т) )( у (к) у (т) )
Д 71 = (х1 -х7+0,5)(у1+1 -у7+0,5)-(Х1+1 -х7+0,5)(у1 +0,5),
1 = 1, Мк, 7 = 1, Мт, т = 1, п, к = 1, п. После решения СЛАУ (3) находим значения функции ф0(г, г) в точках свободной границы Гг(г) по приближенной формуле
г (к )
ф0(2, г) * - ) 11п|7 - 7 , 1 = 1, N +1,
т=17=1 _ (к)
где N - число криволинейных ячеек [7-, 71+1] на свободной границе Г2(г).
Функцию Чо(2,г) находим аналогично предыдущему случаю, положив в (2)
/(20, г) = —(20, г), 20 еТк (г), к = 1, п.
3. Численный метод решения исходной задачи. Пусть ф0( г, г) - исчезающее на бесконечности решение задачи Неймана, удовлетворяющее следующим граничным условиям:
5ф0
(2, г) = (ак (г), пг), 2 е Тк (г), к = 1, п. (4)
дпг
Предположим, что в некоторый момент времени г=гп нам известны значения функций ф0 (2, г), (2, г), ф0 (2, г) и ф(2, г) во всех точках свободной границы Г2(г). Тогда разность Ф(2, г) = ф(2, г) - ф0(2, г) будет гармоничной в области Д(г) функцией, удовлетворяющей следующим граничным условиям:
дФ —
-(2, г) = 0 при 2 е Тк (г), к = 1, п ;
дп.
Ф(г, г) = g(г, г) при г еГг (г),
где
g(z,0 = ф(г,г) - фо(г, г), г е Гг(г). Следовательно, сложная функция
Ф^С, г) = Ф(МС, г ),г), Се 5с (г), где ю^д.0 - отображение, обратное отображению д = ю(г,г), а 5= ю(5г(г), г) -образ области 5() при отображении д = ю(гД будет гармонической в области 5д(г), функцией, удовлетворяющей следующим граничным условиям:
) - 0 при Се I (ак (г), Ък (г)), к = Щ
дп^
Фх(С,г) = gl(С,t) при СеГс (г) где Г(0 - образ кривой Гг(г) при отображении С = ю(г, г), g1(С г) = g(ю(С, О, г),
С е Вд.
Так как исходная задача и отображение ю(г, г), а значит, и функция g1(С, г) симметричны относительно мнимой оси, то условия на разрезах ¡[ак(г), Ък(г)] в (5) будут автоматически выполнены, если будет удовлетворено последнее из условий (5). Иначе говоря, задача (5) эквивалентна задаче Ди-
~ п
рихле для области 5^ (г) = 5С(гг'[ак(О,Ък(г)], 5^=5^) с граничным
к=1
условием Ф(С, г), при С е Г;(0 и, таким образом, смешанная задача для (п+1)-связной области плоскости Z сведена нами к задаче Дирихле для некоторой односвязной области плоскости С. Однако кроме ее решения для дальнейшего
нам необходимо найти нормальную производную дФ1 (С, г) в точках кривой
дпС
Гс(0, что удобнее сделать путем перехода от этой задачи к задаче Неймана для сопряженной с Ф1(С, О в области 5с (г) функции ^1(С, г) с граничным условием
дТ1 дФ1
^(С,г) = —1 (С,г) при С е Гс (г) (6)
дпе дхс
и условием обращения в нуль на бесконечности: ^(<х>,г) = 0.
Задачу (6) решаем с помощью потенциала простого слоя аналогично то-
дФ
му, как это было описано в п. 2. После ее решения вычисляем -(г,г) и
дп,
-дф (г, г) в точках свободной границы Гг(г):
дпг
Г дФ . . д^
I- (г, г) = "дг (г, г),
дф . . дФ . . 5фо , ч —-(г, г) =-(г, г) +—— (г, г)
дпг дпг дпг
где = ^1(ю( г,г)г) для всех г е 52 (г).
