CC BY
68
ции гибридных моделей, определены области их компетентности.
Показано, что неопределенность выбора функции невязки порождает проблемы в обоснованном применении той или иной модификации гибридных моделей. Следует ожидать, что гибридная модель с функцией невязки типа разности обладает преимуществом в случае аддитивных помех, накладываемых на переменные изучаемой зависимости. При мультипликативных помехах целесообразно использование функции невязки типа отношения.
Таким образом, отсутствие априорных сведений о характере случайных воздействий делает необходи-
мым применение методов коллективного оценивания, что может повысить эффективность гибридных моделей.
Библиографический список
1. Лапко, А. В. Гибридные алгоритмы идентификации статических объектов: принципы построения, анализ свойств, применение /А. В. Лапко, Л. Т. Тол-стов // Применение ЭВМ в задачах управления. Красноярск, 1985. С. 98-107.
2. Хардле, В. Прикладная непараметрическая регрессия / В. Хардле. М. : Мир, 1993. 349 с.
A. V. Lapko, L. T. Tolstov
INVESTIGATION OF HYBRID MODELS CHARACTERISTICS OF STATIC OBJECTS
The models of static objects allowing in the fullest volume to consider aprioristic data on a kind of restored dependence and the information of statistical sample of supervision of its variables are considered. Asimptotic properties of some updatings of offered models are investigated, conditions of their advantage are defined in comparison with non-parametric regress and at mutual comparison.
УДК 536.529
А. В. Минаков, А. А. Гаврилов, А. А. Дектерев
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ ПОМОЩИ VOF МЕТОДА
Представлены результаты реализации, тестирования и применения численной методики решения задач со свободной поверхностью, основанной на VOF методе. Для задачи о разрушении водяного столба приведено сопоставление результатов численных расчетов с экспериментальными данными. Приведен пример использования расчетного алгоритма для решения задачи оптимизации разливки алюминия в изложницы.
Течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью очень часто встречаются как в различных природных явлениях, так и во множестве технологических процессов. Примеры таких течений можно найти практически в любых промышленных объектах. Поэтому умение эффективно решать подобного рода задачи является очень важным в процессе проектирования и оптимизации различных устройств и аппаратов.
На сегодняшний день существует множество алгоритмов решения задач со свободной границей. Это, прежде всего, так называемые body-fitted методы [1], в которых свободная поверхность жидкости отслеживается узлами расчетной сетки. Естественно, что при таком подходе расчет перемещения жидкости в пространстве требует пересчета расчетной сетки на каждом временном шаге, что может быть весьма затратным. Кроме того, поскольку форма свободной поверхности жидкости и ее движение часто очень сложны, то использование body-fitted методов может привести к существенному искривлению расчетных ячеек, что приводит к дополнительной погрешности в результатах.
В последнее время, в связи с возросшей вычислительной мощностью, для решения задач со свободной
поверхностью стали активно использоваться так называемые бессеточные методы или методы частиц [2]. Основная идея этих методов состоит в том, что жидкость представляется конечным числом взаимодействующих частиц, движение которых подчиняется уравнениям движения. В этих методах не требуется разбиение расчетной области на конечное число ячеек. Хотя их идеология продолжает интенсивно развиваться, их реальное применение для решения сложных пространственных задач из-за больших вычислительных затрат пока весьма ограничено.
Обзор литературы показывает, что хотя на сегодняшний день существует огромное количество подходов к решению задач со свободной границей, самым эффективным и распространенным по применению является VOF метод (Volume of Fluid) [3] (и его более современные модификации). Данный метод сочетает в себе высокую вычислительную эффективность и достаточную точность разрешения межфазной границы. Благодаря своей простоте он относительно легко реализуется в рамках алгоритма расчета несжимаемых течений жидкости, основанного на решении системы уравнений Навье-Стокса. К достоинствам метода также стоит отнести возможность описывать такое
важное для течений со свободной поверхностью явление, как поверхностное натяжение. Моделирование данного явления достаточно просто проводить при помощи VOF метода с использованием CSF модели (continuum surface force) [4].
