Безусловная оптимизация на основе сортировки с приложением к компьютерному анализу устойчивости систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [681.3.06+681.323]:519.6

БЕЗУСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ СОРТИРОВКИ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К КОМПЬЮТЕРНОМУ АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© 2008 г. Я.Е. Ромм, АА. Лабинцева, И.В. Заика

Таганрогский государственный педагогический The Taganrog State Pedagogical

институт Institute

Изложен метод вычисления нулей и экстремумов функций и разностных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) при вариации параметров. Метод переносится на случай поиска нулей и экстремумов норм разностных решений систем ОДУ с целью компьютерного анализа устойчивости решений при вариации параметров. Поиск нулей многочленов с комплексными коэффициентами выполняется без априорной информации о границах области нулей и о математическом характере определения коэффициентов.

Ключевые слова: сортировка, экстремумы, функции многих переменных, решение дифференциальных уравнений, устойчивость при вариации параметров.

The method of calculation of zeroes and extremums offunctions and difference solutions of systems of the ordinary differential equations (ODE) at a variation of parameters is stated. The method is transferred on a case of search of zeroes and extremums of norms of difference solutions of ODE systems for the computer analysis of stability of solutions at a variation ofparameters. Search of zeroes of multinomials with complex factors is carried out without the aprioristic information on borders of area of zeroes and on mathematical character of definition offactors.

Keywords: sorting, extremums, functions of multiple variables, solutions of the differential equations, stability at a variation of parameters.

Введение

Цель сообщения - показать применимость сортировки в качестве единой основы для вычисления экстремумов функций и решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) при вариации параметров. Излагаемый алгоритм безусловной оптимизации, за исключением временной сложности, не зависит от размерности и вида задачи. Его частным случаем является поиск минимумов модулей функций и решений ОДУ, для многочлена эти минимумы совпадают с нулями. Отличительной чертой алгоритма является то, что не требуется применять процедуру отделения нулей и экстремумов, они локализуются программно на основе сортировки, затем вычисляются с помощью спуска к наименьшему значению при сужении локализованной области.

Метод идентификации экстремумов на основе алгоритма сортировки

Применяется внутренняя адресная сортировка по ключу (ниже - сортировка), сохраняющая порядок равных элементов. Пусть вначале требуется найти все экстремумы функции одной действительной переменной

У = f (х) (1)

на произвольном отрезке [ х(0), x(N) ] в области ее определения. Строится равномерная сетка

х(м) _ х(0)

х1 = x(0) + Ш , 1 = 0,1,..., N , h =-, в узлах

1 N

которой значения функции принимаются за элементы массива:

С[I] = f (хг_1 ), I = 1,2,..., N . (2)

Массив (2) поступает на вход сортировки. Для определенности выбрана сортировка подсчетом в модификации из [1], ее схема поясняется на примере. Для сортировки массива А = (7,4,8,2,8) строится матрица

7 4 8 2 8

7 0 - + - +

4 + 0 + - +

8 - - 0 - 0

2 + + + 0 +

8 - - 0 - 0

строки и столбцы которой нумеруются от единицы. Номер j -го элемента массива А на выходе сортировки равен числу нулей и плюсов в j -м столбце над

диагональю, включая диагональный элемент, сложенному с числом плюсов столбца ниже диагонали. Программа, именуемая ниже sort, включает операторы [2]:

for j := 1 to N do begin k:=0;

for i := 1 to j do if a[j] > = a[i] then k:=k+1;

for i :=j+1 to N do if a[j] > a[i] then k:=k+1;

c[k] := a[j]; e[k] :=j end;

Здесь e[ k ] - входные индексы, располагаемые на выходе сортировки в порядке отсортированных элементов c [ k ]. В общем случае может быть взята любая устойчивая сортировка с взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов, наиболее быстрая из них - сортировка слиянием в модификации из [3 - 5].

