Быстрые алгоритмы многомерного ДПФ вещественного сигнала с представлением данных в коммутативно-ассоциативных алгебрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ МНОГОМЕРНОГО ДПФ ВЕЩЕСТВЕННОГО СИГНАЛА С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ДАННЫХ В КОММУТАТИВНО-АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ

М.В. Алиев

Самарский государственный аэрокосмический университет, Институт систем обработки изображений РАН

Введение

Целью настоящей работы является разработка быстрых алгоритмов вычисления так называемых «гиперкомплексных» дискретных преобразований Фурье (ДПФ) и анализ их вычислительных характеристик.

Интерес к многомерному преобразованию

N-1

^ (,..., Ж, )= X / ("1>-> "п )(т,П) (1)

=0

- аналогу классического ДПФ, где

=п<л, wN = 1,

к=1

(m, n) = m1n1

+... + mdn

d"d

а корни wk N -й степени лежат в различных подалгебрах, изоморфных С, некоторой многомерной алгебры, наметился в последнее десятилетие.

Впервые такие преобразования в алгебре кватернионов были введены в [1], [2], как вспомогательные преобразования, способствующие снижению вычислительной сложности некоторых алгоритмов двумерного ДПФ. Различные версии алгоритмов этого класса рассмотрены в [3], [4].

Как самостоятельное преобразование, полезное при решении «анизотропных» задач обработки изображений, преобразование (1) для й = 2 рассматривалось в [5].

К настоящему времени различным теоретическим аспектам гиперкомплексных ДПФ и их практическим приложениям посвящено значительное число работ [6]-[15].

Настоящая работа посвящена, в основном, оптимизации выбора гиперкомплексной алгебры и структуры алгоритмов с точки зрения минимизации их мультипликативной сложности.

1. Коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры

Так как коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры не относятся к часто используемым в информатике алгебраическим структурам, то в настоящем разделе работы рассмотрим их основные свойства.

Пусть V есть й -мерное пространство над Ж. с базисом е1, е2, ...ей .

Определение 1. Коммутативно-ассоциативной алгеброй В, будем называть 2й -мерную алгебру над Ж с базисом:

л = Ш

= 0,1 ; I = {1,.,d}

1eI

где е0 = 1, е] = е1. Определим умножения базисных элементов пространства V :

еге} = е]е1, е2 = Д, i, j е I. (3)

Связывая с двоичными наборами индексов (аъ...,аЛ) целые числа t е T , где T = {о,1,...,2d-l}

(4)

t = а1 + а2 2 +... +ай 2й \ а^ е {0,1} можем занумеровать элементы множества Л :

Е = ^ . . (5)

Произвольный элемент 8 е Вй записывается в виде

8 = #о Ео + . + - А" -1 = X ^

е . (6)

Операция сложения в алгебре Вй осуществляется покомпонетно. Пусть

8 = Х#А, И = ХпЛ, 8* е Бй , (7)

teT

teT

тогда

(g + h ) = !(£ + П) Et .

(8)

Нетрудно проверить, что алгебра Вй является коммутативной группой относительно операции сложения.

Операция умножения элементов Вй, представленных в форме (6), определяется правилом умножения базисных элементов пространства V . Утверждение следующей леммы позволяет указать явную связь между номерами (4) сомножителей и номером элемента, являющегося произведением

Лемма 1. Пусть © - поразрядное сложение по модулю 2:

© :T х T ^ T.

t©т = Z(( +а')mod2)21 -1 , (9)

где

t = (а,...,а), т = (а],. ad);

t,т e T; ai ,a' = 0,1; i e I,

(10)

функция Иг : Т х Т ^ {0,1} (битовая конъюнкция) определена равенством:

И (Г,т) = а .аг е I, (11)

а функция Т : Т х Т ^{-1,1} равенством:

^М=ПДА(т), в = {-1,1} •

(12)

Тогда правила умножения базисных элементов Л можно записать в следующем виде:

Е/Ег=Т(/,т)Е/©т, V/,т е Т

(13)

Доказательство. Пусть, согласно (4),

Et=па, ет=пс?,

iel

iel

тогда

Et • Er=п sa w = Пе<

а+а ± 2hi (а а)

iel iel iel

Учитывая, что а + a' - 2h (а,а'). = а + a' mod2,

у II I \ I у / i it у

получаем

W?h(аа)Et•

iel

Таким образом, умножение произвольных элементов g, h e Bd можно записать в виде матричного произведения:

h • g = H • G ,

(14)

где З - матрица размера 2d х 2d

12" x2d

Н = ||п е/Т(/, / ©/) а О - вектор-столбец

С = (#о,-^-)Т .

