Быстрый последовательный целочисленный делитель по основанию 4 Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Богатырев Владимир Анатольевич

Башкова Светлана Андреевна

Беззубов Владимир Федорович

Полякова Анастасия Вячеславовна

Котельникова Елена Юрьевна

Голубев Иван Юрьевич

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, Vladimir.bogatyrev@gmail.com

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студентка, sveta.bashkova@gmail.com

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, bezzubov-vf@yandex.ru

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, axel.denielt@gmail.com

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, elka842@yandex.ru

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, golubev@mail.ru

УДК 004.315.5

БЫСТРЫЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ

ПО ОСНОВАНИЮ 4

А. С. Румянцев

Разработан однотактовый блок нормализации делителя и делимого, занимающий немногим большую площадь по сравнению с последовательными (многотактовыми) блоками нормализации. Предложен метод определения ситуации переполнения при целочисленном знаковом и беззнаковом делении, позволяющий минимизировать площадь, занимаемую аппаратными ресурсами, и снизить их энергопотребление. Приведено сравнение различных архитектурных вариантов конвейеризации устройства делителя по основанию 4, которые используют разработанный одно-тактовый блок нормализации и предложенный метод определения ситуации переполнения.

Ключевые слова: целочисленное деление по основанию 4, нормализация делителя и делимого, переполнение при целочисленном знаковом и беззнаковом делении.

Введение

Целочисленное деление является одной из наиболее затратных операций в современных процессорах, так как деление обладает самым длительным временем выполнения среди всех базовых целочисленных арифметических операций [1]. Хотя операция деления встречается не так часто, как операции сложения и умножения, есть множество важных областей, которые используют эту операцию: системы рендеринга, искусственный интеллект, алгоритмы сжатия данных и т.д. [2]. Наиболее часто используется деление на основе повторов [3], так как деление на основе последовательного приближения [4] в большинстве случаев предполагает использование однотактового умножителя или даже нескольких однотак-товых умножителей. Использование большего основания при делении на основе повторов является очевидным способом ускорения операции деления [5], но этот подход увеличивает сложность аппаратной реализации и, как следствие, приводит к увеличению занимаемой площади, энергопотреблению и соотношения цена/производительность. На сегодняшний день представлено множество подходов к реализации деления на больших основаниях [6], но некоторые аспекты реализации все еще остаются не до конца исследованными, например, эффективный по площади и энергопотреблению метод определения ситуации переполнения при делении.

В настоящей работе разработан однотактовый блок нормализации делимого и делителя и предложен метод определения ситуации переполнения при делении для использования в каноническом устройстве делителя для 64/32-, 32/16- и 16/8-битных беззнаковых и знаковых целых чисел по основанию 4 (radix-4) [2, 3]. Разработанный блок нормализации позволяет выполнять нормализацию делимого и делителя за один такт, занимая при этом небольшую площадь в сравнении с последовательными блоками нормализации [7]. Предлагаемый метод определения ситуации переполнения при делении позволяет минимизировать площадь, занимаемую аппаратными ресурсами, и снизить их энергопотребление по сравнению с широко используемым на данный момент стандартным подходом [2, 6]. Кроме того, в работе приведено сравнение различных вариантов конвейеризации устройства делителя по основанию 4. Все рассмотренные варианты реализации устройства деления были верифицированы на корректность и синтезированы на библиотеку элементов TSMC LP120a 40 нм с использованием Synopsys DC и ICC.

Однотактовый блок нормализации делимого и делителя

Блок нормализации является одним из самых низкоскоростных блоков в критических путях устройств деления [3]. При использовании последовательных блоков нормализации среднее время нормализации будет значительным [7], но занимаемая площадь окажется минимальной. Разработанный блок нормализации является однотактовым, занимает небольшую площадь по сравнению с последовательным блоком нормализации и позволяет определить случай равенства делителя нулю.

Пусть х, d, q, rem обозначают делимое, делитель, частное и остаток от деления соответственно: х = q * d + rem . (1)

В формуле (1) и в последующих формулах знак «*» означает скалярное умножение, если не оговорено иное.

При реализации делителя на основе повторов с использованием таблицы выбора цифры частного необходимо, чтобы делимое и делитель были нормализованы [7]. Для нормализации произвольных делимых и делителей необходимо определить значение коэффициента нормализации Z для получения нормализованного делителя (d*Q. Тогда, после нормализации делителя и делимого, (1) приобретет вид

х * Q = q *(d * Q) + rem * Q, |rem| * Q < |d| * Q -Q. (2)

Основными задачами блока нормализации являются:

- нахождение позиции ведущей «1» в делителе;

- сдвиг делителя влево на определенную величину, чтобы ведущая «1» оказалась в позиции наибольшего значащего бита (2). Делимое сдвигается на соответствующую величину.

