Научная статья на тему 'Аспекти застосування методу перетворюючої матриці'

Аспекти застосування методу перетворюючої матриці Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
271
62
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
метод интегральных многообразий / метод преобразующей матрицы / система обыкновенных дифференциальных уравнений / операторное уравнение / уменьшение размерности фазового пространства / метод інтегральних многовидів / метод перетворюючої матриці / система звичайних інтегральних рівнянь / операторне рівняння / зменшення розмірності фазового простору / method of integral manifolds / the method of transforming the matrix system of ordinary differential equations / operator equation / the reduction of dimensionality of the phase space

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — М.І. Купцов, С.Л. Яблочніков

В статті розглядається вирішення задачі стосовно пошуку нетривіальних інтегральних многовидів нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь, що має кінцеву розмірність, права частина якої є періодичною вектор-функцією незалежної змінної та містить параметри. Передбачається, що у дослідженій системі в наявності нульова інтегральний многовид при усіх значеннях параметру, а відповідна лінійна підсистема має m-параметричну множину періодичних розв`язків. Знайдені нові достатні умови існування в околі стану рівноваги системи ненульового інтегрального різноманіття меншого ступеня розмірності ніж того, що має вихідний фазовий простір. Під час знаходження достатніх умов формуються оператори, котрі дозволяють звести розв`язок даної задачі до пошуку їх нерухомих точок.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Aspects of the method transforming matrix

We consider the problem of finding nontrivial integral manifolds for nonlinear nite-dimensional system of ordinary differential equations, the right side is a periodic vector-function on the independent variable and contains the parameters. It is assumed that the system under study has zero integral manifold for all values of the parameter, and the corresponding linear subsystem has the m-parametric family of periodic solutions. Found new sufficient conditions of existence in a neighborhood of the equilibrium systems of non-zero periodic integral manifolds of fewer dimensions than the original phase space. In the derivation of sufficient conditions are based operators, which allow to bring a solution to this problem to the search of fixed points.

Текст научной работы на тему «Аспекти застосування методу перетворюючої матриці»

Scientific journal

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Купцов М.1., Яблочшков С.Л. Аспекти застосування методу перетворюючоi матрицi // Ф1зико-математична oceima : науковий журнал. - 2016. - Випуск 1(7). - С. 87-95.

Kuptsov M.I., Yablochnikov S.L. Aspects of the method transforming matrix // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 1 (7). - Р. 87-95.

Актуальшсть теми дослщження. Математичне моделювання, що передбачае, зокрема, формування систем диферен^альних рiвнянь, е досить важливим етапом виршення багатьох природничо-наукових та шженерних завдань. Тому, дослщженню диферен^альних рiвнянь, котрi вщображають механiзми рiзноманiтних фiзичних, технiчних, технолопчних, соцiально-економiчних та iнших процесiв i явищ, й, зокрема, пошуку штегральних рiзноманiть , присвячена велика кшьшсть наукових публiкацiй та дисертацiйних дослщжень украУнських, росiйських та закордонних вчених. Однак, рiзноманiття окремих систем диферен^альних рiвнянь обумовлюе наявнiсть проблем стосовно розробки загальних ефективних методiв дослщження iнтегральних многовидiв (особливо у критичних випадках), що, в свою чергу, й визначае актуальшсть дослщження, яке реалiзоване авторами.

Аналiз публшацш за темою дослiдження. До найбiльш продуктивних методiв здiйснення дослiдження iнтегральних рiзноманiть слiд вiднести методи малого параметру [1], точкових вщображень [2], усереднення [3], а також метод так званих штегральних многовидiв, запропонований у свм час М.М. Боголюбовим [4] й згодом розвинутий у наукових працях Ю.А. М^ропольського i А.М. Самойленко [5-7]. Зокрема, зазначений нами вище метод штегральних рiзноманiть дозволив устшно вирiшити задачу знаходження iнварiантних множин стосовно досить широкого класу систем звичайних диференщальних рiвнянь, котрi цiлком можуть бути зведенi до системи рiвнянь наступного вигляду:

УДК 517.9

М.1. Купцов

Академ'т права та управл'ння ФСВП, Рост

С.Л. Яблочшков

В'!нницький соц'юльно-економ'нний iнститут, Украша

АСПЕКТИ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПЕРЕТВОРЮЮЧО1 МАТРИЦ!

де х е Я" ,ре Ят, Х(0,0,р, г 0, при цьому X (е,0,р, г) тотожно у нуль не перетворюеться.

