CC BY
72
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2011. Вып. 4
УДК 621.317.329; 537.533.79; 519.688 В. Я. Иванов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЫСТРЫХ ФОТОДЕТЕКТОРОВ БОЛЬШОЙ ПЛОЩАДИ
Введение. Данная работа посвящена систематическому исследованию свойств микроканальных усилителей (МКУ). Эти усилители находят широкое применение в самых различных областях науки и техники: астрофизике [1, 2], физике высоких энергий [3-5], медицинской диагностике [6], приборах ночного видения [7-11], литографии [12], ускорительной физике [13] и др. Особенности данного класса усилителей заключаются в компактности, высоких коэффициентах усиления сигнала (до 106 — 107) и высоких пространственном (несколько микрон) и временном (несколько пикосекунд) разрешениях. Собственно усилитель (рис. 1) состоит из фотокатода, набора микроканальных пластин (МКП) и анода, разделенных вакуумными промежутками, к которым прило-
На поверхность фотокатода падает электромагнитное излучение широкого диапазона, от инфракрасного до рентгеновского. Поток излучения может быть непрерывным (приборы ночного видения) или импульсным (детекторы). Поступающие фотоны порождают первичные фотоэлектроны, которые ускоряются промежутком фо-токатод-МКП и попадают на поверхность пластины или внутрь каналов МКП. Внутренняя поверхность каналов является эффективным эмиттером, на ней происходит рождение каскадов вторичных электронов, которые ускоряются напряжением, прило-Рис. 1. Схема микроканального усилителя женным к пластине. Каналы цилиндрической формы могут быть ориентированы перпендикулярно к поверхности пластин (прямой канал) или под углом порядка 5-14° к перпендикуляру. Наклон имеет целью решение проблем первого удара и ионного фона. Проблема первого удара заключается в том, что коэффициент усиления МКУ тем выше, чем ближе ко входу в канал фотоэлектрон попадет на поверхность канала, порождая далее каскады вторичных электронов. Ионы, рождающиеся в объеме канала при соударении вторичных электронов с молекулами остаточных газов, ускоряются в противоположном движению электронов направлении. В прямом канале они
Иванов Валентин Яковлевич - доктор физико-математических наук, Senior Accelerator Physicist, Muons, Inc., USA. Количество опубликованных работ: более 300. Научные направления: математическое моделирование, численные методы, методы оптимизации, электродинамика, информационные технологии, ускорительная физика. E-mail: vivanov@fnal.gov.
© В. Я. Иванов, 2011
жены ускоряющие напряжения.
Окно Фотокатод МКП Анод
способны бомбардировать фотокатод, приводя к его деградации, в то время как в наклонном канале они абсорбируются стенками канала. Гораздо больших коэффициентов усиления, в сравнении с одиночной пластиной, можно достичь с помощью пары пластин с противоположным углом наклона каналов (шевронная пара) или даже трех пластин (Z-stack). На выходе из каналов поток вторичных электронов ускоряется напряжением, приложенным к зазору МКП-анод, предотвращая перемешивание потоков из отдельных каналов, которое приводит к снижению пространственного разрешения МКУ. Анодная часть в приборах для регистрации изображений объектов является сцинтил-ляционным экраном, а в детекторах - это наборы вертикальных и горизонтальных проводников с электроникой, которая осуществляет считывание координат попадания вторичных электронов. В обоих случаях к анодной системе предъявляются требования снижения уровня обратного рассеяния вторичных электронов на аноде, которое вызывает понижение контраста регистрируемого сигнала.
Ввиду исключительной сложности непосредственного измерения параметров процессов, происходящих в фотокатоде и каналах усилителя, численное моделирование этих сложных процессов является, пожалуй, единственным надежным методом исследования их свойств. Модель, описывающую алгоритм вычисления непосредственно измеряемых параметров прибора (коэффициент усиления, пространственное и временное разрешение), мы называем макромоделью физических процессов. Макромодель, в свою очередь, использует целый ряд констант и физических параметров, определяемых свойствами применяемых материалов: механических, тепловых и электрических (проводимость, эмиссионные свойства, скорость релаксации зарядов). Сложность получения таких данных экспериментальными методами заключается в том, что указанные свойства существенно зависят от особенностей технологии нанесения этих материалов на поверхности фото- и вторичных эмиттеров, в особенности при многослойных покрытиях. Поэтому самым надежным и экономичным методом получения таких данных является их математическое моделирование в рамках так называемых микромоделей, описывающих процессы взаимодействия налетающих частиц с атомами конкретных веществ и композитных смесей.
Макромодели МКУ. Исследование МКУ численными методами восходит к фундаментальным работам Геста [14, 15], Виза [16], Эберхардта [17]. Основные достижения в этой области отражены также в обзоре М. A. Грунтмана [18] и сборнике под редакцией Б. Кайдана [19]. Многообразие вычислительных моделей можно разделить на две группы. К первой отнесем полуаналитические модели для стационарных режимов МКУ [20, 21], которые позволяют быстро и эффективно вычислять основные характеристики приборов. Примером реализации данной модели является программа MCPS (Micro Channel Plate Simulator) [22]. Однако таким моделям свойственен ряд ограничений (приближение прямого канала, отсутствие краевых полей и ионного фона). Другую, более многочисленную группу составляют модели более общей постановки задачи, основанные на использовании статистических методов Монте-Карло [23-25].
Рассматриваемая нами полуаналитическая модель была предоставлена автору Ю. В. Куликовым. Для прямого канала радиусом R и длиной L она описывается следующими уравнениями. Разобьем длину канала на N равных интервалов, получив кольцевые зоны, каждая из которых под воздействием падающего тока становится вторичным излучателем (рис. 2). Этот излучатель харатеризуется функциями распределения по энергиям f(е), азимутальным f (j) и полярным f(Q) углам.
