Асимптотика уравнения фильтрации Текст научной статьи по специальности «Физика»

основания и фундаменты, подземные сооружения.

механика грунтов

УДК 624.131

л.И. кузьмина, Ю.в. осипов*

НИУВШЭ, *НИУМГСУ

асимптотика уравнения фильтрации

При проектировании и строительстве подземных и гидротехнических сооружений необходимо моделировать фильтрацию взвеси частиц в пористой среде. Рассмотрена геометрическая модель фильтрации твердых частиц, проходящих через крупные поры и осаждающихся в мелких порах. Построено асимптотическое решение уравнения фильтрации вблизи фронта концентраций. Для верификации асимптотики проведено сравнение с известными точными решениями.

Ключевые слова: суспензия, пористая среда, фильтрация, коэффициент фильтрации, асимптотическое решение

Задача о фильтрации частиц в пористой среде. Задача о движении взвеси твердых частиц через пористую среду встречается во многих областях науки и техники. При проектировании и строительстве подземных и гидротехнических сооружений, прокладке туннелей необходимо решать задачи подземной гидромеханики, в т.ч. и задачу фильтрации [1, 2]. В нефтегазовой отрасли мельчайшие частицы твердых пород, движущиеся в потоке жидкости, могут существенно повлиять на производительность скважин [3]. В различных технических и биологических системах очистки поверхностных и сточных вод и

L.I. Kuzmina, Yu.v. osipov*

HSE, *MGSU

asymptotic solution of the filtration equation

The problem of filtering a suspension of tiny solid particles in a porous medium is considered. The suspension with constant concentration of suspended particles at the filter inlet moves through the empty filter at a constant speed. There are no particles ahead of the front; behind the front of the fluid flow solid particles interact with the porous medium. The geometric model of filtration without effects caused by viscosity and electrostatic forces is considered. Solid particles in the suspension pass freely through large pores together with the fluid flow and are stuck in the pores that are smaller than the size of the particles. It is considered that one particle can clog only one small pore and vice versa. The precipitated particles form a fixed deposit increasing over time. The filtration problem is formed by the system of two quasi-linear differential equations in partial derivatives with respect to the concentrations of suspended and retained particles. The boundary conditions are set at the filter inlet and at the initial moment. At the concentration front the solution of the problem is discontinuous. By the method of potential the system of equations of the filtration problem is reduced to one equation with respect to the concentration of deposit with a boundary condition in integral form. An asymptotic solution of the filtration equation is constructed near the concentration front. The terms of the asymptotic expansions satisfy linear ordinary differential equations of the first order and are determined successively in an explicit form. For verification of the as-ymptotics the comparison with the known exact solutions is performed.

Key words: suspension, porous media, filtration, filtration coefficient, asymptotic solution

© Кузьмина Л И., Осипов Ю.В., 2016

49

жидких промышленных отходов происходит захват частиц при движении суспензии через фильтрующую среду [4—8]. В медицине при моделировании процессов кровообращения решаются задачи фильтрации твердых частиц малых размеров [9].

В работе рассмотрена глубинная фильтрация суспензии в пористой среде. Суспензия — взвесь твердых мельчайших частиц — проходит через фильтр с порами различной протяженности и формы. Предполагается, что процесс фильтрации происходит на всех участках фильтра, а не только в его поверхностном слое [10, 11].

Взаимодействие взвешенных частиц с порами фильтра зависит от состава жидкости и структуры фильтра. Для описания процесса образования осадка используются математические модели, учитывающие различные физико-химические характеристики суспензии и фильтра: вязкость, электростатические силы и т.д. [12—19]. Рассмотрим механико-геометрическую модель взаимодействия частиц суспензии, протекающей через пористую среду [20]. Предположим, что частицы являются твердыми шарами, а поры на всех участках имеют круговое сечение постоянного диаметра. Будем считать, что захват частиц фильтром осуществляется механически: если диаметр частицы больше диаметра поры, то при попадании в эту пору частица застревает на ее входе. Предполагается, что осажденная частица не может быть выбита из поры потоком жидкости или другой

Filtration of particles in a porous medium. The problem of the motion of fluid with tiny solid particles through a porous medium can be found in many areas of science and technology. In the design and construction of tunnels, underground and hydraulic structures it is necessary to solve the problems of underground hydromechanics, including the problem of filtering the suspension [1, 2]. In the oil and gas industry the smallest particles of solid rock, moving in a fluid flow can significantly affect the performance of wells [3]. In various technical and biological systems designed for cleaning surface water, sewage and liquid industrial waste particles are captured while suspension is moving through the filtering medium [4—8]. In medicine, modeling of blood flow leads to problems of filtration of small solids [9].