Термш («многовиди») в публiкацiях украУнських дослщниюв, на нашу думку, зчявився в наслщок здiйснення «прямого» й не зовам коректного перекладу термшу «многообразие», котрий е уживаним у науковш л^ератур^ що надрукована росiйською мовою. В укра1нськ1й мов1 вщсутне слово «много», зам1сть нього зазвичай уживають слова «багато», «множина», «розмаУття». Тому, ми пропонуемо ввести новий варiант украУномовного трактування даного поняття - «рiзноманiття». Далi за текстом будемо застосовувати обидва термши паралельно.

Як правило (див., наприклад, [4 - 6]), метод штегральних рiзноманiть (росмською - «метод интегральных многообразий») застосовуеться щодо вирiшення системи (1) ще й при додатковому припущены стосовно експоненцшноУ дихотомГ! лшшноУ пщсистеми

х = А(г )• х. (2)

У випадку неавтономной матриц лiнiйного наближення це означае вщсутшсть у неУ нульових та суто уявних власних чисел.

Метод штегральних рiзноманiть цтком може бути розповсюджений й на випадок, коли X(е,0,0,г) = 0 [8, 9] або ж на певш спе^альш системи [10], котрi задовольняють вимогам експоненцiйноУ дихотомГУ рiвняння (2). Однак, цтком уникнути виконання умов X(е,0,р,г) = 0 та одночасноУ вiдсутностi експоненцiйноУ дихотомГУ вдаеться лише за допомогою знаходження ршення допомiжного векторного (бiфуркацiйного) рiвняння [11, 12].

У прикладних дослщженнях iнварiантна поверхня, котра мае значно меншу розмiрнiсть, дозволяе певним чином спростити модел^ що розглядаються, а також дослщити Ух характернi властивостi, а також набути додатковоУ iнформацiУ стосовно стану дослщжуваних систем. Саме тому метод штегральних многовидiв е потужним шструментом не тiльки здiйснення аналiзу нелiнiйних коливань [6, 11, 13] та задач динамки [14 - 16] (в тому чист й тих, в яких зчясовуються властивост траекторiй руху космiчних апаратiв [17, 18]), але й виршення проблем в межах теорiУ управлiння [19 -21], мехашки рiдини [22], електродинамти [23] та процесiв самооргашзацГ! наноструктур [24, 25].

Мета даноТ публшацм - розвчязок задачi юнування ненульових iнтегральних многовидiв в околi стану рiвноваги (х=0) системи (1) при умовах Х(е,0,р,г) = 0, незмшност матрицi А(г)рiвняння (2) та наявностi у неУ власних чисел з нульовою дмсною частиною.

Виклад основного матерiалу. Розглянемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь (1) з урахуванням наступних умов:

1) Х(е,х,ф,г) = Х(е,х,ф,{)• х, де Х(а,х,ф,г)- " х "-матриця;

2) правi частини системи, ш-перюдичш стосовно компоненлв вектора ф та Т-перюдичш стосовно незалежноУ змiнноУ г е Я, неперервнi в област Ят+1 хХхЕ й забезпечують iснування единого i нелокального продовження розвчязюв, де Х = {х :||х||Е = {е: Це-еЦ } ||| - евклiдова норма, 8{ - константи, ее Я"+т ,е -

сталий вектор;

3) лшмна тдсистема

х = Х (0,0,^, г )• х (3)

не залежить вщ ф та мае ненульовi АТ-перюдичш рiшення, к е N .

Формулюеться задача знаходження достатнiх умов кнування ненульових iнтегральних рiзноманiть в околi стану рiвноваги (х=0) системи (1) при попередшх умовах 1) - 3).

Нехай Г(р,х)еЦ,е(р)еЦ - ш-перюдичш стосовно компонентiв вектора ф обмежеш вектор-функцií, котрi задовольняють умовам Лтшиця, якi мають, вiдповiдно, розмiрнiсть п та l (0<1<п+т, Г(р,х) ^Г-перюдична по t).

-.1/2

Припустимо для p-мiрноí вектор-функцп ||у(г)| = X $ир| у2 (г)

2=1

а

Якщо для

множин Ц ввести вказану норму, то вони стають опуклими компактами [26, с. 15].

Для виршення диференцмного рiвняння

р = ф(е(р0), Г (ро, X ),р, X), (4)

котре задовольняе початковим даним р(о)=р0, застосуемо позначення р^. Нехай, о^м того, У/ (р0, х) - матрицант рiвняння

х = Х(е(Ро), F(Pо, х\рр, х)- х . (5)

Тут i далi n+m-l значень компонентiв вектора £ зафiксовано, а заметь l значень в рiвняннi системи (1) пiдставлено елементи функцп е(р0)е Ц, а Г(р0,х)е Ц .