Так как Т (/, / ©г) = ±1, то умножения на Т (/, / ©г) можно не учитывать. Поэтому вычисление произведения (14) требует не более 22й вещественных умножений и 2й (2й -1) вещественных сложений.

Из определения 1 непосредственно не следует единственность алгебры В>й, с базисом Л и умножением, порожденным соотношением (3).

Лемма 2. Если для некоторого I е I справед-

ливо

равенство р1 = -1, то X Ef = 0.

Доказательство. Разобьем сумму X Е2 на две

/еТ

суммы, таким образом, что в одну будут входить

2

элемент е1 , а в другую нет, тогда получим:

X Е2 = X Е + X Е2 =(1 + в) X Е = о

/еТ /еТ /еТ /еТ

Н1 (/,1 )*0 Н1 (/,1 )=0 к (/,1 )=0

Следствие 1. Если существует / е Т такое, что Е^ =-1, тогда в алгебре Вй содержится ровно 2й-1 элементов, квадрат которых равен (-1).

Коммутативно-ассоциативную алгебру Вй, в которой Д = 1 для каждого г е I, будем обозначать

В+.

Покажем, что на самом деле структура гиперкомплексной алгебры зависит не от количества базисных элементов, квадраты которых равны (-1), а только от существования таких элементов.

Теорема 1. Для любого й > 1 существует

только две неизоморфных 2й -мерных алгебры с операциями, определенными соотношениями (8),

(13):

= К + К + ... + к

ч_v_'

2d

= С + С + ... + С,

ч_^^_' -

d

(15)

(16)

где знак + означает прямую сумму алгебр.

Доказательство. Из Леммы 2 следует, что существует, по крайней мере, один базисный элемент

е1 =-1, где I е I, пространства V (без ограничения общности можно считать, что I = 1). В базисе Л ему соответствует элемент Е1 . Выберем еще

один элемент , такой что Е/ = 1 и к (/, 1) = 0 . Такой элемент существует, т.к. либо существует в = 1, либо можно взять комбинацию е1ек = Е1 ©к,

где в =-1, Рк =-1, 1 * 1,к * 1. Пусть Ик (/, к) = 1,

тогда любой элемент к е В- можно представить в следующем виде:

к = X ПЕг = X ПЕг +

.еТ геТ

к. (г,к )*0

X Y(t, i)nElEt

ieT

V hi (i,k)=0

Et = a + bEt,

где а, Ь е Вй-1.

Таким образом, непосредственно проверяется, что отображение © : Вй ^ Вй-1 + (Ж. + К), задаваемое следующим правилом

к = а+/Е( ^ [а+у,а + Т(/,/)у)е Вй-1 + (К + К),

является изоморфизмом. Применяя последовательно © к В--1 и так далее, несложной индукцией получаем

В+ = В- + Д + К + ... + Д,

2(й-1)

а так как

В- = С, то, следовательно:

В- = С + С + ... + С.

й

Соотношение (15) доказывается аналогично. Таким образом, утверждения теоремы доказаны.

Поэтому везде далее под алгеброй Вй- будем понимать алгебру со следующим соотношением для умножений базисных элементов V :

^ =-1,

е = 1 г = 2, й.

(17)

Легко проверить, что для произвольного номера I, где I е Т, и операция © есть поразрядное сложение по модулю 2, верны равенства:

0©0 = I©I, I©0 = 0©I, (18)

а для функции Т и произвольного номера I е Т , справедливы равенства:

Т(0,0) = Т(0,1) = Т(,0) = Р;Т((,I), (19)

(20)

Т(0,0 © 0 ) = Д Т((, I © 0 ) = = Т(0,1 © 0 ) = Т(( ,0 © 0 ).

Лемма 3. Пусть В есть одномерная подалгебра алгебры Вй , порожденная подпространством

V с V , с базисом {е} для любого I е I, тогда матрица умножения элементов g, к е В примет следующий вид:

к • g = # (0-П )-П1 (#о + Рг#1 Л (21)

[ #0 (п -П) + П (#0 + #1) /

Доказательство. С учетом соотношения (20) матрица умножения элементов g, к примет следующий вид:

к --С ПК!

после очевидных преобразований получим:

# (о -П1 ) + П (#0 + в ) ч #0 (п-П) + П (#0 +#1) .у

к • g =

Из соотношений (18),(19),(20) и Леммы 3 следует теорема.

Теорема 2. Пусть

g = #0 +#1Е1, к = По + П Е1, g, к 1

где

#о, #l, П П е Вй тогда операцию умножения к • g можно осуществить за 3 умножения и 3 сложения матриц размерности 2й-1, если считать, что (#0 + #1) и (#0 + в;#1) выполнены заранее.