Задав достаточное число разбиений для представления каждой из функций распределения с требуемой точностью, выпустим из каждого интервала разбиений траекторию с начальными данными ао ,во,@0• Эта траектория (рис. 3) в цилиндрических координатах г, г, в для однородного поля канала напряженности Е имеет вид
г = го
Е
4є0 від @0
лДя2 - г2 8т2(а0 - /Зо)) - г соё(а0 - (30)
+
+ л/Т^О — Т2 8ІП2(ао — /Зо)) — Г с08(с^о — /?о) ctg(0o)• (1)
В итоге получим функцию распределения W1 (г) плотности тока первого каскада усиления, а коэффициент усиления первого каскада определяем интегрированием этой функции
к1 = J W1 (г — г0)в,г.
(2)
Рис. 3. Траектория вторичного электрона в канале
Вводя нормированную функцию распределения плотности токов ип = Wn /кп, для остальных каскадов усиления находим с помощью рекуррентных соотношений, которые представляют собой интегралы свертки
^п (гп — г0) =
иі (г 1 — г0 )и (г2 — гі )и (гп — гп-і )&гх д,гп-і,
(3)
а суммарный коэффициент усиления прибора определяется через коэффициенты усиления отдельных каскадов по формуле к^ = к1 + к1 к2 + • + к1 к2 • кп.
При численной дискретизации поверхность канала по длине разбивается на т равных интервалов. Из центра каждого интервала выпускаются траектории с начальными данными, соответствующими равномерному распределению по азимутальным углам вылета и косинусоидальному закону Ламберта для полярных углов. Распределение по энергиям вылета £ чаще всего берется из статистики Максвелла-Больцмана,
2
однако лучшее соответствие экспериментальным данным дает распределение Чанга-Эверхардта [26], которое имеет более медленный спад в области высоких энергий:
(4)
где А - нормировочный множитель; £f - энергия Ферми; Ф - работа выхода электрона.
Эмиттируемый с элементарной площадки ток О связан с падающим на нее током соотношением О = аО, в котором коэффициент вторичной эмиссии а = 6 + V + р. Компонента 6 отвечает истинно вторичным электронам, V - неупруго отраженным, а р -коэффициент упругого отражения. Согласно данным работы [27], коэффициенты V и р обычно меньше единицы, в то время как 6 = 1-10. Для истинно вторичных электронов чаще всего используют формулу Геста [14]
6 (0,£) = 5„
£
VСО Б 0
ехр
^(1 — сое 0)+ /3
-Л/С08^ I ь )
(5)
где 6т - максимальное значение коэффициента вторичной эмиссии при нормальном падении на стенку; £т - соответствующее ему значение энергии столкновения; 0 -угол между вектором скорости налетающего электрона и нормалью к поверхности; а - коэффициент поглощения налетающих электронов стенкой; 3 - параметр модели, примененный для подгонки аналитической формулы к экспериментальным данным. Из эксперимента [28] принято считать коэффициент поглощения а = 0.62, а для параметра 3 используется аппроксимация
3 =
0.55 < 3 < 0.65, 0.25,
(6)
Следует отметить, что имеются и другие аппроксимации для вторичной эмиссии, например Ито [29], Ли-Деккера [30], Агарвала [31], Родни-Вогана [32] и пр. Сравнительный анализ некоторых из них дан на рис. 4.
Описанная нами полуаналитиче-ская модель обладает исключительно Коэфф. вторич. эмиссии
высокой эффективностью при проведении численных расчетов, что позволяет использовать ее при проведении многопараметрической оптимизации характеристик приборов. Такая эффективность обусловлена тем, что численно считается только функция распределения тока от первого каскада, а это позволяет снизить число рассчитываемых траекторий на многие порядки. Ограничения данной модели также очевидны: она не позволяет учитывать такие сложные эффекты как влияние краевых полей, эффект насыщения, переходные процессы при работе в динамическом режиме, наклон каналов, делающий
Энергия,
Рис. 4. Различные аппроксимации коэффициента истинно вторичной эмиссии при нормальном падении электрона
£
£
электрическое поле трехмерным, и пр. Методы Монте-Карло свободны от указанных недостатков, однако здесь приходится считать численно весь набор траекторий, генерируя с помощью датчика случайных чисел набор начальных данных (углы и энергии вылета) для каждой эмиттируемой частицы. Такая модель была реализована в программе «Monte Carlo Simulator» [33], которая позволяет рассчитывать все известные типы МКУ в трехмерной постановке.
Моделирование эффектов насыщения. Возрастание тока вторичных электронов вдоль канала имеет экспоненциальный характер [14]. При работе МКУ в импульсном режиме с большими уровнями входного сигнала это приводит к тому, что с выходной части микроканала за короткое время вырывается значительное облако вторичных электронов. Поскольку поверхность канала имеет высокое сопротивление (около 100 МОм), ток от внешнего источника не успевает достаточно быстро скомпенсировать дефицит электронов на поверхности вторичного эмиттера. В результате на ней возникает наведенный положительный заряд, который подавляет эмиссию. Время релаксации этого заряда варьируется в широком диапазоне - от 1 с до нескольких микросекунд, в зависимости от величины поверхностной проводимости. Данный эффект принято называть эффектом насыщения, поскольку на время релаксации заряда прибор теряет свойства усиления тока.
