Численное моделирование призменных элементов оптоэлектронных приборов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.574.6

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИЗМЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТОЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ

ИЛЬЯШЕНКО л.н.

Подробно рассматриваются призменные элементы оптоэлектронных приборов и связанная с ними задача дифракции электромагнитных волн на диэлектрической треугольной призме. Как частные случаи, изучаются оборачивающая, поворотно-оборачивающая и оборотная призмы. Рассматриваются также равносторонние, выпуклые и вогнутые криволинейные призмы, приводятся результаты расчетов диаграмм направленности, поперечников полного и обратного рассеяния, интенсивности поля в ближней зоне. Устанавливается резонансный характер этих частотных характеристик.

Введение

Призменные элементы используются при конструировании оптоэлектронных приборов на протяжении многих лет. Из -за возникающих при передаче информации помех для световых волн применяется технология, уже известная для микроволн, а именно, техника волноводов, при этом носителем информации является свет, а призменный элемент связи служит для преобразования падающей волны в поверхностную волну волновода. Призму обычно используют в экспериментах для получения спектров. Еще Ньютон впервые разложил призмой солнечный луч. В его опыте две треугольные призмы располагались так, чтобы они разлагали проходящий пучок света в спектр в двух взаимно перпендикулярных направлениях (метод “скрещенных призм”). И по сей день призмы играют основную роль при создании спектральных приборов, сенсоров, делителей и т.д. Так как для всех прозрачных веществ показатель преломления увеличивается с уменьшением длины волны, то призма используется в качестве диспергирующего элемента в коротковолновой области спектра. При исследовании сложных явлений природы наиболее интересным является изучение дифракции, когда длины волн сравнимы с геометрическими размерами призмы. В данном случае применение законов геометрической оптики малоэффективно, и задача сводится к рассмотрению задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом препятствии. Подробное рассмотрение призменных элементов оптоэлектронных приборов и связанной с ними задачи дифракции волн на диэлектрической призме является целью данной работы. Рассеяние электромагнитных волн на цилиндрических телах вызывает значительный интерес у исследователей, как с теоретической, так и с чисто практической точек зрения. В настоящее время разработаны достаточно эффективные методы решения задач дифракции волн, главным образом на идеально проводящих телах различной конфигурации [1]. Численно эффективный и экономичный алгоритм решения задач на диэлектрических телах был пред-

РИ, 2003, № 4

ложен в работе [2] и широко применялся при решении задач дифракции на цилиндрах эллиптического и “супер-эллиптического” поперечного сечения. Использование метода конформных отображений для получения глобальной параметризации контура многоугольного поперечного сечения, предложенного в работе [3], позволило расширить область применения этого алгоритма, сделав его пригодным для решения задач на произвольном многогранном цилиндре.

Постановка задачи и метод решения

Задачу дифракции плоской электромагнитной волны на диэлектрической призме, не ограничивая общности, можно свести к рассмотрению задачи рассеяния волны на одиночном бесконечном многоугольном цилиндре, находящемся в однородной среде. Электромагнитная волна падает под углом у

к оси абсцисс: U1 = elkxcos Y+lkysm Y (рис. 1).

Рис.1. Геометрия задачи

Здесь U — компонента поля Ez или Hz в случае E-и H-поляризации соответственно. При этом компоненты Ex, Ey, Hx и Hy полного поля выражаются через компоненты Ez и Hz при помощи уравнений Максвелла [4]:

Hx

Ex

___i_ dEz

тар dy j_ dHz

-гає dy ’

, Hy

Ey =

_±_

тар dx ’

_±_ ^Hz

-гає dx

Полное поле в присутствии однородного цилиндра с относительной диэлектрической проницаемостью e представим в следующем виде:

Utot

U1 + Usc,r gQ, U є, г єО,

где Q — область, ограниченная контуром S; U1 — падающее поле; Usc—поле, рассеянное на цилиндре; Ue — поле внутри препятствия. Функции поля удовлетворяют уравнению Гельмгольца с кусочнопостоянным коэффициентом. При этом должны выполняться граничные условия на S:

23

(U‘ + Usc)

= U Е — (U + Usc) = -1—U E

S S, dn S Pdn

S '