Элементы (2) сортируются, к выходу процедуры sort подсоединяется условный оператор, который осуществляет локализацию каждого минимума в окрестности произвольно заданного радиуса е (программный идентификатор eps0) среди элементов (2). Радиус е фиксируется произвольно при ограничении, что он меньше половины расстояния между ближайшими соседними минимумами. Условие локализации всех минимальных элементов в окрестностях данного радиуса для последовательности (2) примет вид

| e [k -1 ] - e [ k]| >е / h , l = 1,2, ..., k-1. (3)

Смысл условия в том, что в е -окрестности узла сетки с текущим номером e[ k ] нет входного индекса элемента отсортированного массива, который бы не превосходил по значению элемент с индексом e[ k ], точнее, того элемента, который предшествовал бы ему в отсортированном массиве. Программная реализация (3) имеет вид:

k:=1; while k<= n do begin for l := 1 to k-1 do if abs(e[k]-e[k-l]) <= eps0/h then goto 22; xk:= x0+e[k]*h; 22: k:=k+1; end;

Присоединение данного условия к программе сортировки массива (2) дает устойчивую локализацию минимумов функции (1) [4, 5].

Идентификацию всех локальных максимумов можно выполнить аналогично с помощью оператора

| e [k +1] -e [k] | > е / h , l = 1, 2, ..., n -k .(4)

Программная реализация (4) имеет вид k:=1; while k<= n do begin for l := 1 to n-k do if abs(e[k]-e[k+l]) <= eps0/h then goto 23; xk:= x0+e[k]*h; 23: k:=k+1; end;

Нули функции локализуются как минимумы модулей c(i)= |f (xi-1), i =1,2,...,N с проверкой малости

локализованного значения (в силу принципа максимума модуля [6] проверка излишня при поиске нулей многочлена).

После локализации экстремума выполняется спуск к его значению в окрестности локализованной точки путем выбора наименьшего (наибольшего) значения на равномерной сетке c фиксированным числом

узлов, окрестность сужается до достижения требуемой точности приближения.

Если отрезок поиска [X00, Хпп ] шире исходного

[х(0), х(м-1], то в конце блока инструкций выполняется смещение отрезка [ х(0), х(м-1] на его длину до тех пор, пока не будет пройден весь априори заданный отрезок. Дополнительная проверка на экстремумы границ смещаемого отрезка выполняется на основе сортировки и локализации последовательности заключительных узлов предыдущего отрезка и начальных узлов следующего за ним соседнего отрезка. Существенно, что экстремумы программно идентифицируются по значению и индексу местоположения [5], численный эксперимент показывает устойчивость и высокую точность вычисления экстремумов и нулей по изложенной схеме [2, 3, 5].

Схема идентификации экстремумов функции двух переменных аналогична схеме для функции одной переменной. На двумерной равномерной сетке на вход сортировки поступают минимумы (максимумы) этой функции по первой переменной при последовательном фиксировании в текущих узлах второй переменной, затем каждый экстремум сформированной последовательности локализуется с помощью описанной схемы. В каждой точке локализации схема повторяется для последовательных узлов по первой переменной [2]. Отличительным качеством программной идентификации является одновременная идентификация всех нулей и экстремумов функций двух переменных в окрестности произвольно заданного радиуса без априорного указания области нуля и экстремума, а также без начального приближения. Как правило, в известных методах эти параметры необходимо указывать [7, 8]. Кроме того, одновременно все экстремумы идентифицируются по значению и по индексам местоположения, что также отличает схему от известных. Устойчивость и точность вычисления экстремумов и нулей характеризуется аналогично одномерному случаю [5].

