CC BY
77
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII 19 77 №5
УДК. 533.6.011.32/5 + 518.61
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ АЭРОГАЗОДИНАМИКИ МЕТОДОМ „КРУПНЫХ ЧАСТИЦ“. Ч. III. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давидов
В данной статье исследованы трансзвуковые режимы течений около плоских и осесимметричных тел различной формы: крыловых профилей, спускаемого аппарата типа .Аполлон* и др. Проводится анализ течений в соплах с внутренними телами. Изучаются срывные режимы обтекания, течения со вдувом струи в основной поток. Делается попытка оценить коэффициент турбулентной вязкости. Анализируется аппроксимационная вязкость разностных схем.
Данная работа является продолжением статей [1, 2]. Список цитируемой литературы составлен отдельно.
3.1. Перейдем теперь к рассмотрению результатов расчетов сложных задач аэрогазодинамики. Остановимся вначале на исследовании трансзвуковых режимов (более подробное изложение этого материала содержится в [3 — 6]).
Систематические расчетные исследования проводились по единому вычислительному алгоритму для большой группы плоских (> = 0) и осесимметричных (V = 1) тел (клинья, конусы, профили, тела с изломом, с криволинейной образующей и др.) в широком диапазоне изменения начальных условий (включая закритические режимы, переход через скорость звука и т. п.). Газ считался совершенным с показателем адиабаты х=1,4.
С помощью метода „крупных частиц“ проводились систематические исследования трансзвуковых течений газа (местных сверхзвуковых зон, околозвуковых режимов и др.), а также рассматривались задачи обтекания со „вдувом“ струи в основной поток. [7 — 9], внутренние течения со сложной конфигурацией ударных: волн [10], дифракционные задачи [11, 12], распад произвольного* разрыва [13], срывные турбулентные зоны и т. д. [14— 18 и др.]1..
Приведенные ниже результаты ни в коем случае не претендуют на полноту изложения, а являются скорее иллюстрацией возможностей метода. Большее внимание здесь уделяется вопросам обоснования полученных данных, чем их газодинамическому анализу.
г
Значительный интерес в настоящее время представляет расчет закритических и околозвуковых режимов обтекания при наличии местных сверхзвуковых зон. Обычно такая зона замыкается скачг ком уплотнения, который, взаимодействуя с пограничным слоем, может вызвать отрыв потока от поверхности тела. Наличие скачка уплотнения и явление отрыва оказывают большое влияние на аэродинамические характеристики профиля. О свойствах этих течений мы располагаем очень небольшой информацией, причем аналитическое рассмотрение даже локальных характеристик течения здесь весьма затруднительно. Это объясняется сложной структурой течения, механизм которого в полной мере не изучен, и соответственно сложной математической постановкой задачи.
Некоторый аналитический анализ этих явлений проводился авторами работ [19 — 24]. Численные данные содержатся в работах [25, 26] (Определение критических значений чисел М» и расчет звуковых течений), [27, 28] (расчет примеров локальных сверхзвуковых зон) и др.
Приведем здесь некоторые результаты расчетов „закритиче-ских“ областей методом „крупных частиц“. Целесообразно в дальнейшем закритические режимы трансзвукового обтекания тел характеризовать значением критического числа М набегающего потока (значение числа Моо, при котором на теле появляется звуковая точка), а также протяженностью локальной сверхзвуковой зоны (по сравнению с характерным размером тела) и ее интенсивностью (максимальной сверхзвуковой скоростью Моо, реализуемой в зоне).
На фиг. 3.1 (/) — (<?) для сегментального профиля (v = 0)
проводятся картины полей течений (линии М = const) от чисто дозвуковых (Моо = 0,6) до сверхзвуковых режимов (Моо = 1,5). Иллюстрируется процесс образования и развития локальной сверхзвуковой зоны, переход через критическое число М (здесь Л\^ = 0,65), скорость звука и т. п.
На фиг. 3.1 (2) — (7) показано закритическое обтекание профиля (0,65-< Мсо <. 1). Отчетливо видно положение скачка уйлот-шения в области сгущения линий М = const, который вместе со звуковой линией (М = 1) ограничивает местную сверхзвуковую зону. За скачком находится область пониженных скоростей, затем поток, разгоняясь, достигает на большом расстоянии от тела параметров невозмущенного течения. При Моо >0,9 зона сверхзвукового течения становится значительной как по размеру, так и по своей интенсивности (реализуются сверхзвуковые значения скоростей вплоть до М—1,7—1,8), а в случае звукового режима обтекания (фиг. 3.1 (7)) линии уровня М=1 уходят на бесконечность.
Обращает на себя внимание асимметрия всего течения (даже при чисто дозвуковых скоростях — фиг. 3.1 (1)), которая вызвана как непотенциальностыо течения (закритические режимы), так и наличием вязкостных эффектов (дозвуковой режим, образование спутного следа за телом и т. п.).
При сверхзвуковом обтекании профиля (фиг. 3.1 (8), М 00 -- 1)5)
формируется головная ударная волна, которая и ограничивает область возмущенного течения. За волной, в окрестности оси симметрии реализуется область дозвуковых скоростей, затем происхо-
Плоский случаи (^=0); $=гч% ,м.ж=о, 65
¿1(2)
3.1(6)
3.1(3)
0,8 0,9
/ ю
/1’1 0,1
( 1 у/Щ /0,7 / РЛУ
■з.щ
3.1(7)
3.1(8)
0,8 1?,10!Х
Фиг. 3.1
дит разгон потока вдоль образующей тела, и у кормовой части возникает уже хвостовой скачок уплотнения.
Для сравнения на фиг. 3.2 (1) — (8\ приводятся резуль-
таты расчетов указанным методом обтекания 24% осесимметричного „веретенообразного“ тела (0,8 <.Моо <.2,5). Здесь критический режим возникает уже при М^ = 0,86; локальные сверхзвуковые зоны (по сравнению с плоским случаем) менее развиты и имеют меньшие локальные значения чисел М (реализуются, например, Моо^ 1,3—1,4; и т. п., хотя, естественно, основные особенности трансзвукового потока сохраняются.