This paper considers deep bed filtration of a suspension in a porous medium. Suspension — slurry of tiny solid particles — passes through a filter with pores of different lengths and shapes. It is assumed that the filtering process takes place in all the areas of the filter, not only in its surface layer [10, 11].

The interaction of suspended particles with pores of the filter depends on the fluid composition and the structure of the porous medium. For a description of the formation of deposits various mathematical models are used that take into account different physical and chemical characteristics of the slurry and the filter: viscosity, electrostatic forces, etc. [12—19]. Let's consider the geometric-mechanical model of interaction of the particles in a suspension flowing through a porous medium [20]. Assume that the solid particles are balls and the pores in all the areas have a circular cross section of constant diameter. The particles' capture in the filter is carried out mechanically: if a particle is larger than the diameter of the pore the particle is stuck at its inlet. It is assumed that the retained particles cannot be knocked out of the pores by fluid flow or other particles, and

частицей и навсегда остается в поре. Застрявшие в порах фильтра частицы образуют осадок.

решение задачи фильтрации описывает процесс прохождения частиц через поры фильтра и динамику выпадения осадка. Обратная задача фильтрации предполагает нахождение коэффициента фильтрации и других параметров по известным концентрациям взвешенных и осажденных частиц на выходе фильтра [21, 22].

Основные уравнения фильтрации. Рассмотрим основные уравнения, описывающие динамику взвешенных и осажденных частиц суспензии в фильтре единичной длины [23, 24]. Обозначим через С(х, 0 концентрацию взвешенных частиц, пусть ^^ 0 — концентрация осажденных частиц. В области

always remain in the pore. The particles which are trapped in the pores of the filter form a deposit.

The solution of filtration problem describes the process of the passage of the particles through the pores of the filter and the dynamics of deposit formation. An inverse problem of filtration involves finding the filtration coefficient and other parameters by the known concentrations of the suspended and retained particles at the filter outlet [21, 22].

General equations of filtration. Let's consider the basic equations describing the dynamics of the suspended and deposited particles of the suspension in the filter of the length l = 1 [23, 24]. We shall denote the concentration of suspended particles as C(x, t), let S(x, t) be the concentration of the precipitated particles. In the domain

концентрации частиц удовлетворяют уравнению непрерывности, которое с учетом неподвижности осадка в простейшем случае имеет вид

W = {0 < x <1, t >0}

the concentrations of the particles satisfy the equation of continuity, which, in view of immobility of the deposit in the simplest case takes the form

д(С + S) дл

Рост осадка пропорционален концентрации взвешенных частиц, из которых он образуется, а также зависит от текущей величины осадка S(x, t):

d-C=о.

dx

(1)

The growth of the deposit is proportional to the concentration of the suspended particles from which it is formed, and also depends on the current value of the retained particles S(x, t):

f = L( S )C, dt

(2)

где коэффициент фильтрации Л^ является непрерывной функцией, удовлетворяющей условию Л^ > 0 при S > 0, причем Л(0) > 0.

Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра х = 0 и в начальный момент времени Л = 0:

here, the filtration coefficient L(S) is a continuous function, which satisfies the condition L(S) > 0 when S > 0, and L(0) > 0.

The boundary conditions for the system (1), (2) are set at the inlet of the filter x = 0 and at the initial moment t = 0:

C (t)| ,=0=1

C (х, t )| f=0 = 0;

(3)

(4)

S (х, t)| f_0 = 0.

(5)

В [20] рассматривается обобщенная задача фильтрации с переменными коэффициентами. В этом случае удается построить только два первых члена асимптотического разложения. Асимптотика на входе фильтра найдена в [25].

Отметим характерные особенности задачи (1)—(5). Уравнения (1) и (2) образуют квазилинейную гиперболическую систему с характеристиками х = 0 и t = х. Краевые условия (3) и (5) не «сшиваются» в начале координат, следовательно, решение имеет разрыв в области О. Этот разрыв проходит по характеристике t = х. Концентрация взвешенных частиц имеет сильный разрыв

In [20] the generalized filtration problem with variable coefficients is considered. In this case only the first two terms of the asymptotic expansion were constructed. The asymptotic solution at the filter inlet is found in [25].