Архитектура разработанного однотактового блока нормализации с определением равенства нулю делителя показана на рис. 1 для 64-битного делимого и 32-битного делителя.

Рис. 1. Архитектура однотактового блока нормализации с определением равенства нулю делителя

Метод определения ситуации переполнения при делении

В рассматриваемом в работе делителе делимое (2N) больше частного (N) в два раза. При этом делитель обладает двумя режимами работы:

- беззнаковое деление: 0 < х < 22" -1;0 < d < 2n -1;

- знаковое деление: - 22n-1 < х < 22n-1 - 1;-2n-1 < d < 2n-1 -1.

Довольно часто деление двух операндов, делимого и делителя, приводит к ситуации переполнения. В общем случае, с учетом беззнакового и знакового делений, переполнение происходит в следующих случаях.

1. Делитель d равен нулю. Заметим, что данная ситуация определяется в разработанном блоке нормализации делимого и делителя. 2.Частное q и/или остаток rem выходят за следующие диапазоны:

- при беззнаковом делении

0 < q < 2n-1; (3)

0 < rem < d-1; (4)

- при знаковом делении

- 2n-1 < q < 2n-1 -1; (5)

-|d| +1 < rem < |d -1. (6)

Воспользовавшись формулами (1), (3-6), можно перейти к стандартному принципу определения ситуации переполнения при делении беззнаковых и знаковых чисел [2, 6].

1. Делитель d равен нулю.

2. Не выполняются следующие условия:

- при беззнаковом делении х < d *2n

Пх| < |d| *2n-1, sign(x) = sign(d);

- при знаковом делении < . . .

УХ < |d| *2n-1 + |d|, sign(x) Ф sign(d).

Рассмотренный выше вариант определения ситуации переполнения при делении имеет серьезные недостатки, которые значительно увеличивают занимаемую аппаратными ресурсами площадь и критический путь устройства делителя:

- необходимость получения модуля делимого х, который в разработанном устройстве деления может достигать размера в 64 бита;

- сравнение абсолютного значения делимого по отношению к абсолютному значению сдвинутого делителя. В разработанном устройстве деления для этого потребуется использование полнофункционального 64-битного сумматора;

- при несовпадении знаков делимого и делителя необходимо будет сравнить абсолютное значение делимого и суммы абсолютного значения сдвинутого делителя с его абсолютным значением. В некоторых ситуациях для этого потребуется использование полнофункционального 32-битного сумматора.

В разработанном методе при делении используется иной подход к определению ситуации переполнения, в котором отсутствуют приведенные недостатки. Делимое х разделяется на две части Y и Z, положение которых зависит от типа деления: беззнаковое или знаковое (рис. 2).

2n-1

Беззнаковое делимое (х<=2

n n -1

Y Знаковое делимое 2n-1 n -2n-1<= x<=2n-1-1) n-1 n-2 0

Y

Z

нения:

Рис. 2. Разделение делимого на две части (У и Т) В дальнейшем, в зависимости от знаков делимого х и делителя ё, определяется ситуация перепол-

х > 0, ё > 0 ^ К = У - ё

1. ПК < 0, нет переполнения [К > 0, переполнение

2.

х < 0, ё > 0 ^ К = инвертирование (У) - ё К < 0, нет переполнения

К = 0, специальный случай. Специальный случай : К > 0, переполнение

Z + d > 0, нет переполнения Z + d < 0, переполнение

0

3.

х > 0, ё < 0 ^ К = У + ё К < 0, нет переполнения

К = 0, специальный случай. Специальный случай : К > 0, переполнение

2 + ё < 0, нет переполнения 2 + ё > 0, переполнение

4.

х < 0, а < 0 ^ к = у - а

К > 0, нет переполнения

К = 0, специальный случай. Специальный случай :

2 Ф 0, нет переполнения

[2 = 0, переполнение

К < 0, переполнение

На рис. 3 показана зависимость площади и потребляемой мощности от частоты тактирования устройства делителя на 40 нм LP120a в библиотеке элементов TSMC для стандартного метода и предложенного метода определения ситуации переполнения при делении.