Следствие 2. Пусть g, к е Вй, g = #0 +#1Е1,

к = По + ПЕ1, где #о, #l, П П гда операцию умножение элементов к и g

Г(#о +#1 )(п + П ) + (п-По )(#о-#1 у(#о +#1 )(п + П )-(п -П )(#о

¿-1 и Е1 = ^ то-

к • g =

можно осуществить за 2 умножения и за 4 сложения

г,й-1

матриц размерности 2 , если считать, что (#0 +#1) и (#0 -#1) выполнены заранее.

Следствие 3. Умножение в алгебре В+ можно

2й " Л й

вещественных умножений и 4 вещественных сложений.

Следствие 4. Умножение в алгебре В- можно реализовать за 3 • 2й-1 вещественных умножений и 3 • 4й-1 вещественных сложений.

Следствие 5. Пусть g е В-, к е В- к < й. Тогда умножение элементов g и к реализуется за

3 • 2й-1 вещественных умножений и 3 • 4й-1 вещественных сложений.

Следствие 6. Пусть g е В-, к е В- к < й. Тогда умножение элементов g и к реализуется за 2й

вещественных умножений и 3 • 4й-1 вещественных сложений.

Теорема 3. Пусть / : Т х Т ^{-1,1}:

) (-,/)

/(-, / )=П(-1)

геТ

тогда множество из 2й отображений а-:

(22)

таких, что

а

(x) = X С//(-, ') Ег

(23)

геТ

где х е Вй, сг е М, - е Т , является множеством автоморфизмов алгебры Вй.

Доказательство. Для доказательства изо-морфности необходимо проверить, что отображение биективно и сохраняет операции сложения и умножения.

Базисные элементы Л не являются делителями нуля, и отображения а- - линейно. Таким образом, отображения а- является биекцией.

Проверим, сохраняют ли отображения а- операции сложения и умножение. Пусть g,к е В представлены в форме (6), тогда должно выполняться:

а( g+к ) = а( g )+а(к), (24)

а

()= а( g )аД к).

(25)

Справедливость соотношения (24) очевидна:

а( §+к )=X(#г +п)/(-, г )Ег =

геТ

= X#г/(г ) Ег + ^^ Пг / (}, г )Ег = а; (g ) + а; (к) .

геТ геТ

Для доказательства соотношения (25) преобразуем правую часть этого равенства:

и

a j (gh) = ZZY(,t©1 )4i©tW(j,i) E =

ieT teT

Zn ZY(t, t © г )©tw((, г )E •

teT ieT

Далее, используя соотношения (13), (18) и учитывая что i = t © i © t, получим:

Z nw ( j, t) Y (t, t) Et Z £©w ( j, i © t) Y (t, t © i) E©t

Так как г принимает все значения множества Т, то и г © t принимает все значения множества Т. Поэтому, полагая т = t © г, получаем:

xrlty(j, t )е x л*)) = (8 )• (И).

teT

TeT

Предположим aj (х) = ap (х) для j ф p, гда последовательно получаем цепочку равенств:

то-

ст

(X) = ap (х)

П(-1)"(Jj)=П(-1)"(^), 1 = 0,2d -1,

ieT

ieT

Zh, (j,l) = Zh (p,l), l = 0,2d -1,

ieT ieT

которая приводит к противоречию: j = p . Из этого следует, что если j ф p , тогда и a j (х) ф a p (х) • Так как card T = 2d , то и различных автоморфизмов будет 2d.

Лемма 4. Пусть Q множество автоморфизмов (23) алгебры Bd. Пусть далее элемент х определен равенством (4). Тогда система уравнений относительно ct :

aj (х) = п, a} , (26)

имеет единственное решение при любых

h ^П)^^^_j)e Bd •

Доказательство. Рассмотрим матрицу

A =W(j'i^x2d •

Заметим, что w(j,i) = Y(j,i) при pt = _1, для любого i e I. Используя соотношение (19) матрицу A можно преобразовать к следующему виду:

Ч A

A =

Ч -A,

где

А1 = |И''

Поэтому

г ^ х2й =-2 • г')|12-х2«

Применяя аналогичные рассуждения далее, получим Нг^ х2й =(-1)й 2й ф 0.

Отсюда следует существование и единственность решения.

Решение в общем виде выглядит следующим образом:

2йсЕ =ХИt,гН (И), t е Т .

