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Section 2. Mathematics
Section 2. Mathematics
Borisovskiy Ivan Petrovich, Belgorod National Research University Associate professor, Pedagogical Institute, E-mail: i_brs@mail.ru
Über einige Eigenschaften der Räume der Bootby-Wang-Zerlegung
Abstract: Im Artikel wird der Raum der Bootby-Wang-Zerlegung untersucht. Es werden zwei Lehrsetze bewiesen. Erstens, wenn der Raum der Bootby-Wang-Zerlegung dem Grundsatz der 2r +1 - Untermannigfaltigkeiten (r > 2), die O - holomorph sind, genügend ist, so ist die Basis der Zerlegung die Hodge-Mannigfaltigkeit. Zweitens, der Raum der Bootby-Wang-Zerlegung ist dem Grundsatz der 2r +1 - Flächen (r > 2), die O - holomorph sind, genügend dann und nur dann, wenn die Basis der Zerlegung eine räumliche Komplexform ist.
Keywords: Mannigfaltigkeit, Untermannigfaltigkeit, Untermodul, dual, fast-Kontaktstruktur, Bootby-Wang-Zerlegung.
Man sagt, die metrische fast-Kontaktmannigfaltig-keit P2n+1 entspreche dem Grundsatz der 2r +1 - Untermannigfaltigkeiten (1 < r < n), die O - holomorph sind, wenn Vp e P, VL c Tp (P), dim L = 2r +1,0(L) c L, 3N c P - O - invariante Untermannigfaltigkeit, so dass p g N,Tp(N) = L. Im Fall, wenn man die Untermannigfaltigkeit immer geodätisch wählen kann, sagt man, die Mannigfaltigkeit P entspreche dem Grundsatz der 2r +1 - Flächen, die O - holomorph sind.
Sei der Raum der Bootby-Wang-Zerlegung über die allgemeine Hodge-Mannigfaltigkeit dem Grundsatz der 2r +1 - Untermannigfaltigkeiten, die O - holomorph sind, genügend. Da Vp g P, L c Tp (P)- der ungeradezah-lige O - invariante Unterraum ist, und N c P - O - invariante Untermannigfaltigkeit, so infolge seiner O -Invarianz sind die eigene Untermoduln der Enge O auf X (N) in eigenen Untermoduln des Operators O beschlossen. Weiter werden wir glauben, dass die Indexe die Werte von 1 bis r durchlaufen. Wählen wir in Tp (N) A- Reper (p,^,vl,v1,.,vr,v\v2,...vr). Bezeichnen wir j: Tp (N) ^ Tp (P)- natürliche Einbettung. Im beliebigen A- Reper (p,^,sl,s2,.,sn,e\e2,...en) wird sie durch die folgenden Gleichungen gegeben:
J(ya) = CX;
j(va ) = Cy;
Bezeichnen wir (d,d1,d2,...,dr ,d\d2,...dr) -Cobasis, die der Basis (£,v1,v2,...,vr,v1,v2,.vr) dual ist.
Dann
®a = C'aea; = caA; (1)
a = d.
Differenzieren wir (1.1) durch äußere Ableitung: d®a = dC'a Ada+ C'adda.
Unter Berücksichtigung (1) und der erster Gruppe der Strukturgleichungen der metrischen fast-Kontakt-struktur, die auf dem Raum der Booby-Wang-Zerle-gung induziert ist, haben wir
Cad6a = (-dCa + C V -V-1C 6) a
a a ab " a '
a6 a + BahcCßCrc6ßA67. Merken wir, dass
c:C:=(CX es >=< j (va), j (w))=s:.
Minimieren wir (2) durch C"a, so ergibt
de7 = (-CdC + CC'a' -V-I<Sre)A
v a a a a b * a '
Aea + Babccicßqeß Aer.
Bezeichnen wir
ei=-cdc;+cyc®;,
(2)
(3)
(4)
(5)
so ergibt
der =er Ada -4-\5r dAda + Babccr cßcveßAe.
a * a a b c p y
Analogisch durch Differenzierung (1.2) ergibt
dd = (-C dCa -C Cahrnh +y[-iöaG)A
Y \ y a y b a * Y
aO + Bhc acßcoß Ad".
a abc Y ß n
Merken wir, dass die äußere Differenzierung der Gleichung QQ =ö7a ergibt:
cjc: =-cidca.
