CC BY
45
Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 25 (163). Физика. Вып. 6. С. 5-12 .
ФИЗИКА МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
М. А. Шамсутдинов, Л. А. Калякин, А. Л. Сухоносов, А. Т. Харисов
АВТОРЕЗОНАНСНЫЙ МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ СЛАБОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКОЙ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ*
Исследованы слаборелятивистские нелинейные колебания доменных стенок в ферромагнитной пленке с плоскопараллельной периодической доменной структурой во внешнем поле с медленно меняющейся частотой. Показано, что модуляцией частоты поля можно перевести систему доменных стенок из состояния равновесия (или близкого к равновесному) в стационарный нелинейный режим колебаний и управлять нелинейной динамикой стенок в условиях автофазировки.
Ключевые слова: ромбический ферромагнетик, управление динамикой доменной стенки, слаборелятивистская динамика, авторезонанс.
Введение
Движение доменной стенки в переменном магнитном поле Н (^), как показал Де-ринг [1], можно описать уравнением движения осциллятора. Возвращающая сила может быть обусловлена взаимодействием доменной стенки с дефектами, градиентным внешним полем, а также магнитостатическим взаимодействием.
Представляет интерес исследование условий управляемого возбуждения нелинейных колебаний доменных стенок под действием переменных полей небольшой амплитуды. Известно, что в отсутствие затухания управляемая генерация нелинейных колебаний в колебательной системе может иметь место в случае медленного изменения частоты возбуждающего поля достаточно малой амплитуды (см., например, [27]). Такое возбуждение может происходить благодаря эффекту авторезонанса (используется также термин автофазировка), под которым понимается явление автоматической подстройки собственной частоты нелинейной системы под частоту внешнего воздействия. Такой «захват» частоты, удерживаемый длительное время, может приводить к значительному росту амплиту-
ды колебаний доменных стенок при существенно малой постоянной амплитуде накачки [6; 7].
В работах [6; 7] показана возможность авторезонансной генерации нелинейных нерелятивистских колебаний доменных стенок переменными полями небольшой амплитуды. Однако доменная стенка в ромбических слабых ферромагнетиках может проявлять свойства, присущие релятивистской частице [8; 9].
Целью настоящей работы является выявление возможности управления нелинейной слаборелятивистской динамикой доменных стенок: исследование условий возбуждения нелинейных колебаний в режиме автофазировки и перевода системы в стационарный режим, а также определение условий, при которых достигается полное управление нелинейной динамикой частот-но-модулированными переменными полями небольшой постоянной амплитуды.
Уравнение движения
Уравнение, описывающее нелинейную динамику доменных стенок в пленке ромбического ферромагнетика (рис. 1) в переменном поле Н(^) с учетом зависимости
* Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 09-0192436-КЭ и ГНТП № 3 АН РБ.
эффективной массы стенки от ее скорости, можно записать в виде
Ь ~ пН
хтт +-------Хт + г =----------
ш№ О 4пМ0
(1)
где
У л =
1 -
ш
2пс
-1/2
Здесь 1 = 01, I — текущее время, О = (16пМ0 / т№Б)112 — собственная частота колебаний доменной стенки в решетке полосовых доменов в толстой ферромагнитной пластине [10], х = 2щ / Б, I = пЬ / Б , 2Б — период доменной структуры, q — смещение доменной стенки относительно положения равновесия, т№ — эффективная
масса покоя доменной стенки на единицу площади, Ь — коэффициент вязкого трения на единицу площади.
1
т№ =
Ь = 2М о
2пу д5о Дб
где у — гиромагнитное отношение,
5о =4 А / Ки — толщина доменной стенки, д = 1 + Кр1 (2пМо), А — константа неоднородного обменного взаимодействия; Ки и Кр — константы одноосной и ромбической магнитной анизотропии; — под-
вижность доменной стенки, М0 — намагниченность насыщения.
