CC BY
17
Рябенков Н.Г.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ДИСКУССИИ ПО ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН
Начатая более века назад дискуссия о моделях изгиба пластин в последнее время превратилась в проблему согласования асимптотического подхода к построению теорий изгиба и подхода с позиций метода гипотез. В статье предпринята попытка примирения этих двух подходов. Построена модель изгиба пластины первого асимптотического приближения, система разрешающих уравнений в которой имеет шестой порядок.
Ключевые слова: теория упругости, изгиб пластин.
1. Система уравнений теории упругости. Рассмотрим упругую плиту (пластину) в декартовой системе координат х, у, г предполагая, что она ограничена плоскостями г = +Ь и некоторой цилиндрической поверхностью, перпендикулярной этим плоскостям. С целью упрощения выкладок плиту будем считать изотропной. Ее модуль упругости обозначим Е, коэффициент Пуассона V. Модуль сдвига С = Е/[2(1 + у)]. Далее
будем обозначать (х, у, г; и, V, м/) круговые перестановки координат х, у, 2
д ^2
и функций и, V, и/; дх = дхх = • • • - операторы частных производ-
Запишем систему уравнений теории упругости [1] для трех компонент и, V, м/ перемещения произвольной точки, шести компонент тензора напряжений ах, тху = Тух, {рс, у, г) и шести компонент деформаций £х> Уху = Уух> (,х> У>2). Система содержит три уравнения равновесия
ных.
дх(Тх ”1” @гТ-хг 0, (х, у, £),
(1.1)
шесть соотношений закона Гука
Еєх Ох 17^(Гу "Н 0^)» ^Уху "^ху> СХ' У' (12)
и шесть соотношений Коши
£х = дхи, Уху = дху + дуи, (х, у, и, V, и/).
(1.3)
Использование вместо соотношений (1.2) закона Гука для анизотропного
тела несколько удлинит выкладки, однако принципиально не изменит построенного далее алгоритма.
2. Полный асимптотический алгоритм. В качестве малого параметра примем половину толщины плиты к и все искомые параметры напряженно-деформированного состояния разложим на две составляющие [4; 5]
и = и(1) + и(2), (и, V, IV), £х = 41} + 42), Уху = Уху + у®, (*, у, 2).
0* = Чу = Т^ху + *ху. (X, У, г). (2.1)
Здесь
и(1) = 25к5~1и1 = 1,5к5-2и32,(и,у), = Е5Л*"2и£
иг® = 42) = Т.зЬ5~242> (Ху).
Ь5~3£к> 42) = Ь5~2е12, о£1} = Е* Л5_1о£и
о^2) = Е* Л5_2о^2, (*, у, г), (22)
у® = Т.вЬ5~2Уху2> тху = ^5_1^У1, (х,у), Т® = £5/15“2т|у2,
У»} = Л^УинУ® = Л5_1У»2* (*>У), т» = £* Л5-2^!, (х,у)
т» = 25Л5_1т^2» (*,У),$ = 1,3 ... 2п - 1.
Записанными формулами все параметры напряженно - деформированного состояния разложены в ряды с начальной степенью к, равной —1. Исключение составляет лишь выражение деформации е2, у которой начальная степень к равна —2. Далее из алгоритма будет следовать, что коэффициент при этой степени £^1 равен нулю. Поэтому фактически все искомые функции разложены в ряды одинаковой формы.
Далее совершим обычную для асимптотического метода процедуру. В уравнениях (1.1)-(1.3) сделаем замену переменной 2 — к$, подставим в них ряды (2.2), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях к. В результате при каждом значении 5 получим две независимые системы уравнений. Для определения парамет-
ров разложений, помеченных нижним индексом 1, получим
— ~дхстх 1 — дуТХу1, (х, у), д^и21 — —дхтх21 — дуТу21,
Е£х1 = ок - ^(о-у! + оА), (х, у), Су*у1 = т5ху1, (х, у, 2), (2 3)
Ее! 1 = о^Г2 - ^(о-уГ2 + <г2). д^и[ = Ухг! - дх™1, (X, у; и, V),
= е|ц (*» у; и, V), д^1 = е*!, ду«| + = у*у1.
Для определения параметров разложений, помеченных нижним индексом
2, имеем
дрхя = ~дх(Ух2 ~ дут3ху2,(х,у),
~ ~^х^хг2 ~ дуТуг2>
Е£х2 = Ох2 - Н<Гу2 + ок)> СУху2 = т|у2, (х, у, х\ (2 4)
£х2 = дхи5г, (X, у; и, у), = г|2,
ауи| + дхУ\ = УХу2> = УХг2 ~ (*,у; И, V).