Визначення. Невщокремлену функцiональну пхп-матрицю QF(р0) зi сталим визначником, неперервну за уама и змiнними та ш-перюдичну за компонентами вектора р0, надалi будемо iменувати перетворюючою матрицею системи (5) при виконанш умови, що у тако' матрицi

У (<0, кт)- 1п )• QF (ро) (6)

юнуе, принаймнi, один ненульовий стовпчик дре (р0). Тут /и - одинична п х п -матриця.

Далi розглянемо наступну систему рiвнянь (7)

дГ (<0 )=о,

к]ф(е(ро ), Г (ро, X )<, X )й = 0. (7)

0

Теорема. Нехай е виконаними умови 1) - 3). Тод^ якщо перетворюючу матрицю системи (5) вдаеться побудувати так, що

4) для виршення системи (7) достатньо знайти ршення певно', вщмшноУ вiд (7) системи рiвнянь

яГ (ро )=о ; (8)

5) для кожно' функцп Г(р0,х)ёЦ рiвняння (8) мае лише одне ршення ер(р0) з множини Ц;

6) уГ (ро, X )• qF (ро |< Го,

,, ^< г0,

У (ро*, х\ О (р0 )-¥? (ро, X) QF (ро )< гр -4 при X е [0; кТ], то для будь-якого вектора р0 е Ят можливо вказати таке значення параметру £, що система (1) буде мати ненульове штегральне рiзноманiття як завгодно мало' околиц стану рiвноваги х=0.

Доказ. З умов 4), 5) теореми слщуе, що при е = еГ(р0) система (7) перетворюеться у тотожнiсть. Це, в свою чергу, означае, що рiвняння (5) мае перiодичне ршення

хГ (ро, г) = у? (ро, х)• ОГ (ро )• с, (9)

• u — . . w

де yci елементи постмного n-вектора C дор1внюють нулю, окр1м елементу, якии в1дпов1дае номеру стовпчика qFe (р), котриИ дор1внюе c - дов1льн1И констант1. В свою чергу, неособливють перетворюючоУ матриц! забезпечуе нетрив1альн1сть xF (р, t).

Зг1дно умов 6), xF(р,t) задовольняе умовам Л1пшиця 3Í сталою r •с за змшною р та обмежена числом r0 • с . Тому, за рахунок зменшення c завжди можливо досягти виконання xF(р,t.

Таким чином, ми сформували оператор, котриИ визначаеться р1вняннями (8) та (9), до якого, у звчязку 1з едшстю значення sF(р) для кожноУ функцй' F(р0,t)eQj, можливо застосувати теорему [27, С. 26]. Тому, у цього оператора юнуе нерухома точка ¥(р,t) = У^(р,t)-öj(p)^C, при s = s^(po), що визначае ненульове штегральне р1зноман1ття системи (1).

Д1Исно, для того, щоб упевнитись в цьому, достатньо здшснити диференцювання ¥(р,t) та врахувати тоИ факт, що функц1я pj задовольняе р1внянню (4), а тому, И систем! (1).

Теорема доведена.

В якост1 тюстрацп практичного застосування наведено' нами вище теореми розглянемо наступниИ приклад.

Приклад. НехаИ до системи трьох скалярних диференц1альних р1внянь (10)

А =«2 (|)Р + («1 (|)" Ор +

+ (2 + sin t)• pi + р\ • cos р,

Р 2 =(1 "«I (s))Pl +«2 (|)Р + + Pl2 +Р22 +Pl - P2 - C0SP,

р = «3(s)+ + (p1 + P2 )2 • cos t • (2 + sin р), входить лише одна векторна величина se R3 i аг(е) = аг1 s+аг2 s2+аг3 s3 + ot (|s||), а незм1нна 3 х3-матриця А = («) неособлива. Будемо також вважати, що для тотожностеИ oi(j|s||) виконуються умови Л1пшиця з такими константами yt, для яких yi ^ 0 при 0 (див. 2)).

Тод1 для системи (10) е справедливими твердження 1) - 3). Дшсно, система (3) в даному випадку набувае вигляду

ÍÁ = P2, 1 Р 2 =Pl,

та, в1дпов1дно, мае 2я-пер1одичне р1шення p = cos t, р2 = sin t. Виконання умов 1) i 2) очевидно.

