Асимптотика решений неавтономных систем и приложений в квантовой механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК 8,00Лл

8/2014

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 530.145.81

В.И. Безяев, Ю.А. Коняев*

ФГБОУ ВПО «РУДН», *НИУ «МЭИ»

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ И ПРИЛОЖЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Предложен конструктивный метод анализа начальных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфной или мероморфной матрицей. К таким системам могут быть сведены уравнение Шредингера, система Дирака и некоторые другие уравнения квантовой механики с сферически симметричными мероморфными потенциалами.

Ключевые слова: мероморфная матрица, уравнение Шредингера, система Дирака, уравнение Липпмана — Швингера, квантовая механика.

Изложен эффективный алгоритм нахождения асимптотических решений линейных дифференциальных уравнений и систем с голоморфными и мероморфными коэффициентами. Этот алгоритм позволяет, в частности, найти полные асимптотические разложения решений уравнения Шредингера, системы Дирака и уравнения Липпмана — Швингера (имеющего ключевое значение в квантовой теории рассеяния) со сферически-симметричными мероморфными потенциалами. В качестве простейших иллюстраций вычисляются асимптотики стационарных состояний электрона в кулоновом поле с фиксированным точечным зарядом при моделировании релятивистского и нерелятивистского водородоподобного атома, а также вычисляются асимптотики собственных функций, определяемых уравнением Липпмана — Швингера.

Предложенный подход дополняет известные результаты [1—13] и позволяет (используя методику работ [14—16]) подойти к анализу задач указанного типа с достаточно простой и в то же время универсальной точки зрения.

Рассмотрим систему линейных систем дифференциальных уравнений вида = хтА( х) у, (1)

где т > 0, т — целое число; А(х) есть (п х п) — матричная функция, А(х) = ^ Акх-к и матричный ряд сходятся абсолютно при | х | > х к=0

Для произвольной квадратной матрицы А = {а.к } обозначим ее диагональную часть А и бездиагональную А, т.е. А = diag{a11,...,апп}, А = А - А.

Теорема 1. Пусть матричная функция А(х) удовлетворяет приведенным выше условиям и матрица А0 имеет простой спектр {Х0. } (т.е. с. = А. - А0к Ф 0 при . Ф к; к = 1,п). Тогда для любого р > 1 существует такая невырожденная

т+р

при | х | > х2 > х1 матричная функция Н (х) = Е + ^ Нкх—, что преобразование

к=1

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK

_MGSU

y(x) = Sfl(x)z(x) переводит систему (1) в эквивалентную систему c почти диагональной матрицей

m+ p

z' = xmQ(x)z, Q(x) = xmXЛкх k +ap(x)x-p-1, (2)

k=0

где матричная функция op(x) разлагается в абсолютно сходящийся при | x | > x2 ряд, || ap(x) ||< const при | x | > x2, Л0 = S0-1 AS0 = diag{Я01,...,Х0п}, а диагональные Лк и бездиагональные Hк матрицы определяются (в доказательстве) с помощью простого итерационного алгоритма и матриц Ak(k = 1,2, ...).

Доказательство. В условиях простоты спектра {X0. } существует такая невырожденная матрица S что замена y = S0y приводит систему (1) к виду

да

y' = xmB(x)y , где B(x) = ^ A(x)S0 = XBkx-k, B0 = Л0, | x |> x,.

k=0

Далее после невырожденной при достаточно больших | x | замены y(x) =

m+ p_

= H(x)z(x), где H (x) = E + X Hk x—, нетрудно формально получить систему

k=1

вида (2). Для этого достаточно, чтобы матрицы H(x), B(x), Q(x) были связаны тождеством H'(x) = B(x)H(x) — H(x)Q(x). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в этом матричном тождестве, получим простые рекуррентные формулы:

Л 0 H к - H к Л 0 = Л к - P к (1 < k < m + р),

где P р = Bl, Pк = Bk (в. Ик-] - Ик-Л.) (2 < к < m +1),

j=l

рк = вк + £ (В. И к -. - И к -. Л) + (к - т -1) И к-т-\ (т + 2 < к < т + р ).