Учитывая все преимущества VOF метода, авторы работы реализовали его в программном комплексе «aFlow» в качестве алгоритма решения задач со свободной поверхностью.
Математическая модель движения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Течение двухфазной среды в ламинарном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса. Ниже приведены уравнения данной модели, выражающие основные законы сохранения.
Уравнение неразрывности (закон сохранения массы двухфазной среды):
— + V(pv) = 0.
dt
Уравнение количества движения (закон сохранения импульса):
dp^ + V(pv • v) = -Vp + V(t) + pg +FS, dt
(
t-- = m
du. du —'- + —-
dx,. dx,.
—8.
u
dx.
Л
F (x, y, z, t) =
dF
— + v •VF = 0. dt
в введении в уравнение количества движения (2) объемной силы Fs - величина которой находится из соотношения
FS = akVF,
где k - кривизна свободной поверхности, определяемая как дивергенция вектора нормали:
k = V
f \ n
,n.
VI I/
(1)
(2)
где Fs - сила поверхностного натяжения; g - ускорение свободного падения; ф - тензор вязких напряжений, составляющие которого определяются по выра -жению
Для определения положения свободной поверхности жидкости в пространстве, как уже было сказано, будем использовать У ОБ метод [3]. Идея метода состоит в том, что поскольку свободную поверхность можно рассматривать как границу раздела двух фаз (газ-жидкость), то каждую фазу можно задать своей объемной долей. Пусть F(x, у, г, /) - доля жидкой фазы в расчетной ячейке, которая определяется следующим образом:
[0, если ячейка пустая; 11, если ячейка заполнена жидкостью,
и 0 < F(x, у, г) < 1, если через ячейку проходит граница раздела фаз.
Отслеживание перемещения свободной границы осуществляется путем решения уравнения переноса для объемной доли:
(3)
Плотность и молекулярная вязкость двухфазной среды находятся через объемную долю жидкости в ячейке по правилу смеси:
P = PiF + (1- F )р2,
m = m F+(1 - F
Для моделирования поверхностного натяжения применялся CSF алгоритм [4]. Суть алгоритма состоит
Нормаль к свободной поверхности вычисляется, в свою очередь, как градиент объемной доли жидкой фазы в ячейке:
n = VF.
На твердой стенке величина вектора нормали определяется по краевому углу смачивания 6 :
n = nw cos(6) + tw sin(6),
где nw, ф„ - нормальный и тангенциальный к стенке вектора.
Численный алгоритм и программная реализация модели. Для компьютерной реализации математической модели использовался разрабатываемый авторами программный комплекс «aFlow». Пакет программ «aFlow» позволяет моделировать стационарные и нестационарные, ламинарные и турбулентные течения несжимаемых газов, одно и многокомпонентных неизотермических запыленных сред с химическими реакциями и сложным теплообменом, со свободной поверхностью. При расчетных исследованиях различных объектов возможна настройка пакета программ на расчет соответствующих процессов. Пакет программ включает в себя модуль построения геометрии и расчетных сеток, систему визуального анализа пространственных полей и постпроцессинга, модуль решения уравнений гидродинамики.
Разностный аналог конвективно-диффузионных уравнений находится с помощью метода конечного объема для структурированных многоблочных сеток [5; 6], при применении которого автоматически выполняется консервативность полученной схемы. Для аппроксимации конвективных членов уравнений гидродинамики (1), (2) используется противопоточная схема второго порядка QUICK [5]. Для аппроксимации нестационарных слагаемых уравнений гидродинамики используется неявная схема первого порядка. Диффузионные потоки и источниковые члены аппроксимируются со вторым порядком точности. Связь между полями скорости и давления реализуется при помощи SIMPLEC процедуры на совмещенных сетках. Для устранения осцилляций поля давления используется подход Рхи-Чоу, связанный с введением монотонизатора в уравнения для поправки давления [5; 7]. Полученная система разностных уравнений решается итерационным способом с применением методов неполной факторизации (явный метод Булева, ускоренный методом сопряженных градиентов) [8].