-ПІ
п
Следуя работам [11; 12], имеем
2 “ 1 - е
Е (х) = х + - £ (-1)п
1 п=1
<х>
= 8 2 2п+1
//
■ БІЙ ПХ =
(2)
2п+1
Х
п=0
-ГҐ 1 1 і —, 1 1 г- 1
1 " 1 Ы, 1 1 і 1 1
"р
20
Рик. 1. Плоккопараллельная периодическая доменная структура
Здесь 8 и первые два коэффициента
§2п+1 равны [11]:
82 = 21п(сЬ,2), 81 = 1,83 = ,.М. <3)
Одной из целей исследования является определение условий, при которых ферромагнитная пластина приближается к состоянию насыщения, то есть амплитуда колебаний стенки нарастает до величины порядка половины ширины домена q ~ Б / 2; в безразмерных переменных это соответствует хтах « п . Нелинейность модели играет важную роль в изучаемом явлении авторезонанса, и при х ~ 1 функция Е (х) в общем случае не может быть упрощена. Однако условия возникновения авторезонанса (захват в резонанс) выявляются из анализа уравнений на начальном этапе, когда амплитуда колебаний мала. В таком случае из нелинейных слагаемых достаточно учиты-
3
вать слагаемые, пропорциональные х и
хх^2, и рассматривать в качестве исходной
модели уравнение, описывающее слаборелятивистскую динамику:
(
хпп + 2^хл + х +
5,х2 -1 [ Оао
2 ^ 2пс пН (П)
\2 ^ I хП
х =
(4)
4пМ о 8
Здесь в качестве независимой переменной используется время п с характерным масштабом быстрых линейных колебаний
8Т = ®о1 = П,
ш0 = = 8пуМ0
2^ = -
^5
БІ
Ь
01п(сь2)'
1/2
(5)
Следует отметить, что в уравнении (4) слагаемое 83х3 описывает потенциальную
нелинейность, а ххП — кинетическую нелинейность. Видно, что эти слагаемые входят с противоположными знаками. Знак слагаемого, определяющего нелинейность, играет важную роль при установлении условий захвата частоты, точнее, при опреде-
2
х
лении направления изменения частоты поля накачки со временем. При I >> 1 преобладает кинетическая нелинейность, обусловленная слабым релятивизмом динамики стенки, т. е.
12<< 1.
( Do0 53 << 0
. 2пс ^
Данная работа посвящена анализу этого случая.
Уравнения главного резонанса
Рассмотрим колебания под действием слабого Н0 << 4тсМ0 переменного поля
Н (ц) = Н0(1 + рц) cos Ф ,
Ф = | (ю(П)/®0)^Л. (6)
с медленно меняющейся во времени частотой
ю(ц) = ®0(1 + w(n)), I ^(ц)1<<1, (7)
где р — скорость изменения амплитуды поля.
Воспользуемся тем, что в случае постоянной амплитуды и частоты переменного поля даже при не очень малых амплитудах поля и смещениях доменной стенки быстрые колебания остаются близкими к гармоническим [12; 13]. Формально это проявляется в том, что для уравнений (4) можно строить асимптотические решения с малой амплитудой в виде
х(ц s) = s
1/3
р(9)
cos(£+y(9))+O(s2/3)
хц = -в1/3-р£йп(Ф+у(9))+O(s2/3).
(8)
л/ТЮГ
Здесь
s = J2*0лДд h
Н,,
g
4пМ 0
, \2 (9)
«о =83- 1&)• йо *о)
где р и у — медленно меняющиеся во времени амплитуда и фаза колебаний. Масштаб медленного времени 0 = в2/3п определяется характерным значением амплитуды накачки.
Применяя классический метод усреднения [14], получаем систему уравнений
главного резонанса, которая в масштабе медленного времени 0 имеет вид:
— = -—(1 + рв-2 30)бш у-^в-2/3р, d0 2
—у = -в-2'3 »<0) -1 (1 + рв-2'30)с°^у + (1о) —0 2 р
+
8 I ^0 I
Р
Основная цель анализа системы (1о) состоит в выявлении условий, при которых наблюдается изменение амплитуды р(0), синхронизованное с изменением ^(0), что может иметь место при «захвате» частоты. Из анализа (1о) следует, что условия возбуждения авторезонансных колебаний определяются соотношением между параметром диссипации и параметрами частотной модуляции поля накачки. Режим автофази-ровки, как показывает анализ системы (1о), осуществим пока выполняется условие
2 32
s >— W 3
(11)
Нарушение данного условия приводит к срыву авторезонансного режима колебаний.