We should note the characteristic features of the problem (1)—(5). The equations (1), (2) form a quasi-linear hyperbolic system with the characteristics x = 0 and t = x. The boundary conditions (3) and (5) do not join in the origin, therefore, the solution has the gap in Q. The gap runs along the characteristic line t = x. The concentration of the suspended particles loses continuity on this line

C (х, t)

\ = 0, t < х;

> 0, t > х.

(6)

Концентрация осажденных частиц S(x, 0 непрерывна во всей области О и является гладкой в О везде, кроме характеристики t = х, на которой имеет слабый разрыв:

The concentration of the retained particles is continuous throughout the whole domain W and is smooth everywhere except the characteristics t = x

S (х, t)

| = 0, t < х;

> 0, t > х.

(7)

С течением времени процесс фильтрации замедляется: чем больше пор малого диаметра закрыто частицами, тем меньше скорость роста осадка. При больших временах почти все малые поры забиты осадком, фильтрация практически не происходит и все частицы суспензии свободно проходят через большие поры фильтра. В предельном случае

Over time, the filtration process decreases: the more pores of small diameter are clogged with the particles, the slower is the deposit's growth. At large times almost all small pores are clogged with the retained particles, filtering almost does not take place anymore, and the suspension with all large and small particles pass freely through the larger pores of the filter. In the limiting case

lim C (x, t ) = 1, lim S ( x, t ) = Smax = const, 0 < x < 1.

(8)

Условие (8) означает, что функция L(S) удовлетворяет условию

The condition (8) indicates that the function A(S satisfies the condition

L(Smax ) = 0.

(9)

Коэффициент фильтрации Л(5), удовлетворяющий условию (9), называется блокирующим. Введем потенциал

The function A(S) satisfying (9), is called a blocking filtration coefficient. We introduce a potential

Ф( S ) = J

Л©

Тогда из (2)

Then from (2)

C =

fà(S )

dt

(10)

(11)

Подставим (11) в уравнение (1) и проинтегрируем его по времени от 0 до t, используя краевые условия (3)—(5). Получаем квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

After substituting (11) into the equation (1) and integrating over time from 0 to t using the boundary conditions (3)—(5) we get a quasi-linear differential equation in partial derivatives of the first order

^ 3 = -Л( S )S

dt dx

(12)

в области W с интегральным граничным условием при x = 0

S (0,t )

ф( S (0, t) )= J

in the domain W with integral boundary condition at x = 0

Лф

= t.

(13)

Асимптотическое решение уравнения фильтрации. Пусть функция Л^ регулярна в окрестности точки S = 0 и Л^ Ф 0. Тогда ее можно представить в виде ряда по степеням S:

Л^) = 10 +

Будем искать асимптотику решения задачи (12), (13) в виде ряда по степеням (^ - х) с коэффициентами, зависящими только от переменной х:

The asymptotic solution of filtration equation. Let the function L(S) is regular in the neighborhood of S = 0 and L(S) 4 0. Then it can be represented as a series in powers of S:

I2 S

10 Ф 0.

(14)

We seek the asymptotic solution of the problem (12), (13) in the form of a series in powers (t - x) with coefficients depending only on the variable x

S = (t - x)v0 ( x) + (t - x)2 v1 ( x) + (t - x)3 v2 ( x) +... (15)

Ниже мы покажем, что функции Ук(х), к = 0, 1, 2, ... удовлетворяют рекуррентной системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка и легко интегрируются в явном виде.

Подставим разложения (14), (15) в уравнение (12). Левая часть (12) принимает вид

It will be shown below that the functions v(x), k = 0, 1, 2, ... satisfy the recurrence system of linear ordinary differential equations of the first order, and can be easily integrated in an explicit form.

After substituting the expansions (14), (15) in the equation (12) the left part of (12) takes the form

dS dS , f , 2 I / \3 t

— + — = (t- x)v0 + (t- X) v + (t- X) v2 +..