Вопросы экспериментального исследования эффекта насыщения широко представлены в литературе [34-37]. Различные подходы к построению аналитических моделей отражены в работах Гудикотти [38], Прайса [39], Фрезера [40] и Шихалева [41]. Общим недостатком таких моделей является то, что все они содержат некоторый набор констант для подгонки зависимости коэффициента усиления под экспериментальные кривые. В этом отношении выделяются работы А. Б. Беркина и В. В. Васильева [4244], в которых даны точные аналитические решения для статического и динамического режимов усиления тока в МКП, содержащие только непосредственно измеряемые входные данные. Приведем решение для динамического случая, когда на вход микроканала подается последовательность прямоугольных импульсов длительностью tp с периодом T. В этом случае напряженность поля в канале Ez и коэффициент усиления к, как функции времени t и продольной координаты z, даются формулами [43]
Ez(z,t) = E0zhE(z,t), k(z,t) =-------------k0hE(z,t)— ^ ^
1 - [hE(z, tp) - 1] exp J
где Eoz и ко - поле и коэффициент усиления в режиме без насыщения, а функция формы НЕ имеет вид
, , =______________________1п(М0)_____________________ = Iq_ ( _ _t/r\
E[Z,) {ln(M0) — ln[l + c(t)] — ln[l + c(t)Mo]} [1 + c(t)eXz] ’ Ir\ )■
(8)
Здесь Io - входной ток фотоэлектронов, Ir = U/R - ток проводимости по стенкам канала, U - приложенное к МКП напряжение, R - омическое сопротивление канала, т - время релаксации наведенных зарядов, Л - инкремент роста электрического поля вдоль канала без насыщения. На рис. 5, 6 представлены результаты численного моделирования с использованием этой модели [45]. Можно видеть, что эффекты насыщения пренебрежимо малы для входных токов Io < 1~15A на канал.
Рис. 5. Распределение поля в канале (а) и выходной ток для различных уровней входного тока (б)
Рис. 6. Коэффициент усиления (а) и временное разрешение МКП (б) в зависимости от входного тока для т = 1 мси т = 1 мкс
Учет краевых полей. В простейшем случае принято считать, что МКП представляет собой множество прямых цилиндрических каналов одинакового радиуса Я, расположенных в толще стеклянной или керамической пластины толщиной Ь в определенном порядке с гексагональной симметрией. Плоскости пластины металлизированы, и к ним приложено некоторое напряжение и. Поле в канале такой пластины одномерно и равно Е = и/Ь. В реальности оси каналов расположены под некоторым углом а к оси пластины, что порождает поперечную дипольную компоненту напряженности электрического поля, поскольку диэлектрическая постоянная внутри канала г\ отлична от постоянной тела пластины е2. Точное решение этой задачи [46] можно получить следующим образом.
Пусть поле напряженностью Е приложено перпендикулярно оси канала (рис. 7, а). В цилиндрической системе координат (р, в) решение задачи имеет вид
В канале, наклоненном на угол а по отношению к полю внешнего источника Ео, это поле можно разложить на продольную и поперечную компоненты по отношению
Е (Р,в) =
Рис. 7. Издание дипольной компоненты на поверхности канала в поперечном поле (а) и произвольно ориентированном к оси канала поле (б)
к оси канала: Eq = E\\ + E±, E\\ = eo cos a,E± = Eq sin а. Параллельная компонента не испытывает возмущения от наведенных внешним полем зарядов, а поперечная дается выражением
Е±(р,Є)= 2-
єі
-E cos в sin а.
_____ (10)
+ ^2
Окончательно угол наклона вектора напряженности поля к оси канала 7 выражается формулой
+- о 61
tan 7 = —— = 2--------------------------------
E11 єі + є 2
E cos в tan а.
(11)
Введение тонкого проводящего слоя с проводимостью а на поверхности канала (рис. 8) приводит к тому, что поле внутри канала Ем за счет наведенных токов ослабляется по отношению к внешнему полю ЕеХ1 пропорционально коэффициенту
к (а) =
Ei
int
Ee
о_о а
l
376.730
(12)
Исследованию структуры поля внутри канала аналитическим методом также посвящена работа Гатти [47]. Однако аналитические выражения, полученные с помощью данных моделей, справедливы лишь вдали от входных и выходных отверстий микроканала. Вблизи этих отверстий необходимо решать трехмерную краевую задачу для уравнения Пуассона. Такие расчеты были проделаны с помощью многофункционального пакета COMSOL [48]. Результаты представлены на рис. 9. Исключительная сложность расчета таких трехмерных полей обусловлена значительной разностью масштабов задачи: толщина пленки проводящего слоя примерно 10-100 нм, а длина канала около 1 мм, что заставляет генерировать при пространственной дискретизации задачи адаптивные сетки, сгущающиеся в области больших градиентов поля, с числом узлов порядка 104-105.
Рис. 8. Ослабление поля внутри канала при введении проводящего слоя
Рис. 9. Силовые линии электрического поля на выходе из канала (а) и в теле МКП между каналами (б)
Проведенные расчеты показали, что учет трехмерности структуры поля крайне важен лишь для выходного отверстия МКП, у окрестности которого плотность тока эмиссии достигает своего максимума. Строгий учет этих эффектов позволяет получить правильные значения для пространственного разрешения прибора.
Микромодели свойств материалов. При расчетах характеристик приборов на основе макромодели требуются знания характеристик материалов: угловых и энергетических распределений для фото- и вторичной эмиссии, скорости релаксации зарядов и пр. Эти данные зачастую невозможно найти в справочниках и статьях, поскольку свойства материалов для тонкопленочных покрытий существенно отличаются от свойств массивных сред. Они зависят не только от толщины покрытия, но и от чистоты материалов и особенностей технологии их нанесения на поверхности. В особенности это касается композитных материалов и многослойных покрытий. В таких случаях наиболее оперативный метод получения данных - прямой их расчет численными методами [49, 50] с использованием так называемых микромоделей молекулярной физики.