3900

3

о -

250 333

Частота, МГц

400

250 333 400 Частота, МГц б

Рис. 3. Зависимость площади (а) и потребляемой мощности (б) делителя от частоты тактирования: 1 - стандартный метод, 2 - разработанный метод

Как видно из рис. 3, аппаратная реализация предложенного метод определения ситуации переполнения оказывается лучше, чем стандартный подход, занимая в среднем на 5,1% меньше площади и потребляя в среднем на 7,8% меньше мощности.

Анализ воздействия конвейеризации на устройство делителя

На рис. 4 приведена функциональная блок-схема последовательности стадий работы рассматриваемого устройства делителя.

Рис. 4. Функциональная блок-схема стадий работы разработанного устройства деления

а

Рассмотрим различные варианты конвейеризации стадий устройства деления.

1. Стадия 1 занимает два такта, а стадия 3 - один такт.

2. Стадия 1 и стадия 3 занимают один такт.

3. Стадия 1 занимает 1 такт, а стадия 3 комбинационно объединяется со стадией 2.

4. Стадии 1 и 3 объединяются комбинационно вместе со стадией 2.

На рис. 5 показана зависимость площади и потребляемой мощности от частоты тактирования устройства делителя на 40 нм ЬР120а в библиотеке элементов Т8МС для различных вариантов конвейеризации. Рис. 6 отображает время деления чисел разной разрядности на различных вариантах исполнения устройства деления.

6000

4000

3

о

Й

2000

250 333

Частота, МГц

400

250 333 400 Частота, МГц

б

Рис. 5. Зависимость площади (а) и потребляемой мощности (б) от частоты тактирования делителя: 1 - вариант №1; 2 - вариант №2; 3 - вариант №3; 4 - вариант № 4

и I

и о,

са

250 333 400 Частота, МГц

I

и

С1

а

250 333 400 Частота, МГц б

а

а

Рис. 6. Зависимость времени деления 16 на 8-битные числа (а) и 64 на 32-битные числа (б) от частоты

(обозначения те же)

Из рис. 5, 6 видно, что чем более конвейеризованным становится устройство делителя, тем оно с повышением частоты занимает меньшую площадь, потребляет меньшую мощность и укладывается в ограничения целевой библиотеки элементов. Однако при этом возрастает количество тактов, необходимое для завершения операции деления. С позиций эффективности по занимаемой площади, энергопотреблению и возможности масштабирования частоты тактирования вариант № 2 конвейеризации устройства делителя выглядит более предпочтительным.

Заключение

В работе представлены новые подходы к реализации отдельных подсистем быстрого последовательного целочисленного делителя по основанию 4: однотактового блока нормализации делимого и делителя и блока определения ситуации переполнения. Разработанный блок нормализации делимого и делителя позволяет выполнять нормализацию и определение ситуации равенства нулю делителя за один такт, позволяя уменьшить время выполнения операции деления на 16% и увеличивая занимаемую площадь на 1,7% по сравнению с использованием последовательных блоков нормализации [7]. Результаты синтеза показывают, что аппаратная реализация предложенного метода определения ситуации переполнения при делении позволяет в среднем уменьшить занимаемую площадь на 5,1% и потребляемую мощность на 7,8% по сравнению с широко используемым стандартным подходом [2, 6].

Кроме того, был проведен анализ зависимости степени конвейеризации устройства делителя, использующего предложенные подходы, от занимаемой площади и потребляемой мощности. На основе произведенного сравнения можно осуществлять выбор варианта исполнения устройства деления в зависимости от производительности операции деления и планируемой частоты тактирования.

Литература

1. Intel Corp. Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual // Intel Press. - 2010. - V. 1. -540 c.

2. Omondi R. Computer Arithmetic Systems. - Prentice Hall,1994. - 520 c.

3. Ercegovac M.D. and T. Lang. Division and square root-digit-recurrence algorithms and implementations. -Kluwer Academic Publishers, 1994. - 230 c.

4. Hwang K. Computer arithmetic: principles, architectures, and designs. - John Wiley & Sons. - 1979. - 250 c.

5. Carter T.M. and J.E. Robertson. Radix-16 signed-digit division // IEEE Trans. Computers. - 1990. - V. 12. -№ 39. - С. 1424-1433.

6. Ercegovac M.D. and P. Montuschi Very high radix division with prescaling and selection by rouding // IEEE Trans. Computers. - 1994. - V. 6. - № 43. - С. 909-917.

7. Hayes J.P. Computer architecture and organization. - McGraw-Hill, 1988. - 502 c.

Румянцев Александр Сергеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, аспирант, dark-streamray@gmail. com