В предположении, что повторные пределы совпадают с пределами одновременно по всем переменным в каждой точке экстремума, схема обобщается на случай экстремумов функции произвольного числа переменных у = /(х1,х2,...,хп). Первоначально фиксируется одна переменная х1 и для каждого текущего ее значения на равномерной сетке находится минимум (максимум) функции у, который берется по п -1 другим переменным. Все такие минимумы (максимумы) поступают на вход сортировки в виде одномерной последовательности, оператор локализации идентифицирует среди ее элементов все локально минимальные (максимальные) элементы - по значению и по индексу. Локализованная точка п-мерного пространства фиксируется в качестве привязки к искомому локальному экстремуму функции п переменных. После этого, при каждой фиксированной локализованной таким способом координате, для оставшихся п -1 других координат возобновляется процесс, пол-

ностью идентичный только что описанному для п первоначальных координат. Конкретно, минимумы (максимумы) по п - 2 переменным при фиксированной локализованной координате, взятые при каждом текущем значении другой переменной на равномерной сетке, образуют новую одномерную последовательность. Последовательность поступает на вход сортировки, с помощью оператора локализации идентифицируются все значения второй координаты искомых локальных экстремумов. Далее, при фиксировании локализованных координат процесс возобновляется для оставшихся п - 3 координат и так до тех пор, пока в заданном порядке не будут перебраны все независимые переменные функции у. Нули функции идентифицируются как минимумы ее модуля с оценкой малости значения. Как и в случае функции двух переменных, схема позволяет идентифицировать все локальные экстремумы и нули в окрестности произвольного радиуса без априорного указания области их отделенности, а также без задания начальных приближений. Программа, реализующая схему для случая трех переменных, представлена в работе [9], для четырех и пяти переменных - в [5].

Численная оптимизация при вариации параметров

Данная схема следующим образом применяется к безусловной численной оптимизации функций одной переменной при вариации параметра. На вход алгоритма идентификации экстремумов функции двух переменных подается функция одной переменной, роль второй переменной играет варьируемый параметр. При этом в программе шаг изменения независимой переменной, если это не нарушает корректности решения задачи, выбирается на порядок меньше шага дискретизации варьируемого параметра (с целью ускорения вычислений). В остальном схема не меняется. В результате идентифицируется каждый локальный экстремум функции одной переменной при вариации переменного параметра. Аналогично, схема переносится на случай идентификации всех экстремальных значений функции двух и более переменных при вариации одного, двух и более параметров, варьируемые параметры играют роль независимых переменных, которые дискретизируются с шагом, большим шага дискретизации независимых переменных. Программная реализация и численный эксперимент приводятся

в [2].

Поиск всех нулей многочлена с переменными комплексными коэффициентами

Ниже решается задача программной идентификации всех нулей многочлена без использования априорной информации о границах области, включающей все нули, о границах отделенности каждого нуля и о математическом характере определения коэффициентов многочлена. Коэффициенты интерпретируются как переменные комплексные величины, которые фиксируются на момент вычисления нулей.

Пусть дан многочлен n-й степени Pn (z) с комплексными коэффициентами произвольного вида, где z = x+Iy, I = V-1. В плоских декартовых координатах вводится равномерная прямоугольная сетка, заведомо включающая область всех нулей. Сетка строится с постоянным шагом h по направлениям осей OX и OY : xi = x0 + ih, i = 0,1,...,Nx ; yt = y0 + ih , i = 0,1,...,Ny.

Задача сводится к поиску всех минимумов функции двух действительных переменных f (x, y), в качестве которой выбирается квадрат модуля многочлена. Значение многочлена вычисляется с помощью схемы Горнера для случая комплексного умножения и сложения, а квадрат модуля многочлена формируется путем умножения значения многочлена на комплексно сопряженное значение:

function func (var x,y: extended; var bdv, bmv: vect3): extended;

var i1: 0..n1; p1,p2,pp1,pp2,d1,d2,d3,d4:extended; begin p1:=bdv[n1]; p2:=bmv[n1]; for i1:= = 1 to n1 do begin um(p1,p2,x,y,d1,d2); pp1:=bdv[n1-i1]; pp2:=bmv[n1-i1]; sum(pp1,pp2,d1,d2,d3,d4); p1:=d3; p2:=d4; end; func:=sqr(p1)+sqr(p2); end;

