CC BY
76
УДК 681.3.06
АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ НА МАКРОЭЛЕМЕНТЫ В МЕТОДЕ ВНЕШНИХ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ
А.А. Успехов, А.С. Троценко, Д.А. Болотцев
В статье рассматривается проблема автоматизации генерации исходных данных для расчётов с использованием МВКА. Предложен алгоритм разбиения детали на макроэлементы произвольной формы. Получены результаты разбиений для характерных плоских фигур с различными параметрами
Ключевые слова: метод конечных элементов, метод внешних конечно-элементных аппроксимаций, макроэлементы
Современный уровень создания конкурентоспособных объектов механики требует применения на стадии технического проектирования эффективных методов компьютерного моделирования. Такой подход позволяет найти оптимальные параметры конструкции изделия с незначительными затратами. Поиск удачного варианта конструкции укладывается в некоторое количество итераций, на каждой из которых инженер проводит моделирование эксплуатационных состояний изделия. МКЭ [1] считается одним из самых распространенных современных методов моделирования.
Тем не менее в результате постоянного роста сложности проектируемых изделий, а также необходимости создания их наилучших вариантов в сжатые сроки становится актуальным использование альтернативного метода моделирования МВКА [2], который в сравнении с МКЭ имеет значительные преимущества - низкие ресурсоемкость и трудоемкость вычислений при той же точности.
Множество достоинств потенциально ставит МВКА на одном уровне с МКЭ, но отсутствие нужных для моделирования автоматизированных средств (препроцессоров) генерации расчетных данных не позволяет широко использовать этот метод в инженерной практике. Согласно специфики МВКА такое средство уместно называть генератором макроэлементов в отличии от аналогичного генератора конечно-элементной сетки в МКЭ.
Следуя МВКА, макроэлемент может быть любой сплошной формы, но в рамках определенного критерия; контур должен быть близ-
Успехов Андрей Александрович — ООО «ИНОБИТЕК», ген. директор, e-mail: [email protected] Троценко Александр Сергеевич - ВГТУ, студент, e-mail: [email protected]
Болотцев Дмитрий Анатольевич — ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]
ким к прямоугольнику. Совокупное подобие всех макроэлементов такой фигуре определяет точность моделирования. Поэтому требуется разбиение области на множество частей, каждая из которых была бы близка в указанном формальном смысле к прямоугольнику.
Формальное выражение близости строится по очевидным соображениям
к=^, (1)
где- к критерий близости ( 0 < к < 1 , 0 - минимальная близость к прямоугольнику, 1 - максимальная); 5е - площадь макроэлемента; 5г -наименьшая площадь ограничивающего макроэлемент прямоугольника.
Ключевыми функциями предлагаемого подхода (рис. 1) являются поиск ограничивающего макроэлемент (1) прямоугольника (2) минимальной площади и рассечение соответствующего макроэлемента на две части по линии (3), разделяющей прямоугольник пополам перпендикулярно большей стороне. В результате деления получается два макроэлемента (4).
Рис. 1. Схема разбиения макроэлемента
Итерационная структура алгоритма предусматривает рекурсивную процедуру деления макроэлементов на части меньшего размера, начиная с исходной области, до тех пор, пока для всех полученных макроэлементов не будут удовлетворены условия е < к и Бе > б, где е - некоторое действительное значение близости к прямоугольнику (0 < е < 1), а б - установленная предельная минимальная площадь макроэлемента. Процесс деления также прекращается для макроэлементов, которые имеют форму, близкую к треугольнику. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 2.
В специальных случаях изменение к каждой итерации у треугольных, а также четырехугольных макроэлементов носит периодический характер (к = const в случае прямоугольного треугольника), порождающий проблему сходимости. С целью её преодоления вводится процедура распознавания таких форм макроэлементов и, далее, исключения их из деления (рис. 3).
