CC BY
59
Известия Коми научного центра УрО РАН Выпуск 2(6). Сыктывкар, 2011.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 621.039.58
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЯ
Ю.Г. СМИРНОВ
Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта ysmirnov@ustu.net
Рассматривается решение прикладных задач теории переноса излучения применительно к нахождению распределения поля гамма-излучения, создаваемого радиоактивными шламами на нефтегазопромыслах. Приведены примеры численной реализации процесса имитационного моделирования траекторий гамма-квантов применительно к задачам исследования пространственного и энергетического распределения радиационных полей от емкостей цилиндрической формы с радиоактивными отходами. Полученные результаты численного моделирования свидетельствуют об адекватности расчетного алгоритма и его программной реализации для решения поставленных задач.
Ключевые слова: численное моделирование, пространственное распределение, гамма-излучение, радиоактивные шламы
Yu.G. SMIRNOV. NUMERICAL MODELLING OF SOME APPLIED PROBLEMS OF THE THEORY OF CARRYING OVER OF GAMMA RADIATION
The solution of applied problems of the theory of carrying over of radiation with reference to finding the distribution of gamma radiation field created by radioactive slimes in oil and gas fields is considered. Examples of numerical realization of the process of imitating modeling of gamma quanta trajectories with reference to research problems of spatial and power distribution of radiating fields from tanks of cylindrical form with radioactive waste are given. The obtained results of numerical modeling testify to adequacy of calculation algorithm and its program realization for the solution of the tasks in view.
Key words: numerical modeling, spatial distribution, gamma radiation, radioactive slimes
Интенсивная добыча углеводородного сырья способствует накоплению значительного количества радиоактивных отходов на территориях нефтяных и газовых промыслов, что представляет определенную экологическую проблему [1, 2]. Причина возникновения радиоактивных отходов обусловлена тем, что при разведке и эксплуатации месторождений нефти и газа на поверхность извлекаются пластовые воды с повышенной радиоактивностью. Установлено, что изотоп 22^а обнаруживается в большинстве проб пластовой воды нефтяных и газовых месторождений, его соединения также отлагаются на нефтяном и газовом оборудовании.
Емкости для сбора шламов повышенной радиоактивности обычно имеют цилиндрическую или прямоугольную форму. Поэтому в теоретическом плане представляет интерес выполнение математического моделирования полей гамма-излучения для излучающе-поглощающих тел цилиндрической и прямоугольной формы ограниченного размера. Данная задача относится к классу прямых задач ядерной геофизики, связанных с теоретическим изучением характеристик полей излучений в веще-
стве при заданных геометрических условиях, известных законах элементарных процессов взаимодействия и свойствах среды. Практический интерес представляет обратная задача - определение элементного состава и содержания радионуклидов в шламах по измеренному гамма-полю. Ее решение требует, наряду с экспериментальными исследованиями, детального теоретического изучения полей гамма-излучения, включая численное моделирование.
Математическая модель. Решение прикладных задач теории переноса излучения, к каким относятся, в частности, расчет поля гамма-излучения, создаваемого горными породами с повышенным содержанием естественных радионуклидов или радиоактивными шламами на нефтегазопромыслах [3], сводится к определению пространственно-энергетического распределения плотности излучения N(r, П, Е) при известных данных о составе и геометрии изучаемой среды. Указанная величина, как известно [4], удовлетворяет интегрально-дифференциальному кинетическому уравнению Больцмана (уравнению переноса)
Известия Коми научного центра УрО РАН. Выпуск 2(6). Сыктывкар, 2011
div[ОN(r, О,Е)] + у(ЕЩг, О, Е) = = ¡№^ЕаО(ЕаМг, ОоЕаМО^а Е^Еа) + S(r, О, Е)
(1)
Данное уравнение является уравнением баланса излучения в шестимерном фазовом пространстве, элемент фазового объема которого
dr dО dE = dx dy dz sinв dв dф dЕ, где Е - энергия гамма-кванта, выраженная в единицах тас2; ^ - полный коэффициент ослабления гамма-квантов; о - комптоновский коэффициент ослабления; д(Оа^О, Е^Еа) - плотность функции распределения вероятности перехода гамма-кванта из состояния (О0, Еа) в состояние (О,Е), выражаемая формулой Клейна-Нишины-Тамма.