Отметим еще, что частота поля накачки должна изменяться достаточно медленно [2-7]. Критерий медленности изменения частоты накачки, необходимый для сохранения режима автофазировки, определяется видом функции ^(0) и в общем случае может быть определен только численно.
Авторезонансное возбуждение нелинейных колебаний
С точки зрения управления нелинейной динамикой системы стенок, наибольший интерес представляет определение условий захвата в случае линейного закона изменения частоты со временем:
w(9) =
-vs" 2/39,
1«о1
где V << 1 — определяет скорость изменения частоты накачки.
Анализ уравнений главного резонанса в этом случае, проведенный в работах [6; 7], показал, что если параметр затухания мал по сравнению с амплитудой накачки
(Хв 2/3 << 1), то существуют решения р(0), которые довольно долго растут, а затем на далеких временах происходит срыв на ог-
раниченную асимптотику. Этот вывод подтверждается численным решением уравнения (4), приведенным на рис. 2.
Рик. 2. Результаты численныхракчетов при l = 10, h0 = 0,005, X = 0,01, v = 10
0,5(ш0 / 2nc)2 = 0,1: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10); сплошная линия на рисунке «в» — sin у, пунктирная — cos у
-5
Момент достижения максимума амплитуды колебаний определяется приближенно из соотношения [7]:
U
32 ^ X ) v g5Q В этот момент амплитуда принимает
максимальное значение
х„
п h0
2? Т
(12)
Отсюда следует, что приближение ферромагнитной пластины к состоянию насыщения при I >> 1 может иметь место при
Ъо > 282Х « 2Х << 1, или в размерных переменных Но > 8пМоХ. Из (12) видно, что
максимальная амплитуда не зависит от характеристик кинетической нелинейности. Кинетическая нелинейность, как и потенциальная, влияет на время достижения максимальной амплитуды.
Результаты анализа уравнений главного резонанса хорошо подтверждаются численными решением уравнения (4). Кроме того, найденная зависимость хтах и I* от Ио/ X
подтверждается результатами строгого анализа системы вида (1о) [15].
Управление выходом системы на стационарный режим нелинейных колебаний
Теперь перейдем к исследованию возможности перевода доменной стенки, находящейся в равновесии или в близком к нему
положении, в стационарный колебательный режим движения с большой амплитудой, близкой к хтах, определяемой (12).
Выберем закон изменения частоты накачки в виде
М,(в) = « к Л(в“2/30),
I «о I
к << 1^<< 1. (13)
В таком случае условие (11), с учетом (9), принимает вид:
Г ^7 \1/2
. (14)
h0 2
XX > g
32k
31 ^0 I
I ьо |у
Условие (14) подтверждается численным решением усредненных уравнений (1о) и уравнения (4) (рис. 3, 4). Видно, что амплитуда колебаний в13р/(«о)12, полученная из уравнений (1о), хорошо совпадает с амплитудой колебаний доменной стенки, определяемой из уравнения (4).
Анализ поведения разности фаз у , приведенных на рис. 3-5, показывает, что пока не происходит срыв, момент которого определяется нарушением условия (11), движение доменной стенки синхронизовано с переменным внешним полем. Быстрое изменение разности фаз у, нарастающее со временем (рис. 5в), свидетельствует о нарушении условия автофазировки, связанного с нарушением критерия медленности частоты накачки. Таким образом,
существует критическое значение пара- приводит к разрушению авторезонансного метра V = Vкр , превышение над которым режима.
Рис. 3. Результаты численных расчетов при I = 1о, X = 1о
-3
-4
к = о,о3, v = 1о-
о,5(шо / 2пс)2 = о,1: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
Рис. 4. Результаты численных расчетов при Ио = 6 • 1о 4 и остальных параметрах, соответствующих рис. 3: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
4
Рис. 5. Результаты численных расчетов при V = 6 • 1о 4 и остальных параметрах, соответствующих рис. 4: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
Численный эксперимент показывает, что амплитуда колебаний стенки в стационарном режиме определяется глубиной модуляции к — большему к соответствует большая амплитуда установившихся колебаний; время выхода на стационарный режим задается параметром V — увеличение
V до v кр ведет к уменьшению этого времени.