Многие исследователи разработали полуэмпирические модели [51-56], которые оказываются полезными при тестировании алгоритмов Монте-Карло и являются основными инструментами для получения данных об угловых и энергетических распределениях вторичных электронов для различных материалов численными методами. Выход вторичных электронов может быть записан в следующей форме [55]:
где п(х,Ере) - число вторичных электронов, образуемых на расстоянии х от поверхности первичным электроном с энергией Ере , а /(х) - вероятность того, что вторичный электрон покинет поверхность. Предполагается, что величина п пропорциональна средней энергии потерь на поверхности:
(13)
(14)
где £ - энергия вторичного электрона, эмиттируемого на расстоянии х от поверхности. Вероятность вторичному электрону, попавшему на поверхность, покинуть ее равна
$(х) = Бв-х/х, Б < 1, (15)
здесь Л - средняя глубина проникновения электрона [53-55]. Янг [56] показал, что потери энергии электроном внутри материала приблизительно постоянны:
ЗЕ Ере
Зх К
Используя формулы (13)—(16), получим выход вторичных электронов:
(16)
6= [-Щ^е-Х1хс1х, (17)
] г К
о
5{Ере) = -Щ^-\{1-е-х'х). (18)
г К
Энергетические потери электронов К в Л^Оз были измерены Янгом [56], который предложил формулу, хорошо соответствующую предсказаниям теории Бете для низкоэнергетических электронов [55]:
К[/2] = 0.0115(Ере[])1-35- (19)
Если 6т и Ет - выход вторичных электронов и максимальная энергия первичных электронов соответственно, уменьшение выхода 6/6т не зависит от характеристик материалов Б, г и средней плотности р. Это соотношение называется универсальной кривой:
/ X -0.35 (
*1Л1(|£Л {1_еХр
т КЕ'ре ) 1
хЕреу
(20)
Лин и Джой [52] вычисляли энергетические потери для ионов, пользуясь несколько иной формулой:
Б / \ 1
н = -(ере)
В(„ л 1-67 р
При Б = 76 нм, измеряя Ере в килоэлектронвольтах, а р - в граммах на кубический сантиметр, придем к окончательному выражению
-0.67
I Г / N -1.671 I
(21)
.0.614^) \Е$В)
Формулы (20) и (21) обычно называют «универсальным законом вторичной эмиссии» [51-55]. Они являются хорошим инструментом для разработки и тестирования программ метода Монте-Карло при изучении вторичной эмиссии. Если не существует надежных теоретических и экспериментальных данных для 6т и Ет, они могут быть определены с помощью численных расчетов по этим формулам. Такой численный анализ проделан Лином и Джоем [52], которые получили данные для 44 элементов с Z = 3-83.
Основываясь на вышеприведенной теории, многие исследователи рассчитывали выход вторичных электронов в области низких энергий [49-53]. Резерфордовское сечение для упруго отраженных электронов при низких энергиях и для материалов с большим Z заменялось сечением Мотта, которое описывает энергии электронов в диапазоне 1-100 кэВ [49]. Энергия неупругих потерь электронов обычно аппроксимируется уравнением Бете
dE Z (1.166E\
м = -пжлё''{—)’ <22>
где dE/dS - энергия остановки частицы в материале; E - энергия налетающего электрона; Z - атомный номер; A - атомный вес; S - произведение плотности материала р [г/см3] на длину пробега электрона; J - средняя энергия ионизации материала, получаемая из эксперимента. Эта переменная включает неупругие столкновения и позволяет исследователю детально изучить энергию потерь, используя уравнение Бете. Экспериментальное значение J для AI2O3 составляет 145 эВ [51, 53]. Такие данные для ZnO и MgO отсутствуют.
Бергер и Зельцер [53] предложили эмпирическую формулу для области высоких энергий
58 5
J = 9.76Z + т^олэ • (23)
Для молекул типа ZnO может использоваться среднее значение атомных номеров входящих в них элементов:
Zav = 2 (-^Zn + Zo), (24)
которое дает JZnO = 219 эВ и JMgo = 135 эВ.
Аппроксимация Бете (22) была улучшена Зельцером [56] для низкоэнергетических электронов. В моделях метода Монте-Карло имеются два наиболее важных параметра (18). Первый это £ - средняя энергия генерации вторичных электронов, а второй -глубина слоя материала, из которого электрон может выйти на поверхность Л. Мы использовали значения £ = 20 эВ для AI2O3 [54]. Значение Л может быть относительно
большим в сравнении с металлами. Это объясняется малым коэффициентом поглоще-
ния низкоэнергетических электронов в изоляторе (например, Eg = 8 эВ для AI2O3). Канайя и др. [55] предложил теоретическую модель для расчета глубины выхода вторичных электронов в изоляторах и щелочных материалов. Основываясь на этом анализе, глубина выхода может быть выбрана как Л = 60 А для AI2O3. Такое значение было также использовано Джоем [54].
При высоких энергиях падающих электронов Epe > 1 МэВ выход вторичных электронов возрастает с увеличением угла падения в, отсчитываемого от нормали к поверхности (в < 80°):
5(в)= 50 cos-n в, (25)
а при больших углах (скользящий режим) он падает с увеличением глубины проникновения Л.
Показатель степени n = 1 применим для материалов с Z порядка 30 [7]. Для легких элементов n « 1.3, а для тяжелых - n « 0.8. Этот закон не применим для электронов с низкими и средними энергиями, которые типичны для МКП.
Ойя и Мори [58] изучали выход вторичных электронов при низких энергиях падающих - около 100 эВ и установили, что уравнение (25) неприменимо для низких энергий.
