CC BY
39
УДК 517.9
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ЖИДКОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
A. F. Gilmutdinova
Целью статьи является численное исследование начально-краевой задачи для уравнения КПС, подтверждающий феномен неединственности данной задачи
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, численное моделирование, фазовое пространство
The goal of the paper is the numerical study of an initial-boundary problem for the Korpusov - Pletner - Sveshnikov equation in which the phenomena of solutions nonuniqness of this problem was show.
Keywords: Sobolev type equation, numeral computation, phase space
Введение
Пусть О С Мп, п € N - ограниченная область с границей дО класса С. В области О х М рассмотрим уравнение
моделирующее метастабильные процессы в жидком двухкомпонентном полупроводнике. Параметры а, в, X € М характеризуют свойства полупроводника, причем если знаки параметров а и в для нас безразличны, то о знаке X следует сказать особо ввиду его важности для дальнейшего. Параметр X = к/г2, где к - коэффициент электрической поляризуемости, а г2 - некоторая положительная постоянная, отвечающая за другие свойства полупроводника. Так вот, квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента к. Причем именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально ([1], гл.2, п.1 и п.2).
Впервые уравнение (0.1) было получено в работе [2], поэтому в дальнейшем оно будет называться по имени авторов - уравнением Корпусова - Плетнера - Свешникова (уравнением КПС). В этой же работе была установлена однозначная разрешимость уравнения (0.1) при краевых условиях Дирихле на границе дО х М и начальном условии вида
но только в случае положительности параметра X, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КПС.
Качественное исследование данной задачи облегчается тем обстоятельством, что она в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Я и $ редуцируется к задаче Шоуолтера - Сидорова
(Л - V2)ut = aV2u + ^(V, uVu),
(0.1)
(Л - V2)(u(x, 0) - uo(x)) = 0, x € Q,
(0.2)
L(u(0) - uo) = 0,
(0.3)
для полулинейного уравнения соболевского типа
Ьи = Ми + N (и). (0.4)
Основным методом исследования полулинейных уравнений соболевского типа служит метод фазового пространства, предложенный Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой [3].
Нашей целью является численное исследование данной начально-краевой задачи.
1. Морфология фазового пространства
Рассмотрим начально-краевую задачу
(А - V2)(и(х, 0) - ио(х)) = 0,х е (а, Ь), (1.1)
и(м)= и(Ь,г) = 0,г е м (1.2)
для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова
Ащ - щхх = аихх + в(иих)х. (1.3)
О 1
Чтобы редуцировать задачу (1.2), (1.3) к уравнению (0.4) возьмем пространства Я =Ш 1, & = Ш-1. Пространство & сопряжено к Я относительно скалярного произведения < ■ > из ¿2. Операторы Ь и М определим формулами
ь ь
< Ьи, V >= !(Аиь + ихух)йх, < Ми, V >= — ! аихухйх,
а а
где и^ е Я. По построению операторы Ь, М е £(Я; &) и фредгольмовы.
Обозначим через {Ак} занумерованные по невозрастанию множество собственных зна-
о 2
чений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа на (а, Ь), а через {^к}-орто-нормированное в смысле ¿2 множество соответствующих собственных функций. Определим оператор N формулой
ь
< N (и), V >= — ! /Зиихихс1х, и,и е Я.
Построим Ь - спектр оператора М
аЬ(М) = { А—Гк : к е : А = М| . Проекторы имеют вид
р = I -(-,^1> VI, Я = I VI-
Построим множество
М = {и е Я : ((Ми + N (и)) ,У1 > = 0, А = А1}
и пространства
Я0 = кег Ь = 8рап{<^ : А = А[}, Я1 = {и е Я : (и, VI> = 0, А = А[}.
а
Возьмем произвольную точку и € И, тогда и = а^г + V, где V = Ри € И1, а € М. Точка и € М точно тогда, когда выполнено
(ь \ ь
У ^2(х + а I + 1 У vVг(х = 0. (1.4)
а /а
Введем в рассмотрение функционал
ь ь
Д^) = v^p2l(х + а)2 - 1Ы?3 / v2^гdx,
аа
Д : И1 ^ М, и построим множества
И+ = {V € И1 : Д^) > 0}, И- = {V € И1 : Д^) < 0}. Возьмем точку V € И+, тогда уравнение (1.4) имеет два решения
a- =
-3
ья
-f - / vtfdx ^TA(V)
a+ = Ы ||-3 - "в -I vtfdx ^TA(V)
(1.5)
Построим множества
М+(_) = {и € И : и = а+(_)^)^>г + V, V € И+}. С использованием подхода, изложенного в [4], доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть а, в € М\{0} и
(г) Л / {Лк}. Тогда фазовым пространством уравнения (1.3) является все пространство
И.
(гг) Л € {Лк}. Тогда фазовым пространством уравнения (1.3) является множество М+ и М_, каждая компонента которого М+ и М_ биективно проектируется на множество И+.
Теорема 2. При любых а, в € М\{0} и
(г) Л € М\{-Лк} существует точно одно решение задачи (1.1) - (1.3) при любых ио € И. (гг) Л € { — Лк} существует два различных решения задачи (1.1) - (1.3) при любых ио € И таких, что Рио € И+.
(ггг) Л € {—Лк} не существует ни одного решения задачи (1.1) - (1.3) при любых ио € И таких, что Рио € И_.