Системи, под1бн1 р1внянням (10), дослщжувались у публ1кац1ях [5, с. 479] и [26, с. 71]. Однак, систем! (10) притаманна низка особливостеИ, котр1 не дозволяють довести 1снування у неУ ненульового штегрального р1зноман1ття тими самими методами, котр1 застосовуються для зазначених у [5] та [26] систем. Продемонструемо, що сформульована нами вище теорема дозволяе це зробити.

З ц1ею метою зазначимо, що р1вняння (4) та (5) для системи (10) будуть вщпов1дно мати вигляд (11) та (12)

ф = аъ (s (ф)) + + (F1 ф0, t) + F2 (p0, t))2 • cos t • (2 + sin p),

p1 =(а2 (s (Ф0 ))+(2 + Sin FJ fab O^Pj + + (а1 (s (ф ))" 1 + F2 (ф , t ) • C0S Pp \p2,

p 2 =(1 "а1 (s (ф )) + F1 (Ф0, t ))^Pl +

(11)

(12)

(а2 (е(фо)) + р (ф,х) + р (фа,х) • сое фр )• р2,

пРи цьому ^(фа,г)=(р (Фо,г)р(Фа'г)Г, е(фа)=(е1 (фа^(фа^(фа))Г - 2л-перюдична за Ф0, а р(ф, г) ще й за г.

^м того, в силу властивостей правих частин системи (10), розвчязок за фр рiвняння (11) обмежно, задовольняе умовi Лiпшиu1я за уама своУми змшними при г е [0,2^] та 2я-перiодичне за початковими даними ф0. А тодi й матрицанту 7р (ф,г) рiвняння (12) притаманнi такi ж самi властивостi (див., на приклад, [26, с. 29]).

Можна довести (див., на приклад, [26, с. 34]), що для матрицанта рiвняння (12) справедливо представлення

ТеР (фа,г) = 7р (фа,г) + Ур (фа,г), в якому Ур (ф, г) е матрицантом системи двох скалярних рiвнянь

|а =«2 (е(фо +(а1 (е(фа ))-1) • Р2,

"0;

1Л =(1 "а1 (sp0 )))^Pj +а2 (sp0 )) • P 2 ,

a Yf (ф,t) обмежено, задовольняе умовам Лiпшиця за уама змшними при t е [0,2л] з сталими, якi можна перетворити на досить мaлi за рахунок зменшення числа S1 з умови 2).

Тому,

I _ а2 (s(p0 )>t / У1ф t) У2ф0, t) 1

YsF (P0, t ) = еа

- У2 (P0, t) Уl(Фo, t)

де У1 (P0, t) = C0s[(j - а1 (s(P0))) •t 1

У2 ф0,t) = sin[(j -а1(sф0)))•t] ■

I ^i yj(p0,2^) = cos(aj(s(p0))• 2л),

У2 (P0, t) = -sin(а1 (s(P0 )) •2 л) ■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

З представлення у виглядi ряду Тейлора для e

sin(a(s(p0))^2л), отримуемо, що другий стовпчик матриц (ур(ф,2л)-/2) можливо

(13)

а2 (S(P0 ))2л

cosí

(а1 (s(P0 ))•2л) ,

записати таким чином:

а^ • Sj 1 а^ • S2 I ^а^ ^ • s^ I

\а21 • S1 + а22 • S2 + а23 • s3

(е(фа ),фа Л

•ез + ур (е(фа ),фа )/

де у ур(е(ф),ф) зiбрaнi елементи другого стовпчика матрицi У/(ф,2ж) та доданки, котрi мають по £ порядок малост бiльший, нiж перший.

Якщо тепер прийняти Qpe (ф) = 12, то з цього випливае, що виконуеться умова 6) попередньоУ теореми та другий стовпчик цр(ф) матриц (6) е вектором (13). Тому, у приклад^ що розглядаеться, для системи (7) (а разом i з нею й для рiвняння (8)) можливо представлення

A-s(P>)+YsF (P0 ) = 0,

(14)

в якому yf < ) =

(у! (s(Po ),<0 T У 2 (s((Po ),<0 ) vy3F (s(Po ),Po )/

Уз (s(Po Po ) = °3 W(Po 2 J +

+ J [(Fi (Po, t) + F2 (Po, t))2 - cos t - (2 + sin < .

o

Оскiльки det А^ 0, то (14) цшком розв'язуеться вщносно е(р0):

е(р ) = -А-1 • у! (<Р0). (15)

Шляхом зменшення чисел та 82 легко впевнитись, що оператор, котрий задае рiвняння (15), е стискаючим й для кожноУ функцп ^(р0,переводить прослр у . Цим фактом у повнш мiрi доведено виконання умов 4) та 5) попередньоУ теореми, тому, юнування локального ненульового штегрального рiзноманiття (многовиду) системи (10).