2. Алгоритм 2d -мерного ГДПФ в алгебре Bd с декомпозицией по основанию 2

Пусть н = (nJ,•■■,nd), м = (ml,■■■,md ), с = (rj, ■, rd), F (v) - гиперкомплексное ДПФ:

N-1

F (м)= Z f (н)^ (м, н), (27)

«1,-,и- =0

где

W (м, н)= П®Щ"

ieI

2ле,.

Тогда

F (м)= Z Ft (м) W (м, с ) =

r1,-,rd=0

1 N2-1

= Z W (м,с ) Z f (н+с ) W (м,2н) , (28)

i,—,rd =0 =0

где

N2-1

Ёс (м)= X /(н + с) (м,2н),

п.,-~,пй=0 N

0 < n1,..., ¡пй < — -1.

Вычисление спектра для остальных значений вектора м производится без дополнительных умножений, а именно:

1

Ё (м + у2 ф)= X Т(с, фЁ (м)Ж(м, с), (29)

г1...,гё=0

где

ф= (t1,.,td), 0 < t1,.,td < 1.

Кроме того, умножения на фазовые множители Ж(м,с) достаточно выполнять только для фундаментальной области

Ц ={0 < Ж!,..., Ж, < N4} ,

остальные значения определяются с использованием автоморфизмов алгебры В, без дополнительных умножений. Действительно, пусть вычислены значения

Ж(м,с)Ёс (м) , для ме Ц0 и м( = N2ф-м,

тогда

Ж (м1, с ) Ёс (м ) = Т (с, ф) Стф (( (м, с )Ёс (м)) . (30)

Таким образом, вычисление значений полного спектра в алгебре Вй производится в следующем порядке.

Шаг 1. Находятся значения суммы в (29) для меП0.

Шаг 2. По формуле (30) вычисляются элементы спектра в областях, отличающихся от Оо сдвигом на N2 по каждой из координат.

Шаг 3. Остальные области заполняются на основании следующих свойств ДПФ вещественного сигнала в алгебре Вй :

Р ( - фм) = аф(( - фм)). (31)

Из сказанного выше с учётом сложности умножения (теорема 2 и следствия 3-6) следует, что для оценки мультипликативной сложности ГДПФ

по модулю 2 в алгебре Вй- справедливо соотношение:

Ыа

'й ) 22й "

М (жй ) = 2йМ ((%)й ) +1 X 3 • 2й-1 Сй

V г=1

Упрощая, получаем

М(ый) = 2йМ((%)й) + -й3+Г-(2й - 1)й . (32)

Суммируя, получаем

3•(( -1)

М ( )= 2й+1 Xй 1оя2 N + О (жй ) =

= 3(*- 2Й Xй 1о§2 N + О (Xй ). (33)

3. Алгоритм 2й -мерного Г ДПФ в алгебре Вй с декомпозицией по основанию 4

Пусть, как и выше,

н =((- • • ,пй), м = ( - • ^тй), с Ч'Ъ - • ^гй),

Р (у) - гиперкомплексное ДПФ (27). Тогда

3

Р(м)= X Рс (м)Г (м,с) =

1 - - -Г =0

3 N4-1

= X W(м-с) X /(н+с)Г (м,4н) ,

1 - - -Г =0 и1,_ . .пё =0

где

(34)

N4-1

Рс (м)= X / (н+с ) (м, 4н),

nl, - - ■ ,пй =0

N

0 < т,, - . .,тй <--1.

1> 'а 4

Вычисление спектра для остальных значений вектора м производится без дополнительных умножений, а именно:

Р(м+N4ф)= X Пе? • Рс (мК(м,с), (35)

Г,- ..г=0 г'еI

где

/ \ N

ф=((- • -),0 < ^ - • .< — .

Кроме того, умножения на фазовые множители W(м,с) достаточно выполнять только для фундаментальной области

О ={0 < тъ - . . , тй < N8},

остальные значения определяются с использованием автоморфизмов алгебры Вй без дополнительных умножений. Действительно, пусть вычислены значения

W(м,с)Рс (м) , для меЦ и м = N4ф-

тогда

W(м,с)РС (м1 ) = Пе •аф((м,с)Р(м)) .(36)

геI

Окончательное вычисление значений спектра в алгебре Вй производится в следующем порядке.

Шаг 1. Находятся значения суммы в (35) для ме о, .

Шаг 2. По формуле (36) вычисляются элементы спектра в областях, отличающихся от сдвигом на N4 по каждой из координат.

Шаг 3. Остальные области заполняются на основании свойств (31) ГДПФ вещественного сигнала в алгебре Вй.

