CC BY
36
Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 5, 2007 УДК 517.977-519.71
БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ГАЗОВОЙ ЗАЛЕЖИ И ПОДЗЕМНОГО ХРАНИЛИЩА ГАЗА
В.А. Черных
Разработка газовой залежи и эксплуатация подземного хранилища газа впервые исследуются как динамические системы с использованием понятий нелинейной динамики. Впервые построены бифуркационные диаграммы для нелинейных динамических моделей газовой залежи и подземного хранилища газа. Исследованы условия устойчивости процессов разработки газовой залежи и функционирования подземного хранилища газа.
Введение
Разработка залежи представляет собой процесс отбора газа из порового пространства продуктивного пласта, как это показано на рис. 1 на примере нижележащей залежи. Отборы газа из скважин определяются их добывными возможностями и сравнительно мало изменяются в течение года. В то же время потребление газа характеризуется значительной сезонной неравномерностью, зимой потребление газа иногда в несколько раз больше, чем летом. В связи с этим часть летних отборов газа закачивается обратно в высокопроницаемые пласты, как это показано на рис. 1 на примере вышележащей залежи, и затем отбирается в зимний период. Эти пласты выявляются вдоль трассы газопровода вдали от газовой залежи и называются подземными хранилищами газа. Необходимо отметить, что и в процессе разработки также возможны ситуации, когда в часть скважин производится закачка газа, например, для поддержания пластового давления в газоконденсатной залежи, как это показано на рис. 1. Принципиальная разница между разработкой газовой залежи и эксплуатацией подземного хранилища газа состоит также в том, что в первом случае из залежи отбирается ежегодно 3-5% от начальных запасов, а из хранилища в течение зимы более 50% запасов, которые затем восполняются в летний период. Эти особенности эксплуатации подземного хранилища газа предъявляют повышенные требования к устойчивости его работы. Соответствующие оценки можно получить на основе динамической модели залежи и подземного хранилища. Качественный анализ поведения залежи можно провести с использование бифуркационных диаграмм. Динамической моделью газовой залежи или подземного хранилища газа будем называть математическую модель эволюции (изменения) средневзвешенного по объему пор плотности газа во времени.
Рис. 1. Схема эксплуатации газовой залежи или подземного хранилища газа: 1 - закачка газа; 2 - скважины; 3 - отбор газа; 4 - массив вышележащих пород; 5, 7, 9 - низкопроницаемые пласты; 6 - вышележащая газовая залежь или подземное хранилище газа; 8 - нижележащая газовая залежь
Состояние газовой залежи определяется набором величин, называемых координатами (динамическими параметрами) системы, а именно: средневзвешенной по объему пор Упор плотностью газа р(Ь) и скоростью ее изменения по времени ¿р/А, которая называется также фазовой скоростью.
В рамках нелинейной динамики под бифуркацией понимается структурная перестройка фазового портрета динамической системы, происходящая при определенных значениях ее внешних параметров. Физическая сущность бифуркации динамической системы состоит в том, что система переходит от одного режима функционирования к другому. Это означает, что предшествующий режим потерял устойчивость и система начинает работать в новом устойчивом режиме, который может принципиально отличаться от предшествующего. Таким образом, исследование бифуркации сводится к изучению устойчивости динамической системы. Устойчивость динамической системы (в данном случае газовой залежи) определяется тем, как будет изменяться с течением времени плотность газа, если начальные условия или физические параметры системы претерпят некоторые малые изменения (возмущения).
1. Одномерные нелинейные динамические модели газовой залежи
Во многих случаях поведение газовой залежи как динамической системы может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка относительно одной искомой функции. Такие динамические системы будем считать
одномерными по аналогии с механическими системами.
I = о
где р - осредненная по газонасыщенному объему пласта плотность газа. Для невозмущенного состояния газовой залежи это уравнение имеет вид
£ = Г (^ (2)
Вычитая (2) из (1), получаем уравнение динамики возмущения системы
^ = Г (р) - Г (р0), (3)
где р = р0 +Ар0 - плотность газа при возмущенном состоянии системы, Ар = р—р0 -возмущение плотности газа.