Розглянутий нами приклад не ттьки тюструе метод перетворюючоУ матриц^ котра сформульована нами у наведенш вище теоремi, але й наочно демонструе те, що е сенс його використовувати у випадках, коли класичний метод штегральних рiзноманiть (многовидiв) застосувати з певних причин не мае можливостк Так, система (10) мае нульовий многовид р = 0, р2= 0 при будь-яких значеннях параметру е, а це не дозволяе скористатися методом штегральних рiзноманiть . ^м того, з наведеного нами прикладу зрозумто, що доведений нами вище принцип юнування iнварiантних множин систем звичайних диферен^альних рiвнянь е бiльш ефективним для аналiзу широкого класу систем виду (1), шж низка теорем, котрi були у свiй час розглянут у публiкацiях [26, 28 - 30] (див., зокрема, [26, с. 71]).

Список використаних джерел

1. Гребенников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов. - М.: Наука, 1979. - 432 с.

2. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Либроком, 2010. - 472 с.

3. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем / Ю. А. Митропольский, Е. А. Гребенников. - М.: Наука, 1992. - 220 с.

4. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. - 139 с.

5. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. - М.: Наука, 1973. - 512 с.

6. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. - 301 с.

7. Самойленко А. М. Про юнування нескiнченновимiрних iнварiантних торiв нелшмних злiченних систем диферен^ально^зницевих рiвнянь / А. М. Самойленко, Ю. В. Теплшський, К. В. Пасюк // Нелшшш коливання, 2010. -Т. 13, - №2. - С. 253-271.

8. Соболев В.А. Интегральные многообразия и принцип сведения / В.А. Соболев, Д.М. Щепакин // Вестник Самарского государственного ун-та, 2011. - № 5 (86). -С. 81 - 92.

9. Курбаншоев С.З. Построение оптимальных интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений / С.З. Курбаншоев, М.А. Нусайриев //

Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2014. - Т. 57. - № 11-12. -С. 807-812.

10. Щетинина Е.В. Интегральные многообразия быстро-медленных систем и затягивание потери устойчивости / Е.В. Щетинина // Вестник Самарского государственного университета, 2010. - №6 (80). - С. 93-105.

11. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю.Н. Бибиков. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. - 142 с.

12. Волков Д. Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел / Д. Ю. Волков // Вестник Ленинградского университета, 1988. - Серия 1. - №2. - С. 102 - 103.

13. Кононенко Л.И. Влияние формы интегрального многообразия на возникновение релаксационных колебаний / Л.И. Кононенко // Сибирский журнал индустриальной математики, 2006. - Т. IX. - №2. - С. 75 - 80.

14. Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий в задаче о движении тяжелого гиростата / И.Н. Гашененко // Нелинейная динамика, 2005. - Т.1. - № 1. -С. 33-52.

15. Макеев Н.Н. Интегральные многообразия уравнений динамики сложных механических систем: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. СПб: Изд-во СПбГУ, 1992. - 28 с.

16. Макеев Н.Н. Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела / Н.Н. Макеев // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2013. - №2 (21). - С. 51 - 58.

17. Заболотнов Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. 2003. - Т. 41. - № 5. -С. 481-487.

18. Купцов М. И. Применение теории периодических решений к нахождению орбит спутников / М. И. Купцов // Компьютерные методы небесной механики - 95: Тез. докл. всерос. конф. с междунар. участием «Компьютерные методы небесной механики - 95». СПб: Изд-во ИТА РАН, 1995. - С. 141 - 142.

19. Соболев В.А. Метод интегральных многообразий в задачах оптимального управления сингулярно возмущенными системами / В.А. Соболев, М.С. Осинцев // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. - С. 769 - 779.

20. Гурман В.И. Преобразования управляемых систем для исследования импульсных режимов / В.И. Гурман // Автоматика и телемеханика, 2009. - №4. - С. 89 - 97.

21. Мухарлямов Р.Г. Управление динамикой манипулятора с программными связями / Р.Г. Мухарлямов, Н.В. Абрамов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы, 2011. - №43. - С. 90 - 102.

22. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере / В.В. Остапенко, А.А. Черевко, А.П. Чупахин // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2011. - №2. - С. 33 - 51.

23. Дякин В.В. Об одном подходе к решению магнитостатической задачи для тел с инородными включениями в неоднородном внешнем поле / В.В. Дякин, В.Я. Раевский, О.В. Умергалина // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009. - Т.49. - №1. - С. 178 - 188.

24. Метлицкая А. В. Моделирование процессов самоорганизации наноструктур при ионном распылении поверхности полупроводников: автореферат диссертации на

соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ярославль: ЯГУ, 2014. - 30 с.

25. Куликов А.Н. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке / А.Н. Куликов, Д.А. Куликов // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012. - Т. 52. - №5. -С. 930.

26. Купцов М. И. Существование интегральных многообразий и периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рязань: РГПУ, 1996. - 133 с.

27. Терёхин М. Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. Т. Терёхин // Учеб. пособие к спецкурсу. - Рязань: РГПИ, 1992. -88 с.

28. Купцов М. И. Существование интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений / М. И. Купцов // Дифференциальные уравнения, 1998. - Т.34. - №6.- С. 855.

29. Kuptsov M.I. Local integral manifold of a system of differential equations // Differential equations. 1998. vol. 34, no. 7, pp. 1005-1007.

30. Купцов М. И. Локальное интегральное многообразие систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра / М. И. Купцов // Дифференциальные уравнения, 1999. - Т.35. - №11. - С. 1579 - 1580.

Анотащя. Купцов М.1., Яблочнков С.Л. Аспекти застосування методу перетворюючоТ матриц'!.

В cmammi розглядаеться вирiшення задач'1 стосовно пошуку нетрив'>альних '¡нтегральних многовид'ш нелiнiйноi системи звичайних диферен^альних рiвнянь, що мае юнцеву розм'ршсть, права частина яко)' е перодичною вектор-функц'>ею незалежно)' змiнноi та м'>стить параметри. Передбачаеться, що у досл'!дженш систем'1 в наявностi нульова '¡нтегральний многовид при усх значеннях параметру, а в'дпов'дна лiнiйна п'дсистема мае т-параметричну множину перодичних розв^язк'в. Знайденi нов'1 достатн умови iснування в окол'1 стану р'вноваги системи ненульового 'нтегрального р'!зномашття меншого ступеня розмiрностi нж того, що мае вих'дний фазовий прост'>р. П'д час знаходження достатшх умов формуються оператори, котрi дозволяють звести розв^язок даноi задачi до пошуку iх нерухомих точок.

Ключов'1 слова: метод iнтегральних многовид'ш, метод перетворюючоi матриц'1, система звичайних iнтегральних рiвнянь, операторне р'вняння, зменшення розмiрностi фазового простору.

Аннотация. Купцов М.И., Яблочников С.Л. Аспекты использования метода преобразующей матрицы.

Рассматривается задача нахождения нетривиальных интегральных многообразий нелинейной конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой является периодической вектор-функцией по независимой переменной и содержит параметры. Предполагается, что у изучаемой системы имеется нулевое интегральное многообразие при всех значениях параметра, а соответствующая линейная подсистема имеет т-параметрическое семейство периодических решений. Найдены

новые достаточные условия существования в окрестности состояния равновесия системы ненулевого периодического интегрального многообразия меньшего числа измерений, чем исходное фазовое пространство. При выводе достаточных условий строятся операторы, позволяющие свести решение указанной задачи к поиску их неподвижных точек.

Ключевые слова: метод интегральных многообразий, метод преобразующей матрицы, система обыкновенных дифференциальных уравнений, операторное уравнение, уменьшение размерности фазового пространства.

Abstract. Kuptsov M.I., Yablochnikov S.L. Aspects of the method transforming matrix.

We consider the problem of finding nontrivial integral manifolds for nonlinear nite-dimensional system of ordinary differential equations, the right side is a periodic vector-function on the independent variable and contains the parameters. It is assumed that the system under study has zero integral manifold for all values of the parameter, and the corresponding linear subsystem has the m-parametric family of periodic solutions. Found new sufficient conditions of existence in a neighborhood of the equilibrium systems of nonzero periodic integral manifolds of fewer dimensions than the original phase space. In the derivation of sufficient conditions are based operators, which allow to bring a solution to this problem to the search of fixed points.

Key words: method of integral manifolds, the method of transforming the matrix system of ordinary differential equations, operator equation, the reduction of dimensionality of the phase space.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.