Отсюда последовательно и однозначно определяются все диагональные Лк и бездиагональные матрицы И к (к = 1,2,...):

л к = Р к, И к = {ик,.}, Ик, ..= - рк ..а-1 (; ф j, I, j = хк), где Рк = {рк.}. Теорема 2. В условиях теоремы 1 общее решение системы (3) имеет вид

я*) = ^Я (х)ехр(хтX-^ЛкАхЛт+фх)с, (3)

\ к=0 т - к +1 /

где с — произвольный вектор из Я", а матричная функция Ф(х) имеет асим-

да

птотическое разложение [2] Ф(х) ~ ^Фкх~к, х ^ да, Ф0 = Е.

к=0

Доказательство. Из теоремы 1 и теоремы 12.2 в [2] следует существование такой матрицы И (х) ~ Е + Х Икх~к, х ^да, что замена у(х) = 30И(х)г(х)

к =1

переводит систему (1) в систему г ' = xmQ(х)г с диагональной матрицей

да -

Q( х) ~ хт XЛкх~к, х ^да, где матрицы И к и Лк(к = 1, 2, ...) определяются в

к=0

теореме 1. Отсюда сразу следует представление (3).

ВЕСТНИК

МГСУ-

8/2014

Замечание 1. Аналоги теорем 1 и 2 верны для системы (1) и в случае т = -1 (случай особой точки х = да 1-го рода). В этом случае дополнительно к условиям теоремы 1 достаточно потребовать, чтобы при ' Ф к; .',к = 1,п.

Замечание 2. Из доказательства теоремы 2 следует, что матрицы Фк(к = 1, 2, ...) в формуле (3) определяются матрицами Л.' = т + 2, т + 3, ...).

Замечание 3. Аналоги теорем 1 и 2 верны и в случае х ^ 0.

Пример 1 (модель нерелятивистского водородоподобного атома). Радиальная часть оператора Шредингера для нерелятивистского водородоподобного атома может быть записана (после разделения переменных в сферических координатах и замены вида Н(г) = гЯ(г)) в виде обыкновенного дифферен-

циального оператора [6, с. 146] И1Н = -И" +

I (I +1) 2

-2)И (( = 0, 1, 2,...), дей-

ствующего в Х2(0, да). При I > 1 собственные значения Хп оператора Н 1 простые

1

и = —^ = -V', ' = I +1, I + 2,.... С помощью теорем 1 и 2 (для т = 0) вычислим асимптотики при г ^ да соответствующих собственных функций оператора И1.

1

Запишем уравнение Н¡И = Х1 И, где Х1 . = --у = -V2 (' = 1 +1, 1 + 2,...), в

] '

виде системы у/(х) = у2(х), у2'(х) = (¡(¡ + 1)х2-2х1 )у1 (х), где х = г, у^х) = Л(х).

В матричной форме эта система имеет вид

где А =

У' = А(х)у, у = (у,У')Т, А(х) = ^Акх,

к=0

( 0 1 1 ( 0 0 1 _( о о 1

, А = Щ +1) о

(4)

0 .

V ' У

, А =

V-2 0У

Так как матрица А0 имеет простой спектр Х01 = - ^02 = V., то, следуя алгоритму в доказательстве теоремы 1 (при т = 0) с помощью невырожденной замены

У = «у,

где Sn =

1 1

-V,. V. ,

V } и

и "V 4о"о =Л0 =

-V; 0

V0 ^

, перейдем к системе у' = В( х) у,

где В( х) = «V А( х « = £ В к

к=0

1 (1 1 1

В0 = Л 0, В1 = - , , ; В2 =

V. V1 -1У

Щ +1)