Разложим функцию Г (р) в ряд Тейлора
Г (р) = Г (р0) + Ар • Г' (р0) + 2 (Ар)2 Г'' (р0) + .., (4)
где Г', Г'' - производные функции Г (р) по р в точке р0. После подстановки (4) в (3) находим
^ = АР • Г' (р0) + 2 (Ар)2 Г'' (р0) + .... (5)
В силу малости возмущения Ар уравнение (5) можно представить в виде
^ ~ Г'(р0) • Ар. (6)
r^J
сСЬ
Решение этого уравнения имеет вид
Ар = ехр [Г'(р0) • г].
Если [Г'(р°) • < 0, то возмущение плотности газа с течением времени уменьшается, и [следовател] ьно, динамическая система в этой точке является устойчивой. Если же [Г'(р0) • > 0, то возмущение Ар с течением времени будет расти и состояние системы будет неустойчи[вым. Так]им образом, устойчивость системы полностью зависит от знака функции [Г'(р0) • г].
Рассмотрим устойчивость процессов функционирования подземного хранилища газа, если одни скважины работают с постоянным темпом закачки, другие -с темпом закачки, пропорциональным пластовому давлению, а третьи - с темпом, пропорциональным абсолютно свободному дебиту. Динамическая модель такой си-
стемы имеет вид*
dp
— = F (p) = a*p2 + c*p + q, (7)
где q = q*/Vnop = const, q* - темп закачки газа, a* = const > 0, c* = const > 0. Аналитическое решение этого уравнения имеет вид:
*Здесь и далее см. Черных В.А. Нелинейная динамика газовой залежи. М.: ВНИИГАЗ. 2002. 203 с.
при 4а*д > с
л/4а*д - с2
^ 2аро + с* , 2а*р + с* аг^ —¡= _ — arctg —, = | = I,
л/4а*д — с2
л/4а*<? — с2
при с2 > 4а*д
л/с2* — 4а*д
1п
2а*ро + с* — л/с*—4а*д
2а*ро + с* + л/ с2 — 4а*<?
1п
2а*р + с* — д/ с2 — 4а*д
2а *р + с* + л/с2—4а *д
=
при £ = 0, р = р0.
Решение получено в неявной форме и его неудобно использовать для анализа поведения системы, поэтому обратимся к методам нелинейной динамики.
Определение точек равновесия системы. Устойчивость системы харктеризу-ется ее поведением в точках равновесия. Из условия стационарности Е (р) = 0 системы (7) находим аналитические выражения для этих точек
р 1,2
1 2а*
—с* ± у с2 — 4а*д
(8)
Нетрудно видеть, что при с2 > 4а*д система имеет две точки равновесия, а при с2 < 4а*д - ни одной. Режим функционирования системы в точке равновесия определяется знаком функции Е' (р) в этой точке.
В первой точке равновесия системы р1 имеем
Е'(р1) = 2а*р1 + с* = с2 — 4а*д > 0,
то есть в первой точке равновесия система неустойчива.
Во второй точке равновесия р2 имеет место неравенство
Е'(р2) = 2а*р2 + с* = —д/с2 — 4а*д < 0, и следовательно, система в этой точке устойчива.
Бифуркационная диаграмма этой системы, то есть геометрическое представление зависимости р* от д*, приведена на рис. 2. Здесь кривые А и С \ являются геометрическим местом точек
Р*А
Л
)В
/
с
равновесия системы р1 и р2, соответственно. В точке В эти кривые сливаются, и вместо двух состояний равновесия имеет место только одно. С увеличением стационарные состояния исчезают вовсе. В то же время при уменьшении имеет место раздвоение (бифуркация) пути эволюции системы, и развитие возможно как по кривой А, так и по кривой С. Однако в рассматриваемом случае точки равновесия системы располагаются в области отрицательных значений плотности газа, что физически нереально. Следовательно, динамическая система (7) не имеет стационарных точек в области реальных значений плотности газа.