Из выше сказанного с учётом сложности умножение (теорема 2 и следствия 3-6) следует, что для оценки мультипликативной сложности ГДПФ

по модулю 4 в алгебре В- справедливо соотношение:

Ж

13й •

М (ый ) = 4йМ ((%)й ) + 3 • 2й-1 (й -1) Упрощая, получаем

М(жй) = 4йМ((%)й) + ( - 1)й .(37)

Суммируя, получаем

М

(мй)

$( 4й -1)

л й+1

Ый 1оя2 N + О (жй )

4 V 4й

= -11 -Л 1 Ый 1оя2 N + О (Ый ) .

(38)

Заключение

Рассмотренные в работе быстрые алгоритмы гиперкомплексных ДПФ обладают уменьшенной вычислительной сложностью по сравнению с описанными в [9], [11], [12]. Снижение вычислительной

сложности обеспечивается одновременным применением двух взаимосвязанных идей:

• использования принципа совмещенного вычисления частей спектра, что, в свою очередь, представляет собой одну из форм учета «избыточности» представления вещественного числа как элемента 2d -мерной гиперкомплексной алгебры.

• выбора в качестве гиперкомплексной алгебры той коммутативно-ассоциативной алгебры, в которой операция умножения реализуется посредством минимального числа вещественных умножений.

Литература

1. Chernov V.M. Discrete orthogonal transforms with data representation in composition algebras // Proc.of the 9th Scandinavian Conference on Image Analysis (SCIA'95). - Uppsala, Sweden, 1995. V. 1. Р.357-364.

2. Chernov V.M. Arithmetic method in the theory of discrete orthogonal transforms // Proc. SPIE, 1995. V. 2363. Р.134-141.

3. Chichyeva M.A., Pershina M.V. On various schemes of 2D-DFT decomposition with data representation in the quaternion algebra // Image Processing and Communications, Institute of Telecommunications Bydgoszcz, Poland, 1996. Vol. 2. No 1. Р. 13-20.

4. Чернов В.М. Алгоритмы дискретных ортогональных преобразований, реализуемые в кодах Гамильтона-Эйзенштейна // Проблемы передачи информации, 1995. Т.31 N 3. С.38-46.

5. Bulow Th. and Sommer G. Multi-Dimensional Signal Processing Using an Algebraically Extended Signal Representation // Algebraic Frames of Perception-Action Cycle, AFPAC'97, Kiel, Germany, 1997. Р. 148-163.

6. Bulow Th. and Sommer G. Hypercomplex Signals -A Novel Extension of the Analytic Signal to the Multidimensional Case // IEEE Transactions On Signal Processing, 2001. Vol. 49. No. 11. Р. 28442852.

7. Bülow Th., Felsberg M. and Sommer G. Non-communtative Hypercomplex Fourier Transforms of Multidimensional Signals // G. Sommer (Ed.), Geometric Computing with Clifford Algebra, Springer Series in Information Sciences, SpringerVerlag, Berlin, 2001.

8. Felsberg M., Bülow Th. and Sommer G. Commutative Hypercomplex Fourier Transforms of Multidimensional Signals // G. Sommer (Ed.), Geometric Computing with Clifford Algebra, Springer Series in Information Sciences, Springer-Verlag Berlin, 2001.

9. Felsberg M., Bülow Th., Sommer G. and Vladimir M. Chernov. Fast Algorithms of Hypercomplex Fourier Transforms // G. Sommer (Ed.), Geometric Computing with Clifford Algebra, Springer Series in Information Sciences, Springer-Verlag Berlin, 2001.

10. Bülow Th. and Sommer G. Local Hypercomplex Signalrepresentations and Applications // G. Sommer (Ed.), Geometric Computing with Clifford Algebra, Springer Series in Information Sciences, Springer-Verlag Berlin, 2001. Part I , Part II.

11. Felsberg M. and Sommer G. Optimized Fast Algorithms for the Quaternionic Fourier Transform // CAIP'99, Ljubljana, Slovenia, 1999. p. 25-32

12. Felsberg M. and Sommer G. Fast Algorithms for the Hypercomplex Fourier Transforms // WTFB'99, Brandenburg, 1999.

13. Chernov V.M., Bülow Th. and Felsberg M. Synthesis of fast algorithms for discrete Fourier-Clifford transform // Pattern Recognition and Image Analysis, January 1998.

14. Bülow Th. und Sommer G. Das Konzept einer zweidimensionalen Phase unter Verwendung einer algebraisch erweiterten Signalrepräsentation // 19. DAGM Symposium Mustererkennung, Braunschweig, 1997. p. 351-358.

15. Bülow Th. and Sommer G. Algebraically Extended Representations of Multi-Dimensional Signals // Proc. of the 10th Scandinavian Conference on Image alysis, SCIA'97, Lappeenranta, 1997. p. 559566.