Здесь р=є в случае Н-поляризации, и р=1 для Е-поляризации. После представления искомых компонент поля в виде потенциалов простого слоя на поверхности цилиндра, удовлетворения граничных условий, условия излучения Зоммерфельда [5] задача сводится к решению двух интегро-диффе-ренциальных уравнений с неизвестными функциями плотности распределения поля по поверхности цилиндра [6]. При помощи конформного отображения внешности многоугольника на внешность круга получены параметрические уравнения контура поперечного сечения цилиндра, позволившие свести криволинейные интегралы к определенным [3]. После выделения и последующего аналитического обращения сингулярной части ядра интегрального оператора эти уравнения сведены к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений Фредгольма второго рода, которая решается численно с любой наперед заданной точностью. При этом применяется метод Галеркина с базисом в виде собственных ортогональных функций сингулярной части интегрального оператора. Матричные элементы вычисляются при помощи двойного дискретного преобразования Фурье. Основные уравнения и метод решения подобной задачи подробно изучены в [7]. В данной работе исследованы такие характеристики, как диаграмма направленности рассеянного поля в дальней зоне, интенсивность поля, а также поперечники полного и обратного рассеяния как для Е-, так и для Н-поляризации.

Численные результаты и обсуждение

С тех пор как волноводы стали использовать для передачи информации, одна из важных проблем заключалась в том, чтобы ввести волну в волновод, т.е. связать внешнее поле волновода с внутренним. На протяжении многих лет наиболее активно используются три основные возможности осуществления связи с оптическим волноводом: прямая связь при помощи линзы, связь с помощью решетки и связь при помощи призмы. Наиболее широко применяется в оптике треугольная призма, особенно призмы, в которых наблюдается полное внутреннее отражение (рис 2, а, б, в). Явление полного внутреннего отражения возникает при переходе волны из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при углах падения, превосходящих предельное значение, т.е. <p>arcsin(йуПД. Знак равенства соответствует случаю, когда волна выходит по касательной к границе раздела двух сред, при больших углах падения волна вообще не выходит, возвращаясь в первую среду. Данное значение предельного угла получено по закону Снеллиуса. Результаты расчетов приведены для случая, когда призмы изготовлены из стекла с диэлектрической проницаемостью є2=2,25 и находятся в свободном пространстве є1=1. В данном случае значение предельного угла равно 41,81°. Такие призмы также изготавливают из германия

(n=4,0), фосфида галия (n=3,4), рутила (n=2,5) и т.д. Г рани отражающих прямоугольных трехгранных призм иногда бывают посеребренными и служат зеркалами.

б

Рис. 2. Поворотная (а), поворотно-оборачивающая (б) и оборачивающая (в) призмы

Для изучения поведения поля в дальней зоне и построения диаграмм направленности рассеянного поля будем использовать формулу:

1 2л

ф(^) = _ ^ pn J е~гк[х(t)cos^(t)sm^emtdt.

п=-ю о

Здесь x(t) и y(t) — параметрические уравнения треугольного контура поперечного сечения [3]. При получении этой формулы значение рассеянного поля, определяемое как потенциал простого слоя, заменено на его асимптотическое представление с использованием свойств функции Ханкеля при больших значениях аргумента [8].

На рис. 3 приведены нормированные диаграммы направленности рассеянного поля плоской Н-по-ляризованной волны в дальней зоне при некоторых значениях волнового параметра a=kd=2^d/X.

Рис. 3,а соответствует рассеянию Д-поляризован-ной волны, падающей перпендикулярно на нижнюю грань призмы. В данном случае преломленная волна, отражаясь от боковых граней призмы, выходит из нее в направлении, обратном направлению падающей волны (поворотная призма).

Нормальное падение на боковую грань соответствует поворотно-оборачивающей призме (рис. 3, б). Такие призмы использовались на протяжении многих лет при конструировании призматических зрительных труб, одним из примеров которых является система обращающих призм Порро. Случай оборачивающей диэлектрической призмы рассмотрен на рис. 3, в. Аналогичные результаты могут быть получены для диэлектрических призм, облучаемых плоской ^-поляризованной волной.

Однако утверждение, что поток электромагнитной энергии не попадает во вторую среду, полностью отражаясь от границы раздела, нельзя считать точным. Наличие боковых лепестков в диаграммах направленности подтверждает известное утверждение о том, что при полном внутреннем отражении, т. е. когда угол падения волны превышает предельное значение, во второй среде появляется электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль границы раздела (например, при ф=45, 135, 225 и 315° для поворотной призмы, рис. 3, а). Практически эта волна существует лишь в поверхностном слое второй среды, толщина которого примерно равна длине волны исследуемого излучения. Подобная ситуация может наблюдаться лишь в том случае, если часть

24

РИ, 2003, № 4

потока энергии попадает во вторую среду, а затем из нее выходит. Проникновение электромагнитной энергии во вторую среду можно связать с физическими явлениями, протекающими при установлении

Рис. 3. Диаграммы направленности поля в дальней зоне при некоторых частотах, Н-поляризация: а — поворотная призма; б — поворотно-оборачивающая призма; в — оборачивающая призма

Одной из изучаемых характеристик поля является интенсивность в ближней зоне (рис. 4, 5).