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для уравне ния (8)
1
Случай, когда все типы скважин являются добывающими. Динамическая модель такой системы имеет вид
dp W \ 2
dt = F (p) = -a*p - c*p -
(9)
где д - абсолютное значение приведенного темпа отбора газа. Из условия стационарности системы ^(р) = 0 следует, что система имеет два стационарных состояния (см. (8)). Для определения режима функционирования системы в точке равновесия находим выражение для функции ^'(р) в этой точке.
F'(p*) = —2a*p* - с*.
(10)
Из уравнений (8) и (9) следует, что
F'(p*) = — 2a*p* — с* = с* — 4a*q > 0,
F'(p2) = —2a*p2 — с* = — Vс2 — 4a*q < 0.
Видно, что система неустойчива в точке p* и устойчива в точке p2- Бифуркационная диаграмма рассматриваемой системы совпадает с предшествующей.
Случай, когда нагнетательные скважины работают с постоянным темпом закачки q = const > 0, а добывающие скважины - с дебитом, составляющим заданную постоянную долю от абсолютно свободного дебита. Эта ситуация имеет место при cycling-процессе, когда газ, добытый из залежи, закачивается обратно после его обработки. Динамическая модель такого процесса имеет вид
dp ^, % 2
-t = F (p) = q — a*p2, q > 0,
a* > 0. (11)
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма для уравнения (11)
Так же, как в предыдущем случае, найдем точки стационарности системы и исследуем их устойчивость. Из условия стационарности йр/й^ = ^ (р) = 0 получаем
*
pi,2
= (q/a*).
(12)
После подстановки (11) и (12) в (6) находим уравнение динамики возмущения системы. В частности, для точки равновесия системы р^ имеем
dAp
~dt~
= XAp, X = — 2д/ a*q.
(13)
Решение этого уравнения имеет вид Ар = ехр (ХЬ). Поскольку для первой точки равновесия X < 0, то возмущение плотности газа Ар, вызванное малыми отклонениями внешних параметров системы, экспоненциально уменьшается во времени. Следовательно, этот режим функционирования системы является устойчивым в точке р^. Для второй точки равновесия X > 0, и возмущение Ар с течением времени экспоненциально возрастает, что свидетельствует о неустойчивости системы в точке
Бифуркационная диаграмма системы построена в соответствии с формулой (11) и представлена на рис. 3. Видно, что для каждого д > 0 имеют место две точки равновесия р*и р2, в которых Ир/сМ = 0. Для каждого д < 0 такие точки отсутствуют. При переходе параметра д через бифуркационное значение д = 0 справа налево устойчивое состояние равновесия внезапно исчезает, а при переходе слева направо появляются одно устойчивое и одно неустойчивое состояния равновесия. Значение ? = 0 соответствует бифуркации рождения двух состояний равновесия с ростом д или их гибели при уменьшении Для газовой залежи физически реальной является только первая точка равновесия р*.
Случай, когда на части добывающих скважин дебит устанавливается пропорционально абсолютно свободному дебиту, а на других скважинах - пропорционально плотности газа р. Динамическая модель эволюции газовой залежи в этом случае принимает вид*
Ир
= ^ (р) = —а*р2 - с*р + д, а* > 0, с* > 0, д > 0. (14)
Точки равновесия системы определяются из условия стационарности ^ (р) = 0
1
р 1,2 = 2^ ( —с* ± V с2 + 4а*д ).
(15)
В первой из этих точек система устойчива, поскольку
(р*) = —2а*р* — с* = — Vс2 + 4а*? < 0.
Во второй точке система неустойчива, поскольку
р>(р*) = —2а*р2 — с* = + ^с* + 4а*? > 0.
Бифуркационные диаграммы для моделей (15) и (11) аналогичны.
