CC BY
42
Библиографический список
1. Harary F, Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // занных с расширениями графов // Мат. заметки. 2010.
Networks. 1993. № 23. P. 135-142. Т. 88> № 5. С 643-65°.
3. Богомолов А. М, Салий В. Н. Алгебраические осно-
2. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, свя- вы теории дискретных систем. М. : Наука, 1997. 368 с.
Minimal Edge Extensions of Palm Trees D. D. Komarov
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83„ KomarovDD@gmail.com
Minimal edge extension of graphs can be regarded as a model of optimal edge fault tolerant implementation of a system. The problem of finding the minimal edge extensions of an arbitrary graph is NP-complete, that's why it is of interest to find classes of graphs for which it is possible to build a minimal edge extension analytically. This paper is about of the one-edge extensions of a graphs from a special class named palm trees. In this paper presents a kind of one-edge extension for some palm trees and the proof that it is minimal.
Key words: minimal extensions of graphs. References
1. Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs. Networks, 1993, no. 23, pp. 135-142.
2. Abrosimov M. B. Complexity of some problems associated with the extension of graphs. Math. Notes, 2010, vol. 88, no. 5, pp. 643-650.
3. Bogomolov A. M., Saliy V. N. Algebraicheskie osnovy teorii diskretnykh sistem [Algebraic foundations of the theory of discrete systems]. Moscow, Nauka, 1997, 368 p. (in Russian).
УДК 621.397.74
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ВОЗДЕЙСТВИЯ ИСКАЖЕНИЙ
НА OFDM/QAM-СИГНАЛ
А. А. Львов1, В. В. Киселёв2
1 Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматики и телемеханики, Саратовский государственный
технический университет им. Гагарина Ю. А., alvova@mail.ru
2Кандидат технических наук, ассистент кафедры автоматики и телемеханики, Саратовский государственный технический
университет им. Гагарина Ю. А., kiva@live.ru
В работе рассмотрены математические модели каналов связи с помехами различного типа, их влияние на рабочие точки
констелляционных диаграмм в системах с OFDM/QAM сигналами, даны рекомендации по мониторингу каналов.
Ключевые слова: качество канала, мониторинг, математические модели, помехи, констелляционная диаграмма.
Современные системы связи, включая системы и сети цифрового телерадиовещания, характеризуются передачей сжатых потоков информации в реальном времени. Для высокоскоростной передачи цифровых данных положительно зарекомендовала себя технология OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing — частотное уплотнение с ортогональными поднесущими) в тандеме с QAM-модуляцией (Quadrature Amplitude Modulation — квадратурно-амплитудная модуляция). Как и другие телекоммуникационные технологии, OFDM/QAM чувствительна к искажениям сигнала, что проявляется в увеличении частоты появления ошибочных битов (Bit Error Rate — BER). Следовательно, одной из важнейших задач, которые необходимо решать при проектировании подобных систем, является анализ степени и результатов воздействия искажений на передаваемый сигнал.
OFDM/QAM сигнал описывается уравнением [1]:
z (t) = Re
^ N-1 Hn
exp(2 njft)££ "¡Г (C r,s, h X ^r,s,h(t))
r=0 s=0 h=Hm
© Львов А. А., Киселёв В. В., 2013
Ф
г,в,н
(*) =
exp(2пjh/(г - Тд - вТ3 - ЫтТ3)/Ти) для (в + Ыт)Тв < г < (в + Ыт + 1)Т3 0, в остальных случаях,
Н — Н (Нтах + Нт1п)/2,
Т — Т + Т
-"-в -1- и ~ -1- д 1
(2)
(3)
(4)
где N — количество OFDM-символов в кадре передачи; Н — номер поднесущей частоты; Нт1п и Нтах — соответственно минимальное и максимальное значения поднесущей частоты (нижняя и верхняя границы); в — номер OFDM-символа, т — номер кадра передачи; Тд — длительность защитного интервала; Ти — длительность полезной части OFDM-символа; Тв — длительность OFDM-символа; / — опорная частота передатчика; Сг,з,н — значение QAM-ячейки для поднесущей частоты Н в символе в кадра т.