Левая часть уравнения (1) определяет убыль числа гамма-квантов в элементе фазового объема dr dО dE, которая происходит вследствие их свободного движения из элемента пространственного объема dr = dxdydz, что выражается первым членом div[О N(r, О, Е)], и в результате поглощения и рассеяния, что выражается вторым членом ^(E)N(r, О, Е). Здесь N(r, О, Е) - число квантов в элементе объема dxdydz с энергией, принадлежащей интервалу [Е, E+dE], движущихся в элементе телесного угла dО и пересекающих единичную площадку в точке г(х, у, z) с нормалью О(в, ф).
Прибыль числа гамма-квантов с направлением движения О и энергией Е за счет их возникновения в пространственном объеме dr = dxdydz в результате рассеяния квантов, ранее до этого имевших направление П0 и энергию Еа, выражается первым членом в правой части уравнения переноса. Здесь интегрирование ведется по всем углам и всем энергиям первичных гамма-квантов до рассеяния. Второй член - функция источников S(r, О, Е), отнесенная к единице объема, единице телесного угла и единичному интервалу энергии, - показывает прибыль за счет испускания квантов в элементарном объеме dr с энергией Е и направлением О..
Интегрируя по всем углам функцию N(r, П, Е), получим энергетическое распределение плотности гамма-квантов, т.е. спектр:
N(r, Е) = | N(r, П, Е^О.
Кроме того, интегрирование данного выражения еще и по энергиям даст пространственное распределение плотности гамма-излучения: N(r) = Ц N(r, П E)dEdn.
Методы решения. В аналитическом виде уравнение переноса (1) не решается точно ни для каких, даже идеализированных условий [4, 5]. Полный коэффициент ослабления гамма-излучения представляет собой сложную и обычно не предста-вимую в аналитическом виде функцию энергии гамма-квантов и атомного номера среды. Поэтому даже в условиях простейшей геометрии (например, однородная среда, точечный или плоский источник в бесконечной однородной среде) решение уравнения (1) может быть найдено только численными или полуаналитическими методами, связанными с использованием компьютерных расчетов.
При изучении прохождения гамма-квантов через вещество применяют различные методы решения прямых задач теории переноса излучения,
основанные на приближенном решении кинетического уравнения (1). Здесь можно упомянуть такие приближенные аналитические методы, имеющие ограниченное применение и дающие лишь качественные характеристики процесса, как лучевое приближение, приближение однократного взаимодействия, диффузионно-возрастное приближение. Одними из основных численных полуаналитических методов решения уравнения переноса являются методы моментов и последовательных столкновений [4].
Наиболее универсальным методом решения уравнения переноса считается метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), основанный на замене исходной физической задачи эквивалентной ей вероятностной моделью [4, 5]. Процесс переноса излучения моделируется на компьютере методом имитации. При этом строятся конкретные случайные реализации процесса, зависящие от известных законов взаимодействия, конкретные значения которых получаются путем процедуры розыгрыша случайных чисел.
При некоторых ограничениях, а именно в случае однородной среды, изотропного источника и изотропного рассеяния излучения в среде интегрально-дифференциальное уравнение переноса (1) преобразуется в более простое интегральное уравнение переноса вида
F(x) = I к(хо^х) F(Xo) dxа + s(x), (2)
где F(x) - полное число взаимодействий в единице объема; k(x0^x) - ядро интегрального уравнения, представляющего собой переходную плотность цепи столкновений; х = (г, О, Е) - совокупность координат фазового пространства; s(x) - плотность первых столкновений. Именно этим уравнением обычно пользуются при решении задач теории переноса излучений методом Монте-Карло.
Важнейшие характеристики поля излучения могут быть представлены в виде линейных функционалов от решения уравнения (2): ^ = ^(х) ^х) dx, где h(x) - соответствующая весовая функция.