(-1 -11

2v

1 1

Далее с помощью замены вида у = Н (х) г, где Н (х) = Е + ^ Н

к х , мож-

но получить систему с почти диагональной матрицей г' = Q (х) г, а диагональные Лки бездиагональные Нк (к = 1,2, ...) матрицы определяются рекуррентно, как в доказательстве теоремы 1.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС

_мвви

Например, при k = 1, 2 получаем: Л0И1 - И1Л0 = Л1 - P1, P1 = B1

Л k = Pk, Нк = 1Л - ~Pt (k = 1,2),

- 1 (1

Л1 = Bi = — v

j v0 "Ъ

0 ^ = H1 =

1 (0 1 ^

2 v

J v

1 0

Л 2 =

l (l +1) 1 Y-1 0 ^

2v .

2v3.

j

0 1

Из теоремы 2 получаем асимптотику общего решения системы (4): y ( х ) = S0H (x) z ( x ) = S0H (х)ехр(Л0х) x Л1 Ф( x )c =

( 1

-v

V

J

1

v

J /

v H 21 (X)

hi2( x )

1

( X )

0

,^2(x)

\

;

где Я1( x) = -A,2 (x) =-v ,x +--ln x, H12( x) = H21( x) =

(e + o(x 1 ))c при x +да, 1

Vj - 2V

-1 + O ( x -2)

при

х ^ +да, c = (c1, c2)T — произвольный постоянный вектор.

Таким образом, решение Щ(х) = h1(х) уравнения НН = X1 Ъ имеет вид

h( х) = (1 + Н21 ( х))( с1е%1 (х)+ с2еХ1 (х >)(1 + о( х-)) при х ^ +да, (5)

где с1, с2 — постоянные. Очевидно, что собственные функции Щ(х) оператора Н из £2([0, +да]) определяются формулой (5) при с2 = 0 и произвольном с1 Ф 0. Отсюда следует, что главный член асимптотики при х ^ +да произвольной собственной функции Щу(х) оператора Н1 имеет вид ^ . ( х) = с1 .е~х13 х3 (1 + О (х)), где с — произвольная ненулевая постоянная (1 = 1,2, ..., 3 = 1 + 1, 1 + 2, ...).

Ч

Используя формулу (3), алгоритм в доказательстве теоремы 1 и замечание 2, нетрудно получить и следующие члены асимптотического разложения при х ^ +да функции Щ1з(х).

Пример 2 (модель релятивистского водородоподобного атома). Другое приложение приведенных выше теорем дает анализ модели релятивистского водородоподобного атома [4, с. 258]. Метод разделения переменных для нахождения стационарных состояний электрона в центральном поле с кулоно-вым потенциалом (т.е. собственных четырехкомпонентных вектор-функций у(г, 0, ф) релятивистского гамильтониана Дирака Н) приводит к следующей системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для функций Дг) и g(r), определяющих радиальную часть компонент вектор-функций у(г, 0, ф) [4, с. 258]:

Х + 1 + а1 f (r)-g\r)- —g (r) = 0;

r J r

X-1 + al g (r) + f '(r) + —f (r) = 0, r J r

(6)

где к — целое число, отличное от нуля; X — уровни энергии; а — безразмерный параметр и 0 < а < 1.

Найдем асимптотику при г ^ да решений системы (6). Переходя к матричной форме, получим:

z' = A(x)z, A(x) = A + A1 x

x = r, z

=( f, g)7

(7)

ВЕСТНИК

МГСУ-

8/2014

А =

( 0 1+ АЛ (-к-1 а

, А =

Vl-X 0 / 1 ^ -а к - 1у В предположении простоты спектра } матрицы А0 (v012 = ±4 1 - X2, | Х|<1) с помощью невырожденной замены ( 1+ Х 1+ Х 1

-4 1 -X2 л/1 -X2

г = SоУ, «0 =

преобразуем систему (7) в виду у' = В{х)у, В(х) = В0 + В,х-1,

-(-1 01

В0 =Л0 ^л/Г-Х2

V 0 1У

1

'В1 = 7Г-Х

-(а + \/1 -X2) -(аХ + ^ 1 -X2) аХ- пл/1 -X2 а + л/1 -X2

Далее с помощью невырожденной при х > х1 > 0 замены у = Н(хгде

Н (х) = Е + Н1 х-,

( „ / . /т-тт^

1

Н1 = — Л- В1 =—.