(16)

Правая часть (12) имеет вид The right side of (12) has the form

-L(S)S = -(t - x)1oVo - (t - x)2 (loV + V2 ) -

-(t -x)3 (lov2 +21jV0Vj +12v03 ) + ... (17)

Приравнивая коэффициенты при Equating the coefficients at equal одинаковых степенях (t - x) в (16) и powers (t - x) in (16) and (17) we obtain (17), получаем систему уравнений the system of equations

(t - x)1 : v0 =-Vo ; (t - x )2 : Vi' = -1o Vj -Vo2 ; (t - x)3 : v' = -1ov2 - 211VoV1 -12V0.

(18)

(19)

(20)

Определим начальные условия We define the initial conditions for

для системы уравнений (18)—(20), the system of equations (18)—(20) by

подставляя разложение (14) в инте- substituting the expansion (14) into the

гральное краевое условие (13): integral boundary condition (13):

о» о

Ф( s ) = i fZ)=J

dz

1 s

-M-

г J

dz

f( Z ) o Ào Z + ^2 Z 2 +... looi + z.

1 1

2 z2

1 S f (

1

J o

V

1 (

1

a

1 o

A_ 21

1 1n

2 „2

■S2

( 1° 12 VÀ0 1

2

o У > S3 ^

(21)

Здесь мы использовали стандартное разложение

1

o У У

Here standard series was used

1 + У

= 1 - y + y -..., y < 1.

Подставим в (21) представление Let's substitute the expansion (15) (15): into (21)

Ф( S ) = k- (( (t - x)v0 + (t - x)2 v + (t - x)3 v2 +...) -

k

2k,

— ((t - x)v0 + (t - x)2 Vj + (t - x)3 v2 + ...)2 +

(22)

0

Vk2

Л 3 '

- I((t-x)v0 + (t-x)2vj + (t-x)3v2 +...) +...

и сгруппируем правую часть (22) по and group the right side of (22) in the степеням (t - x): powers (t - x):

Ф(S) = (t - x)-0- + (t - x)2 k„

(

kJV0

2k2

0 У

+(t - x)3

kJV0 Vj

k0 k0

(k2

V k0

Л v3 Л

(23)

Обозначим

Let's denote

vo (0) = v00), v (0) = v<0), v2 (0) = v20). При x = 0 разложение (23) прини- At x = 0 the series (23) takes the

мает вид

Ф(5) ,=0 = + t2

(0)

form

k (V00)) 2Xt

2 Л

+t3

( (0) k vОvw 14 -k ' (c )3 1

k0 V k0 Vk0 k 2 ; 3 ;

(24)

+...

Подставим разложение (24) в кра- After substitution of (24) into the

евое условие (13). Из условия тожде- boundary condition (13) from the iden-

ственного совпадения правой и левой tical match of the right and the left sides

частей (13) получаем, что коэффици- of (13) we find that the coefficient of

ент при t равен 1, а коэффициенты при t is equal to 1, and the coefficients of

t2, t3, ... равны нулю. Имеем:

t2, t3, ... are zero.

,,(0)

= 1;

(25)

„(°)

k

kj (v00) f 2k2

= 0;

(26)

0

0

t

k

0

2

t

вестник 2/2016

3 t •

v(0) 1v(0V(0)

Л2

|( vo0) )3

1 1 V o ' = 0. (27)

13 12

V 0 0 J

Соотношения (25)—(27) опреде- The equations (25)—(27) determine

ляют начальные условия для системы the initial conditions for the system

уравнений (18)—(20). (18)—(20).

Решаем систему уравнений The unknown functions v0(x), v^x),

(18)—(20) с начальными условиями v2(x) are found consistently from the

(25)—(27), последовательно находя system of equations (18)—(20) with the

неизвестные функции v0(x), Vj(x), v2(x): initial conditions (25)—(27)

Vo = 1; (28)

v = 10^e~210x -1 e~10x j; (29)

v2 = 1012 (e^3l0x - e^2l0x ) +110212e~31°x +1 (l012 -1212) e~10x. (30)

Подставляя функции (28)—(30) Substituting the functions (28)—

в представление (15), получаем асим- (30) in the expansion (15), we obtain an

птотическое решение задачи (12), asymptotic solution of the problem (12),

(13): (13)

S(x, ,) =(,- x)10e-x +(t- x) 2^ (e-x -| e-x ) +(t- x)3

1012 (e^3l0x -e~210x) +11212e-3l0x +1 (l01? -l2l2)e^ j + (31) +O(t - x)4.