Сигнал г* (г) на входе приёмного устройства имеет вид [2]
г * (г) — г(г) + п(г),
(5)
где и(Ь) — функция, описывающая аддитивный сигнал помех и искажения в канале связи, на входе которого действует полезный сигнал г (г). Обратное преобразование даёт:
С?,з,1г — ехР(-2п/
(8 + Мт + 1)Т3
Е
т=(в+Мг)Т
(г*(т) х [Фг.,в,н(т)]-1)
(6)
где СГ в н в общем виде можно представить:
СГ, в , н — Сг , в , н + и
г, в , Н + иг, в , н?
(7)
где иГ)3н — составляющая и(г), накладываемая на Сг^нН в символе в частотной поднесущей Н кадра т после преобразования (6).
Так как СГ 3 н является комплексным числом, то его вещественную и мнимую части в (7) удобно представить в виде матрицы компонентов:
Ке {С Г, 3 , н }
уг , в , Н,
1т {С*л }
Ке {Сг,в,н Л + (^е {иг,з,н} 1т {Сг,з,н}) {иг,в,н}
(8)
В работе [3] на основе (1), (6) и (8) получена матрица линейного преобразования QAM-сигнала в OFDM-канале с аддитивным гауссовым шумом:
Ке {С*,3,н} 1т {С*н }
кв 0 01
— К
1 кз 01
СОБ вг - Бт вг Бт в г СОБ в г
Ке {Сг,в,Н}
1т {Сг,8,н }
СОБ во
Цвег - эт вof fset\
Бт во//вег СОБ во/'/вег )
А СОБ ф\ + А Бт ф
Ке{ин} 1т {ин }
(9)
где К — коэффициент ослабления (затухания) сигнала; вг — угол поворота модуляционного созвездия (констелляционной диаграммы) (дрожание фазы), являющийся случайной переменной с гауссовым распределением с нулевым средним значением и дисперсией а2 (вг ~ N(0, а2)); вoffset — угол вращения модуляционного созвездия вокруг своей оси (фазовый сдвиг); кЕ — коэффициент усиления для вещественного канала относительно мнимого (несогласованность амплитуд); кв — угол отклонения от ортогональности вещественной и мнимой компонентов канала (квадратурная ошибка); А и ф — соответственно амплитуда и фаза ложного сигнала (интерференция); ин — аддитивный гауссов шум на частотной поднесущей Н.
В таблице представлены модуляционные созвездия для 16-QAM, полученные путём численного моделирования на основе уравнения (9).
х
х
Аппроксимируя (9) на случай малых углов фазы, когда sin в offset ~ вoffset и cos в offset ~ 1, без учёта дрожания фазы, и рассматривая эффекты, вызванные различными видами помех как некоррелированные, получим следующие математические ожидания компонентов C£ s h:
M [Re Cs , h}] = M [KkE Re [Cr,s,h} - K (kEks - Oof f set) Im [Cr,s,h}], M [im [Crs s , h }] = M [KkE Ooffset Re [Cr, s, h } - K (kE ks - Oof f set + 1) Im [Cr, s, h}].
(10)
Примеры искажений констелляционной диаграммы для 16-QAM
Искажения
Модуляционные созвездия
S я
о
>s
©
! + ; н н +
: + i к * к +
¡ + : к ■•к * X +
■i------ ■ + : к ------ ------ + Х к1 +
doff set = 0.1884
+ I
____
! +
^T-----' —
+ ! + Г + ____■ У....
Я"
№
+ X¡ +
JÉ...