Как видим, метод „крупных частиц“ позволяет проводить по единому алгоритму расчеты в широком диапазоне чисел Маха на-
Осесимметричный случай (0=1) Ъ=2Ч°/0;М*о=0,86
3.2(2)
3.2(5>
32(6)
32(3)
ЛЧ
0,9 1,0 /П\ /0,5 //,0,7
3.2(7)
3.2(4)
М^-2,5
3.2(8)
Фиг. 3.2
бегающего потока (от чисто дозвуковых до сверхзвуковых режимов), что говорит об определенной общности подхода и является особенно важным для практических приложений.
Как пример трансзвукового обтекания тела более сложной формы можно привести картину течения, показанную на фиг. 3.3, где нанесены линии М = const для случая звукового режима движения (Moo = 1) спускаемого космического аппарата типа „Аполлон“.
Расчет характеристик обтекания спускаемых аппаратов на трансзвуковых скоростях полета вызывает обычно много трудностей, однако представляет большой интерес, так как именно на этих режимах происходит в ряде случаев потеря устойчивости движения.
Для оценки надежности полученных результатов был проведен целый ряд сравнений и контрольных тестов. Как уже отмечалось ранее, проводилось детальное изучение постановки задачи и ее краевых условий; численные данные сравнивались с асимптотикой течения (II ч. этой работы [2]), а также с результатами, полученными по другим схемам и из эксперимента. Как правило, везде мы получали вполне удовлетворительное согласование.
Анализ внутренних контрольных тестов задачи и результатов ср<1внений позволяет определить рациональное число узлов аппроксимации и показывает, что погрешность расчетов методом „крупных частиц“ не превышает обычно нескольких процентов. Приведем здесь некоторые из этих данных для трансзвуковых режимов.
Ниже сравниваются значения критических чисел М„, полученные с помощью метода крупных частиц (Mi ос), с расчетами [25], проведенными с достаточно высокой точностью по методу интегральных соотношений ВО втором и третьем приближениях (М2оэ). Рассматривалась задача об обтекании осесимметричных эллипсоидов вращения (v=l) с различной относительной толщиной 8 = Ь/а (где Ь — вертикальная, а — горизонтальная полуоси). Величины М* <» были получены по описанной здесь методике путем интерполирования значений для двух расчетов: один случай выбирался с Моо < <М^, другой — с М00>М^, причем ДМоо<0,1
8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
К» 1,000 0,910 0,790 0,695 0,635 0,562 М*2оо 1,000 0,899 0,783 0,692 0,620 0,563.
Из приведенных данных видно, что при всех значениях 8 наблюдается хорошее совпадение результатов при определении такого „тонкого“ параметра околозвуковых течений, как значение критического числа М. На фиг. 3.4 приведено сравнение полей течений (линии М = const), полученных методом „крупных частиц“ ■{сплошные линии) и экспериментальным путем (штриховая линия) Вудом и Гудерумом (стр. 556 — 558 работы [29]) для случаев докри-тического (фиг. 3.4, а) и закритического (фиг. 3.4, б) обтеканий
Линии M=const расчет методом „крупных частиц,я
— экспериментальные данные [4Л Фиг. 3.4
Линии М 'const Линии rot W=const
а) ff)
12% профиля. Определение из расчета и эксперимента значения критического числа М дает абсолютное совпадение: М» = 0,74. Здесь так же хорошо согласуются численные и экспериментальные данные и для поля течения. Наблюдается хорошее совпадение численных результатов с экспериментом (Карман [30], стр. 66) при сравнении протяженности и интенсивности местных сверхзвуковых зон.
На фиг. 2.1 и 2.2 во II ч. этой статьи [2] дается сравнение для звукового режима обтекания результатов расчетов методом „крупных частиц“ и аналитических данных, полученных из асимптотики. Видно, что уже на расстоянии двух-трех радиусой от тела наблюдается хорошее совпадение.
3.2. С помощью метода „крупных частиц“ исследовались и другие газодинамические задачи, имеющие сложные внутренние структуры, такие как зоны срыва, взаимодействия разрывов и т. п. Рассматривались внутренние течения газа, дифракционные задачи; исследовалось обтекание конечных тел со срывом и „вдувом“ потока, а также делались попытки оценки характеристик турбулентных течений.
Фиг. 3.5 иллюстрирует результаты расчета движения газа в плоском (v = 0, фиг. 3.5, а) и осесимметричном (v=l, фиг. 3.5, б) соплах-каналах с круговым центральным телом (Мю = 1,5), когда при взаимодействии потока с верхней стенкой (совпадающей с верхней границей расчетной области) имеет место случай образования А-скачка. Об этом свидетельствует, в частности, поведение линий М = const на фиг. 3.5, а и rot W = const на фиг. 3.5,6. Метод позволяет исследовать и другие сложные структуры внутренних течений.
Определенный интерес представляет также рассмотрение нестационарных дифракционных задач. На фиг. 3.6 показаны в каче-
сгве примера результаты расчета задачи о набегании плоской ударной волны (с безразмерной скоростью к=1) на препятствие — „ступеньку“. Нулевой уровень удельной полной энергии £'„ = 0,4464, так что энергоперепад в волне равнялся и2/2= + 0,5. На фиг. 3.6 приводятся линии Е — const в различные моменты времени ¿ = 0, 2, 4, 6 (цифрами обозначены уровни энергоперепада). Качественные оценки поведения решения в этой задаче дают близкие результаты при сравнении таких характеристик течения, как время прохождения ударной волны, интенсивность „нагрева“ тела и т. п.
Аналитические методы позволяют исследовать лишь отдельные частные случаи взаимодействия волны с препятствием (при условии, когда картина дифракции достаточно проста) [31 —35] и др., в то же время как численные подходы дают возможность рассмотреть достаточно общие случаи.
3.3. Наиболее интересным приложением метода „крупных частиц“ следует считать, видимо, расчет газодинамических течений при наличии срыва или „вдува“ потока. Изучение оередненных турбулентных характеристик в следе за телом, а также в зонах смешения потоков представляется в настоящее время весьма актуальным и с практической точки зрения.
Фиг. 3.7, 3.8 иллюстрируют результаты расчетов течений со сложной вихревой структурой у тел конечных размеров при наличии ерывных зон за кормой и „вдува“, когда с поверхности обтекаемого тела навстречу основному потоку „вдувается“ струя.