Коэфф. вторич. эмиссии
Рис. 10. Коэффициент вторичной эмиссии для электронов с энергиями 50-2000 эВ и углами 0о < вi < 89°
Энергетическую и угловую зависимости выхода вторичной эмиссии с поверхности Л12 Оз при углах падения 0о ^ 0^ ^ 89° демонстрируют рис. 10, 11. Здесь использовались следующие характеристики материала: Zav = 10; Лау = 20.39, где ау означает усредненное значение для молекулы, а плотность р = 3.9 г/см3.
Из-за эффекта зарядки плохо проводящей керамики падающими электронами теоретические предсказания для выхода вторичных электронов не всегда хорошо совпадают с экспериментом.
Проведем сравнение экспериментальных результатов [59] для Л12О3 с полученными нами с помощью численного моделирования.
Энергия, эВ
60 80 100
Угол падения, град.
Рис. 11. Вторичная эмиссия для пленки толщиной 5 нм ЛЬ Оз при падении электронов с энергиями Е = 50-2000 эВ и углами 0° < вi < 89° а - Е = 50-800 эВ; б - Е = 600-2000 эВ.
Доусон измерял выход вторичных электронов с поверхности А1203, облучая ее в импульсном режиме, чтобы быть уверенным, что если имеет место зарядка поверхности, то в промежутках между импульсами низкоэнергетических электронов наведенные заряды успевают релаксировать [59]. Хорошее соответствие между экспериментальными данными Доусона для полированной, неполированной и синтезированной поверхностей и численными результатами моделирования методом Монте-Карло [60, 61] демонстрирует рис. 12, что особенно важно, поскольку в области низких энергий теоретические данные отсутствуют.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
Энергия электронов, кэВ
Рис. 12. Сравнение результатов численного моделирования для Л12 О3 с экспериментальными
Одной из наиболее популярных моделей расчета времени релаксации наведенных поверхностных зарядов, создающих электрическое поле E, является дрейфоводиффузионная модель [62], включающая уравнения непрерывности для плотности электронов Ne, свободных Nh и связанных дырок Nh :
— V Je + Ga = DeANe + eNefie(Nh + iVc^ — Ne)/ (££o)> (26)
= DfrANh — eNh[lh{Nh + iVch — iVe)/ (££o) + Nch/ TAug ? (27)
Jch = DCh^NCh cNchl^ch(Nh ~\~ ^e)/(^o) -^ch'^Aug') (28)
где e - элементарный заряд; q - наведенный заряд; J с индексами - плотности токов вышеуказанных компонент; D - коэффициенты диффузии для них; ц - их мобильности; rAug - время Оже-релаксации; £ - диэлектрическая постоянная среды; £0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.
Коэффициент ударной ионизации описывается законом Чиновета [63]
Gu = ае — + — + Oich —. (29)
e \ e e )
Коэффициенты а ударной ионизации приведены в работе [64], а для нахождения
электрического поля необходимо решать уравнение Пуассона относительно потенциа-
ла ф
V2ф = e(Nh + Nch - Ne)/(££0), E = -Чф. (30)
dNe
dt
dNh
dt
dNch
dt
Эти модели изучались численно в работах Бибермана [65] и Инсепова [66]. Расчет времени релаксации наведенных зарядов проводился для МКП с диаметром каналов 20 мкм с напылением пленки композита ZnO + А12О3 толщиной 10 нм.
Для мобильности были приняты значения цн = 40 см2/с [67]. Коэффициент диффузии вычислялся из соотношения Эйнштейна Вн = ЦнкТ/в, где Т - температура, к - постоянная Больцмана. Все кинетические коэффициенты сильно зависят от процентного содержания компонент в композите (рис. 13). Результаты расчетов динамики релаксации зарядов [68] представлены на рис. 14, 15.
Проводимость о [1/(Ом • см)],
Рис. 13. Зависимость кинетических коэффициентов от содержания цинка в смеси Al2 Оз + ZnO
РО, (), 1/см3
100 200 300 400 500 600 700
100 200 300 400 500 600 700
г, А
Рис. 14. Динамика релаксации плотности дырок Объяснение в тексте.
Некоторые результаты численного моделирования. Результаты численного моделирования характеристик МКУ опубликованы в работах [33, 45, 46, 48, 60, 61, 68-74]. Здесь мы приведем пример оптимизационного расчета, целью которого было снижение эффекта насыщения. Как было указано выше, наиболее эффективным методом подавления насыщения является многослойное напыление на поверхности каналов, при котором внутренний слой содержит материал с высокой проводимостью для уменьшения времени релаксации наведенных зарядов, а внешний слой является эффективным вторичным эмиттером. Другой метод нейтрализации эффекта насыщения при коротких импульсных сигналах на входе МКП состоит в том, чтобы распределить поток вторичных электронов из канала с максимальным усилением в соседние каналы, делая тем самым более равномерную нагрузку на каждый канал. Эта цель достигается оптимизацией величины зазора между пластинами шевронной пары. На рис. 16 приведен пример траекторного анализа в МКП с диаметром канала 20 мкм, толщиной каждой пластины 1.2 мм, зазором между пластинами 15 мкм и напряжением, приложенным к сторонам пластин, равным 1.3 кВ. В этом случае коэффициент усиления равен М = 1.2 • 106 для времени релаксации зарядов т = 1 мкс и М = 1.5 • 105 для т = 1 мс.