Если темп закачки для части нагнетательных скважин устанавливается пропорционально абсолютно свободному дебиту, то динамическая модель такой системы принимает вид
Рис. 4. Бифуркационная диаграмма для уравнения (16)
Ир , ч 2
— = ^ (р) = а* р2 — с*р + д, ^ (16)
а* > 0, с* > 0, д > 0.
Находим точки равновесия системы из условия стационарности ^ (р) = 0 в виде
р*,2 = (с* ± Vс2* — 4а*?. (17)
В первой из этих точек система неустойчива, поскольку
^(р*) = 2а*р* — с* = +у/с2 — 4а*д > 0.
Во второй точке система устойчива, поскольку
Е'(р2) = 2а*р2 — с* = —\!с2 — 4а*д < 0.
Бифуркационная диаграмма для динамической модели (16) представлена на рис. 4. Нетрудно видеть, что при д > с\/ (4а*) стационарные состояния системы отсутствуют. При д = сс2/ (4а*) в точке В имеется одно стационарное состояние, а при д < с^/ (4а*) - два стационарных состояния. Кривая А представляет собой неустойчивую, а С - устойчивую ветвь функции р* (д)
2. Двумерные нелинейные динамические модели газовой залежи
Рассмотрим теперь уравнения динамики газовой залежи, описывающие две взаимодействующие между собой зоны дренирования. Динамическая модель такой залежи имеет вид*
| = е<Р,р), | = ф(Р.Р). (18)
Здесь р относится к 1-й зоне, а р - к 2-й зоне дренирования.
Уравнения (18) выражают собой закон сохранения массы, в соответствии с которым изменение общей массы газа должно быть равно результирующей закачке и отбору газа из скважин. Входящие в уравнения (18) функции Е (р, р) и Ф (р, р) определяют зависимость темпов закачки и отбора газа от внешних параметров системы, а также от плотности газа в обеих зонах дренирования.
Функции Е (р, р) и Ф (р, р) в общем случае являются нелинейными и поэтому для исследования устойчивости системы в окрестности точки равновесия (р*, р*) разложим их в ряд Тейлора вблизи этой точки
Е (р, р) = Е (р*, р*) + Др + Др,
р р (19)
дФ (р*, р*) дФ (р*, р*) -
ф (р, р) = ф (р*, р*)+ др др + др Др,
где дЕ (р*, р*) /др есть значение производной дЕ (р, р) /др в точке(р*, р*) и т.д., Др = р — р*, Др = р — р*. После подстановки (19) в (18) получаем
£ + ^ = Е (р., р.) + дЕШ1 Др + дЕрт Др,
аЬ аЬ др др
ар* ¿Др дФ (р*, р*К дФ (р*, р*)4-
-Ж + иг=Ф <"*■ р*> + Др+^дт1 Др.
(20)
Поскольку уравнения (18) имеют силу и в точке стационарности (равновесия) системы, то из (20) получаем линейную систему для возмущения в окрестности точки равновесия
аДр дЕ (р*, р*)ч дЕ (р*, р*) _
¿Др дФ (р*, р*К дФ (р*, р*К-
ИГ = Др+ вТ^Др.
Решение системы уравнений (21) ищем в виде
Ар = c1ext, Ар = c2eXt, c1,c2, X - const. (22)
После подстановки (22) в (21) находим
J ЗЩ) - + С2 OF (Р-,р.) =0, V ар J др (23)
c ЭФ (р'. р') + c (f№ (р'. р') Л 0
C1 Эр +Ч-ар--v =0'
Система уравнений (23) имеет тривиальное нулевое решение ci = С2 = 0. Нетривиальное решение получаем, если определитель системы равен нулю, то есть
dF (р', р') - \ JдФ (р', р') - Л - dF (р', р') дФ (р', р') =0 (24) др ) \ др J др др '
Из уравнения (24) получаем характеристическое уравнение для параметра X
X2_ X JdF (р', р') + дФ (р', р') \ + dF (р', р') дФ (р', р')
др + др J + д р др
dF (р', р') дФ (р', р') =0
(25)
др др
Нетрудно видеть, что устойчивость нелинейной динамической системы в точке равновесия полностью определяется параметром X, который получается из линеаризованной системы уравнений (24). Так же, как и для линейных динамических систем, здесь имеются следующие варианты:
- если действительные части параметра Х^2 меньше нуля, то точка стационарности системы асимптотически устойчива;
- если хотя бы в одном из параметров Х^2 действительная часть больше нуля, то точка равновесия динамической системы неустойчива;
- если параметры Х^2 чисто мнимые, то точка равновесия нейтрально устойчива;
- если действительная часть одного из параметров Х1>2 равна нулю, а другая отрицательна, то точка равновесия системы также нейтрально устойчива.