Значения сформированной таким образом функции f (x, y) берутся во всех узлах сетки и среди них по изложенной двумерной схеме ищутся все возможные минимумы. На основе принципа максимума модуля [6] все минимумы f (x, y) достигаются в каждом

из нулей многочлена Pn (z), и других минимумов эта функция не имеет. По непрерывности f (x, y), в достаточно малой окрестности каждого из нулей, при достаточной малости шага сетки, значения f (x, y) в узлах из этой окрестности будут меньшими, чем значения f (x, y) вне этой окрестности. Эти значения локализуются и принимаются за приближения к искомым нулям. Далее выполняется спуск к значению каждого нуля путем сужения шага сетки в окрестности локализованного приближения, при этом операторами программы исключаются неточные приближения и ненулевые минимумы, возникающие на границах смещаемых прямоугольников. Программная реализация схемы и численный эксперимент, представленные в [2], иллюстрируют вычислительную устойчивость и высокую точность вычисления нулей многочлена, включая случай их плохой отделенности [3 - 5].

Параметрами программы служат степень многочлена и его коэффициенты, которые, в частности, могут быть действительными.

Идентификация экстремумов разностных решений систем ОДУ

Описанная схема переносится на случай поиска экстремумов решений систем ОДУ, отличаясь лишь способом представления данных на входе метода. Вместо дискретизируемой функции для формирования входного массива используется разностное решение системы. Пусть вначале рассматривается

задача Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка

f=' «•->"•

У (to) = Уо

(5)

и выбран метод Эйлера с равномерным шагом У+1 = Уг + f (ti , Уг ) h, t1 = t0 + ih, i = 1,2,...,N; h = tN -10

(6)

N

Значения (6) принимаются за элементы сортируемого массива

c[i] = y(tf_i), i = 1,2,...,N .

(7)

dY

— = F(t,Y), Y(to) = Yo . dt

(8)

На выходе метода идентифицируются все локальные экстремумы каждой переменной у к, дискретизи-

рованной в виде последовательности ск [/'] = укг )

в окрестностях произвольно фиксированного радиуса на всем отрезке [ 10, Т ].

Нули разностных приближений компонент получатся, если на вход метода подавать абсолютные величины значений (9): ск [г] = \уы .

Схема переносится на случай идентификации экстремумов нормы разностных решений системы. Для этой цели формируется одномерный массив значений нормы |7(ti)| разностных решений системы (8), который, например, для эвклидовой нормы примет вид

Элементы (7) поступают на вход сортировки с присоединением оператора локализации минимумов (максимумов). Таким приемом достигается устойчивая локализация и вычисление экстремумов разностного решения (6) с той точностью, с которой задача (5) решается по методу Эйлера [5, 10]. В целом программная реализация схемы строится аналогично поиску экстремумов функции одной переменной, с той разницей, что исключается спуск к локализованному значению (при данном способе дискретизации локализация по индексу шага означает окончательную идентификацию экстремума) [11]. Как и для случая функции двух переменных, производится смещение текущего промежутка по всей области поиска экстремумов с дополнительной проверкой границ смещаемого промежутка на ложный экстремум. Проверка выполняется с помощью сортировки небольшого числа элементов в окрестности границы текущего промежутка с присоединением оператора локализации. В итоге достигается инвариантность схемы относительно размеров области поиска экстремумов.

Схема идентификации экстремумов сохраняется при использовании других разностных методов.

Схема без принципиальных изменений переносится на случай двух и более уравнений путем ее буквального повторения для каждого уравнения в отдельности. Предполагается, что для задачи Коши вида

c[i] =

У1 [i _ 1] 2 +

У2 [i _ 1] 2 + ... + Уп [i _1] 2

i = 1,2,...,N .