Считаем, что величины с верхним индексом 5 — 2 известны. Тогда имеем неоднородную систему уравнений для вычисления параметров разложений с верхним индексом 5.
Решая систему уравнений (2.3), коэффициенты разложений перемещений и напряжений определим в виде
= // - 1о(дутху1 + дха^2)^ ,(х,у),
= // + |/0?[°л 2 “ 2 + °У12)]
«1 = Р* + /0^С~1т«1 “ дх^1)(1ф,у,и, у), (2.5)
<Тг1 — Рг — /д (рх^хг1 ^у^угО т^у1 = С(3Ж^ + дуи(),
^ {дх^1 + Удуу[ + , (х, у; и, у), я = 1,3,... 2п - 1.
Возникающие при интегрировании по £ функции fx.fy.fi и 'Px.Vy.Vz произвольны.
Решая систему (2.4), имеем
= д5х + /0?(С_1Т^22 - дхи/|-2)с^, О, у; и, у),
И'! = 91 + £ /0?[од - Н^х2 + <Гу2)№.
ок = 91- /0Ча*т»2 + дут*~2) а<;, (2 6)
<*х2 = 7^1 <т|2), (х, у; и, у),
*хУ2 = с(ауи| + аж^|),
*«2 = “ /0?(^°^2 + ^уТ|у2) <*?, (*,у),5 = 1,3, ...,2п - 1.
Здесь gx.9y.9z и Qx.4y.4z - произвольные функции координат х и у. Аналогичные соотношения можно записать и для определения коэффициентов разложения деформаций.
3. О проблеме согласования. Построенный алгоритм далее используем в проблеме согласования, которая, имея давнюю историю, в последнее время [2-4] свелась к следующему. Рассматривается изгиб пластины с полем перемещений
и = 2&х(х,у),у = гву(х, у), IV = и/0(х, у).
При выводе разрешающих уравнений с позиций метода гипотез в решении для прогиба появляются две составляющие. Первая составляющая имеет асимптотический порядок к~3 и соответствует теории Кирхгофа. Вторая составляющая имеет меньший порядок. Она была обнаружена Рейсснером. Во всех ранее известных моделях, полученных асимптотическим методом, вторая составляющая отсутствует.
Существующее противоречие выражается таким образом. С точки зрения сторонников асимптотического метода теория Рейсснера некорректна, так как она не следует из асимптотических построений. С точки
зрения сторонников метода гипотез такие асимптотические построения вообще не нужны, если теория Рейсснера, как теория первого асимптотического приближения, из них не следует.
Для согласования этих двух подходов нужно из асимптотического разложения в структуре первого приближения построить модель изгиба пластины с двумя составляющими прогиба. Она должна иметь шестой порядок и три граничных условия на каждом краю пластины, ибо именно это и следует из метода гипотез.
4. Структура первого приближения. Применяя предлагаемый асимптотический алгоритм к расчету пластин, нетрудно заметить, что первый итерационный процесс соответствует задаче изгиба и сдвига, а второй - более соответствует задаче растяжения в трех направлениях. Предполагая далее построить модели изгиба пластин, для упрощения записи рассмотрим только первый итерационный процесс. Пусть в алгоритме (2.5) верхний индекс 5 = 1. Полагая величины с отрицательным верхним индексом равными нулю, получим выражения параметров напряженно-деформированного состояния в первом приближении. Имеем
Функции интегрирования /х,Рх>—>й>Рг пока произвольны. При построении моделей расчета эти функции следует определить, удовлетворяя соответствующим граничным условиям.
Ухг ~ » ТХ2 — ,
аг = р\~\ \dxfx + дуГу1],
Чу = С(дхРу + дур1) +1 (дх/у1 + дуй - 2са2у//),
°х = ^;Р1+ТцГ2 (дхРх + УдуР$+
(4.1)
5. О двух моделях первого приближения для расчета изгиба пластин. Рассмотрим прямоугольную пластину толщиной 2/1. Полагаем, что она каким-либо образом закреплена по контуру х = О, Ьх; у = 0,Ьу и находится под внешней нормальной нагрузкой интенсивности р.