Интенсивность поля Н-поляризованной волны (см. рис. 4) значительно превышает интенсивность поля Е-поляризованной волны (см. рис. 5).

Призма может использоваться как входной и выходной элементы связи в открытых волноводах, а иногда даже как делитель для введения волны в два волновода. Такое может достигаться при вертикальном падении волны на ребро равнобедренной треугольной призмы. На рис. 6 приведены диаграм-

мы направленности поля в дальней зоне при некоторых значениях нормированной частоты a=kd.

Рис. 4. Двумерный слайд интенсивности поля в ближней зоне, поворотная призма, Н-поляризация, а=10

Рис. 5. Двумерный слайд интенсивности поля в ближней зоне, поворотная прима, Е-поляризация, а=10

Диаграммы на рис. 6, а показывают, что рассеянное поле распространяется преимущественно в двух противоположных направлениях, симметричных относительно высоты поперечного сечения. Для данной цели может оказаться более эффективной криволинейная вогнутая треугольная призма. В этом случае рассеяние в прямом и обратном направлении значительно меньше, чем для призмы с прямолинейными гранями (рис. 6, б). Для треугольной выпуклой призмы (рис. 6, в) рассеяние в обратном направлении значительно сильнее, чем для вогнутой призмы, однако использование такой призмы также может оказаться эффективным, и в зависимости от цели техническое выполнение может быть очень разнообразно.

Параметрические уравнения контура треугольного поперечного сечения, полученные при помощи метода конформных отображений, имеют вид:

л d “ л md “

x(s) = M 2 ak sin(3k - 4)s, y(s) = — £ ak(3k - 4)s,

k -1

П (5 - 3j)

ak = k 1 J=1----------

3k_1(k -1)! (3k - 4)

РИ, 2003, № 4

25

Здесь ai=-1, d — половина длины грани, М — константа, которая зависит от ориентации треугольника. Изменение параметра m позволяет варьировать высоту равнобедренного треугольника.

в

Рис. 6. Нормированные диаграммы направленности поля в дальней зоне для треугольной призмы (а), криволинейной вогнутой треугольной призмы (б), криволинейной выпуклой треугольной призмы (в), Н-поляризация

Рассмотрим полную энергию поля, рассеянную во всех направлениях во внешнее пространство вокруг призмы. Такую величину называют полным поперечником рассеяния. Еще одной практически важной характеристикой является сечение обратного

рассеяния, которое характеризует энергию поля, рассеянного в направлении, противоположном направлению падающей волны. Данную величину иногда называют радиолокационным поперечником рассеяния. Полный и радиолокационный поперечники рассеяния вычисляют по формулам:

Q1 =^k ЛФ(ф)1 ёф , аь = k 1ф(У + л)2.

Особый интерес представляют частотные зависимо -сти поперечников полного и обратного рассеяния, которые построены на рис. 7 для равносторонней призмы. Частоты, при которых полная рассеянная энергия достигает максимальных значений, соответствуют резонансам, тогда как обратное рассеяние имеет экстремумы, носящие характер как минимумов, так и максимумов на резонансных частотах. Поскольку общая энергия рассеяния в резонансах всегда принимает максимальное значение, то уменьшение поперечника обратного рассеяния связано с тем, что основная доля энергии излучается в направлениях, отличных от обратного. Анализируя данные графики, нетрудно заметить, что при использовании равносторонней призмы в обратном направлении энергия рассеивается значительней в случае Н-поляризации, чем в случае Е-поляризации.

Рис. 7. Нормированные поперечники полного (сплошная линия) и обратного рассеяния как функции частоты, Н- и Е-поляризация, у=11я/6, 8=2,25

26

РИ, 2003, № 4

Выводы

В основе численного моделирования лежит метод интегральных уравнений, основанный на представлении поля в виде потенциалов простого слоя, а также метод конформного отображения и метод аналитической регуляризации. Рассмотрены основные виды треугольных призм, которые являются ключевыми элементами многих оптических приборов. Проведен физический анализ дифракционного поля в случае Е- и Н-поляризации как в дальней, так и в ближней зонах в резонансной области частот. На практике такие треугольные призмы используются как призменные элементы связи не только для возбуждения волноводных мод, но и для вывода излучения из волновода. Для простоты рассмотрение ограничилось дифракцией плоских электромагнитных волн на треугольном цилиндрическом диэлектрическом препятствии. Однако данный метод может быть легко обобщен на случай, когда падающее поле является волной с гауссовым профилем амплитуды, а диэлектрическая призма с произвольным числом сторон погружена в произвольную слоистую изотропную среду. Расчеты произведены на компьютере AMD Duron 650 при использовании системы MATLAB 6.1, время вычисления незначительно зависит от волновых размеров призмы, диэлектрической проницаемости среды, точности вычислений, поляризации и других параметров задачи и в среднем составляет 2 секунды. Численные результаты были сравнены с результатами расчетов методом дополнительных источников, описанным в работах [9, 10], совпадение составляет 99,68%.

