Асимптотическое представление функций Йоста в случае суммируемого потенциала Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ЙОСТА В СЛУЧАЕ СУММИРУЕМОГО ПОТЕНЦИАЛА

© Митрохин С.И.*

Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Рассматривается краевая задача для классического дифференциального оператора Штурма-Лиувилля второго порядка следующего вида:

- у"(х) + ц(х) ■ у(х) = Аа2у(х), 0 < х <ж, а > 0 (1)

с граничными условиями:

- у"(х) + ц(х) • у(х) = Ла2у(х), 0 < х <ж, а > 0 (2) (1)

В дифференциальном уравнении (1) число X является спектральным параметром, коэффициент q(x) (он называется потенциалом) является суммируемой функцией, то есть q(x) удовлетворяет условиям теоремы Римана-Лебега:

|q(t)Ж\ = д(х) почти всюду Vx е[0;ж] (3)

0 ) х

Находится асимптотика решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра X и асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2).

Сначала найдём асимптотику решений ф(х, 5) и цЛх, 5) (они называются функциями Поста) дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра X, которые удовлетворяют следующим начальным условиям:

^(0, X) = 1, ^'(0, X) = 0; 1//(0,Я) = 0, 1//(0Д) = 1 (4)

Функция Йоста ср(х, 5) называется функцией типа косинуса (так как соб0 = 1, (собх)'х = 0 = 0), функция Йоста цАх, 5) называется функцией типа синуса (так как Бт0 = 0, (япх)'х = 0 = 1).

Пусть X = - некоторая фиксированная ветвь корня (мы её вы-

берем условием = +1). Пусть а>1 и а>2 - различные корни второй степени из минус единицы: юк2 = -1, со\ = 1, со2 = -1.

В монографиях [1, глава 1, §2] и [2, глава 1, §1.1] про функции ф(х, 5) и цЛх, 5) приведены следующие утверждения (в случае а = 1, при условии достаточной гладкости потенциала q(x)).

* Старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук, доцент.

Лемма 1. Пусть Х = 52, 5 = Ах. Тогда:

<р(х, 5) = С08(+ 1 • 81п(жх) +1 • [ q(t) • 81п(5 • (X - ()) • ф((, X) • сИ (5)

5 5 0

ц/(х, 5) = 51п(5х) + - • Г q(t) • • (х - 0) • ^(t, X) ■ Л (6)

5 5 0

где q(x) - непрерывна на отрезке [0; я].

Лемма 2. Обозначим 5 = а + /г. Тогда существует такое число 50, что при 51 > 50 справедливы следующие оценки:

ср{X, 5) = о(е1 т|'х) X, 5) = о|?|• е|ф) (7)

или ещё более точные оценки:

<р(X, 5) = С08(5х) + о|5• еН'х ) 5) = 51п(5х) + 0

е

V

ср'(х,5) = -5 • зт(,$х) + о(е^'х) |//(х,5) = С08(жх) + о|у| 1 • е^'х)

(8)

причём все оценки выполняются равномерно по:

х е [0; л] (9)

Мы обобщаем формулы и оценки вида (5)-(9) на случай суммируемого потенциала. Методом вариации произвольных постоянных доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Решение дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

2 12 х у(х,5) = ХСк • еа^х - -1-■ еащ!х • |q(t)e-am^s, • у(^(10) к=1 2а5 к=1 0

при этом в силу свойства (3) имеем:

--= ЬСк-®к-е --—•е .1т(^е • У(t,^ (11)

а к=1 2а к=1 0

где Ск (к = 1; 2) - произвольные постоянные.

Доказательство теоремы 1 заключается в подстановке формул (10)-(11) в дифференциальное уравнение (1) с использованием свойства (3).

Далее применим метод последовательных итераций Пикара. Находим у(1, 5) из (10) и снова подставим в интегральное уравнение (10). Затем произведём необходимые оценки, аналогичные оценкам монографий [1] и [2]. При этом приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

2 2

y(xs) = ХCk ■ Ук(x,s), yl(x,s) = ^Ck ■ y'k(x.s) (12)

k=1 к=1

где Ck - произвольные постоянные, причём фундаментальная система

решений {yk(x, s)}2k=1 допускает следующие асимптотические оценки при

|s| ^

2 x / \ f Im(|six) Л

т, ...... г л-. у л x. s) _ e 1 1

(13)

yk(x,s) = eaaksx • ]Гeam"sx • Jq(t)e-a(at)st • dt + УкS) + O

2as и=1 о s

^^ = щ. eamksx • Y®k • ea4,sx • f q(t)e-a(4=-"")st • dt++ O as 2as 0 s

s3

V J

r elm(s|x) ^

v s3 ,

V У

(14)

Заметим, что справедливы следующие начальные условия:

ук (0, X) = 1, у/(0, X) = атк5, к = 1;2 (15)