Уравнение (25) позволяет классифицировать точки равновесия нелинейной динамической системы в зависимости от параметров Х^2. Запишем для этого уравнение (25) в виде
X2 - АХ + В = 0,
где
А = дГ (р*, р*) + дФ (р*, р*), др др '
„ дГ (р*, р*) дФ (р*, р*) дГ (р*, р*) дФ (р*, р*) В =
др др др др Корни этого уравнения имеют вид
1
Xi,2 = 2 {А ± VA2 - 45).
В зависимости от параметров Х12 различают следующие типы точек стационарности динамической системы.
1. Узел, если параметры Х12 действительны и одного знака: Х12 < 0 - устойчивый узел, А.1,2 > 0 - неустойчивый узел.
2. Седло, если Х12 действительные и разных знаков.
3. Фокус, если А,1)2 = а ± Ы: а < 0 - устойчивый фокус, а > 0 - неустойчивый фокус.
Использованный выше метод исследования устойчивости системы называется первым методом Ляпунова и основан на том, что локальные фазовые портреты нелинейной и линейной систем топологически эквивалентны в точке равновесия при линейном приближении функций Е(р, р) и Ф(р, р) в соответствии с уравнением (19).
Решающее значение при построении фазового портрета системы имеет конкретный вид функций Е(р, р) и Ф(р, р). При достаточной гладкости эти функции могут быть разложены в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки п в виде
В соответствии с этой формулой получим разложения функций Е (р, р) и Ф (р, р) в ряд Маклорена.
(26)
Е (р, р) = аоо + аюр + амр + а2ор2 + апрр + азор3 + а21р2р+
(27)
+а12рр2 + аозр3 + ...
2
з
где
дЕ (0,0) = 1 д2Е (0,0)
др , а2° 2 др2
а11
д2Е (0,0) = 1 д2Е (0,0)
дрдр ' 2 др2
азо
1 д3Е (0,0) 3^2 др3
а21
1 д3Е (0,0)
2 др2др
а12
1 д3Е (0, 0)
2 дррдрр2
ао3
1 д3Е (0,0) 3-2 др3
Ф (р, р) = boo + biop + boip + b20p2 + blipp + bsop3 + b2ip2p + bi2pp2 + boap3 +..., (28)
где
. , , дФ (0,01 дФ (0,0) 1 д2Ф (0,0)
boo = Ф (0,0), bio = —, boi = —, b2o = -—,
dp dp 2 dp2
, д2Ф (0,0) 1 д 2Ф (0,0) 1 д 3Ф (0,0)
bii = , bo2 = 2 дp2 , bao = 3^ дp3 ,
= 1 д3Ф (0,0) = 1 д3Ф (0,0) = д3Ф (0,0)
b2i = 2~дрЩТ, bi2 = 2, bo3 = 3^2 др3 '
Все рассмотренные ранее динамические модели представляют собой частные случаи системы уравнений (18), (27), (28). Метод расчета точек бифуркации этой системы покажем на примере функций
F (p, p) = aoo + aiop + aiipp,
(29)
Ф (p, p) = boo + boip + biipp.