А М L о & Т
а)
М =9 М =л
К
Мс*гЗ,5,
•І-1, Ме-1-, Рс*Мі пс~-1 і
vc=0
линии тона
--------ударные волны
........ линии горизон-
тальности Вектора скорости
ме»*» зВукодые линии
------разделительные
линии
Здесь при сверхзвуковом обтекании конечного осесимметричного цилиндра (фиг. 3.7, а; Моо = 3,5) и сферы (фиг. 3.8, б\ Моо = 3.5; фиг. 3.8, в, Моо =6) исследуются случаи взаимодействия основного потока со звуковой аксиальной струей (ее параметры Мс=1,0; рс=2,9; нс=—1,0; г>с = 0), вытекающей из сопла, расположенного на оси симметрии тела. На фиг. 3.8, г демонстрируются результаты расчета, когда с поверхности сферы АВ имеет место распределенный вдув газа. Везде на фигурах показаны линии тока, ударные волны, линии горизонтальной скорости (точки), звуковые линии (кружочки); пунктиром обозначены разделительные линии, отделяющие область основного течения от зоны течения выдуваемого газа.
Для сравнения на фиг. 3.7, б (Моо —2) и 3.8, а (Моо = 3,5) приводятся случаи бесструйного обтекания тех же тел, т. е. без вду-ва струи в основной поток (Мс = 0).
Наличие струи значительно усложняет картину течения. На* пример, при обтекании цилиндра конечной длины головная ударная волна АВС (фиг. 3.7, а) „смещается“ навстречу потоку и ее отход от тела значительно увеличивается. Струя, вытекающая из тела со звуковой скоростью параллельно оси симметрии, расширяется и при этом образуется локальная струйная сверхзвуковая
Мс=0($ез струи)') = ■! М^З.5
Мс=1'> рс=2,9>ис=-1,0; 1ГС=0-. 0=1
К. Мс/- Ю
Мг-11 рг=2,9> ис=-1> 1ГС=0) 0 = 1 Распределительный Вес
1С /)
г)
—*— линии тока ----- ударная Волна
..... линия горизонтальности Вектора скорости
о"»". звукоВая линия -----разделительная линия
Фи г. 3.8
область OLMNPO, которая замыкается системой А-скачков уплотнения (боковых МР, косых — MN и переднего — ML), имеющих общую точку М. Перед телом образуется застойная зона со сложной вихревой структурой: звуковая линия BQ располагается значительно ниже, по сравнению с бесструйным обтеканием; за точкой замыкания передней застойной зоны возникает вторичный скачок уплотнения QC, который на некотором расстоянии от тела сливается в точке С с головной ударной волной ABCD и т. д.
За „плохообтекаемыми“ телами (фиг. 3.7 и 3.8) как при течениях со „вдувом“, так и при бесструйном обтекании, видно образование срывных циркуляционных зон возвратного течения. Эти зоны в рассматриваемых случаях являются замкнутыми, локализуются за кормой тела и ограничены от внешнего течения контактной поверхностью, отмеченной на фигурах пунктиром. Далее вниз по потоку наблюдается образование турбулентного следа. В окрестности точки отрыва (интересно отметить, что на фиг. 3.7 точка отрыва лежит несколько ниже задней угловой точки тела) образуется „кормовой“ скачок уплотнения FF'. Поток в зонах возвратно-циркуляционного течения существенно дозвуковой и весьма разрежен (плотность и давление газа здесь малы), так что влияние вязкости в зоне весьма незначительно.
Для оценки влияния аппроксимационной вязкости (напомним, что е~|и|Л, где Л —шаг сетки) на свойства течений проводились расчеты срывных зон на разных сетках аппроксимации. Размеры ячеек — крупных частиц — изменялись при этом в несколько раз — на корме тела размера R размещалось, например, от 4 до 30 счетных интервалов (фиг. 3.9). Во всех случаях имел место многократный (более 100 „курантов“, где число „куранта“ означает отношение шага по времени к шагу по пространству) запас вычислительной устойчивости. На фиг. 3.9 показаны области срыва за кормой осесимметричного цилиндра (Моо = 2) для случая R=l4by. Показано последовательное развитие течения по времени (в условных единицах) от tn — 21 до ¿" = 31, когда зона практически локализовалась. Здесь сплошными линиями отмечены линии тока, а „стрелочками“— направление векторов скорости.
Из анализа картины течения следует, что, начиная с R—10 Д_у при ¿">25, течение в зоне срыва практически сформировалось, хотя и продолжает „дышать“. Интересно отметить, что весьма близкие картины течений — положение контура зоны, точек отрыва, замыкания и т. п. наблюдались и на более мелкой сетке*, причем (что очень важно) „дыхание“ зоны — изменение ее размеров, внутренней структуры течения и др. происходило примерно в одни и те же интервалы времени (в одних фазах) при расчетах на разных сетках аппроксимации.
И, наконец, на фиг. 3.10 демонстрируются результаты интересного методического численного эксперимента, проведенного с помощью метода „крупных частиц“. Здесь приводятся линии тока, полученные расчетным путем, для донной области при обтекании сферы (Моо = 0,3), сжимаемой а) и несжимаемой б) при р = = const жидкостью. Отчетливо наблюдается образование срывных циркуляционных зон в обоих случаях, причем, если в сжимаемом газе срывная зона замкнута и локализуется за телом, то в случае
* При очень сильном размельчении расчетной сетки формирование осред-ненного течения в зоне срыва уже не наблюдалось.
R=4 dy
àX
Мт=2
Я= 14 ûy n ^ âx
ifO
35
30
25
20
15
10
5
1
Moa = 2 , R = 14ây
40=^=L гс г \w 55 ’ і » 35 r
ЗО " QiO 30
25 | " t ") 25 ’ 25 | ^
20-* —— >.To :І8§і 20 ^ '‘CbcSj;
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 58
© n=21 © n=23 © n = 2S ©
TL= 27 © n=29
Фиг. 3.9
10 15 '20 25 SO 35 40 45 50 55 58 ® ті -31
м^о,з
несжимаемого течения она развивается до значительных размеров
и, оставаясь нестационарной, уходит за пределы области интегрирования. В последнем случае имеет место также увеличение относительной толщины контура ерывной зоны, что подтверждается экспериментом и теоретическими исследованиями [36 — 38].