+ Г + i *
—-----г-
doff set = 0.6280
doff set = 1.2246
О О
Я w fT
Я Sí
8 ^ es В ч S
G ce
O
o
<D
К
+ К -к м- j к +-
+ К -к м- ¡ к +-
+ К -к м- ¡s +■ _____1_____
+ К ______ ------ -к -----Т----- М- j К +■
J_____ ¡ + _ J______ к +K _____ ____J +
i + ix -H< x+ MÍ +
+ xj +
"1----- i + "l------ ¡X +x ----- x+ " T" 4 +
+ M-H к-к +
: + W- H м -н +
+ м- к к -к +
¡ + м- к к -к +
kE = 0.80
kE = 0.60
kE = 0.40
¡y w pvo
03 S
% a
Í3 O я
! +к н-к -нк
i -к -к -к -к
¡ и- м- и- и-
! Н4 xt и+
; + к -+ 1 * + и +-
i i +■>: 1
¡ Х-+ Х+ ' К+-1
i t н н------ ■+ н + XJ -I-----+-----н
h4 Н 4 4
: м- м- м-
! -к -е>:
"1------ i + м ------ + н ------ + н
H 4
-e>:
ks = 0.16
ks = 0.42
ks = -0.24
&
a? = 0.042
af = 0.064
a? = 0.100
Окончание таблицы
Искажения
Модуляционные созвездия
в к
о ¡я
N N
Я К
И й
ё *
ё и
о
а N
<и
К 5
А = 0.5, ф = 0.3332
¥
+ I +
'"У. "Л Я.....
+ : + : + : -I- :
Р * + ■ + ■ +
""Зг $
+ ! + ! + !"•"!
А = 0.9, ф = 0.5652
£ 1-4
ин = 0.34
пь = 0.64
ч
о
О
J______ 1 4 ______ 4 ______ 4 _____J 4
\ 4 К к К к 4
! 4 м м X X Х+Х 4
"1------ \ 4 ------ 4 ------ 4 4
К = 0.83
К = 0.72
К = 0.47
Примечание. Маркер «+» — сигнал без наложенных искажений; маркер «х» — тот же сигнал, но с привнесёнными искажениями; штриховые линии ограничивают области безошибочного распознавания символов сигнала; углы 0», , и ф — в радианах; коэффициенты К, Ье, А и пь нормированы.
Анализируя множество принятых символов С; в за время передачи кадра N7 можно оценить параметры К, кЕ, к^ и •
Дисперсия дрожания фазы а2 определяется из выражения ковариации вещественной и мнимой частей принятого символа С; 3 }:
Со^Ие(С; в, }}, 1т(Сг* в, }}] = -К2ква2 (Ив(Сг , в, }} 1т(Сг , в, н} + [Ив(Сг , в, ь}]2кз)
(11)
Амплитуда А интерферирующего сигнала находится вычислением момента 4-го порядка т4[Ие (С;з}1}] и квадрата дисперсии £[Ие (С; в }}]:
А = {/8£>[ Ие (С; в, }}]2 - 3т4[ Ие (С;в, Л}].
(12)
Влияние гауссова шума можно оценить, вычислив дисперсию вещественной и мнимой составляющих С!
ч* : уг , в , }:
Б^е (С; в , } }] = К2 [1т (Сг , в , }}]2а2 + Б^е (ик }] + А,
Б[ 1т (С;5 , }}] = К2 ([ Ие (Сг, в, }}]2 + к2 [1т (Сг , в, }}]2 + 2кв Ие (Сг, в, }} 1т (Сг , в, }}) х
А2
хк| а2 + £[1т (П}}] + —
(13)
Проведена верификация (10)-(13) при воздействии на сигнал одного (диаграммы на рис. 1) и одновременном действии двух (рис. 2) типов искажений и аддитивного гауссова шума при различном соотношении сигнал/шум.