При известном асимптотическом With the known asymptotic solution решении (31) концентрация взвешен- (31), the concentration of the suspended ных частиц C(x, t) определяется из particles C(x, t) is determined using the уравнения (2): equation (2)

С = ^. (32)

L(S) У '

Подставляя в (32) разложения Substitution of (14), (15) and (31) in

(14), (15), (31), находим (32) gives

, v' - x4 2

2 (33)

C(x, t) = e"1ox + (t - x)11 (e-1x - e~Xox ) +1 (t - x)

x((212 +1 o12 )e"3^x - 31j°e~21°x +(l2 -1o 12 )e~Xox ) + 0(t - x)3.

Сравнение асимптотики с точ- Comparison of the asymptotics ным решением. Выводы. Сравним по- with the exact solution. Conclusions. лученную асимптотику с известными Compare the asymptotics (31) with

точными решениями [26, 27] для простейших зависимостей L(S).

1. L(S) = l = const. Известно аналитическое решение задачи (12), (13):

known exact solutions [26, 27] for the simple functions A(S).

1. A(S) = l = const. The known analytical solution of (12), (13) is

S(x, t) = (t - x)ke~k . (34)

Для выбранной функции L(S) в For the function L(S) the coefficients

разложении (14) имеем

in the expansion (14) are

1 = 11 = 0, 1 = 0,

В этом случае в асимптотике (31) только главный член отличен от нуля, и асимптотическое решение совпадает с точным решением задачи (12),

(13).

2. Л(5) = 1 - 5". Аналитическое решение задачи (12), (13) имеет вид

5 (х, г) = -

In the asymptotic solution (31) only the main term is non-zero, and the as-ymptotics coincides with the exact solution of the problem (12), (13).

2. A(S) = 1 - S. The analytical solution of the problem (12), (13) has the form

e*-x -1

Для линейной функции L(S) получаем

*-* , (35)

+ e -1

For the linear function A(S) the coefficients in the expansion (14)

1 = 1, 1 = -1, 12 = 0,

Асимптотика (31) принимает вид

S = (t - x)e~x + (t - x)2

--e

The asymptotics (31) takes the form

f „—Л

+ (t - x)3

e~3x - e~2x

(36)

Асимптотическое решение (36) является разложением функции (35) по формуле Тейлора по степеням - х).

Из вида асимптотического решения (31) следует, что концентрация осажденных частиц 5(х, 0 пропорциональна главному члену 10 = Л(0) разложения коэффициента фильтрации Л (5). На фронте концентраций ^ = х осадок отсутствует, а концентрация взвешенных частиц убывает с ростом х:

С (х, 0|

Движение частиц в фильтре описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, имеющими точное аналитическое решение лишь в простейших слу-

The asymptotic solution (36) is a Taylor's expansion of the function (35) in powers (t - x).

The asymptotic solution (31) for the concentration of the retained particles S(x, t) is proportional to the principal term 10 = A(0) of the expansion of the filtration coefficient A(S). At the concentration front t = x there is no deposit and the concentration of the suspended particles decreases with the increasing x:

= e"11 x.

The motion of the particles and the formation of the deposit in the filter are described by differential equations in partial derivatives having exact analytical solution only in the simplest cases.

чаях. Найденная асимптотика дает возможность исследовать свойства уравнения фильтрации и построить приближенное решение вблизи фронта концентраций. Отметим также, что построенное асимптотическое решение может использоваться для анализа и обработки данных лабораторных исследований фильтрации суспензии в пористой среде [28].

Библиографический список

1. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ry-zhik V.M. Theory of fluid flows through natural rocks. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1990. 396 p.

2. Bedrikovetsky P. Mathematical theory of oil and gas recovery with applications to ex-USSR oil and gas fields. Dordrecht : Kluwer Academic, 1993. 576 p.

3. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines in porous media. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1998. 173 p.

4. Tien C., Ramarao B.V Granular filtration of aerosols and hydrosols. 2nd ed. Amsterdam : Elsevier, 2007. 512 p.

5. Baveye P., Vandevivere P., Hoyle B.L., DeLeo P.C., Sanchez De Lozada D. Environmental impact and mechanisms of the biological clogging of saturated soils and aquifer materials // Critical Reviews in Environmental Science and Technology. 1998. Vol. 28. Pp. 123—191.