(10)

где F(t, 7) = (/1 (t, 7), /2 (t, 7), ... , /п Ц,7)),

7 =(У1 (t),У2 (t)Уп ^)), 70 =(У01,У02, - ,У0п), выполнены все условия существования и единственности решения на исследуемом отрезке [ 10, Т ]. На

вход сортировки подаются разностные приближения (например, по методу Эйлера) каждой компоненты решения:

Ук (г +1) = Укг + /к (tг, Уи , У 21 , Упг )* И ,

(9)

ск [г] = Укг (^-1 ) , к = 1 ^ -. , п;

т -10

^ = ^ + г и, г = 1,2,..., ы, и = - 0

N

Затем схема идентификации экстремумов числовой последовательности с использованием процедуры sort и оператора локализации применяется для одномерного массива (10).

Существенно, что так можно найти нули разностного приближения вектор-функции решения системы (8), выбрав среди минимумов значений (10) те, которые приближаются к нулю с заданной точностью: 0 < c[i] < е .

Идентификация экстремумов норм решений ОДУ при вариации параметров

Изложенная схема применяется для определения экстремумов норм решений систем ОДУ при вариации параметров. С видоизменением она применяется для поиска экстремумов норм некоторых (мультипликативных [12]) преобразований разностных решений. В частности, можно указать экстремальное отклонение решения системы от устойчивого состояния. На этой основе данные схемы применимы к оценке устойчивости, в том числе при возмущении параметров.

Под устойчивостью понимается устойчивость по Ляпунову в определении из [13].

Пусть рассматривается система нелинейных ОДУ

dY = F(t, Y, *1, a2 , a3), Y(t0) = Y0, (11) dt

где Y (t) определяются как для (8), 10 < t < T ; a 1, a 2, a 3 - варьируемые числовые параметры в диапазоне a10 < a1 < a11, a20 < a2 < a21, a30 < a3 < a31. Возмущенные начальные данные обозначаются Y (10) = Y0 , соответственное им возмущенное решение записывается в виде Y(t) . Требуется найти все экстремальные отклонения от нуля нормы разности между возмущенным и невозмущенным решениями системы (11) при вариации числовых параметров.

Способ оценки отклонений опирается на схему идентификации экстремумов дискретно представленных функций четырех действительных переменных. На вход алгоритма подается функция одной независимой переменной t, роль трех других играют варьируемые параметры. Роль функции играет норма разности вычисляемых по разностной схеме значений вектор-функций Y(¿) - Y(/). Таким образом, при выборе нормы (10) на вход метода поступает

c[i] =

Z

k = 1

Ук[i _1] " yk[i_1]

i = 1, 2,...,N

(12)

При этом решения Y ((), Y (() вычисляются по

разностной схеме отдельно для каждого набора дис-кретизированных значений трех варьируемых параметров. Шаг изменения независимой переменной, если это не нарушает корректности решения задачи, выбирается на порядок меньше шага дискретизации варьируемых параметров (с целью ускорения вычислений). Выбранные дискретизированные значения левой части (12) задают трехмерный массив, к которому добавляется еще одно измерение по независимой переменной t. Получится четырехмерный массив с элементами с[1, j, i, г], где с[1, j, i, г] = с[ I ] из (12) при значениях параметров а1 = а1[/], а2 = а2[£], а 3 = а 3 [г], индексы которых указывают номера шагов дискретизации. В остальном схема идентификации экстремумов функции четырех переменных не меняется.

Найденные экстремумы характеризуют меру отклонения возмущенного решения от невозмущенного (меру возмущения решения). Следует отметить, что изменение знака неравенства в условных операторах

(3), (4) на противоположный влечет значение глобального экстремума [4]. Так, видоизменение условия

(4) в форме \е[с +1 ]-е[Щ |>1,1 = 1,2, ..., п-k на

выходе метода даст глобальный максимум, аналогичное видоизменение (3) повлечет глобальный минимум. Значение глобального максимума позволит найти наибольшее значение возмущения на отрезке 10 < t < Т при всех дискретных значениях трех параметров.