Как видим, расчетная схема „отобрала“ в рассматриваемых случаях качественно „реальное“ решение. При этом происходит формирование течения в целом; размеры и общие характеристики срывных зон хорошо согласуются с экспериментом и качественной теорией; на границах — контактных поверхностях — удовлетворяются краевые условия задачи (равенство давлений) для срывных зон в „предельных“ течениях (когда число Ь?е -> оо или коэффициент кинематической вязкости мМ0л 0); положение точки отрыва на сфере и круговом цилиндре во всех рассматриваемых случаях находилось в районе ? ~ 120° — 130° (где угол отсчитывается от передней критической точки, Что соответствует отрыву турбулентного потока, если проводить аналогию с несжимаемым случаем [36]; при расчетах на различных сетках аппроксимации размеры и параметры этих зон изменялись незначительно (имеет место слабая зависимость положения точки отрыва и границы зоны от величины аппроксимационной вязкости и т. п.); процесс расчета — численный эксперимент — хорошо отражает нестационарную специфику явления (наблюдаются плавные колебания—„дыхание“ зон) и т. п.
Причины образования срывных зон при сильном взаимодействии объясняются здесь, видимо, тем, что из-за вязкостных эффектов схемы (наличие механизма диссипации) и отмеченной трактовки краевых условий на самом теле реализуются условия, близкие к условиям „прилипания“; у поверхности тела образуется достаточно широкий пограничный слой (соизмеримый с толщиной тела на его корме), который, затем отрываясь от поверхности тела, образует за его кормовой частью срывную зону возвратно-циркуляционного течения со сложной вихревой структурой, ограниченную от внешнего потока тонким вязким слоем смешения. При расчетах на больших временных интервалах в случае стационарного обтекания тела отчетливо наблюдается формирование срыва. При этом следует подчеркнуть, что хотя пограничный слой и возникает из-за вязкостных эффектов схемы, в самой ерывной зоне
влияния аппроксимационной вязкости е (которая пропорциональна величине локальной скорости и размеру расчетной сетки) достаточно мало. Дело в том, что в этих зонах реализуются небольшие значения дозвуковых скоростей (не превышающих, обычно, чисел М — 0,2 — 0,3), а расчеты на разных сетках аппроксимации показали незначительное (в пределах одного-двух шагов) изменение контура зоны — „размывание“ слоя смешения.
Полезно здесь также вспомнить и аналитические оценки из работы [39], утверждающие, что при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса силы вязкости в области возвратно-циркуляционного течения малы по сравнению с силами инерции и движение в зоне срыва можно считать невязким (их отношение порядка о[(|*сЛ\>Же_1,2]> где jic и — значения коэффициентов динамической вязкости в зоне срыва и на границе пограничного слоя соответственно; = arcsin (1/М). Ширина вязкого слоя смешения (отнесенная к длине зоны) по тем же оценкам будет порядка о (Re~1/2 )*.
Кроме того, на примере модельных уравнений показано, что оператор решения разностного уравнения с аппроксимационной вязкостью асимптотически совпадает с оператором решения соответствующего дифференциального приближения [40].
Из эксперимента и теории пограничного слоя известно также, что положение точки отрыва, вообще говоря, слабо зависит от числа Рейнольдса [41, 42]. Как отмечает Бэтчелор ([42], стр. 411), из теории пограничного слоя следует, что при неизменном распределении скорости внешнего потока положение точки нулевого трения на стенке не зависит от числа Рейнольдса; таким образом, обращение в нуль напряжения трения в некоторой точке и предположительно связанное с ним явление отрыва пограничного слоя существует и в пределе при vMOJ]-*0.
Факт слабой зависимости свойств решения от аппроксимационной вязкости г — \u\fi и, следовательно, от расчетного числа Рейнольдса Rерас = н^/£ говорит, между прочим, и о том, что при вычислениях практически реализуются значения очень больших („турбулентных“) чисел Рейнольдса. Таким образом, можно надеяться, что приведенные выше расчеты срывных зон несут и определенную количественную информацию для предельных случаев течений (Re оо) как, например, расчеты ударных волн по схемам с искусственной вязкостью и т. п.
Расчет возвратно-циркуляционных зон для предельных случаев течения („срыв в идеальном газе“) — это, видимо, еще один тип газодинамической задачи, где, грубо говоря, важную роль играет сам факт существования вязкости (а не ее величина), что и обеспечивает единственность решения задачи в рамках идеального газа. При необходимости, естественно, характеристики таких зон могут быть уточнены в дальнейшем, используя результаты расчетов (например, положение точки отрыва и замыкания, контур зоны и др.) за исходные данные.
Заметим однако, что если при расчетах на лобовой части тела параметры потока устанавливаются сравнительно быстро, то локальные сверхзвуковые зоны, срывные области продолжают, как уже отмечалось, „дышать“ в процессе вычислений, что связано,
* В предположении, что слой смешения аналогичен обычному ламинарному пограничному слою.
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 58
35
30
25
20
15
10
5
1
1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 58
Фиг. 3.11
по-видимому, с физической природой (нестационарностью) самого явления. Применение здесь разностных схем „сквозного“ счета нестационарного метода „крупных частиц“ кажется особенно оправданным.
3.4. В заключение приведем результаты численного эксперимента по исследованию турбулентных характеристик струйных течений. На фиг. 3.11 показана картина сверхзвукового обтекания цилиндрического торца (Мсо = 3,5), вблизи угла которого из кольцевой щели навстречу потоку (параллельно оси симметрии) вытекает струя. Параметры струи следующие: Мс = 1, ре := 2,9, ис = — 1, = 0.
В районе угловой точки происходит интенсивное смешение струи с набегающим потоком и, естественно, в этой области главную роль играет турбулентный обмен. Здесь делается попытка оценить по результатам расчетов напряжение турбулентного трения и коэффициент турбулентной вязкости.