Уравнения (29) соответствуют случаю, когда в зонах дренирования одни скважины работают с постоянным дебитом или темпом закачки газа (aoo = q*i, boo = q*2, q* = const - приведенный массовый темп отбора или закачки газа), а другие - с темпом отбора или закачки газа, пропорциональным пластовому давлению (плотности) газа (aiop, boip); третьи члены (aiipp, biipp) отражают влияние перетоков между зонами дренирования.
Как и прежде, точки (р*, p*) равновесия (стационарности) системы определяем из уравнений F (p, p) = 0 и Ф (p, p) = 0, то есть
q*i + aiop* + aiip*p* = 0, (30)
q*2 + boip* + Ьпр*р* = 0. (31)
Исключая из этих уравнений функцию p*, находим
pp*2 + Ар* + B = 0, (32)
где А = 1/(aiobii) (aioboi + bnq*i - anq*2), B = (boiq*i)/(aiobii). После исключения произведения p*p* из уравнений (30) и (31) получаем выражение для p*
р* = г~— (biiq*i - aiiq*2 + biiaio^*). (33)
boiaii
Корни уравнения (32) определяют точки стационарности системы относительно функции p
pi,2 = 1 (-А ± VА2 - 4B). (34)
После подстановки (34) в (33) находим точки стационарности для функции p
pi 2 = г~— (biiq*i - anq*2 + bllalop1 2). (35)
boiaii
Уравнения (34) и (35) определяют бифуркацию системы (29), то есть зависимость координат стационарной точки системы (р*, р*) от q*1, q*2 и других параметров системы. Нетрудно видеть, что при А2 < 4В точки равновесия отсутствуют. Точка А2 = 4В является точкой бифуркации, в которой возникают два состояния стационарности, устойчивое и неустойчивое. Анализ устойчивости в точках равновесия проводится аналогично предыдущему.
Заключение
Полученные выше результаты необходимо использовать при выборе систем разработки газовых месторождений и эксплуатации подземных хранилищ газа, поскольку они позволяют прогнозировать, а следовательно, и предотвращать нарушения устойчивости режимов разработки и эксплуатации промысловых объектов.
Институт проблем нефти и газа РАН Поступила в редакцию 07.04.2007 Москва После доработки 06.09.2007
BIFURCATIONS IN NONLINEAR DYNAMIC MODELS OF A GAS POOL AND AN UNDERGROUND GAS STORAGE FACILITY
V.A. Chernykh
The development of a gas pool and operation of an underground gas storage facility are studied as dynamic systems with use of concepts and terms of nonlinear dynamics. For the first time bifurcation diagrams have been constructed for nonlinear dynamic models of a gas pool and an underground gas storage facility. Stability conditions of the processes of the gas pool development and of the underground gas storage facility functioning have been studied.
Черных Виктор Александрович - родился в Воронеже (1937), окончил Куйбышевский индустриальный институт (1961). После окончания института работал в Татарском нефтяном научно-исследовательском институте (ТатНИИ, Бугульма), затем во Всесоюзном научно-исследовательском институте природных газов (ВНИИГАЗ, Москва), в настоящее время работает в Институте проблем нефти и газа РАН (Москва). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук во ВНИИГАЗе (1967) и доктора технических наук (2000) по специальности «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений». Автор монографий: «Упругость и прочность цилиндрических тел» М.: Высшая школа, 1975. 526 с.; «Гидрогазодинамика горизонтальных газовых скважин» М.: ВНИИГАЗ, 2000. 189 с.; «Гидрогеомеханика нефтегазодобычи» М.: ВНИИГАЗ, 2001. 249 с.; «Нелинейная динамика газовой залежи» М.: ВНИИГАЗ, 2002. 203 с. Научные интересы: теория упругости, нелинейная динамика процессов разработки нефтяных и газовых месторождений, синергетика процессов добычи нефти и газа, фрактальная механика процессов фильтрации, приложения дробного исчисления к задачам разработки нефтяных и газовых месторождений. Опубликовал более 150 работ по направлениям указанным выше. E-mail:vict@gazsvyz.ru