Для более полной оценки возмущения решение системы (8) преобразуется к виду

Уk (г +1) - Уk (г + 1) = П (1+ DS )( Уk 0 - Уk 0) +

t = 0

+1 Г1 (1 + D

r = 0 t = 0

( к )

h ) Wk (i -r-1) + Wk,

1 /т п (k) f k ( ti , Yг' ) Л ( ti , ^ ) где h из (9), ; =-; wki -

Уkг - У И

остаточные члены разложения разности решений по формуле Тейлора на 1-м шаге метода Эйлера, k = 1, 2,..., п . На основе этого преобразования

оценивается не только экстремальное отклонение возмущенного решения, но и устойчивость невозмущенного решения [12]. При этом достаточно оценить норму вектора, компонентами которого являются

П (1+ D(f_}l h) , k = 1,2,..., п .

I=0

Аналогичное преобразование для линейной одно-

dY -

родной системы — = А(^, У^0) =0, примет вид [12] dt

Yг+l - ^+1 = П (Е + hA(tí)) ^ - Yo). Для оценки

I=0

устойчивости системы в этом случае достаточно ана-

П(Е + )) .

I=0

лизировать глобальные экстремумы

Оценка глобального максимума

П( E + hA(tt))

t=0

не-

посредственно указывает на степень отклонения решения от точки покоя. Соответственные программы приводятся в [5, 12, 14, 15]. В работе [14] детально изложено применение подхода к анализу возмущений энергетических систем большой мощности при возмущении параметров. Обоснованием подхода служит Теорема [12]. Решение рассматриваемой задачи устойчиво тогда и только тогда, когда

lim П (E + hA (t_t))

i—ш t=о

< C,

(13)

C = const V t e [ t0, да).

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (13) и соотношение

i

lim lim П (E + hA(ti _t)) = 0 .

t — ш i — Ш t =

t = 0

Если А - матрица постоянных коэффициентов, то критерии примут вид

lim П (E + hA )

г' —ш t=0

< C, C = const,

lim lim П (E + hA) = 0 .

t — Ш i —t = 0

(14)

Критерии (14) не требуют ограничений на вид матрицы. На их основе строится компьютерная оценка устойчивости без использования информации о

2

характеристическом многочлене матрицы А и его корнях.

Аналогичное обоснование для нелинейной системы (8) приводится в работах [12, 15].

П(£ + ИА (^))

I=0

Оценка глобального максимума на отрезке 10 < t < Т при всех дискретных значениях

варьируемых параметров влечет оценку устойчивости при возмущении параметров. Аналогичная оценка

нормы вектора

П (1+ D

i=о

S h)

k = 1,2

позволяет оценить устойчивость решения при возмущении параметров.

Изложенный подход к оценке устойчивости соотносится с возможностью ее дополнительного анализа на основе поиска нулей характеристического многочлена. Например, если рассматривается система управления с идеальным запаздыванием (рисунок), то характеристическое уравнение системы имеет вид

1 + G(s)e~i0S = 1 + -

-t0s

s(s +1)2

или 5

3 + 2s2 + s + e~t0s = 0.

1

s(s + 1)2

Система управления с идеальным запаздыванием по времени

Нули композиции многочлена и трансцендентной функции в левой части последнего уравнения можно найти по изложенной схеме, учитывая меру приближения к нулю минимума модуля функции

/ (5) = 53 + 252 + 5 + е~'0'5 при вариации параметра . В нашем исследовании [5] приводятся программные реализации поиска нулей характеристических функций при наличии трансцендентности, а также представлены программы, анализирующие распределение нулей таких функций на комплексной плоскости. Для данного примера в [5] получаются значения:

Действительная часть корней -1.84540171362283947Е+0000 -1.19759005794147961Е-0001 -1.19759005794147961Е-0001 Мнимая часть корней 0

-7.50986925216983Е-0001 7.50986925216983Е-0001

Значение функции 1.17549435082229E-0038 7.17163162065532E-0011 5.86607446629924E-0011

Изложенный подход конструктивно обобщается на поиск решений систем нелинейных уравнений, содержащих трансцендентные функции, при этом вместо минимума модуля ищется минимум нормы компонент зависимых переменных на многомерной сетке [16].