На фиг. 3.11 стрелками изображены линии тока, штриховой линией — звуковая линия, сплошной линией — ударная волна, кружками — изолинии уровня напряжения турбулентного трения, пунктиром— линии уровня коэффициента турбулентной вязкости. Следует отметить, что характеристики турбулентного движения здесь определялись по осредненной картине течения. Так, напряжение турбулентного трения
Ттурб:= рАмА*у, коэффициент турбулентной вязкости [43]
И — т \ — тур б >урб I ¿п •
Возможно, что эти характеристики нуждаются в уточнении, но тем не менее они несут в себе весьма важную информацию. Видно, например, что по мере приближения к зоне смешения величина ттур6 увеличивается и т. д.
Коэффициент турбулентной вязкости Ктурб, как и следовало ожидать [43], является переменной величиной. Наибольшие его значения (по модулю) также достигаются в районе угловой точки. Отметим, что на переменность коэффициента турбулентной вязкости указывал еще в 1877 г. Буссинеск. В работах М. Д. Милли-онщикова [43] и др. отмечается зависимость коэффициента турбулентной вязкости от большого числа причин: шероховатости обтекаемой поверхности, расстояния от стенки и т. д. По существу коэффициент турбулентной вязкости в каждой точке зависит от всего состояния потока в целом. В настоящее время существуют полуэмпирические теории, дающие возможность определять коэффициент турбулентной вязкости, как правило в очень упрощенных случаях (течение несжимаемой жидкости в плоскопараллельном канале, около пластины и т. д.). В них АГтурв представляется в виде суммы частных типов вязкостей зависящих от определенных причин
^турб === ^11
I
куда входят „вязкость шероховатости“ Кш, „вязкость в зависимости от расстояния I до тела“ Кь молекулярная вязкость и т. д. Заметим, что как правило /<турб~10°, в то время как Киол ~ 10-5 10~6, т. е. на много порядков ниже. Поэтому в большинстве течений с развитой турбулентностью при больших числах Рейнольдса молекулярная вязкость не играет заметной роли (механизм переноса здесь иной: не молекулярный, а турбулентный).
При течениях газа вблизи стенки могут осуществляться, как известно, два режима обтекания: ламинарный и турбулентный. В первом случае жидкость обладает лишь молекулярной вязкостью, которая не изменяется при переходе от одной точки к другой; при этом профиль скорости, как следует из уравнений Навье — Стокса, является линейным. Во-втором случае, при наличии турбулентной вязкости (с переменным коэффициентом АГТурб) реализуется логарифмический профиль скорости. Метод „крупных частиц“, как показали расчеты, позволяет получать логарифмический профиль скорости, т. е. моделируются турбулентные эффекты.
Возвращаясь к фиг. 3.11, отметим, что коэффициент турбулентной вязкости может быть не просто переменным, но и менять знак: это зависит от ориентации нормали к линии тока в данной точке.
3.5 Число примеров расчета, иллюстрирующих возможности метода „крупных частиц“, можно было бы значительно увеличить, однако важнее, на наш взгляд, дать интерпретацию полученным результатам.
При рассмотрении картины столь сложных течений естественно возникает вопрос о надежности и „реальности“ получаемых результатов. Во всех рассматриваемых случаях мы большое внимание уделяли методическим расчетам; детально изучалась постановка задачи, краевых условий; численные данные сравнивались с асимптотикой течений, а также с результатами, полученными по другим схемам и из эксперимента. Как правило, везде получали вполне удовлетворительное согласие (погрешность расчетов методом крупных частиц не превышает обычно нескольких процентов).
Позволим напомнить здесь еще раз вид дифференциального приближения используемых конечно-разностных уравнений, откуда
и следует наличие диссипативного механизма в схеме. В случае двумерного течения при отсутствии явных членов с искусственным давлением дифференциальные приближения имеют такой вид
-|^+у(р^) = 0,
+ V (р® щ + Щ=£ (4- ?иА* ш) + ъ (4- р® |г)'
д-Ж+ V (РЕЩ-+ V (РЮ = £ (4- ри д X §) + (4- рт Ду | •
причем в левой части находятся точные выражения исходных дифференциальных уравнений, а справа — диссипативные члены, возникающие при аппроксимации исходной системы дифференциальных уравнений конечно-разностными и зависящие от внутреннего характера используемых представлений. В двумерном случае, как видим, „вязкостное давление“ имеет вид тензора (см. также выражение (1.8") в I ч. этой статьи [1]).
Таким образом, как следует из приведенных выражений, реализуемые при конкретных вычислениях уравнения являются диссипативными (хотя в качестве исходных использовались дифференциальные уравнения Эйлера), причем механизм диссипации определяется внутренней структурой разностных схем.
Как уже отмечалось ранее, роль коэффициента молекулярной вязкости умол здесь играет коэффициент схемной (аппроксимацион-ной) вязкости е, зависящей от локальной скорости потока и размера разностной сетки к. Задача указанного приближенного механизма диссипации — сгладить („размазать“) сильные разрывы, что позволяет проводить „сквозной“ счет в рамках идеального газа по единым алгоритмам во всей области интегрирования. При этом важно отметить, что в методе „крупных частиц“ моделируется, в принципе, точный механизм нестационарности развития явления.
Для устойчивости вычислений „коэффициент диффузии“ а, дифференциальных приближений должен быть положительным; на границах „размывания“ должны выполняться с определенной точностью соответствующие условия разрыва, например, условия Гюгонио для ударных волн. Разностные уравнения должны допускать таким образом решение, аналогичное по своей структуре скачку уплотнения, причем при к -»0 величина е-»0 и зона „размывания“ асимптотически должна переходить в поверхность разрыва. По существу, эти критерии и являются определяющими при построении диссипационного механизма, соответствующих разностных схем, аппроксимирующих исходную систему уравнений.
Вид вязкостного тензора (а следовательно, и вид разностной схемы) определяется из анализа дифференциальных приближений и может иметь различную структуру для задач разных классов. Указанный анализ может проводить, в принципе, электронно-вычислительная машина, так что при таком подходе машина, используя отмеченные выше критерии, практически сама „конструирует“ или „подправляет“ соответствующую математическую модель задачи.
Рассматриваемые в методе „крупных частиц“ однородные-конечно-разностные схемы являются дивергентно-консервативными и диссипативно-устойчивыми: они аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения, обеспечивают устойчивый счет (не „пропускают“ экспоненциально возрастающих по времени неустойчивых возмущений)* и имеют решение, аналогичное по своей структуре скачку уплотнения. С их помощью и исследуются осред-ненные характеристики сложных задач газовой динамики для предельных режимов течений.