И, наконец, находим скорости, координаты и потенциалы точек свободной границы Гг(х):
ТТ (г') = Ог (*,х К --гг (г, О^у;
ОТ ОГг О^г
1Г (г,') =1°ГТУ+1ОГ (г,' )тх; г(х + Ах) = г (X) + Ах gradф( г, X); ^(г, X + Ах) = ^(г, X) + &gradф(г, X) |2 -&(х),
где Ах - некоторый малый (по сравнению с временем Т моделируемого процесса) промежуток времени, Тх и Ту - проекции касательного вектора Тг на оси Ох и Оу.
4. Тестовая задача. В качестве тестовой задачи возьмем задачу об ударе кругового цилиндра, находящегося в момент удара под горизонтальной свободной поверхностью жидкости.
Ее решение при и = (0;1) и И = 2 (И - расстояние от сечения цилиндра до горизонтальной свободной поверхности жидкости) дано в табл. 1.
Таблица 1
Распределение потенциала ф вдоль окружности сечения (угол а в градусах отсчитывается от вертикали)
а Точное решение Численное решение N = 100, Ах = 0,1) Относительная погрешность, %
9 -0,60207 -0,60240 0,055
27 -0,53539 -0,53574 0,065
45 -0,39733 -0,39776 0,11
63 -0,19090 -0,19147 0,30
81 0,067052 0,066275 1,16
99 0,34938 0,34839 0,28
117 0,62474 0,62355 0,19
135 0,86264 0,86130 0,16
153 1,03708 1,03562 0,14
171 1,12924 1,12772 0,13
5. Простейшая нестационарная задача. С целью сравнения были проведены расчеты вертикального движения кругового цилиндра данным методом и методом потенциалов. В начальный момент цилиндр под горизонтальной поверхностью жидкости находился на глубине его диаметра, а затем двигался со скоростью и = (0;1) до момента времени X = 6, соответствующего подъему цилиндра на высоту И = 2Я (Я - радиус сечения цилиндра) над уровнем свободной поверхности жидкости на бесконечности.
Для иллюстрации в табл. 2 дано распределение потенциала поля скоростей вдоль контура сечения цилиндра в один из моментов времени (угол в отсчиты-вается от горизонтали).
Таблица 2
Распределение потенциала поля скоростей вдоль контура сечения цилиндра
в Данный метод Метод потенциалов
9 0,0904 0,0914
21 -0,0400 -0,0387
33 -0,1333 -0,1319
45 -0,1896 -0,1879
57 -0,2174 -0,2154
69 -0,2281 -0,2258
81 -0,2308 -0,2284
87 -0,2311 -0,2286
Как видно из табл. 2, численные решения совпадают с двумя знаками после запятой с точным решением, что свидетельствует о высокой точности предлагаемого численного метода.
Литература
1. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 1958. 678 с.
3. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 408 с.
4. Чечнев А.В. Численное решение задачи о вертикальном движении симметричного плоского тела к свободной поверхности жидкости методом сведения к серии задач Неймана // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. С. 62-67.
References
1. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 512 p.
2. Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable]. Moscow, Fizmatlit publ., 1958, 678 p.
3. Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Problemy gidrodinamiki i ikh matematicheskie modeli [Problems of hydrodynamics and their mathematical models]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 408 p.
4. Chechnev A.V. Chislennoe reshenie zadachi o vertikal'nom dvizhenii simmetrichnogo ploskogo tela k svobodnoi poverkhnosti zhidkosti metodom svedeniya k serii zadach Neimana [Numerical solution of the problem of the vertical motion of a symmetric flat body to the free surface of the liquid by the reduction method to a series of Neumann problems]. Matematicheskie modeli i ikh prilozheniya: sb. nauch. tr. [Mathematical models and their applications: collection of scientific papers]. Cheboksary, Chuvash State University, 2013, pp. 62-67.
ЧЕЧНЕВ АЛЕКСАНДР ВЛАСОВИЧ. См. с. 227.