Таким образом, мы имеем две пары фундаментальных решений: ф(х, 5), цЛх, 5) и у:(х, 5), у2(х, 5). Поэтому из общей теории решения дифференциальных уравнений вида (1) следует, что существуют такие постоянные С3, С4 и С5, С6, при которых справедливо равенство:

х,5) = Сз • у (х, 5) + С4 • у2(X, 5); ф1 (X, 5) = Сз • у!(X, 5) + С4 • у2 (X, 5);

/ / / (1") ^(х, 5) = С5 • у1 (X,5) + С6 • у2 (х,5); I// (X, 5) = С5 • у1 (X, 5) + С6 • у2 (X, 5)

Подставляя формулы (16) в (4) и (15), приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Функции Поста д^с, 5) и цЛрс, 5), удовлетворяющие начальным условиям (4), находятся по следующим формулам:

X= 2 • [у1(X+У2(x,«)]; x, = \ ■[у' (x, +у2(x,«)];

1 2 1 (17)

v(x, = —- • [у1(x, - у 2(x, 5)]; у' (x, = тт— •[ у' (x, - у2(x, 5)]

2а/5 2а/5

Подставляя формулы (12)-(14) в формулы (17), проведём необходимые преобразования и найдём конкретные асимптотические формулы для функ-

ций Йоста ф(х, 5) и ц/(х, s), обобщающие результаты монографий [1, глава 1] и [2, глава 1] на случай суммируемого потенциала ц(х), удовлетворяющего условию (3).

Теорема 4. Функции Йоста ф(х, 5) (функция типа косинуса) и цЛх, 5) (функция типа синуса), удовлетворяющие начальным условиям (4), при больших значениях спектрального параметра X (X = я2, 5 = ^Х, = +1) имеют следующие асимптотические разложения:

ср( х, 5) = оо^х) + ^^ + ^Сх^ + + о

( 1т -х

е

2ав

4а152

8аУ

(х, 5) = (-а^) • 8т(ажх) +

О^ (х, 5) (х, 5) 0\ (х, 5)

2а5

4а2 52

8а 53

+ о

( |1т 51-х ^

е

|4

5

8Ш(аЖх) И, (х, 5) И, (х, 5) И, (х, 5) ^

^(х, 5) = —--¿+ у/ + 2у/ + 3у/ + о

2а252 4а 53 8а454

VII у ( |1т 51-х ^

е

а5

>< ч , ч И1(х, 5) И 1(х, 5) И3(х, 5) ^ ц/ (х, 5) = 008(а5х) + 1 У „ +— 2 У, + ,, + о

|5

5

2а2 52

4а 53

8а4 54

(18)

где введены следующие обозначения:

О1 (х, 5) = 5ш(ажх) • [Л0 (х) + Л1 (х, 5)] - С05(ажх) • А2 (х, 5), О! (х, 5) = оо8( ажх) • [Л0 (х) + А; (х, 5)] + 8ш(ажх) • Л2 (х, 5), И1 (х, 5) = ооз(а5х) • [- Л„ (х) + Л1( х, 5)]+зт( а^х) • Л2( х, 5), И1(х, 5) = 8ш(ажх) -[Л0( х) - Л1( х, 5)] + соб( а,$х) • Л2( х, 5),

Л0(х) = | ц(})йг, Л1 (х, 5) = | д(/) • оо§(2а5()Л, Л2 (х, 5) = | ) • 81п(2а5()Ж, 0 0 0 О2 (х, 5) = оо8(ажх) • [- В0 (х) + В2 (х, 5) - В4 (х, 5) + В6 (х, 5) + В7 (х, 5)]+8Ш(аЖх) •

• [В3 (х, 5) - В5 (х, 5) + В8 (х, 5) - В9 (х, 5)];

О^ (х, 5) = 5т(ажх) • [В0 (х) - В2 (х, 5) + В4 (х, 5) - В6 (х, 5) - В7 (х, 5)]+оо8(ажх) •

• [В3 (х, 5) - В5 (х, 5) + В8 (х, 5) - В9 (х, 5)];

И2 (х, 5) = 8ш(ажх) • [- В0 (х) - В2 (х, 5) + В3 (х, 5) + В4 (х, 5)+В6 (х, 5)+В7 (х, 5)]+

+ оо8(ажх) • [- В5 (х, 5) - В8 (х, 5) + В9 (х, 5)]; И^ (х, 5) = оо8(ажх) • [- В0 (х) - В2 (х, 5)+В3 (х, 5) + В4 (х, 5)+В6 (х, 5) + В7 (х, 5)]+ + sin( а^х) • [В5 (х, 5) + В8 (х, 5) - В9 (х, 5)];

(19)

4

5

1т51-х

е

5

5

В0 (х) = |q(t) • ^ q(£Щj ■ В2 (х, 5) = |q(t) cos(2ast) • ^|q(|)d|J ■ dt; В3 (х, 5) = Ц q(t) sin(2ast) • || ■ dt;