Точное моделирование временного процесса дает возможность изучать динамику нестационарных явлений. Приближенный механизм диссипации (с аппроксимационной вязкостью) позволяет определять с достаточной точностью положение, скорость распространения и характер взаимодействия разрывов: скачков уплотнения, контактных поверхностей, узких слоев смешения в следе за телом и т. п. Однако внутренние структуры этих разрывов, которые определяются молекулярными эффектами, таким подходом не „улавливаются“, так как влияние аппроксимационной вязкости в разностных уравнениях „забивает“ молекулярные эффекты.
Подчеркнем, что в однородных разностных схемах сквозного счета наличие аппроксимационной вязкости обязательно. Именно ее присутствие в схеме позволяет единым образом описать гидродинамические течения, расчетные формулы которой становятся одинаковыми в различных точках сетки независимо от того, находится ли данная точка в области гладкого решения или на разрыве.
Построение разностных схем с приближенным описанием механизма диссипации для рассматриваемых предельных типов течений целесообразно проводить на основе уравнений Эйлера. Дело в том, что при расчетах течений при больших числах Рейнольдса для устойчивости вычислительной процедуры необходимо, чтобы эффективная вязкость была достаточно большой и подавляла флуктуации, которые в противном случае будут увеличиваться в результате действия конвективных членов. Для течений при малых числах Рейнольдса это может достигаться различными путями. Наиболее желательным является использование для этих целей, естественно, достоверных значений вязкости или же необходимо проводить уменьшение диффузионных (второго порядка) ошибок округления. Однако для больших чисел Рейнольдса молекулярная вязкость является слишком малой величиной, чтобы ее можно было использовать для обеспечения вычислительной устойчивости. В этом случае приходится использовать большие значения эффективной вязкости и рассматривать отличный от молекулярного механизм диссипации [45].
При этом следует помнить, что конвективные члены разностной схемы могут порождать положительную диссипацию нефизической природы, которая допустима, если оказываемое ею влияние на осредненное движение пренебрежимо мало. Строго говоря, при расчетах с аппроксимационной вязкостью можно претендовать
* В приципе, это условие может быть ослаблено. Можно, например, потребовать, чтобы конечно-разностная схема отражала неустойчивость движения, при больших числах Рейнольдса. Для этого спектральные свойства линеаризованных уравнений Навье—Стокса и соответствующих конечно-разностных уравнений должны быть близки друг к другу [44].
2—Ученые записки № 5
1Т
на получение решения в тех областях, где влияние последней незначительно.
Ранее было показано путем исследования дифференциальных приближений и численного экспериментирования, что схемы метода „крупных частиц“ допускают решения, аналогичные по своей структуре скачку уплотнения. Это приводит к выглаживанию сильных разрывов, контактных поверхностей (на границах которых выполняются краевые условия для предельных течений), причем обобщенное решение — предельный режим течения—получается здесь в пределе, когда время t-> оо и аппроксимационная вязкость е -*■ 0, т. е. при расчете на больших временных интервалах и при измельчении расчетной сетки. По существу, аппроксимационная вязкость здесь играет роль возмущения.
Таким образом, если в уравнения идеального газа введены диссипативные члены, то (как показали исследования и расчеты) при достаточно широких предположениях относительно характера диссипации обобщенное решение большого класса задач для предельных режимов течения (чмол 0) можно получить с определенной точностью путем предельного перехода из уравнений с приближенным механизмом диссипации, а не из уравнений Навье — Стокса (см. об этом также [46, 47]).
Если трактовать турбулентный поток как устойчивое нестационарное течение, формирование которого происходит в процессе достаточно больших временных интервалов независимо, в определенных пределах, от конкретных начальных данных {45, 48]*, то можно предположить, что указанный подход будет справедлив (как по постановке задачи, так и по разработанной методике) и для численного исследования осредненных характеристик достаточно общих турбулентных явлений. Такие течения имеют место, например, когда пульсации турбулентного движения носят случайный характер, а самые большие вихри, возникающие в потоке, значительно меньше размеров области сдвигового течения (турбулентные потоки при больших Рейнольдсах в трубах, в пограничных слоях на стенках, в свободных струях, в зонах следа за телом и т. п.) [49].
Действительно, схемы метода „крупных частиц“ с приближенным механизмом диссипации позволяют „ввести“ в поток вихревые („турбулентные“) возмущения, а расчеты на больших временных интервалах при точном моделировании нестационарности позволяют получить для сформировавшегося течения осредненный по времени турбулентный (по определению) поток. Построенные на основе модели Эйлера расчетные схемы дают возможность изучать осредненные характеристики не только крупномасштабных турбулентных движений, отвечающих большим числам Рейнольдса, но и характеристики турбулентности масштаба (где I —
основной масштаб турбулентности порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области; Х0 — внутренний масштаб турбулентности)** [48]. Указанный здесь приближенный
* При рассмотрении турбулентного движения в течение достаточно больших промежутков времени конкретные начальные условия перестают играть какую-либо роль ([48], стр. 146).
** Как отмечают Ландау и Лифшиц ([48], стр. 148), все величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах А>А0, не могут зависеть от вязкости V (более точно, эти величины не должны меняться при изменении V и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение).
механизм диссипации в разностных уравнениях позволяет, по существу, определять эффективные значения коэффициентов переноса, что и дает возможность феноменологически ввести турбулентность. Локальные свойства турбулентного течения могут -быть описаны из соображений размерности на основе концепции Прандтля — Колмогорова всего двумя величинами — кинетической энергией пульсационного движения и „масштабом“ турбулентности [50].
Строго говоря, обобщенное решение указанного класса задач, построенных с-помощью нестационарной модели Эйлера, должно получаться по диссипативно-устойчивым схемам метода „крупных частиц“ в процессе двойного предельного перехода: при расчетах на больших временных интервалах Ь -* оо и при стремлении к нулю коэффициента при старших производных £ 0, т. е. для последо-
вательно размельчаемой расчетной сетки (при Дх, Д_у-^0 аппро-ксимационная вязкость е->0). Первый предельный переход означает „осреднение“ по времени, а второй — обуславливает независимость получаемого решения от аппроксимационной вязкости. Искомое решение формируется здесь при установлении параметров течения. Проведение таких расчетов в принципе возможно по указанным выше схемам, что и делалось, например, при исследовании зон срыва за плоской „ступенькой“ (см. фиг. 3.9) и др.