Время релаксации, мкс
Коэфф. релаксации дырок, см2/с
Рис. 15. Зависимость времени релаксации наведенных зарядов от коэффициента диффузии в смеси А12 Оз + 2пО
Рис. 16. Траектории вторичных электронов в МКП шевронного типа с малым зазором между пластинами
Результаты подобного расчета для зазора между пластинами, равного 100 мкм, представлены на рис. 17. На нем показано вертикальное сечение реальной трехмерной задачи, тогда как на самом деле расположение микроканалов имеет гексагональную
Катод МКП1 Зазор МКП2 Анод
Рис. 17. Распределение потоков вторичных электронов при большом зазоре
симметрию, и поток из канала первой пластины распределяется по семи параллельным каналам второй пластины.
Здесь коэффициент усиления равен M = 3.42 • 106 для времени релаксации зарядов т =1 мкс и M = 1.13 • 106 для т = 1 мс. Как видно, увеличение зазора позволило значительно снизить эффект насыщения, а в дальнейшем оно приводит к уменьшению коэффициента усиления из-за возрастания доли потерь поступающего из первой пластины тока на боковых стенках зазора.
Заключение. Методы математического моделирования позволяют не только провести полный цикл проектирования микроканального усилителя от фотокатода до анода или экрана, но также являются единственным средством детального исследования физических процессов внутри микроканалов. Эти методы предоставляют возможность нахождения оптимальных соотношений между свойствами используемых материалов, геометрическими и физическими параметрами МКУ, с одной стороны, и выходными характеристиками усилителей - с другой. Численные расчеты способны прогнозировать свойства усилителей для тех режимов работы и материалов, исследование которых экспериментальными методами слишком дороги или невозможны ввиду отсутствия измерительной аппаратуры нужной точности.
Литература
1. Laprade B. N. Development of an ultrasmall-pore microchannel plate for space sciences application // Proc. SPIE. 2008. 1996. P. 72-85.
2. Siegmund O. W. Microchannel plate imaging detector technologies for UV instriments // URL: www.stsci.edu/stsci/meetings/space_detectors/ossyrew.htm.
3. Tremsin A. S., Mildner F. R., Feller W. B., Downing R. G. Very Compact High Performance Microchannel Plate Thermal Neutron Collimators // IEEE Nuclear Science Symp. and Medical Imaging Conf. Portland, Oregon, Oct. 2003. P. 1143-1147.
4. Tremsin A. S. Efficiency optimization of microchannel plate neutron imaging detectors // Nuclear Instruments and Methods A. 1988. Vol. 539(1-2). P. 278-311.
5. Coeck S., Beck M., Delaure B. e. a. Microchannel plate responce to high-intensity ion bunches // Nuclear Instruments and Methods A. 2006. Vol. 557. P. 516-522.
6. Kolousek G., Adlassnig K.-P., Bogl K. e. a. An Overview of CADIAG-4: A Medical Diagnostic and Therapeutic Consultation System // Proc. Annu. Symp. Comput. Appl. Med. Care, Oct. 28-Nov. 1, 1995. New Orlean, Louisiana, 1995. P. 963-966.
7. Shimanskaya А. V., Evdokimov V. N. Effect of parameters of multidyne screen system on image quality // Sov. J. Opt. Technol. July 1985. Vol. 52, N 7. P. 393-394.
8. Hoenderken T. H., Hagen C. W., Barth J. E. e. a. Influence of the microchannel plate and anode gap parameters on the spatial resolution of an image intensifier // J. Vac. Sci. Technol. B. May/June 2001. Vol. 19, N 3. P. 843-850.
9. Кравчук Г. С., Петрова И. Р., Сень Ю. В. и др. Оптимизация параметров электроннооптических систем с каналовым усилением яркости // Оптико-механическая промышленность. 1988. Вып. 7. С. 19-20.
10. Петрова И. Р., Флегонтов Ю. А. Исследование характеристик каналового умножителя при усилении электронного потока в присутствии магнитного поля // Оптико-механическая промышленность. 1988. Вып. 4. С. 16-19.
11. Кравчук Г. С., Леонов Н. Б., Сень Ю. В., Тютиков А. М. Физические причины формирования cетки на электронном изображении МКП и методика исследования явления // Оптико-механическая промышленность. 1988. Вып. 5. С. 6-9.
12. Tremsin A. S., Lockwood H. F., Beulieu D. R. e. a. 3D microscopic model of electron amplification in microchannel amplifiers for maskless lithography // Physics Procedia. 2008. Vol. 1. P. 565-572.
13. Shiltsev V. New possibilities for beam-beam and space-charge compensation: MCP gun and electron columns // Proc. PAC07. Albuquerque, New Mexico, USA. 2007. P. 1159-1160.
14. Guest A. J. Un modele math ematique pour l’ etude par ordinateur du fonctionnement d’une galette de microcanaux // Acta Electronica. 1971. Vol. 14, N 1. P. 79-97.
15. Guest A. J. Modeling microchannel plate performance in thin flat CRTs // SID Proc. April 1989. Vol. 29, N 3. P. 193-196.
16. Wiza J. L. Microchannel plate detectors // Nuclear Instruments and Methods A. 1979. Vol. 162. P. 587-601.
17. Eberhardt E. H. Gain model for microchannel plates // Applied Optics. May 1979. Vol. 18, N 9. P. 1418-1423.
18. Грунтман М. А. Координатно-чувствительные детекторы на основе микроканальных пластин (обзор) // Приборы и техника эксперимента. 1984. Вып. 1. С. 14-29.
19. Достижения в технике передачи и воспроизведения изображений / под ред. Б. Койдана; пер. с англ. под ред. Н. И. Богатикова. М.: Мир, Т. 1. 1978. 335 с. (Advanced in image picking and dysplay. Vol. 1)
20. Giudicotti L. Analytical, stady-state model of gain saturation in channel electron multipliers // Nuclear Instruments and Methods A. 2002. Vol. 480. P. 670-679.