Результаты моделирования и их обсуждение. Численная реализация процесса имитационного моделирования траекторий гамма-квантов была выполнена применительно к задаче исследования распределения радиационных полей от радиоактивных шламов на нефтегазопромыслах с использованием разработанного программного комплекса [6]. Вначале рассматривалась геометрия эксперимента, при которой небольшой дисковый источник диаметром 1 см располагался на значительном расстоянии от детектора диаметром 4 см. Расстояние источник-детектор менялось от 30 до 100 см с шагом 1 см. Данная геометрия удовлетворяет условиям лучевого приближения, что выражается следующей известной формулой, дающей зависимость плотности гамма-излучения N(r) от расстояния г между источником и детектором [4]:
N(0 = О ехр(-уг)/!2, (3)
где О - активность источника, а ^ - линейный коэффициент ослабления гамма-квантов в исследуемой среде.
Известия Коми научного центра УрО РАН. Выпуск 2(6). Сыктывкар, 2011
На рис.1 представлены результаты компьютерного моделирования пространственного распределения плотности гамма-поля в сравнении с расчетами по формуле (3). Моделирование осуществлялось путем розыгрыша 105 траекторий гамма-квантов для одной из самых интенсивных линий источника 22^а с энергией 1,76 Мэв. Как видно, наблюдается довольно неплохое совпадение результатов моделирования с расчетами в лучевом приближении для воздуха, что свидетельствует об адекватности расчетного алгоритма. Для более плот-
не так хорошо согласуются с расчетами в лучевом приближении. Это объясняется тем обстоятельством, что имитационное моделирование учитывает
многократно рассеянные кванты, попадающие в детектор, а формула (3) их не учитывает. Помимо расчета интегральных характеристик гамма-поля программный комплекс позволяет также моделировать пространственно-энергетические распределения гамма-излучения. На рис.2 приведен пример вывода на экран компьютера результатов численного моделирования спектрального распределения гамма-квантов на поверхности цилиндра, в котором размещена излучающе-поглощающая среда в виде песчаника с равномерно распределенным радиоактивным источником с энергией 1,76 Мэв. Как видно, форма полученного модельного спектрального распределения комптоновски рассеянных гамма-квантов качественно схожа с типичными аппаратурными и расчетными спектрами многократно рассеянного гамма-излучения [4].
Заключение
Полученные результаты численного моделирования свидетельствуют об адекватности расчетного алгоритма и наглядно демонстрируют возможности разработанной программы.
Предполагается дальнейшее совершенствование расчетного алгоритма в направлении более детального учета параметров излучающе-поглощаю-щей среды.
Литература
1. Gray P.R. NORM Contamination in the Petroleum Industry // Journal of Petroleum Technology, 1993. Vol. 45, No. 1. P.12-16.
2. Никифоров ЮА. Радиоактивное загрязнение окружающей среды при нефтедобыче на примере Ставропольских месторождений // Российский геофизический журнал, 1994. №3. С.81-84.
3. Смирнов Ю.Г. Компьютерное моделирование полей гамма-излучения для решения задач радиационной экологии нефтегазопромыслов // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 30-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского. Москва, 27-31 января 2003 г. М.: ОИФЗ РАН, 2003. С.104-105.
■О- Мод, воздух--Рас ч. воздух-»-M о д. песо к:-Расч.песок[
Рис.1. Сравнение результатов компьютерного моделирования с теоретическими расчетами в лучевом приближении для точечного источника (105 испытаний).
6000 5000
да 4000
0
1
£ 3000 о
I—■
^ 2000
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Энергия, Мэв
Рис. 2. Пример моделирования спектрального распределения гамма-квантов (1 млн. испытаний) с энергией 1,76 Мэв от моноэнергетического дискового источника на расстоянии 10 см.
ной среды (песок) результаты моделирования уже
Известия Коми научного центра УрО РАН. Выпуск 2(6). Сыктывкар, 2011
4. Пшеничный ГА. Взаимодействие излучений с веществом и моделирование задач ядерной геофизики. М.: Энергоиздат, 1982. 224 с.
5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. 312 с.
6. Смирнов Ю.Г., Волков М.В. Расчет пространственно-энергетического распределения гамма-излучения методом статистического моделирования // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2006. Т.2. №8. С.87-89.
Статья поступила в редакцию 23.03.20ц