3.6. Описанные выше результаты, методические расчеты и аналитические оценки позволяют сделать следующие выводы:
— для исследования большого класса задач (в том числе течений с ударными волнами, местными сверхзвуковыми зонами, в донной области за конечным телом, турбулентных движений при больших Рейнольдсах и др.) вполне допустимо и целесообразно использование в качестве исходной системы нестационарных уравнений модели Эйлера;
— рассматриваемые здесь дивергентно-консервативные и диссипативно-устойчивые разностные схемы метода „крупных частиц“ -с приближенным описанием механизма диссипации и точным моделированием нестационарности обеспечивают при сравнительно небольшом числе узлов расчетной сетки (1,5—2,5 тыс. ячеек) проведение устойчивых вычислительных процедур при решении широкого класса сложных задач аэрогазодинамики;
— влияние аппроксимационных диссипативных членов разностных уравнений проявляется в расчетах согласно физической постановке задачи лишь в узких зонах (слои смешения, ударные волны и др.), структуры которых в этом подходе не изучаются (расчеты на разных сетках аппроксимации подтвердили справедливость этого вывода и правомерность математической постановки задачи);
— обобщенное решение рассматриваемого класса задач для предельного режима течения находится путем предельного перехода для больших интервалов времени из уравнений с приближенным механизмом диссипации.
Вводя в рассмотрение время и „крупную частицу“ (массу дискретной ячейки), метод и сам процесс „расщепления“ каждого временного шага, получили большую физическую наглядность и аналогию с реальным экспериментом при изучении газодинамических течений. Наложив начальные и граничные условия, остается только наблюдать за развитием процесса. Весьма целесообразно использовать здесь для вывода информации автоматизированные
графопостроители, дисплейную технику и другие устройства, способные отражать динамику развития процесса [16, 51—52].
Подчеркнем в заключение наиболее характерные этапы и общие элементы численного и физического эксперимента.
Вначале, на основе анализа исследуемого физического явления делается его математическое описание (выбирается математическая модель); в физическом эксперименте этому этапу соответствует анализ и выбор схемы эксперимента, проводится уточнение элементов конструкции и проектирование самой установки. Затем для исходного дифференциального (или интегрального) оператора составляется некая приближенная схема решения, исследуются вопросы ее устойчивости, точности аппроксимации, проводится методический счет и т. д. В натурном эксперименте на этом этапе осуществляется конструирование, изготовление и отладка экспериментальной установки.
В результате мы получаем инструмент (работающую программу на ЭЦВМ или установку) для исследования интересующего нас явления. С помощью этих средств и проводится собственно сам эксперимент; машинный счет или серия замеров. И, наконец, заключительным этапом эксперимента является детальный анализ результатов исследования, вследствие чего вносятся уточнения и коррективы в структуру математической модели и в программу на ЭЦВМ; осуществляется видоизменение элементов конструкции опытной установки и т. д. Такая обратная связь позволяет совершенствовать методологию как численного, так и натурного экспериментов.
Использование указанных вычислительных методик типа „частиц в ячейках“ (численный эксперимент) позволяет существенно расширить класс исследуемых задач аэрогазодинамики. Примерно те же принципы успешно применяются и для построения численных: алгоритмов, основанных на уравнениях Навье — Стокса и Больцмана (статистический метод „частиц в ячейках“), при изучении свойств течений вязкого и разреженного газа [53 — 55].
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численное моделирование сложных задач аэрогазодинамики методом „крупных частиц“. Ч. 1. Метод. Исследование схем. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 3, 1977.
2. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Числен-
ное моделирование сложных задач аэрогазодинамики методом „крупных частиц“, ч. II. Асимптотика звуковых течений. Методические расчеты. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 4, 1977.
3. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод
„крупных частиц“ для задач газовой динамики. Информ. бюлл. СО АН СССР .Численные методы механики сплошной среды“, Новосибирск, т. 1, № 3. 1970.
4. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Расчет
методом „крупных частиц“ трансзвуковых „закритических* режимов обтекания. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 13, № 1, 1973.
5. Belotserkovskii О. М., Davydov Ju. М. Numerical approach for investigating some transsonic flows. Lecture Notes in Physics, Springer — Verlag, vol. 19, 1973.
6. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Расчет
трансзвуковых течений методом „крупных частиц“. Информ. бюлл.
СО АН СССР „Численные методы механики сплошной среды“, Новосибирск, т. 1, № 6, 1970.
7. Давыдов Ю. М. Численное исследование течений со струями, направленными навстречу потоку. Труды ВВИА им. проф.
H. Е. Жуковского, вып. 1301, М., 1971.
8. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численный эксперимент при изучении газодинамических течений со срывом или „вдувом“ потока. В сб. .Избранные проблемы прикладной механики*, М., .Наука“, 1974.
9. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численный эксперимент при изучении газодинамических характеристик обтекания тел на сверхзвуковых и гиперзвуковых режимах. В сб. „ХХУ Международный астронавтический конгресс. Тезисы докладов“, М., ВИНИТИ, 1973.
10. Belotserkovskii О. М., Davydov Ju. М. Numerical experiments for supersonic and hypersonic flows. Acta astronautica, vol. 1, N 11 — 12, Pergamon Press, 1974.
11. Давыдов Ю. М. К расчету нерегулярного отражения ударных волн методом »крупных частиц“. Труды МФТИ, серия: »Аэрофизика, процессы управления“, Долгопрудный, 1973.
12. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численное исследование сложных задач газовой динамики методом .крупных частиц“. М., ВЦ АН СССР и МФТИ, 1972.
13. Давыдов Ю. М. О методах .частиц“ для решения задач газовой динамики. В сб. .Распространение упругих и упруго-пластических волн“, Алма-Ата, .Наука“, 1973.
14. Б е л о ц е р к о в с к и й О. М., Головачев Ю. П., Груд-ницкий В. Г., Давыдов Ю. М., Душин В. К., Лунь-кин Ю. П. Магомедов К. М., Молодцов В. К., Попов Ф. Д., Толстых А. И., Фомин В. Н., Холодов А. С. Численное исследование современных задач газовой динамики. Под ред. О. М. Белоцерковского. М., .Наука“, 1974.