21. Shimanskaya A. Computational modeling of stochastic processes in electron amplifiers // J. of Computational Electronics. 2010. Vol. 9. P. 93-102.
22. Ivanov V. The Code “Micro Channel Plate Simulator”. User’s Guide. Muons, Inc., 2009 // URL: http://www.muonsinc.com.
23. Choi Y. S., Kim J. M.. Monte Carlo Simulations for Tilted-Channel Electron Multipliers // IEEE Trans. Electron Devices. June 2000. Vol. 47, N 6. P. 1293-1296.
24. Shikhalev P. M, Ducote J. L., Xu T., Molloi S. Quantum efficiency of the MCP Detector: Monte Carlo Calculations // IEEE Trans Nucl. Sci. October 2005. Vol. 52, N 5. P. 1257-1262.
25. Tutikov A. M.,Flegontov Yu. A., Evdokimov V. N., Shimanskaya A. V. Optimization of channel multiplier in terms of noise factor // Sov. J. Opt. Technol. July 1991. Vol. 58, N 7. P. 392-395.
26. Chung M. S., Everhart T. E. Simple calculation of energy distribution of low-energy secondary electrons emitted from metals under electron bombardment // J. of Applied Physics. February 1974. Vol. 45, N 2. P. 707-709.
27. Бронштейн И. М., Евдокимов А. В., Стожаров В. М., Тютиков А. М. Распределение по углам вылета и энергии электронов, рассеянных полупроводниковыми стеклами // Радиотехника и электроника. 1978. T. 23, № 6. С. 1315-1317.
28. Чуйко Г., Якобсон А. М. Основные характеристики обогащенного свинцом стекла, как материала для вторично-электронных умножителей с непрерывным динодом // Радиотехника и электроника. 1966. T. 11, № 9. C. 1682-1685.
29. Ito M., Kume H., Oba K. Computer analysis of the timing properties in micro channel plate photomultiplier tubes // IEEE Transactions on Nuclear Sciences. February 1984. Vol. NS-31, N 1. P. 408410.
30. Lye R. G., Dekker A. J. Theory of Secondary Emission // Phys. Review. August 1957. Vol. 107, N 4. P. 977-851.
31. Agarwal B. K. Variation of Secondary Emission with Primary Electron Energy // Proc. of Physical Society. 1958. Vol. 71, N 5. P. 851-852.
32. Rodney J., Vaughan M. A New Formula for Secondary Emission Yield // IEEE Transactions on Electric Devices. September 1989. Vol. 36, N 9. P. 1963-1967.
33. Ivanov V., Insepov Z., Antipov S. Gain and Time Resolution Simulations in Saturated MCP Pores // Numerical Instruments and Methods A. 2010. Vol. 52549. P. 02291-6.
34. Liu P.-l., Williams K. J., Frankel M. Y., Esman R. D. Saturation Characteristics of Fast Photodetectors // IEEE Transactions on Microvawe Theory and Technuqie. July 1999. Vol. 47, N 7. P. 12971303.
35. Landen O. L., Bell P. M., Oertel J. A. e. a. Gain uniformity, linearyti, saturation and depletion in gated microchannel-plate z-ray framing cameras // Proc. SPIE. October 1993. Vol. 2002. P. 2-13.
36. Jani P., Vamos L., Nemes T. Timing resolution (FWHM) of some photon counting detectors and electronic circuitry // Measurement Science Technology. 2007. Vol. 18. P. 155-160.
37. Bashkeev A. A., Dudnikov V. G. Characteristics of Microchannel Plates with Straight Channels in Saturation // Pharmaceutical Chemistry Journal. 1990. Vol. 32, N 4. P. 818-822.
38. Giudicitti L. Analytical, steady-state model of gain saturation in channel electron multiplier // Nuclear Instruments and Methods A. 2002. Vol. 480. P. 670-679.
39. Price G. J., Fraser G. W. Calculation of the output charge cloud from a microchannel plate // Nuclear Instruments and Methods A. 2001. Vol. 474. P. 188-196.
40. Fraser G. W., Pearson J. P., Smith G. C. e. a. The gain characteristics of microchannel plates for z-ray photon counting // IEEE Transactions on Nuclear Science. February 1963. Vol. NS-30, N 2. P. 455-460.
41. Shikhalev P. M. Saturation model for secondary electron multiplier detectors // Nuclear Instruments and Methods A. 1999. Vol. 420. P. 202-212.
42. Беркин А. Б., Васильев В. В. Новый подход к моделированию усиления тока в канале мик-роканальной пластины // Письма в Журн. техн. физики. 2007. T. 32, № 15. С. 75-79.
43. Беркин А. Б., Васильев В. В. Математическое моделирование режима усиления импульсного тока в канале микроканальной пластины // Письма в Журн. техн. физики. 2008. T. 78, № 2. С. 127-129.
44. Беркин А. Б., Васильев В. В. Математическая модель режима усиления постоянного тока в канале микроканальной пластины // Письма в Журн. техн. физики. 2008. T. 78, № 2. С. 130-133.
45. Ivanov V., Kulikov Yu. Computer Models for Electron Optical Systems with Microchannel Plates // IX Seminar on Theoretical and Applied Electron and Ion Optics. 27-29 May, 2009. Moscow, 2009. P. 12-15.
46. Ivanov V. Computational models for MCP Simulations // Proc. of X Intern. Comput. Accelerator Physics Conf. ICAP’09, Aug.30-Sept. 4, 2009. San Francisco, 2009. P. 1136-1139.