2 0 -X

0 (аX + пл/1 -X2)

п>/1 -X2) 0

перейдем к системе с почти диагональной матрицей V' = Q (х )v, для которой

Q(х) = Л0 +Л1 х 1 +0(х 2) при х ^ +да, Л 1 = В1

т: а

(-1 01

л/1-X2

V 0 1У

Отсюда и из теоремы 2 получим асимптотическое представление при х ^ +да общего решения системы (7):

( / (х) 1

г( х) =

8 (х)

Л (Е + Н1 х-1) ^ {еЛг( х), е^(х)}( Е + О ( х-1)) с

или

f (х) = (1 + X) [ ох (И21 (х) + 1) е^( х) +С2 (И12 (х) + 1) е^( х) ](1 + 0 ( х -1)), g (х) = ^/г-XI [ с (Й21 (х)-1) е ^(х) + С2 (И,2 (х)-1) е А х) ](1 + 0 (х-)),

где И 12(х) =-/ (аХ + 1 -X2), И21(х) =-/ (аХ-я-\/1 -X2),

2 х\11 -Х2^ ' 2 ху/1 -X2 '

X2 ( х) = -X1 (х) = 41 -X2 + -

2 а+41 -X2

-- 1п х, c с — произвольные постоянные.

х>/1 -X2 1 2

Аналогично можно получить асимптотику решений_Дх) и £(х) при х ^ 0. Пример 3 (модель квантового рассеяния с центральным потенциалом). Рассмотрим в Ь2(Я3) операторы Лапласа Н0 = -А и оператор Шредингера со сферически симметричным потенциалом Н = -А + К(г) (г =| г | г е Rп), где

| V(г)|<С(1 + г)-1-в, в > 0 и | г IV(г) | dr <<х>.

(8)

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK

_MGSU

Тогда пространство L2(R3) разлагается в ортогональную прямую сумму Z2 (R3) = ©H m, где все подпространства H,m инвариантны относительно обо-

l ,m

их операторов H0 и H. При этом подпространства Hlm состоят из функций вида {г/ (0, ф) f (r)}, где Y/ (0, ф) = Plk (cos 0)e Лф — собственные функции оператора Лапласа — Бельтрами -AS на сфере S2 = {r е R3 : | r |= l}, rf (r) е L2(R+). Радиальная часть оператора Hна подпространстве Hlm совпадает с оператором 1 d2 (г2 f)

Н, вида H lf = - 2 ,2 r dr

V (r) +

r

f. Замена ф(r) = rf (r) перево-

~ ( d2 I (I +1) ^ дит оператора Н1 в оператора Н1 вида Н1 ф(г) =--- + V(г) +---— ф(г),

ч dr г )

действующего в пространстве ¿2(Л+).

Таким образом, обобщенные собственные функции оператора Н определяются единственными (с точностью до множителя) решениями уравнений Н^(г) = £2у(г), не имеющими особенностей при г ^ 0 и принадлежащими Ь2(В.+). Если потенциал V(г) является мероморфной функцией (и выполнены условия (8)), то (аналогично двум предыдущим примерам) можно найти асимптотические разложения при г ^ 0 и г ^ да указанных решений, а значит и соответствующие асимптотические разложения обобщенных собственных функций оператора Н. Например, для I = 1, V(г) = --- получается разложение

1 + r

Фk (r) = С^r2 +110(l - k2) r4 + O(r5 )j, r ^ 0.

Библиографический список

1. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка : в 2-х ч. / пер. с англ. В.Б. Лидского ; под ред. Б.М. Левитана. М. : Изд-во иностранной литературы, 1960. Ч. 1. 278 с.

2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1968. 464 с.

3. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / пер. с англ. М. : Мир, 1982. Т. 1. 488 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики : Теория рассеяния : пер. с англ. А.К. Погребковой, В.Н. Сушко. М. : Мир, 1982. Т. 3. 443 с.

5. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1983. 352 с.

6. Березин Ф.А., ШубинМ.А. Уравнение Шредингера. М. : Изд-во МГУ, 1983. 392 с.

7. Бибило Ю.П. Изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особенностями // Математический сборник. 2012. Т. 203. № 6. С. 63—80.

8. Yakovenko S. On functions and curves defined by ordinary differential equations // The Arnoldfest (Toronto, ON, 1997), Fields Inst. Communications. 1999. Amer. Math. Soc., Providence, RI. Vol. 24. Pp. 497—525.

9. Um С.-I., Yeon K.-H., George T.F. The quantum damped oscillator // Phys.Rep. 2002. Vol. 362. Pp. 63—192.

ВЕСТНИК 8/2014

8/2014

10. Van der Put M., Singer M.F. Galois theory of linear differential equations / Series: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlin, Springer-Verlag, 2003. Vol. 328. 438 p.

11. Novikov D., Yakovenko S. Lectures on Meromorphic Flat Connections // Normal forms, bifurcations and finiteness problems in differential equations, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Kluwer, Acad. Publ., Dordrecht, 2004. Vol. 137. Pp. 387—430.

12. Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Theory of Ordinary Differential Equations // Graduate Studies in Mathematics. Amer. Math. Soc. Providence, RI. 2008. Vol. 86. 625 p.

13. Corel E. Exponents of a meromorphic connection on a compact Riemann surface // Pacific J. Math. 2009. Vol. 242. No. 2. Pp. 259—279.

14. Коняев Ю.А. О некоторых методах исследования устойчивости // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 3. С. 65—82.

15. Коняев Ю.А., Безяев В.И., Филиппова О.Н. О нелинейных сингулярно возмущенных задачах в биологии // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 9. С. 107—115.

16. Коняев Ю.А., Безяев В.И., Романова Е.Ю. Об особенностях анализа начальных и краевых задач для полиномиальных систем // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1508—1512.

Поступила в редакцию в июне 2014 г.

Об авторах: Безяев Владимир Иванович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Российский университет дружбы народов (ФГБОУ ВПО «РУДН»), 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, 8 (495) 955-07-10, vbezyaev@mail.ru;

Коняев Юрий Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Национально исследовательский университет «МЭИ» (НИУ «МЭИ»), Ш250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, 8 (495) 362-78-74, vbezyaev@mail.ru.

Для цитирования: Безяев В.И., Коняев Ю.А. Асимптотика решений неавтономных систем и приложений в квантовой механике // Вестник МГСУ 2014. № 8. С. 28—35.

V.I. Bezyaev, Yu.A. Konyaev

ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF THE SOLUTIONS FOR NONAUTONOMOUS SYSTEMS AND APPLICATIONS IN QUANTUM MECHANICS

The authors present an efficient algorithm different from the previously known to construct the asymptotics of solutions of nonautonomous systems of ordinary differential equations with meromorphic matrix. Schrödinger equation, Dirac system, LippmanSchwinger equation and other equations of quantum mechanics with spherically symmetric and meromorphic potentials may be reduced to such systems. The Schrödinger equation and the Dirac system describe the stationary states of an electron in a Coulomb field with a fixed point charge in the description of the relativistic and nonrelativ-istic hydrogen atom. The Lippman-Schwinger equation of scattering theory describes the results of collision and interaction of quantum-mechanical particles in mathematical language after these particles have already diverged a long way from one another and ceased to interact.

The observed algorithm supplements the known results and allows you to approach the analysis of the problems of this type with a fairly simple and at the same time, a universal point of view.

Key words: meromorphic matrix, Schrödinger equation, Dirac system, LippmanSchwinger equation, quantum mechanics.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС

_мвви

References

1. Titchmarsh E.C. Eigenfunction Expansions Associated with Second Order Differential Equations. Part I. Oxford University Press, 1962, 210 p.