Далее будем пренебрегать растяжением срединной плоскости пластины г = 0 и построим модели, описывающие только изгиб. Поэтому в формулах (4.1) функции рх,ру,р1 полагаем равными нулю. Тогда эти формулы принимают вид (верхний индекс у функций fx.fy.fz далее писать не будем)
и = 16 - дх^\ ’£х = \ [с дх& ~ дххЙ ’ у’и>
Ег 0,О2 ^ \pxfx "I" дyfy\,
Уху = I [£ (дх1:у + ду^ - 2д$уь],
тху = \[Ыу + - 2Сд%уЬ],ухг = ^.тхг = (.х.у), (5,1)
Записанные соотношения реально позволяют построить только две модели изгиба. Первую из них получим, если в (5.1) положить fx=fy = 0. В результате имеем следующую схему напряженно-деформированного состояния:
= У1?0(х, у),и = -гдх\м0, гх = -гд2*и/0, (х, у; и, V),
£
°х = ~ 1 _ У2 2(дххЩ + Уд*уи?0 ),уХ2 = 0,тХ2 = 0, (х,у),
(5.2)
£г 0, 0; Уху 2гдху]А/0, тХу 2 С2ЪХу^§.
Эта модель имеет четвертый порядок, сводится к бигармоническому уравнению относительно прогиба
Д\74м/0 = —р
(5.3)
и обычно называется моделью Кирхгофа. Здесь I) = — изгибная
жесткость пластины.
Во второй модели функции /х,/у,/г в общем случае отличны от нуля. Формулы (5.1) можно представить в виде
и = гвх,ех = дхи, (х,У)и,р),уХ2 = -^>тхг = (X,у)
IV £г ^(^х^хг ”1” дуТу2^,Уху ^х^ 9уи,ТХу СУху> (5 4)
ах = т~^ [д*и + рдур]+ г;а*’ У'>ир^-
Здесь
&х = п[^~дхЬ\’®У = п['с~дуЬ\~ (55)
углы поворота нормали к срединной плоскости пластины.
6. Расчетные формулы второй модели. Уравнения равновесия пластины и соответствующие им граничные условия выведем из принципа минимума потенциальной энергии деформации. Вариация потенциальной энергии имеет вид
5П — /0 ^_^\(Тх5ех + (Ту8£у + ТХу8уХу + Тхг^Ухг "I" ^уг^Ууг] (1гс1ус1х.
Запишем выражения изгибающих моментов Мх, Му и крутящего момента Нху. Имеем
Мх = 1\жх0л = \кг [^дх& + ^ду^ - ^ (д*х£ + уд2у^, (х,у), (6.1)
нхУ = | 2тхуа.2 = ?/12[ду/х + дх/у - 2са2Ул].
Перерезывающие усилия в пластине (2Х, (}у принимают вид
О* = й т„сЬ = 2/*, (х, у). (6.2)
Пусть
п'0 ^0
вариация работы поверхностной нагрузки и
вариация работы контурных усилий и моментов (звездочкой помечены контурные значения параметров).
Совершив обычную процедуру преобразований, из вариационного уравнения <Ш = 8А + 8А* как коэффициенты при вариациях 8/х,8/у,8/2 получим уравнения равновесия пластины
Кроме того, получим и граничные условия. На каждом краю пластины их будет три. В статическом варианте имеем
Подставим выражения (6.1), (6.2) в уравнения равновесия. В результате получим
дхМх + дуНху ~(}х = 0, дуМу + дхНху ~(2У = 0, (6.3)
дх{дхМх + дуНху) + ду(дуМх + дхНху) = р. (64)
х = 0,ЬХ: Мх = М*,Нху = Н*ху>(}х =
Кинематические условия имеют вид
х = 0,1Х: 0* = 0*, 0у = 0*, и/ = ]А/*, (х,у).
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Продифференцируем (6.5) по х и проинтегрируем по у. Тогда с учетом (6.7) получим уравнение (6.6). Таким образом, в системе (6.5)-(6.7) независимых уравнений только два и, следовательно, она имеет шестой порядок, что полностью согласуется с количеством записанных ранее граничных условий.
Преобразуем полученную систему уравнений. Уравнение (6.4) с учетом (6.2), (6.3) можно представить в виде
дх/х + ду/у = \р- (68)
Тогда уравнение (6.7) для определения прогиба принимает окончательный вид
т*п = !^0ч2р-р. (6.9)
Продифференцируем (6.5) по у, (6.6) по х. Если полученные соотношения вычтем одно из другого, то приходим к уравнению
?2(ЭУ/* - з*/у) - ах/у) = о. (6.10)
Для определения /х и /у введем новые функции (риг[) по формулам
= —дхф + дуФ» ®у = ~ду<Р ~ (611)
Согласно (5.5) имеем
дх& + — СЛУ2(мг - ф). (612)
ду1х - д^у = СШ2-ф. (6.13)
Функцией ф удовлетворим уравнению (6.10), если
^-^ = 0. (6.14)
Для определения (р запишем (6.12) с учетом (6.8). Получим
р = 2СЛУ2(ш — (р). (615)
Подставим это выражение в правую часть уравнения для прогиба (6.9).