Идентификация нулей и экстремумов разностных решений уравнений в частных производных излагается в [5, 17].

Заключение

С точностью до размерности все представленные схемы различаются между собой лишь способом представления данных на входе метода. Точнее, они различаются способом дискретизации входной функции в зависимости от вида решаемой задачи. Формально, с точностью до размерности функции дискретных переменных, подход к оптимизации не зависит и от числа варьируемых параметров, их количество влияет на время решения, но не на конструкцию схемы. На основе оптимизационного алгоритма и компьютерных схем оценки устойчивости можно оценить локально и глобально экстремальное отклонение системы от устойчивого состояния при вариации параметров. Отличительными особенностями предложенного метода являются его построение на основе сортировки, автоматичность программной локализации экстремальных значений разностных решений, инвариантность схемы относительно размеров области поиска.

Литература

1. Ромм Я.Е. Параллельная сортировка слиянием по матри-

цам сравнений. II // Кибернетика и системный анализ. 1995. № 4. С. 13 - 37.

2. Ромм Я.Е., Заика И.В., Лабинцева А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. I / ТГПИ. Таганрог, 2008. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.2008 № 193-В2008.

3. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей

многочлена на основе сортировки. I // Кибернетика и системный анализ. 2007. № 1. С. 165 - 183.

4. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей

многочлена на основе сортировки. II // Там же. 2007. № 2. С. 161 175.

5. Заика И.В. Разработка и исследование схем оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Таганрог, 2007.

6. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию

аналитических функций. М., 1997.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремаль-

ных задач. М., 1988.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.,

1962.

9. Ромм Я.Е., Заика И.В., Соловьева И.А. Метод программной оптимизации в приложении к математическим моделям экономики // Сб. докл. ГУ-й Междунар. науч.-практ.

n

e

t0s

e

конф. «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании». Т. 2 (8-10 сентября 2005 г. ТИУиЭ). Таганрог. 2005. С. 17-26.

10. Ромм Я.Е., Заика И.В. Программная локализация экстремумов функций и разностных приближений решений дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спец. выпуск «Математическое моделирование и компьютерные технологии». С. 55-61.

11. Ромм Я.Е., Заика И.В. Метод нахождения экстремумов решений дифференциальных уравнений на основе адресной сортировки / ТГПИ. Таганрог, 2003. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 15.12.2003 № 908-В2003

12. Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. 2006. № 1. С. 128-144.

13. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.. 1964.

Поступила в редакцию

14. Буланов С.Г. Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем: Автореф. дис... канд. техн. наук. Таганрог, 2006. 20 с.

15. Катрич С.А. Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Таганрог, 2006.

16. Ромм Я.Е., Заика И.В., Лабинцева А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. II / ТГПИ. Таганрог, 2008. 44 с. Деп. в ВИНИТИ 04.03.2008 № 194-В2008.

17. Ромм Я. Е., Заика И.В., Тюшнякова И.А. Идентификация экстремумов функций на основе сортировки с приложением к вычислительным схемам алгебры, анализа и распознаванию изображений // Проблеми програмування: Матерiалы 5-й мiжнародноi науково-практичноi конференцп з програмування УкрПР0Г'2006. 23-25 травня 2006 р. Украша, Кшв, 2006. № 2-3. С. 708-717..

23 июня 2008 г.

Ромм Яков Евсеевич - докт. техн. наук, профессор, зав. кафедрой информатики Таганрогского государственного педагогического института. Тел. (8634) 60-17-53. E-mail: romm@list.ru

Лабинцева Анастасия Александровна - аспирант кафедры информатики Таганрогского государственного педагогического института. Тел. (8634) 60-18-92. E-mail: sas71405@yandex.ru

Заика Ирина Викторовна - канд. техн. наук, доцент кафедры информатики Таганрогского государственного педагогического института. Тел. (8634) 60-18-07. E-mail: irin-zaik@yandex.ru