В9(х, 5) = | q(t)cos(2ast) -I | q(g)sin(2asg)dg I- dt;

о V 0 )

В4 (х, 5) = | q(t) • [} q(|)cos(2as|)d| j • dt;

В7(х,5) = |q(t)sin(2ast)-I |q(%)sin(2as%)d% I-dt;

0 V 0 )

В5 (х, 5) = | q(t) • q(|) sin(2as|)d|^J • dt; В6 (х, 5) = | q(t) cos(2ast) • q(|) cos(2as|)d| • dt; В8 (х, 5) = | g(t) sin(2ast) • I | д(|) cos(2as|)d| I • dt

Для доказательства теоремы 4 достаточно дважды продифференцировать формулы (18) по переменной х, используя свойство (3) и подставить получившиеся выражения в дифференциальное уравнение (1) и в начальные условия (4). Асимптотика решений дифференциального уравнения (1) при выполнении условий (3) полностью получена в формулах (12)-(19), причём асимптотики вида (18) можно уточнять до любого нужного порядка точности. Теорема 4 доказана.

Аналогичная методика применялась автором данной статьи для нахождения асимптотики решений дифференциальных уравнений второго и четвёртого порядка в работах [3], [4], [5] и [6, глава 5]. Другим методом была получена асимптотика решений дифференциального уравнения второго порядка вида (1) в классических работах В.А. Садовничего и В. А. Винокурова [7], [8].

Ранее нами в работах [9] и [10] были рассмотрены некоторые вопросы спектральной теории операторов с разрывными коэффициентами.

Найдём асимптотику собственных значений краевой задачи (1)-(2).

Из первого граничного условия (так как общее решение уравнения (1) имеет вид у(х, .) = Су^х, 5) + С2-цЛх, .), где С и С2 - произвольные постоянные) получаем в силу формул (4):

>-(0,5) = 0 » С1 • ср(0,5) + С2 ■ 1//(0, 5) = 0 » С1 -1 + С2 ■ 0 = 0 » С1 = 0 (20) Значит, из второго граничного условия получаем в силу формулы (20):

Поэтому верна следующая теорема.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1)-(2) имеет следующий вид:

Более подробно уравнение (22) на собственные значения краевой задачи (1)-(2) можно переписать, используя формулы (18)-(19), решая которое получаем следующий результат.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)-(2) при выполнении условий (3) имеет следующий вид:

Список литературы:

1. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. - М.: Наука, 1970.

2. Юрко В.А. Введение в спектральную теорию. - М.: Физматлит, 2007.

3. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского ун-та. Сер.1. Математика, механика. - 2009. - № 3. - С. 14-17.

4. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - 2008. - № 8/1 (67). - С. 172-187.

5. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией. - 2008. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ 07.07.2008, № 581-В2008.

6. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. - М.: ИНТУИТ, 2009. - 364 с.

7. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: Математика. - 2000. - Т. 64, № 4. - С. 47-108.

у(п, 5) = 0 С -ф(л, 5) + С2-ф(л, 5) = 0 »^(ж, 5) = 0 (21)

^(ж, 5) = 0

(22)

8. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1423-1426.

9. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, № 3. - С. 530-532.

10. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. - 1997. - Т. 356, № 1. - С. 13-15.

ПРИНЦИПЫ ФРАКТАЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ КЛАСТЕРОВ ЯДЕР МОЗГА ЖИВОТНЫХ И ЧЕЛОВЕКА

© Молчатский С.Л.*

Поволжская государственная социально-гуманитарная академия,

г. Самара

Произведен компьютерный фрактальный анализ кластеров вентро-медиального (ВМЯ) и латерального гипоталамического (ЛГЯ) ядер среднего гипоталамуса мозга кошки и человека. Установлено, что кластеры всех ядер являются монофракгалами с различными значениями фрактальной размерности (Б) у ядер кошки и человека (БС > Бн).

Существует мнение, что у всех млекопитающих, включая человека, мозг построен по единому плану [1]. В частности, мозг человека и кошки так схож, что нередко не имеет значения, чей мозг изучать [2]. В данном случае речь идет о топографическом сходстве ядер мозга и о сходстве их клеточного состава. Однако у этих представителей млекопитающих, до сих пор нет четкого представления о структурных особенностях ядер мозга на кластерном уровне их организации - промежуточном ме^ду нейронным уровнем и целым ядром. В то же время известно, что именно на структурно-функциональных переходах от уровня к уровню в организации нейронных конструкций мозга [3] формируются и последовательно усложняются нервные механизмы, приобретая все новые и более совершенные свойства нервной деятельности, как в филогенезе, так и в онтогенезе. В этой ситуации представляется полезным выйти за рамки стандартных подходов в исследовании биологических систем и воспользоваться методами, эффективно используемыми в современной физике конденсированных сред.

* Доцент кафедры Химии, кандидат физико-математических наук, доцент.