15. Давыдов Ю. М. Развитие метода .крупных частиц“. Труды МФТИ, серия: „Аэрофизика, прикладная математика“, Долгопрудный, 1971.
16. Давыдов Ю. М. Численный эксперимент в газовой динамике. „Вычисл. матем. и матем. физ.* т. 1, № 2, 1975.
17. Белоцерковский О. М., Давыдов " Ю. М. Нестационарный метод „крупных частиц“ для решения задач внешней аэродинамики. М., ВЦ АН СССР, 1970.
18. Давыдов Ю. М. Исследование нелинейных колебаний, возникающих при решении эволюционных разностных схем. В сб. „Проблемы нелинейных колебаний механических систем“, Киев, .Наукова Думка“, 1974.
19. Никольский А. А., Серебрийский Я. М. Сычев В. В. Аэродинамика установившегося обтекания тел при дозвуковых скоростях. В сб. „Механика в СССР за 50 лет“, т. 2, М., „Наука*, 1970,
20. Христианович С. А. Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
21. Франкль Ф. И. К образованию скачков уплотнения в дозвуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями. „Прикладная математика и механика“, т. 11, вып. 1, 1947.
22. Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения. „Прикладная математика и механика“, т. 10, вып. 4, 1946.
23. О в с я н н и к о в Л. В. О движении клиновидного профиля со скоростью звука. Труды ЛКВВИА, 33, 1950.
24. Ш и ф р и н Э. Г. Об одном условии разрушения области непрерывного сверхзвукового течения при обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной. ДАН СССР, т. 176, № 4, 1967
25. Чушкин П. И. Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым потоком газа. В сб. „Вычисл. матем.“, № 2, М., Изд-во АН СССР, 1957.
26. Чушкин П. И. Расчет некоторых звуковых течений газа. .Прикладная математика и механика“, т. 21, вып. 3, 1957.
27. Л и ф ш и ц Ю. Б. О расчете трансзвукового обтекания симметричного профиля в свободной струе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 1.
28. Липницкий Ю. М., Л и ф ш и ц Ю. Б. О расчете обте-
кания тел вращения трансзвуковым потоком. „Прикладная математика и механика", т. 34, вып. 3, 1970. .
29. Ferrari С., Т г i с о ш i F. Transonic aerodynamics. New-York — London, Acad. Press, 1968.
30. Карман Т. Сверхзвуковая аэродинамика. М., Изд-во иностр. лит., 1948.
31. L i g h t h i 11 М. I. The diffraction of blast. Proc. Roy Soc., Ser. A., 1949, vol. 198.
32. Ting L., L u d 1 о f f H. F. Aerodynamics of blasts. J. Aeronaut. Sei., vol. 19, N 5, 1952.
33. Голуби некий А. И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью, „Прикладная математика и механика“, т. 28, вып. 4, 1964.
34. Бежанов К. А. Дифракция ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. „Прикладная математика и механика*, т. 33, вып. 4, 1969.
35. Колган В. П. К задаче о дифракции ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1971, № 6.
36. Чжен П. Отрывные течения, т. I, II, III, М., „Мир“, 1972-1973.
37. Таганов Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re->-oo. „Ученые записки ЦАГИ-, т. I, № 3, 1970.
38. Son I. S., Hanratty T. J. Numerical solution for the flow araund a cylinder at Reynolds numbers of 40, 200 and 500. J. Fluid. Mech., 1969, 35.
39. Маккарти Дж. Ф. Гиперзвуковая газодинамика тупых тел. В сб. „Современные проблемы газовой динамики“, М., „Мир”, 1971.
40. Рождественский Б. Л., Яненко H. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., „Наука“, 1968.
41. Дородницын А. А. Основы теории пограничного слоя и теплопередачи. М., Изд. МФТИ, 1968.
42. Батчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., „Мир“, 1973.
43. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М., „Наука“, 1969.
44. Моисеенко Б. Д., Рождественский Б. X., Сидорова В. К. Спектральные характеристики разностных схем и условие численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 14, № 6, 1974.
45. Дали Б., Харлоу Ф. Учет турбулентных эффектов при численном решении газодинамических задач. В сб. „Численные методы в механике жидкостей“, М., „Мир“, 1973.
46. Куликовский А. Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами, волны рекомбинации в магнитной гидродинамике. „Прикладная математика и механика“, т. 32, вып. 6, 1968.
47. Misses R. On some topics in the fundamentals of fluid flow theory. Proc. First Nat. Congr. Appl. Mech., Chicago, 1950.
48. Л a h д а у Л. Д., Лифшиц E. M. Механика сплошных сред. М., ГИТТЛ, 1953.
49. Го смен А. Д., Пан В. М., Ранчел А. К., Сполдинг Д. Б., Волфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М., „Мир“, 1972.
50. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, серия физич., т. VI, № 1, 2, 1942.
51. Давыдов Ю. М. Об опыте использования дисплейной техники при проведении численного эксперимента. Труды III семинара по комплексам программ математической физики, изд-во ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1973.
52. Давыдов Ю. М. Проведение численных экспериментов с помощью метода „крупных частиц“ с использованием дисплея.
■ В сб. .Всесоюзная школа по теоретическим исследованиям численных методов механики сплошных сред“, М., Ин-т проблем механики АН СССР, 1973.
53. В е 1 о t s е г к о v s к i i О. М. Numerical experiment in gas dynamics. Proceedings of the Forth Inter. Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics (Juns 24—28, 1974, Colorado, USA), Lecture Notes in Physics, 1975.
54. Белоцерковский О. М. Численный эксперимент в газовой динамике. Информ. бюлл. СО АН СССР „Числ. методы механ. сплошной среды“, Новосибирск, 1975, т. 6, № 4.
55. В е 1 о t s е г к о v s к i i О. М. Computational experiment-direct numerical simulation of complex gas dynamic flow on the basis of Euler, Navie — Stokes and Boltzmann models. The annual Lecture Series .on Computetional Fluid Dynamics“, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Brussels, March 15—19, 1976.
Рукопись поступила 13/Х 1975