Unter Berücksichtigung des ergibt
Über einige Eigenschaften der Räume der Bootby-Wang-Zerlegung
de =-ea ag +4-isaGAG + ccßcB heßAdn. (6)
Y y a * y a Y ß n ahc
Weiter, gemäß (4) kann man die Gleichung (2) folgendermaßen darstellen
(de; - ehr®; +4-ic:e;) AQy +
+(Bdbcc CCC - Batceßerc )dßA0n = 0. Angesichts der linearen Unabhängigkeit der Formen {da,dß} und Cartan's Lemma gibt es solche Funktionen {Q}, dass
T-\ßhr s—I ß S~\Y s—Iß s—I Y S—1 ß D dbc
' (7)
1.B"bcCßCr = CClCeCB
b c a abc
2.dC -Cty +4-\Cß:= c:ßß;CiR] = 0.
aß^
"[aß]
Die Beziehung (7.1) wird dargestellt
(1 Ba„c§ä - Bä„c§a ) = CßC1CaCH = 0.
^ g g ' b c d a
r
Da diese Beziehung in Bezug auf {C} identisch erfüllen soll, angenommen, dass r > 2 ergibt
1 Babcgd _ -Bdbcga
r g _ g' »
Daraus gleich folgt, dass Baic = 0, d. h. die Basis der Zerlegung — die Hodge-Mannigfaltigkeit ist. Wenn r = 1 , so wird die Beziehung (7.1) automatisch erfüllt (beide seine Teile gleich Null). Also ist bewiesen
Lehrsatz 1. Wenn der Raum der Bootby-Wang-Zer-legung dem Grundsatz der 2r +1 - Untermannigfaltigkeiten (r > 22), die O - holomorph sind, genügend ist, so ist die Basis der Zerlegung die Hodge-Mannigfaltig-keit.
Sei die Mannigfaltigkeit P dem Grundsatz der 2r +1 - Untermannigfaltigkeiten, die O - holomorph sind, genügend. So wird (7.2) dargestellt
de; - c"r®; +4-ic:e;= 0.
Durch äußere Differenzierung dieser Beziehung unter Berücksichtigung (1) und der zweiten Gruppe der Strukturgleichungen ergibt
c ßdeß = c;e;Aea +
+chac ßCY (2B adhBhtc+Ad+2ö;§: )eß Aer + +Cacßc%dadß AdcCßCYb-dßß Adr.
Weiter wird r > 2. angenommen. Laut dem bewiesenen Lehrsatz Babc = 0, also Bbcaä = Bacäb = 0. So wird die letzte Beziehung dargestellt
с;ва= с;е;Ава+cCcyA+2§;sС )вв Авг. (8)
Durch die Differenzierung (4) ergibt АвЦ, а вг = 0, где Щ= de:-e;Ada+ 2вгАва.
Analogisch durch die Differenzierung (5) gilt
АваАвг = 0.
Y
Mit Hilfe der allgemeinen Cartan's Lemma ergibt, dass Авга =XaßQß Авп, so dass ^ = = 0. Durch die Einsetzung in (8) folgt
C"C ßC'AA? + 2öahöd) = -257C ß + C'XZ.
aß d ^ bc b c ' aß ф aß
Die letzte Beziehung wird dargestellt als
(AfS9 SZ + 2Sb"SdS9SZ + 2SaSfS9S'Z -l9VRSahSd)x
^ bc aß b c aß c b aß aß b c '
xC "CcCrd = 0.
9 у d
Da sie in Bezug auf {C} identisch erfüllen soll, daraus ergibt
Aäcöi;+iszsz-^öz=о.
Minimierung durch Indexe (a,q>) и (ß,w) ergibt
Aa = ASC, wo А = -
K ( —-Kßß-2 Aber das bedeutet,
dass die Basis der Zenegung eine räumliche Komplexform ist, und der Raum der Zerlegung eine räumliche Sasaki's Form ist. Andererseits ist eine beliebige räumliche Sasaki's Form der A-Dimension mehr als 3 dem Grundsatz der 2r +1 -Flächen, die O - holomorph sind, genügend [1].
Also, gilt
Lehrsatz 2. Der Raum der Bootby-Wang-Zerle-gung ist dem Grundsatz der 2r +1 - Flächen (r > 2), die O - holomorph sind, genügend dann und nur dann, wenn die Basis der Zerlegung eine räumliche Komplexform ist.
References:
1.
Кириченко В. Ф. Аксиома Ф - голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии//Изв. АН СССР. Сер.мат.,1984,48, № 4, С. 711-734.