Рис. 3. Картины делений, приводящие к периодическому изменению к
Основной идеей алгоритма распознавания форм, близких к треугольнику, выступает поиск прямолинейных участков на контуре макроэлемента. При поточечном обходе контура с добавлением каждой точки происходит построение ограничивающего прямоугольника. Отношение длин сторон прямоугольника Н и Ь определяет степень кривизны линии на текущем множестве точек. Пример поиска прямолинейного участка показан на рис. 4. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 5.
Рис. 2. Блок-схема алгоритма разбиения
1-4 - прямапшвйяый згчаетаг
Рис. 4. Схема поиска прямолинейного участка
Однако стоит отметить, что ограничивающий прямоугольник не всегда верно описывает характер изменения кривизны контура. Примером тому может служить ситуация на рис. 6.
Для решения этой проблемы было введено новое условие, заключающееся в следующем: расстояние между начальной и конечной точками множества с добавлением новой точки должно увеличиваться, иначе имеет место сильное искривление.
Рис. 5. Блок-схема алгоритма распознавания треугольника
Рис. 6. Исключение в алгоритме распознавания треугольника
В реализации алгоритма разбиения используется дополнительный функционал Open-Cascade [3]. Он берет на себя описание областей, предоставляет инструменты их разбиения, производит поиск ограничивающего прямоугольника, выполняет обработку входной и формирование выходной информации.
Методика опробована на множестве форм характерных конфигураций с определенными значениями е. Картины различных по форме фигур и соответствующих сеток макроэлементов представлены на рис. 7, 8, 9. Следует обратить внимание на то, как изменяется частота разбиения в зависимости от е, а также на области профилей фигур, где разбиение учащается.
Рис. 7. Варианты разбиений на макроэлементы профиля шатуна
Особенность алгоритма проявляется в чрезмерном разбиении макроэлементов при определенных значениях, преимущественно при больших значениях. Таким образом можно установить необходимую частоту разбиения, которая в последующем отразится на произво-
дительности расчетной системы и точности получаемого результата.
Рис. 8. Варианты разбиений на макроэлементы профиля кольца
6=0.75/* ~—
1
e=0.7 /
)
Рис. 9. Варианты разбиений на макроэлементы профиля крючка
Наряду с представленной методикой был опробован еще один способ разбиения на макроэлементы. Так для фигур, имеющих округлую форму или период по внешнему контуру, была опробована схема разбиения на основе полярных координат. Полярные координаты вводят иной принцип рассечения элемента —
по углу и по радиусу. Такой подход позволяет строить более равномерную картину разбиений для форм, имеющих класс круговых. Здесь же была введена система распознавания повторяющихся секторов на внешнем контуре. В этом случае происходит разбиение только одного сектора, а затем результат копируется на остальные (рис. 10).
Рис. 10. Пример разбиения с использованием секторного деления в полярных координатах
Выводы. 1. Алгоритм имеет простую структуру, которая легко поддается распараллеливанию. 2. Практическая сходимость предлагаемого метода обеспечивается на плоских областях произвольных конфигураций. 3. Предложенный подход не требует принципиальных дополнений для развития генерации сеток макроэлементов в пространственных областях.
Литература
1. Зенкевич, О.С. Метод конечных элементов в технике [Текст]: пер. с англ. / О.С. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
2. Апанович, В.Н. Метод внешних конечно-элементных аппроксимаций [Текст] / В.Н. Апанович. -Минск: Вышэйш. шк, 1991 . - 171 с.
3. OpenCascade [Электронный ресурс]: Режим доступа: World Wide Web. URL : http://www.opencascade.org
ООО «ИНОБИТЕК», г. Воронеж
Воронежский государственный технический университет
AUTOMATIC MACROELEMENT GENERATION FOR PRECISE SOLID METHOD A.A. Uspekhov, A.S. Trotsenko, V.A. Bolotsev
The article is devoted to the problem of automatic generation input database for Precise Solid Method (PSM). An algorithm partitioning the details into macroelements is given. The splitting of typical parts is done with different parameters
Key words: finite element method, method of external finite-element approximation, precise solid method, macroelements