Работа частично финансируется международной организацией INTAS, грант № YSF 2001/2-11.

Автор благодарит Тбилисский Государственный Университет за предоставление результатов тестовых расчетов для сравнения, проф. А.Г. Неруха за идею рассмотрения криволинейных призм, своего научного руководителя д-ра физ .- мат. наук А.И. Носича, а также проф. Б.М. Булгакова, д-ра физ.-мат. наук. З.Т. Назар-чука за полезные советы и обсуждение.

УДК 658.51.011.56

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ НАГРЕТОЙ ЗОНЫ НА МАКСИМАЛЬНЫЙ ПЕРЕГРЕВ АППАРАТА

СИНОТИН А.М.____________________________

Приводятся аналитические зависимости, позволяющие учитывать влияние формы нагретой зоны на максимальный перегрев аппарата. Описываются результаты экспериментальных данных при различных значениях критерия В1о .

1. Актуальность, постановка цели и задачи исследования

Современные технические устройства все более насыщаются радиоэлектронной аппаратурой различного назначения. Значительно возрастает количество входящих в радиоэлектронный аппарат эле-

РИ, 2003, № 4

Литература: 1. Veliev E.I., Veremey V.V. Numerical-analytical approach for the solution to the wave scattering by polygonal cylinders and flat strip structures, in Hashimoto M. et. al. (Eds.) // Analytical and Numerical Methods in Electromagnetic Wave Theory. Tokyo: Science House Publ. 1993. Р. 471-514. 2. Борискина С.В., Носич

A. И. Метод аналитической регуляризации в задачах дифракции волн на диэлектрических цилиндрах произвольного поперечного сечения // Радиофизика и радиоастрономия. 1998. Т. 3, №3. С. 310-318. 3. Illyashenko L.N., Nosich A.I. and Benson T.M., Integral equation analysis of a polygonal semiconductor microcavity, Proc. Int. Conf. on Numerical Simulation of Semiconductor Optoelectronic Devices (NUSOD 02), Zurich, 2002. P. 7273. 4. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. 208с. 5. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с. 6. Colton D, Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. New York: Wiley. 1983. 7. Ильяшенко Л.Н. Решение задач дифракции волн на диэлектрическом цилиндре с применением теории конформного отображения / / Радиофизика и электроника, ИРЭ НАНУ, 2002. Т. 7, № 3. 8. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. Абрамовица

B. А., Стиган И. М.: Наука, 1979. 830 с. 9. Царидзе Р. С., Каркашидзе Д.Д. и др. Исследование возможностей метода дополнительных источников для решения двумерных задач электродинамики // Радиотехника и электроника. 1991. Т.26, № 2. 10. Zaridze R.S., Karkashidze D. D. Method of auxiliary sourses and wave field singularities // 9th school- seminar on diffractyion and wave propagation, Kazan, 1988.

Поступила в редколлегию 17.04.2003

Рецензент: д-р физ.- мат. наук, проф. Яцук Л.П.

Ильяшенко Людмила Николаевна, аспирантка института радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова Национальной Академии Наук Украины, отдел вычислительной электродинамики. Адрес: Украина, 61000, Харьков, тел. 428-278, e-mail: lyusi@vil.com.ua

ментов, совершенствуется элементная база при постоянном стремлении максимально снизить массу и габаритные размеры аппаратуры.

Энергетический коэффициент полезного действия радиоэлементов аппарата, как правило, невелик, и значительная доля энергии питания превращается в тепловую энергию, что приводит к перегреву аппаратуры в целом. Это и заставляет создателей радиоэлектронных аппаратов обращать внимание на их тепловые режимы. Поэтому определение температурных полей радиоэлектронной аппаратуры на стадии проектирования является актуальным.

Постановка задачи — выявление всех конструктивных параметров аппарата, способных обеспечить нормальный температурный режим функционирования. Одним из таких показателей является форма нагретой зоны аппарата.

Цель данной работы—исследование влияния формы нагретой зоны на максимальный перегрев аппарата.

27