2. Vazov V. Asimptoticheskie razlozheniya resheniy obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Asymptotic Expansions of the Solutions of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Mir Publ., 1968, 464 p.

3. Richtmyer R. Principles of Advanced Mathematical Physics. New York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1978, vol. 1.

4. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 3. Scattering Theory. Academic Press Inc., 463 p.

5. Fedoryuk M.V. Asimptoticheskie metody dlya lineynykh obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Asimptotic Methods for Linear Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 352 p.

6. Berezin F.A., Shubin M.A. Uravnenie Shredingera [The Schrödinger Equation]. Moscow, MGU Publ., 1983, 392 p.

7. Bibilo Yu.P. Izomonodromnye deformatsii system lineinykh differentsial'nykh uravneniy s irregulyarnymi osobennostyami [Isomonodrom Deformations of the Systems of Linear Differential Equations with Irregular Singularities]. Matematicheskiy sbornik [Mathematical Collection]. Moscow, 2012, vol. 203, no. 6, pp. 63—80.

8. Yakovenko S. On Functions and Curves Defined by Ordinary Differential Equations. The Arnoldfest (Toronto, ON, 1997), Fields Inst. Communications. 1999, Amer. Math. Soc., Providence, RI, vol. 24, pp. 497—525.

9. Um C-I., Yeon K-H., George T.F. The Quantum Damped Oscillator. Phys. Rep., 2002, vol. 362, pp. 63—192. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0370-1573(01)00077-1.

10. Van der Put M., Singer M.F. Galois Theory of Linear Differential Equations. Series: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 328. Berlin, Springer-Verlag, 2003, 438 p.

11. Novikov D., Yakovenko S. Lectures on Meromorphic Flat Connections. Normal Forms, Bifurcations and Finiteness Problems in Differential Equations. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 137, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, pp. 387—430.

12. Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Theory of Ordinary Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. 2008, Amer. Math. Soc. Providence, RI, vol. 86, 625 p.

13. Corel E. Exponents of a Meromorphic Connection on a Compact Riemann Surface. Pacific J. Math. 2009, vol. 242, no. 2, pp. 259—279.

14. Konyaev Yu.A. O nekotorykh metodakh issledovaniya ustoychivosti [On Some Methods of Stability Research]. Matematicheskiy sbornik [Mathematical Book]. Moscow, 2001, vol. 192, no. 3, pp. 65—82.

15. Konyaev Yu.A., Bezyaev V.I., Filippova O.N. O nelineinykh singulyarno vozmushchen-nykh zadachakh v biologii [Nonlinear Singularly Perturbed Problems in Biology]. Matematiches-koe modelirovanie [Mathematical Modeling]. Moscow, 2010, vol. 22, no. 9, pp. 107—115.

16. Konyaev Yu.A., Bezyaev V.I., Romanova E.Yu. Ob osobennostyakh analiza nachal'nykh i kraevykh zadach dlya polinominalnykh system [On the Singularities of the Initial Analysis and Boundary Value Problems for Polynomial Systems]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations]. Moscow, 2010, vol. 46, no. 10, pp.1508—1512.

About the authors: Bezyaev Vladimir Ivanovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Peoples' Friendship University of Russia, 6 Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation; vbezyaev@mail.ru;

Konyaev Yuriy Aleksandrovich — Doctor of Physical abd Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, National Research University "Moscow Power Engineering Institute" ("MPEI"), 14 Krasnokazarmennaya str., Moscow, 111250, Russian Federation; vbezyaev@mail.ru.

For citation: Bezyaev V.I., Konyaev Yu.A. Asimptotika resheniy neavtonomnykh sistem i prilozheniy v kvantovoy mekhanike [Asymptotic Expansions of the Solutions for Nonauto-nomous Systems and Applications in Quantum Mechanics]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 8, pp. 28—35.