47. Gatti E., Oba K., Rehak P. Study of the Electric Field Inside Microchannel Plate Multiplier // IEEE Transactions on Nuclear Science. February 1983. Vol. NS-30, N 1. P. 461-468.
48. Ivanov V. Numerical Models in Simulation of Large-area Fast Photo Detectors // XVI Intern. Workshop: Beam Dynamics and Optimization, June 28-30, 2010. St. Petersburg, Russia, 2010. P. 167-170.
49. Reimer L., Stelter D. FORTRAN 77 Monte-Carlo program for minicomputers using Mott crosssection // Scanning. 1986. Vol. 8. P. 265-277.
50. Ishimura S., Aramata M., Shimizu R. Monte-Carlo calculation approach to quantitative Auger electron spectroscopy // J. of Applied Physics. 1980. Vol. 51. P. 2853-2860.
50. Joy D. C. Monte Carlo modeling for electron microscopy and microanalysis. Oxford: University Press, 1995. 368 p.
51. Lin Y, Joy D. C. A new examination of secondary electron yield data // Surface Interface Analysis. 2005. Vol. 37. P. 895-900.
52. Joy D. C. A model for calculating secondary and backscattering electron yields // J. of Microscopy. 1987. Vol. 147. P. 51-64.
53. Joy D. C. Private communication, 2009.
54. Kanaya K., Ono S., Ishigaki F. Secondary electron emission from insulators // J. of Physics. 1978. Vol. D11. P. 2425-2437.
55. Seiler H. Secondary electron emission in the scanning electron microscope // J. of Applied Physics. 1983. Vol. 54. P. R1-R18.
56. Young J. R. Penetration of electrons in Al2O3-films // Phys. Review. 1956. Vol. 103. P. 292-293.
57. Lane R. O., Zaffarano D. I. Transmission of 0-40 keV electrons by thin films with application to beta-ray spectroscopy // Phys. Review. 1954. Vol. 94. P. 960-964.
58. Ohya K., Mori I. Influence of backscattered particles on angular dependence of secondary electron emission from Copper // J. of Phys. Soc. Japan. 1990. Vol. 59. P. 1506-1517.
59. Dawson P. H. Secondary electron emission yield with primary electron energy // Proc. of Physical Society. 1958. Vol. 71. P. 851-852.
60. Insepov Z., Ivanov V. Comparison of Candidate Secondary Electron Emission Materials // 7th Intern. Workshop on Ring Imaging Cherenkov Detectors, May 3-7, 2010. Cassis, Provence, France. Numerical Instruments and Methods B. 2010. Vol. 268. P. 3315-3320.
61. Insepov Z., Ivanov V., Jokela S. J. e. a. Comparison of Secondary Electron Emission Simulation
to Experiment // Numerical Instruments and Methods A. 2010. Vol. 52549. P. 1793-1798.
62. Marshak A. H., Van Vliet C. M. Electrical current and carrier density in degenerate materials with
nonuniform band structure // Proc. of IEEE. 1984. Vol. 72. P. 148-164.
63. Chynoweth A. G. Uniform Silicon p-n junctions. II. Ionization rates for electrons // J. of Appl.
Physics. 1960. Vol. 31. P. 1161-1165.
64. Van Overstraeten R., De Man H. Measurement of the lonization Rates in diffused. Silicon p-n Junctions // Solid State Electronics. 1970. Vol. 13. P. 583-608.
65. Biberman L. M., Yakubov I. T., Vorob’ev V. S. Kinetics of collisional-radiation recombination and ionization in low-temperature plasma // Proc. IEEE. 1972. Vol. 59. P. 555-572.
66. Insepov Z., Terasawa M., Takayama K. Surface erosion and modification by highly charged ions // Phys. Review. 2008. Vol. A77. P. 062901.
67. Ruske F., Roczen M., Lee K. e. a. Improved electrical transport in Al-doped zinc oxide by thermal treatment // J. of Appl. Physics. 2010. Vol. 107. P. 013708.
68. Insepov Z., Ivanov V., Elam J. e. a. Charge relaxation and gain depletion for candidate secondary electron emission materials // Nuclear Science Simposium. Oct. 30-Nov. 6, Knoxville, Tennessee, 2010.
69. Ivanov V., Insepov Z. MCP Simulations: State of the Art // Pico-Second Workshop VII. The Development of Large-Area Pico-second Photo-Devices. February 26-28, 2009. Argonne National Lab., 2009.
70. Ivanov V. Simulations of Conventional and Unconventional Photo-cathode Geometries // 1st Workshop on Photo-cathodes: 300-500 nm. 20-21 July, 2009. Chicago, 2009.
71. Ivanov V., Roberts T. J., Abrams R., Frisch H. Large Area Photo-detectors with millimeter and picosecond Resolution: Simulations // Proc. PAC’09, 4-8 May. Vancouver, Canada, 2009. P. 1240-1242.
72. Ivanov V., Abrams R., Roberts T. J. e. a. Review: The Developments of Large Area Fast PhotoDetectors //IX Seminar on Theoretical and Applied Electron and Ion Optics, 27-29 May. Moscow, 2009.
73. Insepov Z., Ivanov V., Jokela S., Wetstein M. Comparison of back-scattering properties of electron emission materials // PAC’11. March 28-April 1, 2011. New York, USA, 2011.
74. Wetstein M., Adams B., Chollett M., Ivanov V. e. a. Integration-Level Testing of Sub-Nanosecond Microchannel Plate Detector for Use in Time-of-Flight HEP Aplications // 2nd Intern. Conf. on Technology and Instrumentation in Particle Physics. 9-14 June 2011. Chicago, IL, USA, 2011.
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.
Статья принята к печати 19 мая 2011 г.