Численные эксперименты показали, что на достоверность результатов, полученных при использовании VOF метода, существенное влияние оказывает качество метода решения уравнения (3). Для интегрирования
уравнения (3) авторами были рассмотрены следующие методы: явная TVD схема Superbee [5], явная TVD схема Superbee [5] с локально одномерным расщеплением по пространству [9], неявная схема TVD схема Superbee первого и второго порядка аппроксимации по времени, схема первого порядка UDS [6], противо-поточная схема второго порядка QUICK. Верификация данных схем аппроксимации проводилась на множестве как одномерных, так и пространственных конвективных задач. По итогам тестовых расчетов лучшей для решения уравнения (3) оказалась явная TVD схема Superbee c использованием локально одномерного расщепления. Все представленные ниже результаты расчетов получены при помощи данной схемы.
Тестирование расчетного алгоритма. Задача об обрушении водяного столба. Данная задача является каноническим тестом для алгоритмов решения задач со свободной поверхностью. Постановка и начальное условие этой двумерной задачи представлены на рис. 1. Стенка высотой 2а ограничивает столб воды шириной а, в начальный момент расчета стенка мгновенно удаляется и под действием силы тяжести жидкость растекается по расчетной области. Для расчета использовалась прямоугольная однородная сетка, состоящая из 100 Ч 100 узлов. Число Куранта задавалось равным 0,5. Наглядное представление о положении свободной поверхности воды в пространстве в различные моменты времени дает рис. 2 (черный цвет -вода). Ситуация, когда вода дошла до правого края расчетной области и стала натекать на стенку, представлена на рис. 2, г. Данные эксперимента на этот случай уже не распространяются.
Количественное сравнение с экспериментом [10] представлено на рис. 3. Сопоставление с экспериментом проводилось по двум параметрам: расстоянию x (рис. 1), на которое распространится вода за время t и высоте водяного столба b за это же время. Наблюдает-
ся достаточно хорошее совпадение численных результатов с экспериментальными данными (рис. 3) [10].
Рис. 1. Схема задачи о разрушении дамбы
Моделирование процесса заливки жидкого металла в изложницу [11]. Приведем пример использования реализованного для оптимизации заливки жидкого металла в формы в процессе изготовления алюминиевых слитков. Важным условием повышения эффективности производства алюминиевых слитков является условие увеличения скорости разлива металла в изложницы. Но при этом неизбежно происходит увеличение потерь металла, обусловленное разбрызгиванием и окислением кислородом воздуха. В связи с этим было проведено исследование влияния скорости разливки и способа литья на качество получаемых слитков. Было рассмотрено два различных способа разливки жидкого алюминия: разливка при помощи разливочной машины (струя металла падает вертикально) и разливка при помощи лотка (струя падает под углом к дну изложницы). Расчеты проводились для трех различных скоростей литья: 5, 7 и 10 т/ч.
t = 0,15 c t = 0,25 c
a б
t = 0,3 c t = 0,4 c
в г
Рис. 2. Динамика разрушения дамбы
Эволюция формы свободной поверхности жидкого металла представлена на рис. 4 (разливка с лотка, скорость литья - 7 т/ч). Видно, что процесс литья сопровождается значительным волнообразованием. Более того, в некоторых вариантах при высоких скоростях литья (более 12 т/ч) наблюдалось выплескивание металла за пределы изложницы, что является недопустимым. Кроме того, было обнаружено такое интересное явление, как захват пузырей воздуха падающей струей металла. Наличие дополнительных пузырей воздуха под свободной поверхностью металла приводит к увеличению площади контакта алюминия с кислородом, а следовательно, и к ухудшению свойств слитков.
В качестве относительной «количественной» характеристики качества разливки, использовался такой критерий, как избыточная площадь поверхности жидкого металла. Под избыточной площадью поверхности здесь понимается разность между «реальной» площадью поверхности металла в данный момент времени и площадью поверхности металла в случае идеальной разливки (без волнообразования и попадания пузырей воздуха). Чем выше величина избыточной площади поверхности металла, тем выше площадь соприкосновения металла с кислородом воздуха (рис. 5). С увеличением скорости литья происходит увеличение избы-
точной площади поверхности жидкого металла. Но поскольку при повышении скорости литья пропорционально уменьшается и время разливки (а значит и время контакта жидкого металла с воздухом), то можно сказать, что существует некая оптимальная величина скорости литья, при которой среднее по времени значение избыточной площади жидкого металла будет минимальным (а следовательно, минимальны будут относительные потери металла на окисление). В данном варианте разливки оптимальная скорость литья близка к 10 т/ч.