Полное управление нелинейной динамикой доменной стенки
Рассмотрим возможность полного управления нелинейной динамикой доменных стенок частотно-модулированным переменным полем. Полное управление включает в себя не только возбуждение, но и контролируемое подавление высокоамплитудных колебаний доменных стенок.
Закон изменения частоты накачки выберем в виде
^(0) =
«о -к8ш(в
2/3
V0) , к << 1, V << 1.
1«о1
Такой выбор позволяет полностью управлять амплитудой и частотой нелинейных колебаний доменной стенки.
Условие (11) принимает тот же вид (14), что и в случае выбора закона изменения частоты в виде (13). Выполнение этого условия подтверждается численными расчетами (рис. 6 и 7).
1,0 0,5 * 0,0 -0,5 -1,0
III
111
о
100000
п
200000
1.0 а. 0.5 § о.о -0.5 -1.0'
В)
К ./\. /\ .А
0 50000 100000 150000 200000
________п_________
100000
П
200000
а. 0.5
I о.о
-0.5
-1.0
50000 100000 150000 200000
п
Рис. 6. Результаты численных расчетов для параметров, соответствующих рис. 4: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
100000
П
200000
1.0 а. 0.5 0.0 -0,5 -1.0
Р
1
1
1
В).
1
1.0 : *5 = 0.0 -0.5 -1.0,
50000 100000 150000 200000
4—
50000 100000 150000 200000
П
Рис. 7. Результаты численных расчетов для параметров, соответствующих рис. 3: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
Значение
кр
наряду с параметрами до-
менной структуры пленки и поля накачки, определяется видом модулирующей функции ^(0) (рис. 5 и 8). Так же, как и в случае
(13), глубина модуляции задается параметром к .
Как видно из сравнения рис. 6 и 9, период функции м>(0) задает период изменения
амплитуды колебаний доменной стенки.
|,0ц
0 10000 20000 30000
1
6000 12000 18000 24000 30000
ч
-4
Рис. 8. Результаты численных расчетов при V = 8 • 1о ' и остальных параметрах, соответствующих рис. 4: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
1.<>ГЗ-;-1--5---;--;--а 1-°|--------------------- *
0,5 ч 0,0 -0,5 -1,0
шт
11Ш1
о
100000
п
200000
0,:
2
Г=0,<
Ч/> ’
^ 0,4 0,2 0,0
'ШШ1
и
у
и
а.0.5 § 0.0 -0.5 -1.0
Г\ А А Л Л.Л /1
I 50000 100000 150000 200000
__________V____________
О
100000
>1
200000
-4
3,0.5
I 0.0
-0.5
-1.0
ЛЛЛЛЛЛ]
50000 100000 150000 200000
П
Рис. 9. Результаты численных расчетов для V = 2 • 1о-4 и остальных параметров, соответствующих рис. 4: а) решение уравнения (4); б) и в) решение уравнений (10)
Анализ показывает, что на временах
2пп/v<n<п(2n +1)/V, (п = о, 1, 2...) частота накачки оказывается меньшей или равной частоте линейного резонанса доменной стенки. В этом интервале времени изменение частоты накачки синхронизовано с изменением частоты колебаний стенки, т. е. с уменьшением частоты накачки частота стенки уменьшается, а далее с увеличением частоты накачки частота колебаний стенки растет, что обеспечивает автоматическое сохранение резонансных условий. Из рис. 6 и 9 видно, что захват фазы и частоты длится в течение промежутка времени Лп = п / V. В течение первой половины этого интервала амплитуда колебаний растет, а второй — убывает. На временах п(2п +1) / V < п < 2п(п +1) / V частота накачки оказывается больше резонансной частоты доменной стенки. В этом случае захват частоты отсутствует, так как изменение частоты накачки и частоты колебаний доменной стенки не синхронны, вследствие чего резонансные условия нарушаются. Доменная стенка переходит в устойчивый нерезонансный режим колебаний, продолжающийся в течение времени Лп = п / V, а затем снова наступает режим захвата фазы и частоты.
Из графика на рис. 7 видно, что в момент времени п ~ п(1 + 4n)/(2v) имеет место срыв амплитуды (нарушение условия (11)), а вблизи п ~ п(2п +1)/ V наблюдается скачок, обусловленный выполнением резонансного условия — равенства частоты накачки и частоты колебаний стенки. Однако вследствие их несинхронного изменения резонансное условие нарушается и не происходит захвата в авторезонанс. Рис. 8 иллюстрирует отсутствие полного захвата, что связано с быстрым изменением частоты накачки, хотя имеется промежуток времени вблизи п ~ пп / V , когда частоты накачки и стенки убывают.