2. Численные эксперименты
На основе теоретических результатов для подтверждения нетривиальности фазового пространства задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова в системе компьютерной математики Maple 12.0. разработана программа, которая позволяет:
1. По заданным коэффициентам а, в, А на основе метода Галеркина находить численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова.
2. Получить графическое изображение этого приближенного решения, которое показывает нетривиальность фазового пространства.
Для реализации вычислительных алгоритмов программы использовались встроенные функции и стандартные операторы языка программирования Maple 12.0. Для получения графического изображения подключен пакет plots.
В полосе (0, п) х R рассмотрим уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова
^Ut - Utxx = auxx + e(uux)x■ (2.1)
и начально-краевую задачу
L(u(0) - uo) = 0, (2.2)
u(0,t) = u(n,t) = 0,t € R (2.3)
для него. Решение начально-краевой задачи (2.1)-(2.3) будем искать в виде галеркинской суммы
m
um(t, x) = J2 Uk(t)fk, m> 1, (2.4)
k=l
где {fk} - ортонормированное в смысле L2 множество собственных функций, соответствующие собственным значениям \k однородной задачи Дирихле для оператора d|jr на (0,п).
Легко подсчитать, что fk = fk(x) = sin(kx), а Xk = -k2.
Пример 1. Требуется найти численное решение задачи (2.1)-(2.3) при заданных коэффициентах а = 20, в = 25, X = —1 и m = 2, а также получить графическое изображение этого решения.
Так как m = 2, то в силу (2.4)
u(t, x) = U\(t)\/2/n sinx + u2(t)\/2/n sin2x.
X = —1 (условия теоремы 2(ii), (iii) выполняются, ввиду того, что X € {— k2}). Тогда , умножив скалярно (2.1) на функции fk, k = 1,2, получим систему дифференциальных уравнений
( 4V2u2(t)2 + 5^2Ui(t)2 + 3п3/2 ui(t) = 0, (2
\ 64^v/2ui(t)u2(t) + 240n3/2U2(t) + 9U2(t)n3/2 = 0. ( ^ )
Система (2.5) имеет два стационарных решения
(ui(t) = 0,U2(t) = 0), (ui(t) = -(3/10)n3/^\/2,U2(t) = 0).
Начальное значение Uo = ( UoM , тогда задача Шоуолтера-Сидорова (2.2) для системы урав-
\U02j
нений (2.5) примет вид
00
0 9п3/2
/ui(0U / uoi \U2(0W IU02
0. (2.6)
Задача (2.6) при ио = для системы (2.5) имеет полученные ранее два стационарных
решения. Рассмотрим другое начальное условие и2(1) = 1, по которому найдем два условия на и1(1), а именно ио1+ = -0, 4096752508 и ио1- = -1, 952766240, удовлетворяющие системе (2.5). Решим две задачи Коши для этой системы уравнений. Фазовое пространство системы (2.5) изображено на рисунке, результаты численного решения частично приведены в таблицах 1 и 2.
2 -1,5 -1 -0,5 0
Фазовое пространство системы (2.5) при различных данных Коши, но одинаковых данных
Шоуолтера - Сидорова
Таблица 1
Численное решение системы (2.5) с начальными условиями и1(1) = -0, 4096752508, и2(1) = 1
и2(^)
-1,181138709 1,320644939
-1,109337027 1,318197361
-0,9937117979 1,303899373
-0,8956068680 1,281457650
-0,7994165490 1,249753675
-0,6900613485 1,201064305
-0,5973007684 1,147998555
-0,4999724286 1,078877746
-0,4098504961 1,000168979
-0,3999706595 0,9905369461
-0,2435745929 0,8031985309
-0,1890937409 0,7167343452
-0,1463869058 0,6367901668
-0,1130652586 0,5638333163
-0,8716760788е_1 0,4979087082
-0,6710381679е_1 0,4387852723
-0,5159890077е_1 0,3860651178
-0,1249740705е_2 0, 6073393299е_1
-0,4301939681е_3 0, 3563921814е_1
-0,1753736568е_4 0, 7196422470е_2
-0,1218532584е_5 0,1896953452е_2
Таблица 2
Численное решение системы (2.5) с начальными условиями и1(1) = -1, 952766240, и2(1) = 1
и1^) и2^)
-2,362441492 0,1003192683е-5
-2,362441492 0,1114077178е-4
-2,362441488 0,1047761256е-3
-2,362440870 0,1355589623е-2
-2,362365880 0,1494251926е-1
-2,358932134 0,1017248684
-2,330150041 0,3066843586
-2,215918021 0,6370668308
-2,036836638 0,9104963298
-1,952766240 1
-1,859992974 1,080827648
-1,764551333 1,148372201
-1,674941381 1,199750621
-1,600135431 1,234804093
-1,545962615 1,256108068
-1,512212525 1,267737621
-1,493759364 1,273578653
-1,480192352 1,277643548
-1,476862571 1,278611729
-1,476526330 1,278708850
Литература
1. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 736 с.
2. Корпусов, М.О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // Журн. вычислит. мат. и мат. физики. - 2000. - Т. 4, № 8. - С. 1237 - 1249.
3. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева //Дифференц. уравнения. -1990.- Т. 26, № 2. - С. 250 - 258.
4. Свиридюк, Г. А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Карамова (А. Ф. Гильмутдинова) // Дифференц. уравнения. -2005.- Т. 41, № 10. - С. 1400 - 1405.
Уравнения математической физики, Южно-Уральский государственный университет algil@list.ru
Поступила в 'редакцию 2 сентября 2009 г.