По итогам проведенного исследования обнаружено, что разливка с помощью разливочной машины приводит к более интенсивному процессу волнообра -зования и захвату пузырей газа струей жидкого металла, что влечет увеличение потерь алюминия на окисление. Поэтому вариант разливки алюминия при помощи лотка является более предпочтительным. Увеличение скорости заливки металла с 5 до 10 т/ч, хотя в целом и приводит к увеличению избыточной поверхности алюминия, дает уменьшение средней по времени площади контакта кислорода воздуха с жидким металлом. Данная величина может служить качественным показателем величины потерь алюминия на окисление. В связи с этим можно рекомендовать увеличение скорости литья с 5 до 10 т/ч.
Рис. 3. Зависимость безразмерных размеров столба от безразмерного времени
Рис. 4. Распределение свободной поверхности металла в различные моменты времени: а - Г = 2 с; б - Г = 7 с; в - Г = 9 с
О 2 4 6 8 10
t, С
Рис. 5. Зависимость избыточной поверхности жидкого металла от времени заливки и скорости литья
Таким образом, реализован эффективный алгоритм расчета нестационарных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью с учетом сил поверхностного натяжения на основе VOF метода. Проведено решение ряда тестовых задач, в ходе чего получено хорошее качественное и количественное совпадение численных результатов с экспериментальными данными. Реализованный алгоритм был успешно применен к решению задачи оптимизации разливки жидкого металла по изложницам. Полученные результаты позволили сделать предложения, которые способствовали существенному повышению эффективности исследованного технологического процесса.
Библиографический список
1. Swaminathan, T. N. Sedimentation of an ellipsoid inside an infinitely long tube at low and intermediate Reynolds numbers / T. N. Swaminathan, K. Mukundakrish-nan, H. H. Hu // Fluid Mech.
2. Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование : материалы 3 междунар. летней науч. шк. / под ред. К. Е. Афанасьева. Кемерово : ИНТ, 2006. 506 с.
3. Hirt, C. W. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries / C. W. Hirt, B. D. Nichols. // Comput. Phys. 1981. P. 201-225.
4. Brackbill, J. U. A Continuum Method for Modeling Surface Tension / J. U. Brackbill, D. B. Kothe, C. Zemach // Comput. Phys. 1992. P. 335-354.
5. Быстров, Ю. А. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб / Ю. А. Быстров [и др.]. С. : Судостроение, 2005. 389 с.
6. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. М. : Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
7. Ferziger, J. H. Computational Methods for Fluid Dynamics / J. H. Ferziger, M. Peric. Rev. ed. Berlin : Springer Verlag, 2002.
8. Булев, Н. И. Пространственная модель турбулентного обмена / Н. И. Булеев. М. : Наука, 1989. 343 с.
9. Марчук, Г. И. Методы расщепления / Г. И. Мар-чук. М. : Наука, 1988.
10. Martin, J. C. An Experimental Study of the Collapse of a Liquid Column on a Rigid Horizontal Plane / J. C. Martin, W. J. Moyce. London, 1952. P. 312-324.
11. Гаврилов, А. А. Оптимизация режимов теплообмена при заливке металла в изложницы и охлаждении слитков / А. А. Гаврилов [и др.] // Алюминий Сибири 2006 : сб. докл. XII междунар. конф. Красноярск, 2006.
A. V. Minakov, A. A. Gavrilov, A. A. Dekterev
NUMERICAL SIMULATION UNSTEADY FLOW WITH FREE SURFACE BY USING OF VOF METHOD
It is presented results of validation and application numerical algorithm solving the free surface problems. Two of the test problems were solved. The calculating results are in good agreement with experimental data. The algorithm was successfully applied for solving of application problem.