Заключение
В слабодиссипативной модели авторезонанса показана возможность стабилиза-
ции и полного управления слаборелятивистской нелинейной динамикой стенок в плоскопараллельной доменной структуре магнитных пленок. Предполагается, что динамическая стабильность и управление могут быть достигнуты частотным модулированием поля накачки. На основе анализа уравнения динамики и уравнений главного резонанса для смещения стенки в поле накачки получены следующие основные результаты.
Необходимое условие возбуждения ав-торезонансных колебаний стенки определяется соотношением между диссипацией в системе, амплитудой и глубиной частотной модуляции поля накачки. При этом частота накачки должна изменяться так, чтобы система успевала подстраиваться под ее изменение.
Форма установившихся нелинейных колебаний определяется видом функции, задающей модуляцию частоты накачки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Деринг, В. Инерция границ между ферромагнитными областями / В. Деринг // Ферромагнитный резонанс. М. : ИЛ, 1952. С.312-32о.
2. Калякин, Л. А. Асимптотический анализ уравнений модели авторезонанса / Л. А. Калякин // ДАН. 2оо1. Т. 378, № 5. С.594-597.
3. Калякин, Л. А. Усреднение в модели авторезонанса / Л. А. Калякин // Математические заметки. 2оо3. Т. 73, вып. 3. С.449-452.
4. Калякин, Л. А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса / Л. А. Калякин // УМН. 2оо8. Т. 63, вып. 5. С. 3-72.
5. Шамсутдинов, М. А. Ферро- и антифер-ромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны : монография / М. А. Шамсутдинов, И. Ю. Ломакина, В. Н. Назаров и др. Уфа: Гилем, 2оо7. 368 с.
6. Шамсутдинов, М. А. Авторезонанс в пластине ферромагнетика с плоскопараллельной периодической доменной структурой / М. А. Шамсутдинов, Л. А. Ка-лякин, А. А. Халфина, А. Л. Сухоносов
// Известия РАН. Сер. физическая. 2оо8. Т. 72, № 1о. С. 1487-1489.
7. Шамсутдинов, М. А. Авторезонансное возбуждение колебаний доменных стенок в ферромагнитной пленке / М. А. Шам-сутдинов, Л. А. Калякин, А. Л. Сухо-носов, А. А. Халфина // ФММ. 2оо9. Т. Ю8, № 1. С. 1о-21.
8. Звездин, А. К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках / А. К. Звездин // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, № 1о. С. 6о5-61о.
9. Барьяхтар, В. Г. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках / В. Г. Барьяхтар, Б. А. Иванов, А. Л. Сукстанский //
ЖЭТФ. 198о. Т. 78, № 4. С. 15о9-1522.
10. Малоземов, А. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами : монография / А. Малоземов, Дж. Слонзуски. М. : Мир, 1982. 382 с.
11. Шамсутдинов, М. А. Нелинейные волны
в цепочке плоскопараллельных доменных границ в ферромагнетике / М. А. Шамсутдинов, С. Э. Рахимов,
А. Т. Харисов // ФТТ. 2001. Т. 43, № 4. С.690-692.
12. Филиппов, Б. Н. Нелинейная динамика взаимодействующих доменных границ в тонкой ферромагнитной пленке во внешнем периодическом магнитном поле. II. Регулярные и хаотические колебания границ / Б. Н. Филиппов, М. М. Соловьев // ФММ. 1995. Т. 80, вып. 5. С. 49-56.
13. Соловьев, М. М. Хаотическая динамика взаимодействующих доменных границ в одноосной ферромагнитной пленке / М. М. Соловьев, Б. Н. Филиппов // ФТТ. 1997. Т. 39, № 11. С. 2036-2039.
14. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний : монография / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. М. : Наука, 1974. 501 с.
15. Kiselev, O. Autoresonant germ in dissipative system / O. Kiselev, S. Glebov // arXiv:0902.4595v1 [math-ph] 26 Feb. 2009.