6. Jeong S., Vigneswaran S. Assessment of biological activity in contact flocculation filtration used as a pretreat-ment in seawater desalination // Chemical Engineering Journal. 2013. Vol. 228. Pp. 976—983.

7. Khare P., Talreja N., Deva D., Sharma A., Verma N. Carbon nanofibers containing metal-doped porous carbon beads for environmental remediation applications // Chemical Engineering Journal. 2013. Vol. 229. Pp. 72—81.

8. Inyang M., Gao B., Wu L., Yao Y., Zhang M., Liu L. Filtration of engineered nanoparticles in carbon-based fixed bed columns // Chemical Engineering Journal. 2013. Vol. 220. Pp. 221—227.

The obtained asymptotics makes it possible to study the properties of the filtration equation and to construct an approximate solution near the concentration front. we should also note that the asymptotic solutions can be used for treatment and analysis of laboratory studies on deep bed filtration [28].

References

1. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ry-zhik V.M. Theory of Fluid Flows through Natural Rocks. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1990, 396 p.

2. Bedrikovetsky P. Mathematical Theory of Oil and Gas Recovery with Applications to Ex-USSR Oil and Gas Fields. Dordrecht, Kluwer Academic, 1993, 576 p. DOI: http:// www.doi.org/10.1007/978-94-017-2205-6.

3. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of Fines in Porous Media. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1998, 173 p. DOI: http:// www.doi.org/10.1007/978-94-015-9074-7.

4. Tien C., Ramarao B.V. Granular Filtration of Aerosols and Hydrosols. 2nd ed. Amsterdam, Elsevier, 2007, 512 p.

5. Baveye P., Vandevivere P., Hoyle B.L., DeLeo P.C., Sanchez De Lozada D. Environmental Impact and Mechanisms of the Biological Clogging of Saturated Soils and Aquifer Materials. Critical Reviews in Environmental Science and Technology. 1998, vol. 28, pp. 123—191. DOI: http://www.doi. org/10.1080/10643389891254197.

6. Jeong S., Vigneswaran S. Assessment of Biological Activity in Contact Flocculation Filtration Used as a Pretreatment in Seawater Desalination. Chemical Engineering Journal. 2013, vol. 228, pp. 976—983. DOI: http:// www.doi.org/10.1016/jxej.2013.05.085.

7. Khare P., Talreja N., Deva D., Sharma A., Verma N. Carbon Nanofibers Containing Metal-Doped Porous Carbon Beads for Environmental Remediation Applications. Chemical Engineering Journal. 2013, vol. 229, pp. 72—81. DOI: http://www.doi. org/10.1016/j.cej.2013.04.113.

8. Inyang M., Gao B., Wu L., Yao Y., Zhang M., Liu L. Filtration of Engineered Nanoparticles in Carbon-Based Fixed Bed

9. Müller K., FedosovD.A., Gompper G. Understanding particle margination in blood flow — A step toward optimized drug delivery systems // Medical Engineering & Physics. 2015 (in print).

10. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact solution for long-term size exclusion suspension-colloidal transport in porous media // Abstract and Applied Analysis, vol. 2013, iss. "Mathematical and Computational Analyses of Flow and Transport Phenomena", 9 p., 2013.

11. Chalk P., Gooding N., Hutten S., You Z., Bedrikovetsky P. Pore size distribution from challenge coreflood testing by colloidal flow // Chemical Engineering Research and Design. 2012. Vol. 90. Pp. 63—77.

12. Santos A., Bedrikovetsky P. A stochastic model for particulate suspension flow in porous media // Transport in Porous Media. 2006. Vol. 62. Pp. 23—53.

13. VollebregtH.M., Van der SmanR.G.M., Boom R.M. Model for particle migration in bidisperse suspensions by use of effective temperature // Faraday Discussions. 2012. Vol. 158. Pp. 89—103.

14. SundN., Bolster D., Mattis S., Daw-son C. Pre-asymptotic transport upscaling in inertial and unsteady flows through porous media // Transport in Porous Media. 2015. Vol. 109. Issue 2. Pp. 411—432.

15. Mathieu-Potvin F., Gosselin L. Impact of non-uniform properties on governing equations for fluid flows in porous media // Transport in Porous Media. 2014. Vol. 105. Issue 2. Pp. 277—314.