- согласованность
30 ч/4 25 ^
£
атЛигуд дБ О
б
100 г-
5 §
ю и
со О И
а 40
80
60
о и
Си <о Р0
20
2
Фаз,
40
4
о вый
СДВИГ°
35 ^ 30 /
25
О*
100
к §
§ и
со О И
40
80
60
О
и
Си <о Р0
20
^аннеф^
2.7
40 ^ 35 30 25
о*
100
80
60
5 §
Ю
сЗ И со О И
40
<о О
20
Си
Р0
40 35 30
26
д
Рис. 1. Результаты моделирования при действии на сигнал одного типа искажений: а — несогласованность амплитуд; б — квадратурная ошибка; в — интерференционные искажения; г — фазовый сдвиг; д —
дрожание фазы
а
в
г
^ 100
и Я
§ 80
Я S
Я
60
40
20
Щрату дв &
УРная
з bia
>ка
100 „-as
я
80
о я
Я Я
60
40
20
, 0сть Сдвяг
УРная
-РеЩця
30
ДБ
:рс"пия
tbia
0Ч'ив1
>ка
с»
аМПл№
100
80
я
Я Я
60
40
20
тУД,дБ
2 2 1 Дро*анщ
Щ о
0
б
а
0
в
г
Рис. 2. Результаты моделирования при действии на сигнал двух типов искажений: а — несогласованность амплитуд 1.2 дБ и сдвиг фазы 0°-4°; б — сдвиг фазы 3° и интерференционные искажения 24-30 дБ; в — квадратурная ошибка 3° и несогласованность амплитуд 0.6-1.5 дБ; г — сдвиг фазы 1.5° и дрожание
фазы 0.9°-2.7°
Были сгенерированы группы из 200 сигналов для каждого значения помехи и величины шума, а также пары искажений различной величины. Каждая диаграмма получена на основе 1500 тестов. Результаты первого моделирования представлены в виде диаграмм процентов правильного распознавания символов: сколько раз символ правильно идентифицирован при наличии помехи, а остальные определены как отсутствующие. Видно, что для каждого типа искажений в подавляющем большинстве случаев получены высокие результаты идентификации. Низкие результаты получены лишь при значительном уровне помех и малой величине отношения сигнал/шум: причина кроется в том, что некоторые символы модуляционного созвездия попали за область (ячейку) их верного распознавания.
Результаты второго моделирования получены при фиксированном значении одной помехи и изменении величины другой и представлены в виде диаграмм процентов правильной идентификации при паре искажений. В результатах также преобладает высокий процент верной идентификации. Колонки с низким значением процентов идентификации относятся к искажениям, которые не были добавлены: причина, как и в предыдущем случае, в том, что наблюдаемые символы вытеснялись за границы ячеек верного распознавания.
Таким образом, с помощью соотношений (10)-(13), полученных из математической модели (1), возможно производить анализ степени воздействия типовых искажений на исходный ОРЭМ^ЛМ-сигнал, а также выявлять эти самые искажения в уже принятом сигнале, что позволит в последующем осуществлять коррекцию принятого сигнала с целью повышения достоверности и скорости передачи информации.
Библиографический список
1. Киселёв В. В., Светлов М. С. Математическая модель канала передачи данных системы цифрового телерадиовещания // Проблемы управления, передачи и
обработки информации (АТМ ТКИ-50) : сб. тр. между-нар. науч. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2009. С. 250-252.
2. Киселёв В. В., Львов А. А., Светлов М. С. Особенности моделирования одночастотных сетей цифрового телерадиовещания стандарта БУБ-Т // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2010. № 4(51). С. 145-150.
3. Киселёв В. В., Львов А. А., Светлов М. С., Му-хамбетжанов А. C. Мониторинг каналов в системах с OFDM/QAM сигналами // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2010. № 4(50). С. 13-17.
Numerical Modelling and the Analysis of Impact of Distortions on OFDM/QAM-signal
A. A. Lvov, V. V. Kiselev
Saratov State Technical University, Russia, 410054, Saratov, Politekhnicheskaya st., 77, alvova@mail.ru, kiva@live.ru
In this work mathematical models of communication channels with various interferences, their influence on constellation diagrams' points in systems with OFDM/QAM signals are considered, recommendations about channel monitoring are made.
Key words: communication channel quality, monitoring, mathematic models, interferences, constellation diagram.
Библиографический список
1. Kiselev V. V., Svetlov M. S. Mathematical model of a data link of system of digital TV and radio broadcasting. Collection of works of the international scientific conference ATM TKI-50, Saratov, 2009, pp. 250-252 (in Russian).
2. Kiselev V. V., Lvov A. A., Svetlov M. S. Features of modeling of single-frequency networks of digital TV and radio broadcasting of the DVB-T standard. Vestnik
Saratov. Gos. Tekhn. Univ., 2010, no. 4(51), pp. 145-150 (in Russian).
3. Kiselev V. V., Lvov A. A., Svetlov M. S., Mukhambetzhanov A. S. Monitoring of channels in systems with OFDM/QAM signals. Vestnik Saratov. Gos. Tekhn. Univ., 2010, № 4(50), pp. 13-17 (in Russian).