Имеем
, к2(2 — у)
— ——-------------—р + 2С/г(м/ - ф)
3(1 — V)
Отсюда
Л(2-17) 2Й. _2
(р = уу----—^р + ——-Vzw. (6.16)
^ 6С(1-17)К 3(1-1;) 4 '
Итак, задача об изгибе пластины сводится к решению уравнений (6.9), (6.14). Разрешающая система имеет шестой порядок и в общем случае не распадается на два независимых уравнения, ибо эти уравнения связаны посредством записанных ранее граничных условий. При удовлетворении этих условий необходимо использовать соотношение (6.16). Если с учетом (6.15) исключить из него Ч2\/\/, то приходим к зависимости
/и? 2 к2
м/ = со-------------V------------V <р
^ 6С(1-1?Г 3(1 — V) ^
аналогичной формуле (4.2) статьи [3].
Функция прогиба удовлетворяет бигармоническому уравнению. Она имеет две составляющие разного асимптотического порядка.
7. Заключение. Из приведенного здесь асимптотического алгоритма следует, что при постоянном по толщине прогибе IV = \м(х,у') без каких-либо дополнительных предположений можно построить две модели изгиба пластины первого асимптотического приближения. Одна из них есть модель Кирхгофа, имеющая четвертый порядок и два граничных условия на каждом крае. Вторая рассмотрена в пп. 5 и 6. Она имеет шестой порядок и три граничных условия на каждом крае.
В том случае, когда прогиб пластины является гармонической функцией, обе эти модели представляют собой точные решения уравнений теории упругости (1.1)-(1.3). Во второй модели при этом /х И /у должны тождественно равняться нулю. Следовательно, эти модели имеют одинаковое множество точных решений. Поэтому говорить о том, какая из этих моделей точнее в общем случае не имеет смысла. Вопрос можно ставить лишь о том, какая из этих моделей более корректна?
В ответе на этот вопрос прежде всего следует отметить, что наличие трех граничных условий на краю пластины более соответствует задаче теории упругости. Кроме того, если две модели асимптотически равно-
правны, то более корректной следует назвать модель, которая использует большее количество элементов напряженно-деформированного состояния. Вторая модель дополнительно учитывает и касательные напряжения Txz> TyZ.
Сравнивая построенную здесь модель с моделью [4], приходим к выводу об отсутствии принципиального различия между асимптотическим методом построения моделей деформирования пластин и методом, использующим физические гипотезы. Расхождение между этими методами при их корректном использовании может появиться только за счет пренебрежения малыми величинами.
Источники
1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука. 1979. 560 с.
2. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин // МТТ. 1997. Вып.3. С.50-155.
3. Гольденвейзер А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // МТТ. 1997. Вып.3. С.134-149.
4. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. Асимптотический метод в теории деформирования плского упругого тела // МТТ. 2005. №3. С.53-59.
5. Рябенков Н.Г, Файзуллина Р.Ф. О единой асимптотической природе методов решения задач теории упругости для плит и пластин // ПММ. Т.70. №3. 2006. С.440-448.
References
1. Timoshenko S.P., Gud'er Dj. Teoriya uprugosti. M.: Nauka. 1979. 560 s.
2. Vasil'ev V.V. Ob asimptoticheskom metode obosnovaniya teorii plastin // MTT. 1997. Vy'p.3. S.50-155.
3. Gol'denveyzer A.L. O priblijenny'h metodah rascheta tonkih uprugih obolochek i plastin // MTT. 1997. Vy'p.3. S.134-149.
4. Ryabenkov N.G., Fayzullina R.F. Asimptoticheskiy metod v teorii deformirovaniya plskogo uprugogo tela // MTT. 2005. №3. S.53-59.
5. Ryabenkov N.G., Fayzullina R.F. O edinoy asimptoticheskoy prirode metodov resheniya zadach teorii uprugosti dlya plit i plastin // PMM. T.70. №3. 2006. S.440-448.
Зарегистрирована 30.05.2012.