16. Hönig O., Doster F., Hilfer R. Traveling wave solutions in a generalized theory for macroscopic capillarity // Transport in Porous Media. 2013. Vol. 99. No. 3. Pp. 467—491.

17. Yuan H., You Z., Shapiro A., Bed-rikovetsky P. Improved population balance model for straining-dominant deep bed filtration using network calculations // Chemical Engineering Journal. 2013. Vol. 226. Pp. 227—237.

18. Yuan H., Shapiro A. A mathematical model for non-monotonic deposition profiles in deep bed filtration systems // Chemical Engineering Journal. 2011. Vol. 166. No. 1. Pp. 105—115.

Columns. Chemical Engineering Journal. 2013, vol. 220, pp. 221—227. DOI: http:// www.doi.org/10.1016/j.cej.2013.01.054.

9. Müller K., Fedosov D.A., Gompper G. Understanding Particle Margination in Blood Flow — A Step Toward Optimized Drug Delivery Systems. Medical Engineering & Physics. 2015 (in print). DOI: http://www. doi.org/10.1016/j.medengphy.2015.08.009.

10. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media. Abstract and Applied Analysis, vol. 2013, iss. "Mathematical and Computational Analyses of Flow and Transport Phenomena", 9 p., 2013. DOI: http://dx.doi. org/10.1155/2013/680693

11. Chalk P., Gooding N., Hutten S., You Z., Bedrikovetsky P. Pore Size Distribution from Challenge Coreflood Testing by Colloidal Flow. Chemical Engineering Research and Design. 2012, vol. 90. Pp. 63—77.

12. Santos A., Bedrikovetsky P. A Stochastic Model for Particulate Suspension Flow in Porous Media. Transport in Porous Media. 2006, vol. 62, pp. 23—53.

13. Vollebregt H.M., Van der Sman R.G.M., Boom R.M. Model for Particle Migration in Bidisperse Suspensions by Use of Effective Temperature. Faraday Discussions. 2012, vol. 158, pp. 89—103. DOI: http://dx.doi.org/10.1039/C2FD20035J.

14. Sund N., Bolster D., Mattis S., Daw-son C. Pre-asymptotic Transport Upscaling in Inertial and Unsteady Flows Through Porous Media. Transport in Porous Media. 2015, vol. 109, issue 2, pp. 411—432.

15. Mathieu-Potvin F., Gosselin L. Impact of Non-uniform Properties on Governing Equations for Fluid Flows in Porous Media. Transport in Porous Media. 2014, vol. 105, issue 2, pp. 277—314. DOI: http:// dx.doi.org/10.1007/s11242-014-0370-z.

16. Hönig O., Doster F., Hilfer R. Traveling Wave Solutions in a Generalized Theory for Macroscopic Capillarity. Transport in Porous Media. 2013, vol. 99, no. 3, pp. 467—491. DOI: http://dx.doi. org/10.1007/s11242-013-0196-0.

19. Gitis V, Rubinstein I., Livshits M., Ziskind G. Deep-bed filtration model with multistage deposition kinetics // Chemical Engineering Journal. 2010. Vol. 163. No. 1—2. Pp. 78—85.

20. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration // Chemical Engineering Journal. 2014. Vol. 258. Pp. 374—385.

21. Yuan H., Shapiro A., You Z., Badaly-an A. Estimating filtration coefficients for straining from percolation and random walk theories // Chemical Engineering Journal. 2012. Vol. 210. Pp. 63—73.

22. Kuzmina L.I., Osipov Y.V. Inverse problem of filtering the suspension in porous media // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2015. Vol. 11. No. 1. C. 34—41.

23. Bedrikovetsky P. Upscaling of stochastic micro model for suspension transport in porous media // Transport in Porous Media. 2008. Vol. 75. No. 3. Pp. 335—369.

24. Fallah H., Fathi H.B., Mohamma-di H. The mathematical model for particle suspension flow through porous medium // Geomaterials. 2012. Vol. 2. No. 3. Pp. 57—62.

25. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Vol. 10. No. 3. C. 17—22.

26. Herzig J.P., Leclerc D.M., LegoffP. Flow of suspensions through porous media — application to deep filtration // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. Vol. 62 (5). Pp. 8—35.

27. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. No. 5. Pp. 556—564.

28. Bedrikovetsky P.G., Marchesin D., Checaira F., Serra A.L., Resende E. Characterization of deep bed filtration system from laboratory pressure drop measurements // Journal of Petroleum Science and Engineering. 2001. Vol. 32. No. 3. Pp. 167—177.

17. Yuan H., You Z., Shapiro A., Bedrikovetsky P. Improved Population Balance Model for Straining-Dominant Deep Bed Filtration Using Network Calculations. Chemical Engineering Journal. 2013, vol. 226, pp. 227—237. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/j.cej.2013.04.031.

18. Yuan H., Shapiro A. A Mathematical Model for Non-Monotonic Deposition Profiles in Deep Bed Filtration Systems. Chemical Engineering Journal. 2011, vol. 166, no. 1, pp. 105—115. DOI: http:// dx.doi.org/10.1016/j.cej.2010.10.036.

19. Gitis V., Rubinstein I., Livshits M., Ziskind G. Deep-bed Filtration Model with Multistage Deposition Kinetics. Chemical Engineering Journal. 2010, vol. 163, no. 1—2, pp. 78—85. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/j.cej.2010.07.044.

20. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic Model for Deep Bed Filtration. Chemical Engineering Journal. 2014, vol. 258, pp. 374—385. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cej.2014.07.051.

21. Yuan H., Shapiro A., You Z., Badalyan A. Estimating Filtration Coefficients for Straining from Percolation and Random Walk Theories. Chemical Engineering Journal. 2012, vol. 210, pp. 63—73. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cej.2012.08.029.

22. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Inverse Problem of Filtering the Suspension in Porous Media. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2015, vol. 11, no. 1, pp. 34—41.

23. Bedrikovetsky P. Upscaling of Stochastic Micro Model for Suspension Transport in Porous Media. Transport in Porous Media. 2008, vol. 75, no. 3, pp. 335—369. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s11242-008-9228-6.

24. Fallah H., Fathi H.B., Moham-madi H. The Mathematical Model for Particle Suspension Flow through Porous Medium. Geomaterials. 2012, vol. 2, no. 3, pp. 57—62. DOI: http://dx.doi.org/10.4236/ gm.2012.23009.

25. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle Transportation at the Filter Inlet. International Journal for Computational Civil and

Поступила в редакцию в январе 2016 г.

Об авторах: кузьмина людмила Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент департамента прикладной математики Московского института электроники и математики, национальный исследовательский университет «высшая школа экономики» (нИУ вШЭ), 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, д. 20, lkuzmina@hse.ru;

осипов Юрий викторович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информатики и прикладной математики, национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (нИУ мгсу), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, yuri-osipov@ mail.ru.

Для цитирования: Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Асимптотика уравнения фильтрации // Вестник МГСУ 2016. № 2. С. 49—61.

Structural Engineering. 2014, vol. 10, no. 3, pp. 17—22.

26. Herzig J.P., Leclerc D.M., Legoff P. Flow of Suspensions Through Porous Media — Application to Deep Filtration. Industrial and Engineering Chemistry. 1970, vol. 62 (5), pp. 8—35. DOI: http://dx.doi. org/10.1021/ie50725a003.

27. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New Classes of Exact Solutions to Nonlinear Sets of Equations in the Theory of Filtration and Convective Mass Transfer. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007, vol. 41, no. 5, pp. 556—564. DOI: http://dx.doi. org/10.1134/S0040579507050168.

28. Bedrikovetsky P.G., Marchesin D., Checaira F., Serra A.L., Resende E. Characterization of Deep Bed Filtration System from Laboratory Pressure Drop Measurements. Journal of Petroleum Science and Engineering. 2001, vol. 32, no. 3, pp. 167— 177. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0920-4105(01)00159-0.

Received in January 2016.

About the authors: Kuzmina Ludmi-la Ivanovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Moscow Institute of Electronics and Mathematics, Higher School of Economics, 20 Myasnitskaya str., Moscow, 101000, Russian Federation; lkuzmina@hse.ru;

osipov Yuri viktorovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Moscow State university of Civil Engineering (National Research university) (MGSu), 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; yuri-osipov@mail.ru.

For citation: Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika uravneniya fil'tratsii [Asymptotic Solution of the Filtration Equation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 2, pp. 49—61.